„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| (8 közbenső módosítás, amit 2 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
Az [[Analízis | Az [[Analízis (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni. | ||
= Integrál trafók témakör = | = Integrál trafók témakör = | ||
| 129. sor: | 129. sor: | ||
* Amiből: | * Amiből: | ||
<math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math> | <math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math> | ||
}} | |||
<big>2)</big> <small>[2016V2]</small> Számítsuk ki az alábbi integrált: <math>\int_0^\infty \frac{\cos t-e^{-t}}{t} dt</math> | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
Laplace tulajdonságok miatt <math>\int_0^\infty \frac{f(t)}{t} dt = \int_0^\infty \mathcal{L}(f)(s) ds</math>. | |||
Jelen esetben <math>f(t) = \cos t - e^{-t}</math>, számoljuk ki az integrált: | |||
<math>\int_0^\infty \mathcal{L}(f) ds = \int_0^\infty \frac{s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} ds = \int_0^\infty \frac12 \frac{2s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} = </math> | |||
<math>\left[ \frac12 \ln|s^2+1| - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \sqrt{|s^2+1|} - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \frac{\sqrt{|s^2+1|}}{|s+1} \right]_0^\infty = \ln 1 - \ln 1 = 0</math> | |||
}} | }} | ||
| 168. sor: | 184. sor: | ||
* Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet <math>\hat{y}</math>-ra): | * Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet <math>\hat{y}</math>-ra): | ||
<math>-s^2 \hat{y} + -\hat{y} - s\hat{y}' = \sqrt{2\pi}i\delta'(s)</math> | <math>-s^2 \hat{y} + -\hat{y} - s\hat{y}' = \sqrt{2\pi}i\delta'(s)</math> | ||
}} | |||
<big>3)</big> <small>[2016V1]</small> Fourier transzformáció segítségével határozzuk meg u(x, t)-t, ha | |||
<math>\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0</math> | |||
<math>u(x, 0) = 1,~x \in \mathcal{R},y \geq 0</math> | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
Egy u(x, y) függvény x szerinti Fourier trafójának a definíciója: | |||
<math> \hat{u}(s, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y) e^{-ixs} dx </math> | |||
Vegyük az egyenlet x szerinti Fourier trafóját (a deriválás x-ben <math>i \cdot s</math>-el szorzás): | |||
<math> -s^2 \hat{u}(s,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{u}(s, y) = 0</math> | |||
Oldjuk meg a diff-egyenletet y-ra (az y szerinti deriváltat jelölje a vessző): | |||
<math> \hat{u}_s''(y) - s^2 \hat{u}_s(y) = 0</math> | |||
<math> \lambda^2 = s^2 </math> | |||
<math> \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{|s|y} + c_2(s) e^{-|s|y}</math> | |||
Tudjuk, hogy ez a kifejezés <math>s \to \infty</math>-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó: | |||
<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{|s|y} + c_2(s) e^{-|s|y} = 0</math> | |||
Ami, tekintve, hogy <math>y \geq 0</math>, csak akkor teljesülhet, ha <math>c_1(s) = 0</math>. | |||
Tehát: | |||
<math> \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-|s|y}</math> | |||
A kezdeti feltétel Fourier trafója: | |||
<math> \hat{u}(0) = \sqrt{2 \pi} \delta (s)</math> | |||
A két egyenletet összevetve: | |||
<math>c_2(s) = \sqrt{2 \pi} \delta (s)</math> | |||
Vagyis: | |||
<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-|s|y}</math> | |||
<math>u(x, y)</math>-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját: | |||
<math> \hat{u}(s, y) = \mathcal{F}(1) \cdot e^{-|s|y}</math> | |||
<math> u(x, y) = 1 * \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y})</math> | |||
<math> \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{x^2 + y^2}</math> | |||
<math> u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi</math> | |||
<math> u(x, y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\xi^2 + y^2} d\xi</math> | |||
<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\frac{\xi}{y})^2 + 1} d\xi</math> | |||
Vezessük be a <math>z = \frac{\xi}{y},~d\xi = y dz</math> változót: | |||
<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2 + 1} ydz</math> | |||
<math> u(x, y) = \frac{y}{y \pi} \left[arctg z \right]_{-\infty}^{\infty}</math> | |||
<math> u(x, y) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{\pi}{\pi} = 1</math> | |||
}} | }} | ||
| 647. sor: | 733. sor: | ||
<math>|g'(x)| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right|</math> | <math>|g'(x)| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right|</math> | ||
<math>min_I|g'(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt | <math>min_I|g'(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt{1 + e^5 + e^{-5}}} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math> | ||
Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens. | Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens. | ||
| 949. sor: | 1 035. sor: | ||
https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/236x/55/08/4b/55084be16a6b92e2cdb97951f371f4df.jpg | https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/236x/55/08/4b/55084be16a6b92e2cdb97951f371f4df.jpg | ||
}} | |||
<big>3)</big> <small>[2016V1]</small> Keressük meg az extremális függvényt az <math>I(y) = \int_0^1 y(2-y') dx,~y(0) = 1,~ y(1) = 2</math> operátorra vonatkozóan a <math>J(y) = \int_0^1 y'^2 = \frac{13}{3}</math> feltétel mellett! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
<math>F = y(2-y') - \lambda y'^2</math> | |||
Erre alkalmazzuk az Euler-Lagrange egyenletet: | |||
<math>2-y' - \frac{d}{dx}(-y - 2\lambda y') = 2-y' + y' + 2\lambda y'' = 2 + 2\lambda y'' = 0</math> | |||
<math>y'' = \frac{-1}{\lambda}</math> | |||
<math>\frac{dy'}{dx} = \frac{-1}{\lambda}</math> | |||
<math>\int dy' = \int \frac{-1}{\lambda} dx</math> | |||
<math>y' = \frac{-x}{\lambda} + c_1</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\lambda} + c_1</math> | |||
<math>\int dy = \int \frac{-x}{\lambda} + c_1 dx</math> | |||
<math>y = \frac{-x^2}{2 \lambda} + c_1 x + c_2</math> | |||
Használjuk fel a kezdeti feltételeket! | |||
<math>y(0) = c_2 = 1</math> | |||
<math>y(1) = \frac{-1}{2 \lambda} + c_1 + 1 = 2</math> | |||
<math>c1 = 1 + \frac{1}{2 \lambda}</math> | |||
A <math>\lambda</math>-hoz ki kell számolni J(y)-t. | |||
<math>y = \frac{-x^2}{2 \lambda} + x + \frac{x}{2 \lambda} + 1</math> | |||
<math>y' = \frac{-x}{\lambda} + 1 + \frac{1}{2 \lambda}</math> | |||
<math>y'^2 = \frac{x^2}{\lambda^2} - \frac{2x}{\lambda} + 1 - \frac{2x}{2\lambda^2} + \frac{2}{2\lambda} + \frac{1}{4 \lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \left( x^2 - 2x\lambda + \lambda^2 - x + \lambda + \frac{1}{4} \right)</math> | |||
<math>\int_0^1 y'^2 = \frac{1}{\lambda^2} \left[ \frac{x^3}{3} - \lambda x^2 + \lambda^2 x - \frac{x^2}{2} + \lambda x + \frac{x}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{\lambda^2} \left( \frac{1}{3} - \lambda + \lambda^2 - \frac{1}{2} + \lambda + \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{1}{12\lambda^2} = \frac{13}{3}</math> | |||
<math>\lambda^2 = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}</math> | |||
<math>\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{40}}</math> | |||
Visszaírva y-ba: | |||
<math>y(x) = \mp \sqrt{10} x^2 + (1\pm\sqrt{10}) x + 1</math> | |||
}} | }} | ||