„Algoritmuselmélet - Vizsga, 2013.05.30.” változatai közötti eltérés
aNincs szerkesztési összefoglaló |
|||
| (29 közbenső módosítás, amit 4 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
{{Vissza|Algoritmuselmélet}} | |||
==2013.06.06. vizsga megoldásai== | ==2013.06.06. vizsga megoldásai== | ||
===1. Feladat=== | ===1. Feladat=== | ||
Ebben a feladatban a Floyd algoritmussal kapcsolatos kérdésekre kell válaszolnia. (A Floyd-algoritmus egy grában minden pontpárra meghatározza a köztük levő legrövidebb út hosszát.) | |||
'''(a)''' Mit jelöl az <math> F_k </math> mátrix <math> F_k[i,j] </math> eleme? | |||
'''(b)''' Hogyan kell kiszámolni az <math> F_{k-1} </math> mátrixból az <math> F_k </math> mátrixot? | |||
'''(c)''' Igazolja, hogy ez a kiszámítási mód helyes! | |||
'''(d)''' Mennyi a lépésszáma a '''(b)''' lépés egyszeri végrehajtásának? (A lépésszámot nem kell igazolni.) | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | |mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
'''a)''' <math> F_k[i,j] </math> azon <math> i \rightarrow j </math> utak legrövidebbjeinek a hosszát tartalmazza, amelyek közbülső pontjai <math>k</math>-nál nem nagyobb sorszámúak. ''(Magyarul: Az <math> F_k[i,j] </math> azt mondja meg, hogy <math>i</math>-ből <math>j</math>-be mennyi a legrövidebb út összsúlya, ha csak az első <math>k</math> darab csúcsot használtuk.)'' | |||
'''b)''' <math> F_k[i,j]:=min\left \{ F_{k-1}[i,k]+F_{k-1}[k,j],F_{k-1}[i,j]\right \} </math> ''<math>(</math>Vagyis vagy az <math> i \rightarrow k \rightarrow j </math> lesz a legrövidebb út, vagy "marad a régi" <math> i \rightarrow j .)</math>'' | |||
'''c)''' Tulajdonképpen az előzőből következik. Hiszen vagy nem változik az új csúccsal a legrövidebb út a 2 pont között <math> (i \rightarrow j) </math>, vagy ha igen, akkor az a <math> (i \rightarrow k) + (k \rightarrow j) </math> lesz az. | |||
'''d)''' <math> O(n^2) </math>. ''<math>(</math>Maga az algoritmus <math>O(n^3)</math>, de csúcsonként <math> O(n^2) </math>, vagyis <math> n \cdot O(n^2) = O(n^3) ).</math>'' | |||
}} | }} | ||
===2. Feladat=== | ===2. Feladat (Van megoldás)=== | ||
Adja meg a 2-3 fa definícióját! Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is! | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | |mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
'''Adja meg a 2-3 fa definícióját!''' | |||
*Elemeket csak a levelekben tárolunk. | |||
*Az elemek balról jobbra növekvő sorrendben állnak. | |||
*Minden belső csúcsnak 2, vagy 3 fia lehet, se több, se kevesebb. ''(Kivéve, ha csak 1 elemet tárolunk a fában, mert akkor a gyökérnek csak 1 fia van.)'' | |||
*A fa levelei a gyökértől egyenlő távolságra vannak (vagyis a levelek 1 szinten vannak). | |||
*A belső csúcsokban mutatókat (M) és 1, vagy 2 kulcsot (S) tárolunk. | |||
**Ha a csúcsnak 2 fia van, akkor 2 mutatót, és egy kulcsot tárol. [[File:Algel vizsga 2013tavasz V1 2 2fia.png|300px]] | |||
***A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1. | |||
***A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1). | |||
**Ha a csúcsnak 3 fia van, akkor 3 mutatót, és 2 kulcsot tárol. [[File:Algel_vizsga_2013tavasz_V1_2_3fia.png|400px]] | |||
***A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1. | |||
***A középső részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1), de kisebbek, mint S2. | |||
***A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S2 (vagyis az 1. elem S2). | |||
'''Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!''' | |||
<math>log_2n+1\leq m \leq log_3n+1</math>, ahol <math>m</math> a fa szintszáma. | |||
$$$ Ez nem pont fordítva van a dián? $$$ | |||
''Bizonyítás:'' | |||
*<math>log_2n+1\leq m</math> | |||
**Minden belső csúcsnak legalább 2 fia van, így az <math>i.</math> szinten legalább <math>2^{i-1}</math> csúcs van, tehát: <math>2^{m-1} \geq n \Rightarrow m-1 \geq log_2n \Rightarrow m \geq log_2n+1</math> | |||
*<math>m\leq log_3n+1</math> | |||
**Minden belső csúcsnak maximum 3 fia van, így az <math>i.</math> szinten maximum <math>3^{i-1}</math> csúcs van, tehát: <math>3^{m-1} \leq n \Rightarrow m-1 \leq log_3n \Rightarrow m \leq log_3n+1</math> | |||
}} | }} | ||
| 27. sor: | 67. sor: | ||
}} | }} | ||
===4. Feladat=== | ===4. Feladat (Van megoldás)=== | ||
Van egy tábla <math> (n</math> <big>x</big> <math>m</math> kockákból álló<math> ) </math>. Az <math> A </math> <math> n</math> <big>x</big> <math>m</math>-es mátrixban adott, hogy az egyes kockákban hány mogyoró van (a mogyorók nem lógnak át egyik kockából a másikba). Két gyerek akar osztozkodni a csokin, úgy, hogy a csokit kéfelé törik (egyenes vonal mentén, párhuzamosan a tábla valamelyik szélével). Egy osztkozkodás igazságtalansági faktorát a következőképpen kaphatjuk: ha az egyik darabban <math> k_1 </math> kocka csoki, és <math> m_1 </math> darab mogyoró van, a másikban pedig <math> k_2 </math> kocka csoki és <math> m_2 </math> darab mogyoró, akkor az igazságtalansági faktor <math> \left | \left ( k_1+m_1 \right ) -(k_2+m_2)\right | </math>. Adjon <math> O(nm) </math> lépést használó algoritmust, ami eldönti, hogy melyik szétosztásnak a legkisebb az igazságtalansági faktora. (Egy lépésnek számít, ha kiolvasunk egy értéket az <math> A </math> mátrixból vagy ha összeadást, illetve kivonást hajtunk végre két számon.) | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | |mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
[[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_csoki.PNG|200px]] | |||
*Hozzunk létre egy <math> n </math> elemű <math> TN </math> tömböt, ahol az <math> i. </math> cellában az szerepel, hogy az <math> A </math> mátrix annyiadik oszlopában mennyi a <math> k+m </math>. ''(ez <math> n*m </math> kiolvasás, és <math> n*(m-1) </math> összeadás, vagyis <math> \Rightarrow O(nm) </math>. | |||
*Hozzunk létre egy <math> m </math> elemű <math> TM </math> tömböt, ahol az <math> i. </math> cellában az szerepel, hogy az <math> A </math> mátrix annyiadik sorában mennyi a <math> k+m </math>. ''(ez <math> m*n </math> kiolvasás, és <math> m*(n-1) </math> összeadás, vagyis <math> \Rightarrow O(nm) </math>. | |||
[[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_tn_tm.PNG|200px]] | |||
*Hozzunk létre egy <math> (n-1) </math> x <math> 2 </math>-es <math> N </math> tömböt, ahol az 1. sorban balról jobbra nézzük, mennyi a <math> k+m </math>, a 2. sorban pedig jobbról balra. ''<math>(</math>1. sor a <math> (k_1+m_1) </math>, 2. sor pedig a hozzá tartozó <math> (k_2+m_2) .)</math> | |||
**<math>N[1,1]= TN[1] </math> majd <math>N[i,1]= N[i-1,1]+TN[i] , i=2...(n-1)</math>. | |||
**<math>N[1,2]= \sum_{i=2}^{n}TN[i] </math> majd <math>N[i,2]= N[i-1,2]-TN[i] , i=2...(n-1)</math>. | |||
*Hozzunk létre egy <math> (m-1) </math> x <math> 2 </math>-es <math> M </math> tömböt, ahol az 1. sorban fentről lefele nézzük, mennyi a <math> k+m </math>, a 2. sorban pedig alulról felfele. ''<math>(</math>1. sor a <math> (k_1+m_1) </math>, 2. sor pedig a hozzá tartozó <math> (k_2+m_2) .)</math> | |||
**<math>M[1,1]= TM[1] </math> majd <math>M[i,1]= M[i-1,1]+TM[i] , i=2...(m-1)</math>. | |||
**<math>M[1,2]= \sum_{i=2}^{m}TM[i] </math> majd <math>M[i,2]= M[i-1,2]-TM[i] , i=2...(m-1)</math>. | |||
[[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_N_M.PNG|200px]] | |||
*Az <math> N </math> és <math> M </math> tömbök létrehozása <math> O(n) </math> és <math> O(m) </math> lépést igényel. | |||
*Nincs is más dolgunk, mint végigmenni az <math> N </math> és <math> M </math> tömbökön úgy, hogy az <math> i. </math> oszlopban vesszük a 2 szám különbségének abszolút értékét, vagyis az igazságtalansági faktort számoljuk, és mindig elmentjük egy változóba a minimumot, és a ehhez tartozó törésvonalat. Ez is <math> O(n) </math> és <math> O(m) </math> lépés. | |||
*Összesen tehát <math> O(nm)+O(nm)+O(n)+O(m)+O(n)+O(m)=O(nm) </math> lépéssel megoldottuk a feladatot. | |||
:::::[[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_1.PNG|400px]] [[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_2.PNG|400px]] | |||
}} | }} | ||
===5. Feladat=== | ===5. Feladat (Van megoldás)=== | ||
Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy <math> T(n) = T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2)</math> és tudjuk azt is, hogy <math> T(1)=T(2)=T(3)=1</math>. Bizonyítsa be, hogy <math> T(n)=O(n^2)</math>. | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | |mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
Van olyan <math> c > 0</math> és <math> n_0</math>, hogy <math> n>n_0</math> esetén | |||
<math> T(n)=T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+O(n^2) \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+cn^2 \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{16} \right \rfloor\right)+c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)\right) \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{64} \right \rfloor\right) + c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)+\left(\frac{n^2}{16^2} \right)\right) \leq \dots </math> | |||
<math> \dots \leq 1+cn^2\cdot\left(\sum_{i=0}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor} \left (\frac{1}{16} \right )^i\right)</math> | |||
Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:<br> | |||
<math>\sum_{i=0}^{k} r^i = \frac{1-r^{k+1}} {1-r} </math>, ahol <math> k = \left \lfloor log_4n \right \rfloor, r = \frac{1}{16}</math>, vagyis <math>\frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}}</math><br> | |||
<math>\frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}} < 2 ,</math><big>ha</big> <math> n \geq 1</math> ''(A lényeg, hogy felülről becsüljük!)'' | |||
Tehát <math> T(n) = \dots \leq 1+2 \cdot cn^2=O(n^2)</math> | |||
}} | }} | ||
===6. Feladat=== | ===6. Feladat (Van megoldás)=== | ||
Egy ország ''n'' kis szigetből áll. Szeretnénk néhány hajójáratot indítani a szigetek között úgy, hogy bárhonnan bárhova el lehessen jutni (esetleg átszállással). Ehhez ismerjük bármely két szigetre, hogy mennyibe kerül egy évben a hajójárat fenntartása közöttük, illetve azt, hogy mekkora az itt várható éves bevétel. Adjon algoritmust, ami ezen adatok ismeretében <math>O(n^2)</math> időben meghatározza, hogy hol indítsuk el a hajójáratokat, ha a lehető legnagyobb várható éves hasznot (vagy a lehető legkisebb veszteséget) szeretnénk elérni. (Egy szigeten egy hajóállomás van csak). | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | |mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
*Első lépésben az élsúly legyen a <math> Profit = -(Bevetel - Kiadas) .</math> | |||
*Vegyük fel az összes profitot termelő, vagy legalábbis veszteséget nem termelő éleket <math> (Profit \geq 0 )</math> <math> \Rightarrow O(n^2) </math> lépés. Ez legyen mondjuk a G gráf. | |||
*Két eshetőség áll fenn: | |||
**Ha a G gráf összefüggő, akkor jók is vagyunk, nincs további teendőnk, meg is vagyunk. | |||
**Ha nem összefüggő, akkor: | |||
***Az egyes komponenseket tekintsük egy pontnak. Minden olyan él, ami ebbe a komponensbe megy, menjen ebbe a pontba. Így kapunk egy F gráfot. | |||
***Erre az F gráfra hívunk meg egy Prim-algoritmust, ami <math> O(n^2) </math> időben keres az F gráfban egy minimális feszítőfát ''(vagyis a komponenseket - ami most jelenleg 1-1 pont a gráfban - a lehető legkisebb költségű élekkel köti össze)''. | |||
*Tehát Prim-algoritmussal, vagy anélkül <math> O(n^2) </math> időben megmondjuk, hogy mely hajójáratok indításával lesz az évi bevétel a legmagasabb. | |||
}} | }} | ||
| 71. sor: | 144. sor: | ||
TODO | TODO | ||
}} | }} | ||
[[Kategória:Infoalap]] | |||
A lap jelenlegi, 2015. június 18., 18:22-kori változata
2013.06.06. vizsga megoldásai
1. Feladat
Ebben a feladatban a Floyd algoritmussal kapcsolatos kérdésekre kell válaszolnia. (A Floyd-algoritmus egy grában minden pontpárra meghatározza a köztük levő legrövidebb út hosszát.)
(a) Mit jelöl az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_k } mátrix Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_k[i,j] } eleme?
(b) Hogyan kell kiszámolni az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_{k-1} } mátrixból az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_k } mátrixot?
(c) Igazolja, hogy ez a kiszámítási mód helyes!
(d) Mennyi a lépésszáma a (b) lépés egyszeri végrehajtásának? (A lépésszámot nem kell igazolni.)
a) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_k[i,j] } azon Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i \rightarrow j } utak legrövidebbjeinek a hosszát tartalmazza, amelyek közbülső pontjai Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k} -nál nem nagyobb sorszámúak. (Magyarul: Az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_k[i,j] } azt mondja meg, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i} -ből Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle j} -be mennyi a legrövidebb út összsúlya, ha csak az első Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k} darab csúcsot használtuk.)
b) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_k[i,j]:=min\left \{ F_{k-1}[i,k]+F_{k-1}[k,j],F_{k-1}[i,j]\right \} } Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (} Vagyis vagy az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i \rightarrow k \rightarrow j } lesz a legrövidebb út, vagy "marad a régi" Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i \rightarrow j .)}
c) Tulajdonképpen az előzőből következik. Hiszen vagy nem változik az új csúccsal a legrövidebb út a 2 pont között Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (i \rightarrow j) } , vagy ha igen, akkor az a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (i \rightarrow k) + (k \rightarrow j) } lesz az.
d) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(n^2) } . Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (} Maga az algoritmus Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(n^3)} , de csúcsonként Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(n^2) } , vagyis Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n \cdot O(n^2) = O(n^3) ).}2. Feladat (Van megoldás)
Adja meg a 2-3 fa definícióját! Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!
Adja meg a 2-3 fa definícióját!
- Elemeket csak a levelekben tárolunk.
- Az elemek balról jobbra növekvő sorrendben állnak.
- Minden belső csúcsnak 2, vagy 3 fia lehet, se több, se kevesebb. (Kivéve, ha csak 1 elemet tárolunk a fában, mert akkor a gyökérnek csak 1 fia van.)
- A fa levelei a gyökértől egyenlő távolságra vannak (vagyis a levelek 1 szinten vannak).
- A belső csúcsokban mutatókat (M) és 1, vagy 2 kulcsot (S) tárolunk.
- Ha a csúcsnak 2 fia van, akkor 2 mutatót, és egy kulcsot tárol.
- A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1.
- A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1).
- Ha a csúcsnak 3 fia van, akkor 3 mutatót, és 2 kulcsot tárol.
- A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1.
- A középső részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1), de kisebbek, mint S2.
- A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S2 (vagyis az 1. elem S2).
- Ha a csúcsnak 2 fia van, akkor 2 mutatót, és egy kulcsot tárol.
Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle log_2n+1\leq m \leq log_3n+1} , ahol Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m} a fa szintszáma.
$$$ Ez nem pont fordítva van a dián? $$$
Bizonyítás:
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle log_2n+1\leq m}
- Minden belső csúcsnak legalább 2 fia van, így az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i.} szinten legalább Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2^{i-1}} csúcs van, tehát: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2^{m-1} \geq n \Rightarrow m-1 \geq log_2n \Rightarrow m \geq log_2n+1}
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m\leq log_3n+1}
- Minden belső csúcsnak maximum 3 fia van, így az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i.} szinten maximum Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 3^{i-1}} csúcs van, tehát: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 3^{m-1} \leq n \Rightarrow m-1 \leq log_3n \Rightarrow m \leq log_3n+1}
3. Feladat
TODO
4. Feladat (Van megoldás)
Van egy tábla Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (n} x Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m} kockákból állóÉrtelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle ) } . Az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A } Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n} x Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m} -es mátrixban adott, hogy az egyes kockákban hány mogyoró van (a mogyorók nem lógnak át egyik kockából a másikba). Két gyerek akar osztozkodni a csokin, úgy, hogy a csokit kéfelé törik (egyenes vonal mentén, párhuzamosan a tábla valamelyik szélével). Egy osztkozkodás igazságtalansági faktorát a következőképpen kaphatjuk: ha az egyik darabban Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k_1 } kocka csoki, és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m_1 } darab mogyoró van, a másikban pedig Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k_2 } kocka csoki és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m_2 } darab mogyoró, akkor az igazságtalansági faktor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \left | \left ( k_1+m_1 \right ) -(k_2+m_2)\right | } . Adjon Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(nm) } lépést használó algoritmust, ami eldönti, hogy melyik szétosztásnak a legkisebb az igazságtalansági faktora. (Egy lépésnek számít, ha kiolvasunk egy értéket az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A } mátrixból vagy ha összeadást, illetve kivonást hajtunk végre két számon.)
- Hozzunk létre egy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n } elemű Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle TN } tömböt, ahol az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i. } cellában az szerepel, hogy az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A } mátrix annyiadik oszlopában mennyi a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k+m } . (ez kiolvasás, és összeadás, vagyis .
- Hozzunk létre egy elemű tömböt, ahol az cellában az szerepel, hogy az mátrix annyiadik sorában mennyi a . (ez kiolvasás, és összeadás, vagyis .
- Hozzunk létre egy x -es tömböt, ahol az 1. sorban balról jobbra nézzük, mennyi a , a 2. sorban pedig jobbról balra. 1. sor a , 2. sor pedig a hozzá tartozó
- majd .
- majd .
- Hozzunk létre egy x -es tömböt, ahol az 1. sorban fentről lefele nézzük, mennyi a , a 2. sorban pedig alulról felfele. 1. sor a , 2. sor pedig a hozzá tartozó
- majd .
- majd .
![{\displaystyle N[1,1]=TN[1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c61aa6b1ed26dc29d3dce17c9d5701065247bf)
![{\displaystyle N[i,1]=N[i-1,1]+TN[i],i=2...(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6f7c2dec790c1d068025f410e272cd89907037f)
![{\displaystyle N[1,2]=\sum _{i=2}^{n}TN[i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb2107aee9b2a4b9999fec480a86078ad401176)
![{\displaystyle N[i,2]=N[i-1,2]-TN[i],i=2...(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2e79155c488078ed73ee354e2a41a081ec1fe3)
![{\displaystyle M[1,1]=TM[1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917b8db8305ba31de6891309ac457c9e6fed0f13)
![{\displaystyle M[i,1]=M[i-1,1]+TM[i],i=2...(m-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7728cff4e7ef01acadb90d5f41e1c68997f5dc9)
![{\displaystyle M[1,2]=\sum _{i=2}^{m}TM[i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acfaec0b4cfe0135945cd6d902ae56af0162d577)
![{\displaystyle M[i,2]=M[i-1,2]-TM[i],i=2...(m-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e0671591daab8610d77cda1ed86450119651b5)
- Az és tömbök létrehozása és lépést igényel.
- Nincs is más dolgunk, mint végigmenni az és tömbökön úgy, hogy az oszlopban vesszük a 2 szám különbségének abszolút értékét, vagyis az igazságtalansági faktort számoljuk, és mindig elmentjük egy változóba a minimumot, és a ehhez tartozó törésvonalat. Ez is és lépés.
- Összesen tehát lépéssel megoldottuk a feladatot.
5. Feladat (Van megoldás)
Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy és tudjuk azt is, hogy . Bizonyítsa be, hogy .
Van olyan és , hogy esetén
Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:
, ahol , vagyis
ha (A lényeg, hogy felülről becsüljük!)
Tehát
6. Feladat (Van megoldás)
Egy ország n kis szigetből áll. Szeretnénk néhány hajójáratot indítani a szigetek között úgy, hogy bárhonnan bárhova el lehessen jutni (esetleg átszállással). Ehhez ismerjük bármely két szigetre, hogy mennyibe kerül egy évben a hajójárat fenntartása közöttük, illetve azt, hogy mekkora az itt várható éves bevétel. Adjon algoritmust, ami ezen adatok ismeretében időben meghatározza, hogy hol indítsuk el a hajójáratokat, ha a lehető legnagyobb várható éves hasznot (vagy a lehető legkisebb veszteséget) szeretnénk elérni. (Egy szigeten egy hajóállomás van csak).
- Első lépésben az élsúly legyen a
- Vegyük fel az összes profitot termelő, vagy legalábbis veszteséget nem termelő éleket lépés. Ez legyen mondjuk a G gráf.
- Két eshetőség áll fenn:
- Ha a G gráf összefüggő, akkor jók is vagyunk, nincs további teendőnk, meg is vagyunk.
- Ha nem összefüggő, akkor:
- Az egyes komponenseket tekintsük egy pontnak. Minden olyan él, ami ebbe a komponensbe megy, menjen ebbe a pontba. Így kapunk egy F gráfot.
- Erre az F gráfra hívunk meg egy Prim-algoritmust, ami időben keres az F gráfban egy minimális feszítőfát (vagyis a komponenseket - ami most jelenleg 1-1 pont a gráfban - a lehető legkisebb költségű élekkel köti össze).
- Tehát Prim-algoritmussal, vagy anélkül időben megmondjuk, hogy mely hajójáratok indításával lesz az évi bevétel a legmagasabb.
7. Feladat
TODO
8. Feladat
TODO
