VIK Wiki

„Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés
VizuálisWikiszöveges
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
a David14 átnevezte a(z) Matematika A4 - Régi ZH sorok megoldásokkal lapot a következő névre: Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH
Szikszayl (vitalap | szerkesztései)
4 274 szerkesztés
aNincs szerkesztési összefoglaló
 
(3 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
3. sor: 3. sor:
<div class="noautonum">__TOC__</div>
<div class="noautonum">__TOC__</div>


==2003/04 ősz 2. ZH==
==1. Feladat: ==
 
===1. Feladat: ===


Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?
Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?
41. sor: 39. sor:
}}
}}


===2. Feladat: ===
==2. Feladat: ==


Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!
Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!
49. sor: 47. sor:
|szöveg=  
|szöveg=  


<math> \varphi[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] </math>
<math> \varphi\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] </math>


:::<math> X=\sin\varphi </math>
:::<math> X=\sin\varphi </math>
61. sor: 59. sor:
}}
}}


===3. Feladat: ===
==3. Feladat: ==


Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?
Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?
69. sor: 67. sor:
|szöveg=  
|szöveg=  


====a) Kérdés====
'''a, Kérdés:'''


Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.
Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.
85. sor: 83. sor:
::: <math> P(X>Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x </math>
::: <math> P(X>Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x </math>


====a) Kérdés egyszerűbben====
 
'''a, Kérdés egyszerűbben'''
 


:::<math> P(RND1^2>RND2^3)=P(RND1>RND2^{\frac{3}{2}})= </math>
:::<math> P(RND1^2>RND2^3)=P(RND1>RND2^{\frac{3}{2}})= </math>
99. sor: 99. sor:
görbe alatti terület számítására.
görbe alatti terület számítására.


:::<math> =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{0}^1=\frac{3}{5} </math>
:::<math> =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=\left[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}\right]_{0}^1=\frac{3}{5} </math>
 
 
'''b, Kérdés:'''


====b) Kérdés====


<math> X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1) </math>  
<math> X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1) </math>  
117. sor: 119. sor:
}}
}}


==2005/06 ősz 2. ZH==
[[Kategória:Villamosmérnök]]
 
===1. Feladat: ===
 
Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?
 
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldások'''
|szöveg=
 
<math> X: RND1 </math>
 
<math> Y: RND2 </math> 
 
valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek
 
* Két eset lehetséges:
 
<math> X<Y-X<1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y>X </math>
 
<math> Y<X-Y<1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X>Y </math>
 
* Az első eset - <math> Y>X </math>
 
<math> P[(X<Y-X)\cap(Y-X<1-Y)]=P[(Y>2X)\cap(Y<\frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A) </math>
 
Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).
 
* Második eset - <math> X>Y </math>
 
A szimmetria miatt az első esetben számított terület <math> x=y </math>  tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.
 
Teljes megoldás: <math> P(...)=2*ter(A) </math>
 
}}
 
===2. Feladat: ===
 
Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!
 
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldások'''
|szöveg=
 
<math> X: \sqrt[3]{RND} </math>
 
<math> P(A<\sqrt[3]{RND}<B)=P(A^3<RND<B^3)=B^3-A^3=\int_{A}^B 3x^2 \mathrm{d}x </math>
 
<math> f(x)=3x^2\;\;\;\;\;0<x<1 </math>
 
<math> F(x)=\int_{0}^x 3x^2 \mathrm{d}x=[x^3]_{0}^x\;\;\;\;\;0<x<1 </math>
 
* Várható érték = első momentum
 
<math> E(x)=\int_{0}^1 x*3x^2 \mathrm{d}x=\frac{3}{4} </math>
 
 
Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:
 
<math> F(x)=P(X<x)=P(\sqrt[3]{RND}<x)=P(RND<x^3)=x^3\;\;\;\;\;0<x<1 </math>
 
<math> f(x)=F'(x)=3x^2\;\;\;\;\;0<x<1 </math>
 
}}
 
===3. Feladat: ===
 
Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)
 
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldások'''
|szöveg=
 
<math> X= </math> ahány balkezes
 
Binomiális eloszlás
 
<math> p=0,4 </math>
 
<math> n=2400 </math>
 
Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.
 
<math> m=p*n=960 </math>
 
<math> \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=24 </math>
 
<math> P(0.39<\frac{x}{2400}<0.41)=P(936<x<984)= </math>
 
<math> = P(\frac{936-960}{24}<\frac{x-960}{24}<\frac{984-960}{24})=  </math>
 
<math> =  \phi(1)-\phi(-1)=68 \% </math>
 
}}
 
[[Category:Villanyalap]]
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/Matematika_A4_-_2003/04_ősz_2._ZH”