Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|TokiTetel25}} -- Zsófi - 2005.06.23. Kérdés: milyen feltételeket kell teljesítenie egy pontsorozatnak, hogy az ne leh…”

2012-10-21T20:24:29Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|TokiTetel25}} -- Zsófi - 2005.06.23. Kérdés: milyen feltételeket kell teljesítenie egy pontsorozatnak, hogy az ne leh…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|TokiTetel25}}

-- [[BendefyZsofia|Zsófi]] - 2005.06.23.

Kérdés: milyen feltételeket kell teljesítenie egy pontsorozatnak, hogy az ne lehessen más, mint Poisson?

Bevezettük mi is a kisordó jelölést: f(t)=o(t), ha lim(t->0) f(t)/t =0

//itt kicsit más, mint a jegyzet, ott a t helyén akármilyen g(t) fv. van, itt most a g(t)=t spec esetet néztük, de ez mindegy...

P(X(t)=0)=e^-lambda*t=

//érintővel felírva (az e^-lambda*t görbe érintője az 1-lambda*t egyenes (A (0,1) pontban érinti))
// hozzáadunk, levonunk (1-lambda*t)-t:

=1-lambda*t+[e^-lamda*t -(1-lambda*t)]

kérdés: az [e^-lamda*t -(1-lambda*t)] rész hogy viselkedik, ha t->0?

//Írjuk fel az e^-lambda*t Taylor-sorának első két (0. és 1.) tagját, a többit becsüljük felülről a Lagrange-féle hibataggal!

e^-lambda*t = 1 - lambda*t + lambda^2 * e^-lamda*kszhí(x)*(t^2/2)
ahol 0<=kszhí<=t

//Tehát ha ebbe ezt behelyettesítjük, kijön, hogy
[e^-lamda*t -(1-lambda*t)]= e^-lamda*kszhí(x)*(t^2/2)
Ha ezt elosztom t-vel, ez 0-hoz fog tartani, ha t->0. Tehát ennek a kifejezésnek az értéke o(t)

Ezt visszaírva a kiindulásiba:
P(X(t)=0) = e^-lambda*t = 1-lambda*t+[e^-lamda*t -(1-lambda*t)] = 1-lambda*t+o(t)

P(X(t)=1)-re ezt felhasználva:

P(X(t)=1) = lambda*t*e^-lambda*t = lamda*t (1-lambda*t+o(t)) =

= lambda*t + lamda^2*t^2 + lamda*t*o(t)

//osszuk végig tagonként t-vel tagonként (t->0) és nézzük meg, hogy viselkedik!

=lambda*t+o(t)

Ez a sűrűségi feltétel! (P(X(t)=1)=lambda*t+o(t)) szemléletesen: ha t kicsi, a vszínűség arányos az intervallum hosszával.

P(T>=2)=1-P(X(t)=1)-P(X(t)=0)=1-(1-lambda*t+o(t))-(lambda*t+o(t))= o(t)
Ez a ritkasági feltétel: annak a valószínűsége, hogy 2-nél több pont esik egy intervallumba, pici.

Ezek szükséges feltételek (ld. 3.4 tétel a jegyzetben), de bizonyos esetekben elégségesek is:

Tétel:
Ha X(t) pontfolyamatra teljesül:
1. a független növekményűség
2. a stacionárius növekményűség
3. a sűrűségi feltétel
4. a ritkasági feltétel,
akkor ez a pontfolyamat lambda intenzitású Poisson-folyamat.

Bizonyítás:

jelölés: Pk(t)=P(X(t)=k)
Erről akarjuk megmutatni, hogy egyenlő [(lamda*t)^k*e^-lamda*t]/k! //Poisson elo. k. tagja

Felírunk egy diffegyenletrendszert:
Pk(t+delta)=P(a [0,t+delta] intervallumba pontosan k db pont esik)=

//parkettázzuk ki egymást kizáró eseményekkel:

= SZUMMA(n=0-tól k-ig) P(X(t+delta)=k, X(t)=k-n))=

//(a második darabba pontosan n esik)

= SZUMMA(n=0-tól k-ig) P(X(t+delta)-X(t)=n, X(t)=n-k)

// a független növekményűség miatt ez a két növekmény független=>

= SZUMMA(n=0-tól k-ig) P(X(t+delta)-X(t)=n) * P(X(t)=n-k)

//Használjuk a stacionárius növekményt (a [t,t+delta] intervallumon ugyanaz a növekmény eloszlása, mint a [0, delta] intervallumon):

= SZUMMA(n=0-tól k-ig) Pn(delta) * Pk-n(t)

// az összeg első két tagja kiírva:

=P0(delta)*Pk(t) + P1(delta)*Pk-1(t)+ SZUMMA(n=2-től k-ig) Pn(delta) * Pk-n(t)

// sűrűségi&ritkasági feltételt alkalmazva:

= (1-lambda*delta+o(delta))*Pk(t) + (lamda*delta+o(delta))*Pk-1(t) + o(delta)

=(1-lambda*delta)*pk(t) + (lambda*delta)*Pk-1(t) +o(delta)

//Tehát az elejét és a végét megnézve itt tartunk:

Pk(t+delta)=(1-lambda*delta)*pk(t) + (lambda*delta)*Pk-1(t) +o(delta)

[Pk(t+delta)-Pk(t)]/delta = -lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t) + o(delta)/delta

// o(delta)/delta-> 0-hoz, ha delta tart 0-hoz, de az oda tart def szt.
=>

Pk'(t)= -lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t)

Ha k>=1 akkor érvényes.

k=0-ra

P0'(t)=-lambda*P0(t)

// jegyzetben részletesebben van leírva
Ennek a diffegyenletrendszernek egy megoldásrendszere van:

Pk'(t)= -lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t)

P0'(t)=-lambda*P0(t)

P0(t)=e^-lambda*t +c

(+Kezdeti feltétel: P0(0)=1)
Mekkora lehet a konstans(c)?
P0(0)=P(X(0)=0)=1

ez csak úgy lehet, ha c=0
=>P0(t)=e^-lambda*t

Baj, hogy ebbe: [Pk'(t)= -lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t)] pk és pk-1 is szerepel. Vezessünk be egy új függvényt:

Qk(t)=e^lambda*t*Pk(t) =>

Qk'(t)=lambda* e^lambda*t*Pk(t) + e^lambda*t *Pk'(t)=

=lambda*Qk(t) + e^lambda*t *(-lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t))=

=lambda*Qk(t) -lambda*Qk(t) + lambda*Qk-1(t)=

=lambda*Qk-1(t) !!!!!!!!!

Most rekurzíve megoldjuk:
Q0(t)=1
Q1'(t)=lambda => Q1(t)=lambda*t +c

//c=0 => P1(t)=lambda*t*e^-lambda*t

Sejtés (ill. amit szeretnénk,ahhoz hogy Pk Poisson-folyamat legyen)

Qk(t)=(lambda*t)^k/k!

Teljes indukcióval:
1. k=1-re ok
2. TFH k-1-ig ok
3. Nézzük meg k-ra:

Qk'(t)=lambda*Qk-1(t)=

// indukciós felt. miatt

=lambda*(lambda*t)^k/(k-1)! =>

Qk'(t)=lambda^k '''t^(k-1) /(k-1)!

// integráljuk mindkét oldalt!

Q(t)=lambda^k''' INT(t^(k-1)/(k-1)!

Q(t)=lamda^k*t^k/(k-1)! +c //c=0 a kezdeti feltétel miatt!

VÉGE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[[Category:Infoalap]]

TokiTetel25 - Laptörténet

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|TokiTetel25}} -- Zsófi - 2005.06.23. Kérdés: milyen feltételeket kell teljesítenie egy pontsorozatnak, hogy az ne leh…”