Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz) - Laptörténet

Nagy Vilmos: /* Jelek állapotváltozós leírása */ FI jelek állapotváltozós leírása képletek

2017-09-26T12:37:41Z

Jelek állapotváltozós leírása: FI jelek állapotváltozós leírása képletek

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 26., 14:37-kori változata
262. sor:		262. sor:

	Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}		Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}

			=== Folytonos idejű jelek esetén ===
			==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
			Az így felírt rendszer impulzusválasza:

			<math>h(t) = d \cdot \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (\underline{c} \cdot e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} \cdot \underline{B})</math>

			<math>e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} = \sum_{i=1}^{N} e^{\lambda_i \cdot t} \cdot \underline{\underline{L_{i}}}</math>

Nagy Vilmos: /* Állapotváltozós leírás */ whitespace javítva a latex képletben

2017-09-26T12:33:56Z

Állapotváltozós leírás: whitespace javítva a latex képletben

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 26., 14:33-kori változata
220. sor:		220. sor:
	==== Állapotváltozós leírás ====		==== Állapotváltozós leírás ====
	Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:		Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
	* <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \ cdot u[k]</math>		* <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \cdot u[k]</math>
	* <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \ cdot u[k]</math>		* <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \cdot u[k]</math>

	Ennek így elsőre semmi értelme, de:		Ennek így elsőre semmi értelme, de:

Nagy Vilmos: /* Diszkrét idejű jelek esetén */ Harmadik előadás anyaga

2017-09-24T16:18:55Z

Diszkrét idejű jelek esetén: Harmadik előadás anyaga

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 24., 18:18-kori változata
218. sor:		218. sor:
	== Jelek állapotváltozós leírása ==		== Jelek állapotváltozós leírása ==
	=== Diszkrét idejű jelek esetén ===		=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
			==== Állapotváltozós leírás ====
	Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:		Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
	* <math>\~~vec~~{x[k+1]} = \~~vec~~{A} \cdot \~~vec~~{x[k]} + \~~vec~~{B} \ cdot u[k]</math>		* <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \ cdot u[k]</math>
	* <math>\~~vec~~{y[k]} = \~~vec~~{C} \cdot \~~vec~~{x[k]} + \~~vec~~{D} \ cdot u[k]</math>		* <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \ cdot u[k]</math>

	Ennek így elsőre semmi értelme, de:		Ennek így elsőre semmi értelme, de:
235. sor:		236. sor:
	* <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>		* <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>

	~~Kétszer kettes esetben az ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' vektorok~~ így ~~írhatóak fel~~:		==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
			Az így felírt rendszer impulzusválasza:

	* <math>A = \~~begin~~{~~amatrix~~}		<math>h[k] = d \cdot \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (\underline{c} \cdot \underline{\underline{A}}^{k-1} \cdot \underline{B})</math>
	A_{11} ~~& A_~~{12} \\
	A_{21} & A_{22} \\		===== Mátrix egyszerű hatványozása =====
	~~\end~~{~~amatrix~~}</math>		Ebből az <math>\underline{\underline{A}}^{k-1}</math> kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).
	* <math></math>
	* <math></math>		Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz):
	* <math></math>		<math>\sum_{i=0}^{k} {\lambda_{i}}^k \cdot \underline{\underline{L_i}}</math>

			Ahol az egyes <math>\underline{\underline{L_i}}</math>-k az ''A'' mátrix Lagrange mátrixai, míg a <math>\lambda_{i}</math>-k az ''A'' mátrix sajátértékei.

			A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk:
			<math>\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0</math>

			Azaz:
			<math>((A_{11} - \lambda) \cdot (A_{22} - \lambda)) - (A_{12} \cdot A_{21}) = 0</math>

			A Lagrange mátrix pedig általánosságban:
			<math>\underline{\underline{L_{i}}} = \prod_{p=1}^{N} \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_p \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_i - \lambda_p}</math>
			Konkrétabban:
			* <math>\underline{\underline{L_{1}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_2 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_1 - \lambda_2}</math>
			* <math>\underline{\underline{L_{2}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_1 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_2 - \lambda_1}</math>

			Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}

Nagy Vilmos: /* Jelek állapotváltozós leírása */ DI rendszer Latex teszt

2017-09-24T15:50:51Z

Jelek állapotváltozós leírása: DI rendszer Latex teszt

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 24., 17:50-kori változata
218. sor:		218. sor:
	== Jelek állapotváltozós leírása ==		== Jelek állapotváltozós leírása ==
	=== Diszkrét idejű jelek esetén ===		=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
			Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
			* <math>\vec{x[k+1]} = \vec{A} \cdot \vec{x[k]} + \vec{B} \ cdot u[k]</math>
			* <math>\vec{y[k]} = \vec{C} \cdot \vec{x[k]} + \vec{D} \ cdot u[k]</math>

			Ennek így elsőre semmi értelme, de:
			* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
			* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
			* és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.

			Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.

			Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:

			* <math>x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1]</math>
			* <math>x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1]</math>
			* <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>

			Kétszer kettes esetben az ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' vektorok így írhatóak fel:

			* <math>A = \begin{amatrix}
			A_{11} & A_{12} \\
			A_{21} & A_{22} \\
			\end{amatrix}</math>
			* <math></math>
			* <math></math>
			* <math></math>

Nagy Vilmos: /* Jelek felírása */

2017-09-24T15:38:12Z

Jelek felírása

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 24., 17:38-kori változata
215. sor:		215. sor:

	A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.		A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

			== Jelek állapotváltozós leírása ==
			=== Diszkrét idejű jelek esetén ===

Nagy Vilmos: megjegyzés a hibás képletekről.

2017-09-11T14:57:06Z

megjegyzés a hibás képletekről.

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 11., 16:57-kori változata
1. sor:		1. sor:
	~~'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]~~

	A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.		A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

6. sor:		4. sor:

	Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]		Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

			A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!

	== Megjegyzések magamnak ==		== Megjegyzések magamnak ==

Nagy Vilmos: /* Jelek felírása */ LTI folytonos válasz

2017-09-11T14:55:29Z

Jelek felírása: LTI folytonos válasz

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 11., 16:55-kori változata
203. sor:		203. sor:
	* <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math>		* <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math>
	* <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math>		* <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math>

			==== LTI rendszer válasza ====
			===== Nevezetes válaszok =====
			* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h(t)</math>
			* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

			===== Konvolúció =====
			Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:

			<math>y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau</math>

			A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

Nagy Vilmos: /* Egységimpulzus */ összefüggések az egységugrás és az egységimpulzus között

2017-09-11T14:51:52Z

Egységimpulzus: összefüggések az egységugrás és az egységimpulzus között

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 11., 16:51-kori változata
199. sor:		199. sor:
	* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math>		* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math>
	* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math>		* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math>

			Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:
			* <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math>
			* <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math>

Nagy Vilmos: /* Egységimpulzus */ tulajdonságokkal kiegészítve

2017-09-11T14:48:42Z

Egységimpulzus: tulajdonságokkal kiegészítve

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 11., 16:48-kori változata
195. sor:		195. sor:

	Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.		Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

			Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:
			* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math>
			* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math>

Nagy Vilmos: Latex képletek fix, dollár jelek eltüntetve.

2017-09-11T14:45:22Z

Latex képletek fix, dollár jelek eltüntetve.

← Régebbi változat		A lap 2017. szeptember 11., 16:45-kori változata
68. sor:		68. sor:
	* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés		* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
	* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek		* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
	* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k]</math>		* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k]</math>

	=== Gerjesztések, Válaszok száma ===		=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
81. sor:		81. sor:
	* Idő invariáns rendszereket.		* Idő invariáns rendszereket.

	A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k] \Rightarrow W$\left\{u[k-L]\right\}$ = y[k-L]</math>.		A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]</math>.

	=== Lineáris rendszerek ===		=== Lineáris rendszerek ===
	Igaz az alábbi összefüggés:		Igaz az alábbi összefüggés:

	<math>W$\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\}$ = c_a \cdot W$\left\{u_a[k]\right\}$ + c_b \cdot W$\left\{u_b[k]\right\}$</math>		<math>W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}</math>

	=== Memória mentes, vagy memóriás ===		=== Memória mentes, vagy memóriás ===
164. sor:		164. sor:
	Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:		Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

	* <math>y[k] = W$\left\{u[k]\right\}$</math>		* <math>y[k] = W\left\{u[k]\right\}</math>
	* <math>y[k] = W$\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}$</math>		* <math>y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}</math>
	* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W$\left\{\delta[k-i]\right\}$</math>		* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}</math>
	* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>		* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>