VIK Wiki

„Szabályozástechnika - Laborjegyzetek” változatai közötti eltérés

VizuálisWikiszöveges
Harapeti (vitalap | szerkesztései)
746 szerkesztés
lap létrehozása (először csak 3. labor jegyzetét töltöm fel)
 
Szikszayl (vitalap | szerkesztései)
4 274 szerkesztés
aNincs szerkesztési összefoglaló
 
(3 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
178. sor: 178. sor:


== 4. labor ==
== 4. labor ==
2010-10-20 - 4. Labor
Most stabil folyamatokhoz (P) akarunk szabályózt (C) tervezni, úgy hogy a P gyorsabb meg ilyesmibb legyen. A PID szabályzó elég a nem kritikus dolgokhoz: szoba hőmérséklet például)
Ez a rész a gyakban használható.
L = C*Pc=?
PID = Proportional (arányos tag), D.. (deriváló tag), I.. (integráló tag)
P -> (5) => 5*e (e=hiba)
D -> a hibajel tendenciájának megfelelően "előredolgozik", így ha hirtelen váltásvan a hibajelben, akkor gyorsabban reagál
I -> kiintegrálja a hibajelet. Megnézi a múltban mennyi votl a hiba. Megakadájozza, hogy offsettel álljon be a kimenet. Ez azét van mert egy idő után nem reagálna a rendszer az akkorra már túl kis arányos tag miatt.
P (arányos) tag csinálás:
P=k (k konstans)
D (deriváló) tag csinálás:
  Y(s) = H(s)*U(s)
  D(s)=(s-Kd)/1  <-- ilyet nem tudunk csinálni, mert a számlálónak legalább annyinak kéne lennie mint a nevezőnek
        s*Kd
  D(s)=--------  <-- közelítő deriváló tag
        1+s*Tn
Matlab:
  s=tf('s')
  C=1+s*10
Transfer function:
10 s + 1
Matlab:
  step(C)
  % hiba... ??? Error using ==> rfinputs
  % Not supported for non-proper models.
                s*Ks          1+s*Tn + n*K1        1+s*Tn
  PD(s) = 1 + ---------- = ------------------ ~ ----------------
                1+s*Tn        1+s*Tn              1+s* (Td/n)
n1=3/2  n2=5
Matlab:
  C1= (1+3*s)/(1+2*s)
  Transfer function:
  3 s + 1
  -------
  2 s + 1
 
  C2=(1+s*10)/(1+2*s)
 
  Transfer function:
  10 s + 1
  --------
  2 s + 1
 
  figure(1), step(C1, 'b', C2, 'r')
  figure(2), bode(C1, 'b', C2, 'r')
Az n paraméterrel tetszőlegesen választható meg a pólus.
Integráló szabályozó:
                              1+s*Ti
  PI: 1+1/s*k = 1+1/(s*Ti) = --------
                              s*Ti
k: mennyire büntetjük a hibát
Matlab:
  C3=1+1/(s*2)
  Transfer function:
  2 s + 1
  -------
    2 s
  step(C3)
Együttes PID szabályozó:
              1+s*Ti        1+s*Td
  PID = k * ---------- * ---------------
              s*Ti          1+s*(Ts/m)
Matlab:
  P=1/((1+10*s)*(1+s)*(1+0.2*s))
  Transfer function:
                1
  -----------------------------
  2 s^3 + 12.2 s^2 + 11.2 s + 1
  step(P)
kb 50mp alatt áll be oda ahova szeretne ez a P folyamat.
p1 = -1
p2=-5
Az, hogy milyen gyorsan áll be, attól függ, hogy milyen messze vannak a pólusok az origótól. Ha közel van, lassabban áll be.
e^(p^i*t) -> e^(-t)=1/e^(t)
Azt szeretnénk, ha a pólusok minél nagyobbak és negatívak lennének.
Megválasztható paraméterek a PID szabályzóban: k, Ti, Td, n
Ti és Td (integráló és deriváló időállandók) megválasztásával kiüthetjük a nem tetsző, lassító pólusokat.
Azt szeretjük, ha a nevező 1+T*s alakú, mert ebből leolvasható az időállandó.
Akkor van baj, ha a T számok nagyok, mert akkor lesz a rendszer lassú.
Matlab:
  n = 1; k = 1; Ti=10; Td = 1;
  C=k*(1+s*Ti)/(s*Ti)*(1+s*Td)/(1+s*Td/n)
  Transfer function:
  10 s^2 + 11 s + 1
  -----------------
    10 s^2 + 10 s
  L=C*P
Transfer function:
              10 s^2 + 11 s + 1
  -------------------------------------------
  20 s^5 + 142 s^4 + 234 s^3 + 122 s^2 + 10 s
  L=zpk(L)
  Zero/pole/gain:
    0.5 (s+1) (s+0.1)
  -----------------------
  s (s+5) (s+1)^2 (s+0.1)
  L=minreal(L)        % leegyszerűsíti a törtet
  Zero/pole/gain:
      0.5
  -------------
  s (s+5) (s+1)
  T=L/(1+L)      % negatívan visszacsatoljuk
  Zero/pole/gain:
                0.5 s (s+5) (s+1)
  ---------------------------------------------
  s (s+5) (s+5.025) (s+1) (s+0.8595) (s+0.1158)
  figure(2), step(T)
  n =
      2
  C=k*(1+s*Ti)....      % újra számoljuk
  Transfer function:
  10 s^2 + 11 s + 1
  -----------------
    5 s^2 + 10 s
  L=C*P                    % újra számoljuk
  Transfer function:
              10 s^2 + 11 s + 1
  ------------------------------------------
  10 s^5 + 81 s^4 + 178 s^3 + 117 s^2 + 10 s
  T=L/(1+L)      % újra számoljuk
  Transfer function:
 
    100 s^7 + 920 s^6 + 2681 s^5 + 3209 s^4 + 1565 s^3 + 227 s^2 + 10 s
  -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
  100 s^10 + 1620 s^9 + 10121 s^8 + 31276 s^7 + 51758 s^6 + 45953 s^5 + 20458 s^4 + 3905 s^3 + 327 s^2 + 10 s
  [gr,pm,wg,wc]=margin(L)
  gr =
    70.0000  % erősítési tartalék --> ha 70x-re erősítjük, akkor is stabil marad (tip.nem kell)
 
  pm =        % fázistartalék (ez lesz érdekes)
    85.9980
 
  wg =
    3.1623
  wc =
      0.0998
  [mag, phase, w] = bode(L);
  g = margin(mag, phase-60, w) % ha csak egy paramétert adunk meg visszatérésnek a marginnak, akkor csak az elsőt adja vissza
  g = % ez az erősítési tartalék!
      8.3651
  k=g;
  C=k*(1+s*Ti)...      % újra számoljuk
  Transfer function:
  83.65 s^2 + 92.02 s + 8.365
  ---------------------------
        5 s^2 + 10 s
  L=C*P % újra számoljuk
  Transfer function:
        83.65 s^2 + 92.02 s + 8.365
  ------------------------------------------
  10 s^5 + 81 s^4 + 178 s^3 + 117 s^2 + 10 s
  T=L/(1+L)      % újra számoljuk a negatív visszacsatolást
  Transfer function: 
  836.5 s^7 + 7696 s^6 + 2.243e004 s^5 + 2.684e004 s^4 + 1.309e004 s^3 + 1899 s^2 + 83.65 s 
  -------------------------------------------------------------------------------------------
  100 s^10 + 1620 s^9 + 10121 s^8 + 3.201e004 s^7 + 5.853e004 s^6 + 6.57e004 s^5 + 4.409e004 s^4 + 1.543e004 s^3 + 1999 s^2 + 83.65 s
  step(T)
Ez már sokkal gyorsabban beáll.
A k-t minél nagyobbra állítjuk annál gyorsabb lesz a rendszer, de ezzel együtt a beavatkozó jelek is megnőnek, ami nem jó ha korlátozni kell a beavatkozó jeleket. Azt fogjuk csinálni az egész félévben, hogy a k-t úgy választjuk meg, hogy maradjon meg a 60 foknyi fázistartalék, mert az nekünk valamiért marha jó lesz.
A tervezésnek mindig az a szempontja, hogy a legnagyobb időállandót mindig az integráló tagban kell elsütni. Ebből: Ti = a legnagyobb T, Td = a második T, n = 2..15 (ha n nagy, nagy a beavatkozó jel, ha n kicsi, lassabb rendszer)
Ha nem kell deriváló tag (PI szabályozó kell), akkor eldobjuk a szabályozó képletéből a második törtet, azt jóvan.
Ha nem kell integráló tag (PD szabályozó kell), akkor fordítva hadjuk el, viszont ilyenkor a második legnagyobb T lesz a Td (ez amúgy ugye a Ti lenne ha lenne integráló tag)
(A PID szabályózóval lehet pénzt is keresni...)
Állapotegyenletesdi:
x'= A*x + B*u
y = C*x + D*u
Matlab:
  P=6/((s+1)*(s+2)*(s+3))
  Transfer function:
            6
  ----------------------
  s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6
  P=ss(P)  % a P átviteli fv-t áttranszformálja állapot mátrixokra
  a =
            x1    x2    x3
    x1    -6  -2.75  -1.5
    x2      4      0      0
    x3      0      1      0
 
  b =
        u1
    x1  1
    x2  0
    x3  0
 
 
  c =
          x1  x2  x3
    y1    0    0  1.5
 
 
  d =
        u1
    y1  0
 
  Continuous-time model.
Olyan átviteli függvény kéne, ami a köv. pólusokat tudja:
  Pk = [-6 ; -4+i*4 ; -4-i*4]
  Pk =
 
    -6.0000         
    -4.0000 + 4.0000i
    -4.0000 - 4.0000i
  k=acker(P.a, P.b, Pk)
  k =
      8.0000  17.2500  46.5000 % ezzel a vektorral elvileg az előbbi pólusokat kapnánk
x' = A*x + B(u-K^T*x)
alfa=(a-B*K^T)*x + B*u
Matlab:
  A1 = P.a-P.b*k
  A1 =
    -14  -20  -48
      4    0    0
      0    1    0
  B1 = P.b
  B1 =
      1
      0
      0
  C1 = P.c
  C1 =
          0        0    1.5000
  D1 = P.d
  D1 =
      0
  P2 = ss(A1,B1,C1,D1)
  a =
          x1  x2  x3
    x1  -14  -20  -48
    x2    4    0    0
    x3    0    1    0
 
  b =
        u1
    x1  1
    x2  0
    x3  0
 
  c =
          x1  x2  x3
    y1    0    0  1.5 
 
  d =
        u1
    y1  0
 
  Continuous-time model.
  pzmap(P2)
Az új rendszer az előzőhöz képest torzít:
  lp=dcgain(P) % megnézi mennyi a statikus átvitele a  fv-nek (gyak az egységugrásra a váalsz)
  lp =
      1
  lp2=dcgain(P2)
  lp2 =
      0.0313
Kell egy kis korrekció, hogy a statikus erősítés ugyanaz legyen, mint volt:
  P3=lp/lp2*P2
  a =
          x1  x2  x3
    x1  -14  -20  -48
    x2    4    0    0
    x3    0    1    0
 
  b =
        u1
    x1  1
    x2  0
    x3  0
 
 
  c =
        x1  x2  x3
    y1  0  0  48
 
 
  d =
        u1
    y1  0
 
  Continuous-time model.
  step(P,'r',P2,'b',P3,'g')


== 5. labor ==
== 5. labor ==
2010.11.03
Nulladrendű tartószerv: két mintavételezés között konstansnak vesszük a jelet (a félév során mindenhol nulladrendű tartószervekkel fogunk dolgozni)
z-(Laplace-) transzformáltja egy jelnek:
int 0..inf y(t)*e^(-st)dt ahol z:= e^(-s)
így már ez sum k=0..inf y[k]*z^(-k) lett.
impulzus: sum k=0..inf y[k]*z^(-k) = y[0]*1 = 1
Y(s) = H(s) * U(s)
g(z): mintavételes ekvivalense a rendszernek
Y(z)=G(z)*U(z)
Y(z)=G(t)*1 ha impulzus gerjesztés van
A mintavételi idő változásával együtt változik majd a rendszer modellje  is.
y(0) = lim k->0 y(k*Ts) = lim z->inf k=inf vv(z)
y(inf)=lim k=inf y(k*Ts)=lim z->1 (1-z^(-1))*vv(z)
Mathlabban:
h(1) ==> c2d(H,Ts, 'zoh')  %zoh = zero order...
            () () ()
  H(s) = --------------------
          (s-p1)(s-p2)...
  p1~>z1=e^(p1*Ts)
  z=e^(p*Ts) = e^((a9i*n)Ts) = e^(a*Ts) * e^(i*b*Ts)
                                <=1        |..|=1
Stabilitási kritériumok:
FI: a pólusok legyenek negatívak
DI-stabilitás: a pólusok absz. értéke legyen negatív
              e^(-s)
  P(s) = ------------------
          (1+10s)(1+5s)
z=e^(s*Ts) => y^(-k)
Matlabbal hogyan kell megetetni:
  s=tf('s')
 
  % Transfer function:
  % s
  Pp=1/((1+10*s)*(1+5*s))
 
  % Transfer function:
  %        1
  % -----------------
  % 50 s^2 + 15 s + 1
 
  Gp=c2d(Pp,1) % 1 a mintavételi idő
 
  % Transfer function:
  % 0.009056 z + 0.008194
  % ----------------------
  % z^2 - 1.724 z + 0.7408
  % 
  % Sampling time: 1
 
  Gp=zpk(Gp) % hogy lássuk a zérusokat és pólusokat
 
  % Zero/pole/gain:
  % 0.0090559 (z+0.9048)
  % ---------------------
  % (z-0.9048) (z-0.8187)
  % 
  % Sampling time: 1
 
  z=tf('z',1)  % ez egy 1 mintavételi idejű diszkrét átviteli fv
 
  % Transfer function:
  % z
  % 
  % Sampling time: 1
 
  G=Gp/z
 
  % Zero/pole/gain:
  %  0.0090559 (z+0.9048)
  % -----------------------
  % z (z-0.9048) (z-0.8187)
  % 
  % Sampling time: 1
 
  step(Pp,Gp)  % legyen egy rajzon a két ugrásválasz
  step(Pp,Gp,G) % nézzük meg a holtidőt is
:    a holtidőt bele tudtuk tenni a folyamatba, úgy hogy majd szépen tudjuk kezelni is
            z-e^(-Ts/Ti)
  PI: A * ------------------
                z-1
            z - e^(-Ts/Td)          z - e^(-Ts/Td)
  PD: A * --------------------- = -----------------
            z-e^(u*(-Ts/Td))            z
              z-e^(-Ts/Ti)        z-e^(-eTs/Td)
  PID: A * ------------------ * ------------------
                z-1                    z
  C1=(z-0.9048)*(z-0.8187)/(z-1)/z  % a két konstans az előző zpk-ból van
 
  % Transfer function:
  % z^2 - 1.724 z + 0.7408
  % ----------------------
  %        z^2 - z
  % 
  % Sampling time: 1
 
  L1=C1*G    % a felnyitott kör átvitele
 
  % Zero/pole/gain:
  % 0.0090559 (z-0.9048) (z-0.8187) (z+0.9048)
  % ------------------------------------------
  %      z^2 (z-1) (z-0.9048) (z-0.8187)
  % 
  % Sampling time: 1
 
  [mag,phase,w] = bode(L1);     % megnézzük mennyi a fázis
  k=margin(mag,phase-60,w)        % lecsalunk a fázisból 60-at, mert kell nekünk
 
  k =
    15.4261
 
  C=k*C1
 
  % Transfer function:
  % 15.43 z^2 - 26.59 z + 11.43
  % ---------------------------
  %          z^2 - z
  % 
  % Sampling time: 1
 
  T=(C*G)/(1+C*G) % a zárt kör átvitele
 
  % Zero/pole/gain:
  % 
  % 0.1397 z^2 (z-0.9048) (z-0.9048) (z-0.8187) (z-0.8187) (z-1) (z+0.9048)
  % ------------------------------------------------------------------------
  % z^2 (z-1) (z-0.9048) (z-0.9048) (z-0.8187) (z-0.8187) (z+0.2656)       
  %                                                                       
  %                                                (z^2  - 1.266z + 0.4759)
  %                                                                       
  % 
  % Sampling time: 1
 
  step(T)
==== SMITH-prediktor ====
két átviteli fv. egyenlőségéből (C hullám és C...):
            C~
  C = --------------------
      1+(1-e^(-sTh))*C~*P+
ez a Smith-prediktor tervezési képlete.
        C~
  C=--------------------
    1+(1-z^(-k))*C~*G+
Példa:
          1        1
  P+ = ------- * -------
        1+10s    1+5s
  Gp=...
  C1=...
  L2=C1*Gp
 
  % Zero/pole/gain:
  % 0.0090559 (z-0.9048) (z-0.8187) (z+0.9048)
  % ------------------------------------------
  %      z (z-1) (z-0.9048) (z-0.8187)
  % 
  % Sampling time: 1
 
  [mag,phase,w]=bode(L2);
  k2=margin(mag,phase-60,w)
 
  % k2 =
  %  31.8911
 
  Ct=k2*C1
  %  Transfer function:
  %  31.89 z^2 - 54.96 z + 23.62
  %  ---------------------------
  %            z^2 - z
  % Sampling time: 1
 
  margin(Ct*Gp) % a diagrammot egyszercsak levágja. Itt van a határ frekvencia
 
  CS= Ct/(1+(1-z^(-1))*Ct*Gp) % Smith-prediktoros szabályzó
 
  % Zero/pole/gain:
  % 31.8911 z^2 (z-0.9048) (z-0.9048) (z-0.8187) (z-0.8187) (z-1)
  % -------------------------------------------------------------
  %  z (z-1)^2 (z-0.9048) (z-0.8187) (z^2  + 0.2888z + 0.2613)
  % 
  % Sampling time: 1
 
  TS=CS*G/(1+CS*G)
 
  % Zero/pole/gain:
  % 
  % 0.2888 z^4 (z-0.9048)^4 (z-0.8187)^4 (z-1)^3 (z+0.9048) (z^2  + 0.2888z + 0.2613)
  %                                                                                 
  % ---------------------------------------------------------------------------------
  %    z^3 (z-1)^3 (z-0.9048)^4 (z-0.8187)^4 (z-3.648e-008) (z+3.648e-008)   
  %                                                                           
  %                          (z^2  - 0.7113z + 0.2613) (z^2  + 0.2888z + 0.2613)
  %                                                                           
  % 
  % Sampling time: 1
 
  step(TS,T)    % ennek a kettőnek ugyanannak kéne lennie. Valszeg azért nem lett jó, mert egy helyen kézzel írtunk be egy számot 4 tizedesig, ami pontatlan. => majd küld egy mathlab szkriptet
Itt végeztünk az órai anyaggal, nézünk a házihoz egy kis szimulinket.
>> simulink
[[Category:Infoalap]]
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/Szabályozástechnika_-_Laborjegyzetek”