Tömegkiszolgálás - Házi feladatok 2004 - Laptörténet

Szikszayl, 2014. március 13., 12:53-n

2014-03-13T12:53:51Z

← Régebbi változat		A lap 2014. március 13., 14:53-kori változata
45. sor:		45. sor:
	Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a 8 közül 4 forrás 300 csomag/perc, 4 pedig 60 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat?		Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a 8 közül 4 forrás 300 csomag/perc, 4 pedig 60 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat?

	[[~~Category~~:~~InfoMsc~~]]		[[Kategória:Mérnök informatikus MSc]]

Szikszayl: Szikszayl átnevezte a(z) Tömegkiszolgálás házi feladatok - 2004 lapot a következő névre: Tömegkiszolgálás - Házi feladatok 2004

2014-02-25T17:28:39Z

Szikszayl átnevezte a(z) Tömegkiszolgálás házi feladatok - 2004 lapot a következő névre: Tömegkiszolgálás - Házi feladatok 2004

← Régebbi változat		A lap 2014. február 25., 19:28-kori változata
(Nincs különbség)

Szikszayl, 2014. február 25., 17:06-n

2014-02-25T17:06:38Z

← Régebbi változat		A lap 2014. február 25., 19:06-kori változata
1. sor:		1. sor:
			{{Vissza\|Tömegkiszolgálás}}

	==1. feladat==		==1. feladat==
	Egy részecske az origóból indulva mozog az (<i>x</i>,<i>y</i>)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_ irányú elmozdulása egy-egy egymástól független, a [-1,1] intervallumon egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változóval írható le. Az egyes lépései függetlenek a korábbi lépésektől. Átlagosan milyen messze jut el a részecske az origótól n lépés megtétele után, ha a távolságot négyzetes középértékben számoljuk?		Egy részecske az origóból indulva mozog az (<i>x</i>,<i>y</i>)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_ irányú elmozdulása egy-egy egymástól független, a [-1,1] intervallumon egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változóval írható le. Az egyes lépései függetlenek a korábbi lépésektől. Átlagosan milyen messze jut el a részecske az origótól n lépés megtétele után, ha a távolságot négyzetes középértékben számoljuk?

Szikszayl, 2014. február 25., 17:05-n

2014-02-25T17:05:39Z

← Régebbi változat		A lap 2014. február 25., 19:05-kori változata
4. sor:		4. sor:
	==2. feladat==		==2. feladat==
	[[File:toki_hf_2004_pokhalo.png]]		[[File:toki_hf_2004_pokhalo.png]]

	Az ábrán látható pókháló _L_ pontjába ragadt egy légy. A pók a _P_ pontból indul, és minden lépésben az aktuális pont szomszédai közül egyenletes eloszlás szerint választva halad tovább (függetlenül a korábbi választásaitól). Várhatóan hány lépésben fogja meg a pók a legyet?		Az ábrán látható pókháló _L_ pontjába ragadt egy légy. A pók a _P_ pontból indul, és minden lépésben az aktuális pont szomszédai közül egyenletes eloszlás szerint választva halad tovább (függetlenül a korábbi választásaitól). Várhatóan hány lépésben fogja meg a pók a legyet?

Szikszayl, 2014. február 25., 17:04-n

2014-02-25T17:04:58Z

← Régebbi változat		A lap 2014. február 25., 19:04-kori változata
1. sor:		1. sor:
	~~{{GlobalTemplate\|Infoalap\|ToKiHF2004}}~~


	==1. feladat==		==1. feladat==

	Egy részecske az origóból indulva mozog az (<i>x</i>,<i>y</i>)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_ irányú elmozdulása egy-egy egymástól független, a [-1,1] intervallumon egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változóval írható le. Az egyes lépései függetlenek a korábbi lépésektől. Átlagosan milyen messze jut el a részecske az origótól n lépés megtétele után, ha a távolságot négyzetes középértékben számoljuk?		Egy részecske az origóból indulva mozog az (<i>x</i>,<i>y</i>)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_ irányú elmozdulása egy-egy egymástól független, a [-1,1] intervallumon egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változóval írható le. Az egyes lépései függetlenek a korábbi lépésektől. Átlagosan milyen messze jut el a részecske az origótól n lépés megtétele után, ha a távolságot négyzetes középértékben számoljuk?

	~~===Megoldás===~~

	==2. feladat==		==2. feladat==
			[[File:toki_hf_2004_pokhalo.png]]
	~~{{InLineImageLink\|Infoalap\|ToKiHF2004\|pokhalo~~.png}}		Az ábrán látható pókháló _L_ pontjába ragadt egy légy. A pók a _P_ pontból indul, és minden lépésben az aktuális pont szomszédai közül egyenletes eloszlás szerint választva halad tovább (függetlenül a korábbi választásaitól). Várhatóan hány lépésben fogja meg a pók a legyet?
	Az ábrán látható pókháló _L_ pontjába ragadt egy légy. A pók a _P_ pontból
	indul, és minden lépésben az aktuális pont szomszédai közül egyenletes
	eloszlás szerint választva halad tovább (függetlenül a korábbi választásaitól).
	Várhatóan hány lépésben fogja meg a pók a legyet?

	~~===Megoldás===~~

	==3. feladat==		==3. feladat==

	Adott egy végtelen állapotú homogén Markov-lánc a {0,1,2,...} állapothalmazon az alábbi állapotátmeneti		Adott egy végtelen állapotú homogén Markov-lánc a {0,1,2,...} állapothalmazon az alábbi állapotátmeneti
	valószínűségekkel:		valószínűségekkel:
25. sor:		12. sor:

	Ha a láncot az <i>X</i><sub>0</sub>=0 állapotból indítjuk, mennyi lesz a <math> \lim\limits_{n\to\infty} P(X_n=0) </math> valószínűség értéke?		Ha a láncot az <i>X</i><sub>0</sub>=0 állapotból indítjuk, mennyi lesz a <math> \lim\limits_{n\to\infty} P(X_n=0) </math> valószínűség értéke?

	~~===Megoldás===~~

	==4. feladat==		==4. feladat==
			Bizonyítsd be, hogy egy homogén Markov-lánc akkor és csak akkor erősen stacionárius, ha azonos eloszlású.
	Bizonyítsd be, hogy egy homogén Markov-lánc akkor és csak akkor erősen stacionárius, ha azonos
	eloszlású.

	~~===Megoldás===~~

	==5. feladat==		==5. feladat==
			Vizsgáljunk egy _M_ forrásból és 2 kiszolgálóból álló rendszert. A források egymástól függetlenül, emlékezetmentesen generálnak igényeket, 1/2 valószínűséggel _A_ típusút, 1/2 valószínűséggel _B_ típusút
	Vizsgáljunk egy _M_ forrásból és 2 kiszolgálóból álló rendszert. A források egymástól függetlenül,		(melyeket mindegyikük a saját várakozási sorában FIFO módon sorbaállít). Az _A_ típusú igényeket csak az egyik, míg a _B_ típusúakat csak a másik kiszolgáló tudja kezelni; mindkettő egy-egy igénnyel végez időegységenként.
	emlékezetmentesen generálnak igényeket, 1/2 valószínűséggel _A_ típusút, 1/2 valószínűséggel _B_ típusút
	(melyeket mindegyikük a saját várakozási sorában FIFO módon sorbaállít). Az _A_ típusú igényeket
	csak az egyik, míg a _B_ típusúakat csak a másik kiszolgáló tudja kezelni; mindkettő egy-egy igénnyel
	végez időegységenként.
	* Stacionárius állapotban mekkora a rendszer áteresztőképessége, azaz hány igényt tud kiszolgálni időegységenként?		* Stacionárius állapotban mekkora a rendszer áteresztőképessége, azaz hány igényt tud kiszolgálni időegységenként?
	* <i>M</i>=2 forrás esetén hogyan változik a rendszer áteresztőképessége, ha a források nem egyenlő valószínűséggel generálják a kétféle igényt?		* <i>M</i>=2 forrás esetén hogyan változik a rendszer áteresztőképessége, ha a források nem egyenlő valószínűséggel generálják a kétféle igényt?

	~~===Megoldás===~~

	==6. feladat==		==6. feladat==

	Tekintsük az {<i>S<sub>n</sub></i>} (<i>n</i>≥0) szimmetrikus bolyongást, ahol a felfelé és a lefelé lépések valószínűsége egyaránt 1/2, és <i>S<sub>0</sub></i>=0. (Vagyis <math> S_n = \sum_{i=1}^n X_i </math>, ahol {<i>X<sub>n</sub></i>} független valószínűségi változók sorozata, melyek közös eloszlása <i>P</i>(<i>X<sub>n</sub></i>=1) = <i>P</i>(<i>X<sub>n</sub></i>=-1) = 1/2 <big>∀</big><i>n</i>≥1-re.) Legyen ''τ'' := min{<i>n</i>: <i>S<sub>n</sub></i>=2}, vagyis az a (minimális) lépésszám, amikor a bolyongás során először jutunk a kezdeti 0 állapotból a 2-be. Határozzuk meg a ''τ'' valószínűségi változó eloszlását generátorfüggvény segítségével!		Tekintsük az {<i>S<sub>n</sub></i>} (<i>n</i>≥0) szimmetrikus bolyongást, ahol a felfelé és a lefelé lépések valószínűsége egyaránt 1/2, és <i>S<sub>0</sub></i>=0. (Vagyis <math> S_n = \sum_{i=1}^n X_i </math>, ahol {<i>X<sub>n</sub></i>} független valószínűségi változók sorozata, melyek közös eloszlása <i>P</i>(<i>X<sub>n</sub></i>=1) = <i>P</i>(<i>X<sub>n</sub></i>=-1) = 1/2 <big>∀</big><i>n</i>≥1-re.) Legyen ''τ'' := min{<i>n</i>: <i>S<sub>n</sub></i>=2}, vagyis az a (minimális) lépésszám, amikor a bolyongás során először jutunk a kezdeti 0 állapotból a 2-be. Határozzuk meg a ''τ'' valószínűségi változó eloszlását generátorfüggvény segítségével!

	~~===Megoldás===~~

	==7. feladat==		==7. feladat==
			Egy egyirányú úton az autók ''λ'' paraméterű Poisson-folyamat szerint érkeznek. Egy gyalogos szeretne átjutni az egyik oldalról a másikra. Mivel az út jól belátható, csak akkor indul el, amikor biztosan tudja, hogy áthaladás közben nem érkezik autó. Átlagosan mennyi ideig kell várnia a gyalogosnak a biztonságos átjutásra, ha _v_ m/s sebességgel halad és az út _x_ méter széles? Mi a valószínűsége annak, hogy nem kényszerül várakozásra?
	Egy egyirányú úton az autók ''λ'' paraméterű Poisson-folyamat szerint érkeznek. Egy gyalogos szeretne
	átjutni az egyik oldalról a másikra. Mivel az út jól belátható, csak akkor indul el, amikor biztosan tudja, hogy áthaladás közben nem érkezik autó. Átlagosan mennyi ideig kell várnia a gyalogosnak a biztonságos átjutásra, ha _v_ m/s sebességgel halad és az út _x_ méter széles? Mi a valószínűsége annak, hogy nem kényszerül várakozásra?

	~~===Megoldás===~~

	==8. feladat==		==8. feladat==

	Két bolha ugrál egy négyzet csúcsain, egymástól függetlenül. Az egyik mindig pozitív körüljárási irányban halad, és az ugrásai között eltelt idő ''λ'' paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó szerinti. A másik pedig mindig negatív körüljárási irányban halad μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó által megadott időközönként ugorva. Mi a valószínűsége annak, hogy egy <i>t</i>>0 időpontban a négyzet azonos csúcsán áll a két bolha? A valószínűség zárt alakban való megadásához szükséges az alábbi két hatványsor ismerete:		Két bolha ugrál egy négyzet csúcsain, egymástól függetlenül. Az egyik mindig pozitív körüljárási irányban halad, és az ugrásai között eltelt idő ''λ'' paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó szerinti. A másik pedig mindig negatív körüljárási irányban halad μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó által megadott időközönként ugorva. Mi a valószínűsége annak, hogy egy <i>t</i>>0 időpontban a négyzet azonos csúcsán áll a két bolha? A valószínűség zárt alakban való megadásához szükséges az alábbi két hatványsor ismerete:

	<math> \cosh x = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \hspace{1em} \cos x = \sum_{i=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. </math>		<math> \cosh x = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \hspace{1em} \cos x = \sum_{i=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. </math>

	~~===Megoldás===~~

	==9. feladat==		==9. feladat==
			Egy távközlési társaság két város közötti digitális összeköttetés sebességét szeretné optimálisan méretezni. A felhasználók 30 hívás/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generálnak hívásokat, melyek hossza egymástól és a hívások között eltelt időtől teljesen független, exponenciális eloszlású 3 perc/hívás várható értékkel. Minden olyan hívást elveszettnek tekintünk, amely akkor érkezik, amikor az összeköttetés teljes kihasználtsággal üzemel ("az összes vonal foglalt"). Egy hívás 64 Kbit/sec sebességű digitális csatornát igényel. Milyen sebességű összeköttetést kell a társaságnak kiépítenie ahhoz, hogy a hívásoknak csak az 1%-a vesszen el? Hogyan változik a szükséges sebesség, ha az elveszett hívások arányát 0,1% alá akarjuk szorítani?
	Egy távközlési társaság két város közötti digitális összeköttetés sebességét szeretné optimálisan méretezni. A felhasználók 30 hívás/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generálnak hívásokat,
	melyek hossza egymástól és a hívások között eltelt időtől teljesen független, exponenciális eloszlású
	3 perc/hívás várható értékkel. Minden olyan hívást elveszettnek tekintünk, amely akkor érkezik,
	amikor az összeköttetés teljes kihasználtsággal üzemel (~~&bdquo;~~az összes vonal foglalt~~”~~). Egy hívás
	64 Kbit/sec sebességű digitális csatornát igényel. Milyen sebességű összeköttetést kell a társaságnak
	kiépítenie ahhoz, hogy a hívásoknak csak az 1%-a vesszen el? Hogyan változik a szükséges
	sebesség, ha az elveszett hívások arányát 0,1% alá akarjuk szorítani?

	~~===Megoldás===~~

	==10. feladat==		==10. feladat==

	Egy 64 Kbit/sec sebességű adatátviteli csatornán szeretnénk 8 (egymástól független) igényforrás csomagjait továbbítani. Minden forrás 180 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat. A csomagok hossza exponenciális eloszlású 1024 bit/csomag várható értékkel. Határozd meg a rendszerben tartózkodó csomagok átlagos számát és egy csomag átlagos késleltetését, ha		Egy 64 Kbit/sec sebességű adatátviteli csatornán szeretnénk 8 (egymástól független) igényforrás csomagjait továbbítani. Minden forrás 180 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat. A csomagok hossza exponenciális eloszlású 1024 bit/csomag várható értékkel. Határozd meg a rendszerben tartózkodó csomagok átlagos számát és egy csomag átlagos késleltetését, ha
	# a források időosztás szerint használják a csatornát;		# a források időosztás szerint használják a csatornát;
	# statisztikus multiplexálást (csomagkoncentrátort) alkalmazunk.		# statisztikus multiplexálást (csomagkoncentrátort) alkalmazunk.
	Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a 8 közül 4 forrás 300 csomag/perc, 4 pedig 60 csomag/perc		Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a 8 közül 4 forrás 300 csomag/perc, 4 pedig 60 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat?
	intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat?

	~~===Megoldás===~~

	~~-- [[PallosPeter\|Peti]] - 2006.11.21.~~


	[[Category:~~Infoalap~~]]		[[Category:InfoMsc]]

Szikszayl: Szikszayl átnevezte a(z) Töki házi feladatok, 2004 lapot a következő névre: Tömegkiszolgálás házi feladatok - 2004

2014-01-18T13:46:54Z

Szikszayl átnevezte a(z) Töki házi feladatok, 2004 lapot a következő névre: Tömegkiszolgálás házi feladatok - 2004

← Régebbi változat		A lap 2014. január 18., 15:46-kori változata
(Nincs különbség)

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|ToKiHF2004}} ==1. feladat== Egy részecske az origóból indulva mozog az (x,y)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_…”

2012-10-21T20:24:17Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|ToKiHF2004}} ==1. feladat== Egy részecske az origóból indulva mozog az (x,y)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|ToKiHF2004}}

==1. feladat==

Egy részecske az origóból indulva mozog az (x,y)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_ irányú elmozdulása egy-egy egymástól független, a [-1,1] intervallumon egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változóval írható le. Az egyes lépései függetlenek a korábbi lépésektől. Átlagosan milyen messze jut el a részecske az origótól n lépés megtétele után, ha a távolságot négyzetes középértékben számoljuk?

===Megoldás===

==2. feladat==

{{InLineImageLink|Infoalap|ToKiHF2004|pokhalo.png}}
Az ábrán látható pókháló _L_ pontjába ragadt egy légy. A pók a _P_ pontból
indul, és minden lépésben az aktuális pont szomszédai közül egyenletes
eloszlás szerint választva halad tovább (függetlenül a korábbi választásaitól).
Várhatóan hány lépésben fogja meg a pók a legyet?

===Megoldás===

==3. feladat==

Adott egy végtelen állapotú homogén Markov-lánc a {0,1,2,...} állapothalmazon az alábbi állapotátmeneti
valószínűségekkel:
<math> p_{01}=1, \; p_{i,i-1}+p_{i,i+1}=1, \; p_{i,i-1}=\left(\frac{i+1}{i}\right)^2 p_{i,i+1} \;\;\; (i\ge 1). </math>

Ha a láncot az X0=0 állapotból indítjuk, mennyi lesz a <math> \lim\limits_{n\to\infty} P(X_n=0) </math> valószínűség értéke?

===Megoldás===

==4. feladat==

Bizonyítsd be, hogy egy homogén Markov-lánc akkor és csak akkor erősen stacionárius, ha azonos
eloszlású.

===Megoldás===

==5. feladat==

Vizsgáljunk egy _M_ forrásból és 2 kiszolgálóból álló rendszert. A források egymástól függetlenül,
emlékezetmentesen generálnak igényeket, 1/2 valószínűséggel _A_ típusút, 1/2 valószínűséggel _B_ típusút
(melyeket mindegyikük a saját várakozási sorában FIFO módon sorbaállít). Az _A_ típusú igényeket
csak az egyik, míg a _B_ típusúakat csak a másik kiszolgáló tudja kezelni; mindkettő egy-egy igénnyel
végez időegységenként.
* Stacionárius állapotban mekkora a rendszer áteresztőképessége, azaz hány igényt tud kiszolgálni időegységenként?
* M=2 forrás esetén hogyan változik a rendszer áteresztőképessége, ha a források nem egyenlő valószínűséggel generálják a kétféle igényt?

===Megoldás===

==6. feladat==

Tekintsük az {Sn} (n≥0) szimmetrikus bolyongást, ahol a felfelé és a lefelé lépések valószínűsége egyaránt 1/2, és S0=0. (Vagyis <math> S_n = \sum_{i=1}^n X_i </math>, ahol {Xn} független valószínűségi változók sorozata, melyek közös eloszlása P(Xn=1) = P(Xn=-1) = 1/2 <big>∀</big>n≥1-re.) Legyen ''τ'' := min{n: Sn=2}, vagyis az a (minimális) lépésszám, amikor a bolyongás során először jutunk a kezdeti 0 állapotból a 2-be. Határozzuk meg a ''τ'' valószínűségi változó eloszlását generátorfüggvény segítségével!

===Megoldás===

==7. feladat==

Egy egyirányú úton az autók ''λ'' paraméterű Poisson-folyamat szerint érkeznek. Egy gyalogos szeretne
átjutni az egyik oldalról a másikra. Mivel az út jól belátható, csak akkor indul el, amikor biztosan tudja, hogy áthaladás közben nem érkezik autó. Átlagosan mennyi ideig kell várnia a gyalogosnak a biztonságos átjutásra, ha _v_ m/s sebességgel halad és az út _x_ méter széles? Mi a valószínűsége annak, hogy nem kényszerül várakozásra?

===Megoldás===

==8. feladat==

Két bolha ugrál egy négyzet csúcsain, egymástól függetlenül. Az egyik mindig pozitív körüljárási irányban halad, és az ugrásai között eltelt idő ''λ'' paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó szerinti. A másik pedig mindig negatív körüljárási irányban halad μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó által megadott időközönként ugorva. Mi a valószínűsége annak, hogy egy t>0 időpontban a négyzet azonos csúcsán áll a két bolha? A valószínűség zárt alakban való megadásához szükséges az alábbi két hatványsor ismerete:

<math> \cosh x = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \hspace{1em} \cos x = \sum_{i=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. </math>

===Megoldás===

==9. feladat==

Egy távközlési társaság két város közötti digitális összeköttetés sebességét szeretné optimálisan méretezni. A felhasználók 30 hívás/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generálnak hívásokat,
melyek hossza egymástól és a hívások között eltelt időtől teljesen független, exponenciális eloszlású
3 perc/hívás várható értékkel. Minden olyan hívást elveszettnek tekintünk, amely akkor érkezik,
amikor az összeköttetés teljes kihasználtsággal üzemel (&bdquo;az összes vonal foglalt”). Egy hívás
64 Kbit/sec sebességű digitális csatornát igényel. Milyen sebességű összeköttetést kell a társaságnak
kiépítenie ahhoz, hogy a hívásoknak csak az 1%-a vesszen el? Hogyan változik a szükséges
sebesség, ha az elveszett hívások arányát 0,1% alá akarjuk szorítani?

===Megoldás===

==10. feladat==

Egy 64 Kbit/sec sebességű adatátviteli csatornán szeretnénk 8 (egymástól független) igényforrás csomagjait továbbítani. Minden forrás 180 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat. A csomagok hossza exponenciális eloszlású 1024 bit/csomag várható értékkel. Határozd meg a rendszerben tartózkodó csomagok átlagos számát és egy csomag átlagos késleltetését, ha
# a források időosztás szerint használják a csatornát;
# statisztikus multiplexálást (csomagkoncentrátort) alkalmazunk.
Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a 8 közül 4 forrás 300 csomag/perc, 4 pedig 60 csomag/perc
intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat?

===Megoldás===

-- [[PallosPeter|Peti]] - 2006.11.21.

[[Category:Infoalap]]