Hegyi Zsolt Gábor: /* Wiki szerkesztői pályázathoz */

2016-05-20T13:22:23Z

Wiki szerkesztői pályázathoz

← Régebbi változat		A lap 2016. május 20., 15:22-kori változata
1. sor:		1. sor:
	== Wiki szerkesztői pályázathoz ==		== Wiki szerkesztői pályázathoz ==

	~~- Lentebb található content~~		- Saját BSz1 jegyzet [http://vik.wiki/Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_I.#Vizsga belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek forráskódja]

	- Saját BSz1 jegyzet [http://vik.wiki/Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_I.#Vizsga belinkelve] és [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek forráskódja]

	- Saját BSz2 jegyzet [http://vik.wiki/index.php?title=Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_II.#Kidolgozott_t.C3.A9telek belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek forráskódja]		- Saját BSz2 jegyzet [http://vik.wiki/index.php?title=Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_II.#Kidolgozott_t.C3.A9telek belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek forráskódja]

	- Anal2 magic LaTeX (lentebb)		- Anal2 magic LaTeX (lentebb)


	= Anal2 magicjegyzet LaTeX-esitve =		= Anal2 magicjegyzet LaTeX-esitve =

Hegyi Zsolt Gábor, 2016. május 20., 13:21-n

2016-05-20T13:21:45Z

← Régebbi változat		A lap 2016. május 20., 15:21-kori változata
2. sor:		2. sor:

	- Lentebb található content		- Lentebb található content

	- Saját BSz1 jegyzet [http://vik.wiki/Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_I.#Vizsga belinkelve] és [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek forráskódja]		- Saját BSz1 jegyzet [http://vik.wiki/Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_I.#Vizsga belinkelve] és [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek forráskódja]

	- Saját BSz2 jegyzet [http://vik.wiki/index.php?title=Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_II.#Kidolgozott_t.C3.A9telek belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek forráskódja]		- Saját BSz2 jegyzet [http://vik.wiki/index.php?title=Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_II.#Kidolgozott_t.C3.A9telek belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek forráskódja]

	-~~---------------------------~~		- Anal2 magic LaTeX (lentebb)


	~~{{Vissza\|Analízis II.}}~~		= Anal2 magicjegyzet LaTeX-esitve =
	== Fontos ==		== Fontos ==
	Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte.		Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte.

Hegyi Zsolt Gábor: start

2015-06-18T08:50:55Z

start

Új lap

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte.
A jegyzet elolvasása a gyakorlást NEM helyettesíti.
Amennyiben hibát találsz ebben az összefoglalóban, akkor kérlek, hogy jelezd az egyik szerkesztőnek vagy javítsd ki a hibát.
Deriválttábla természetesen nem árt.

== Alapok ==
=== Azonosságok, amiket jó, ha tudsz ===
<math>sin^2(x) + cos^2(x) = 1</math> 
<math>cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1</math> 
<math>sin(2x) = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x)</math> 
<math>sin(x + y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x + y) = cos(x) \cdot cos(y) - sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sinh(a+b) = sinh(a) \cdot cosh(b) + cosh(a) \cdot sinh(b)</math> // sincos-cossin (h) 
<math>cosh(a+b) = cosh(a) \cdot cosh(b) + sinh(a) \cdot sinh(b)</math> // coscos-sinsin (h) 
<math>\lim_{x->0} \frac{x}{sin(x)} = 1</math> // Analízis 1.-ből 
<math>\lim_{x->0} \frac{sin(x)}{x} = 1</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{x->0} ( f(x) - f(x_{0}) ) / (x - x_{0})</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x->0} \frac{( f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) )}{\Delta x}</math> 
<math>cosh(x) = \frac{( e^{x} + e^{-x} )}{2}</math> 
<math>sinh(x) = \frac{( e^{x} - e^{-x} )}{2}</math> 
 

=== Derivalas ===
<math>f'(c \cdot x) = c \cdot f'(x)</math> // konstanssal szorzás 
<math>(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)</math> // összeadás 
<math>(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> // szorzás 
<math>(f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) )}{g^{2}(x)}</math> // osztás 
<math>f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math> // összetett függvény 
<math>(f^{-1})'(x) = \frac{1}{( f'( f^{-1}(x) ) )}</math> // inverz függvény 
 
Érintő egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) \cdot (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) \cdot fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ f^{a}(x) \cdot f'(x) dx = ( f(x)^{a + 1} ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' \cdot g dx = f \cdot g - ʃ f\cdotg' // parcialis integralas 
ʃ (a \cdot x + b) dx = F(a \cdot x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) \cdot f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K \cdot h(x) // itt a K = e^{C} ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) \cdot y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) \cdot y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K \cdot h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
y^{ia} = K \cdot h(x) + K(x) \cdot h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited y^{ia}-ba --> megkapod: y^{konkret} 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C \cdot e^{ʎ\cdotx} alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y^{(3)} + 2 \cdot y^{(2)} + y' = 0 
ʎ^{3} + 2 \cdot ʎ^{2} + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ \cdot ( ʎ^{2} + 2 \cdot ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ \cdot ( ʎ + 1 )^{2} = 0 
elso felebol ʎ^{1} = 0 
masodik felebol ʎ^{2} = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-1 \cdot x} + C3 \cdot x \cdot e^{-1 \cdot x} 
 
'''Pelda2:''' 
y^{(3)} + 4 \cdot y^{(2)} + 13 \cdot y' = 0 
ʎ^{3} + 4 \cdot ʎ^{2} + 13 \cdot ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ^{2} + 4 \cdot ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)^{2} + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ^{1} = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)^{2} 
-9^{1/2} = ʎ + 2 
-9^{1/2} - 2 = ʎ 
3\cdoti - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3\cdoti - 2 = ʎ 
 
y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot cos(3 \cdot x) + C3 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot sin(3 \cdot x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x} 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ^{1} = 5 
ʎ^{2} = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) \cdot (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ^{2} + 3 \cdot ʎ - 5 \cdot ʎ - 15 = 0 
ʎ^{2} - 2 \cdot ʎ - 15 = 0 
y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0 
y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{ʎ\cdotx} -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) 
b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) 
// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0 
a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, B^{i} ismeretlenek 
f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x} 
f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0} 
f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is! 
f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x) 
ʎ^{2} - 5 \cdot ʎ + 6 = 0 
ʎ^{1} = 2 
ʎ^{2} = 3 
y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} 
y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat y^{ip} \cdot= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 \cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x) 
-5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x) 
1 \cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A 
cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = e^{y + 2} - x 
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y^{(2)}-at kell megnezni: 
y^{(2)} > 0 --> lokalis minimum 
y^{(2)} < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2) 
ebbol: 
q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2} 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku 
q^{1} = 1 
q^{2} = 3 
ebbol:
f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n} 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k+1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1} 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|a^{n}|^{1/n} vagy | (a^{n} + 1) / a^{n} | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x^{2} van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x^{2} (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x^{2} <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt
\cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0
\cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0
\cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} )
\cdot a^{k} = 1 / pi \cdot ʃ^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot b^{k} = 1 / pi \cdot ʃ^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
\cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
\cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
\cdot ki kell integralni a fuggvenyt
\cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
\cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok 
f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) + f(x^{0},y^{0}) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f '^{x} = ....... = 0 
f '^{y} = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p^{1}(..,..) 
p^{2}(..,..) 
p^{3}(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)^{2} = ... 
 
4) 
f ''^{xx}(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
\cdot amikor az alakzat egy kor
\cdot amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz 
A tartomany alakja: 
\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
\cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
\cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
\cdot ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0)
\cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 \cdot i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4) 
sqrt(z^{2}) = -4 
z^{1} = 2 \cdot i 
z^{2} = -2 \cdot i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} + z^{2} esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi ) 
z = r \cdot cos( b ) 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r^{2} \cdot sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ? 
T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R^{2} 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2} 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
/z = x - i \cdot y // konjugalt 
|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|^{2} = z \cdot /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i} 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i} 
 
'''Hatvanyozas:''' 
z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u^{(2)}xx = v^{(2)}yx 
u^{(2)}yy = -v^{(2)}xy 
u^{(2)}xy = v^{(2)}yy 
u^{(2)}yx = -v^{(2)}xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u^{(2)}xx + u^{(2)}yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f^{(2)}xx f^{(2)}xy| 
|f^{(2)}yx f^{(2)}yy| 
|det| > 0 
Ha f^{(2)}xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f^{(2)}xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Szerkesztő:Hegyi Zsolt Gábor - Laptörténet

Hegyi Zsolt Gábor: /* Wiki szerkesztői pályázathoz */

Hegyi Zsolt Gábor, 2016. május 20., 13:21-n

Hegyi Zsolt Gábor, 2016. május 20., 13:17-n

Hegyi Zsolt Gábor: blah 1

Hegyi Zsolt Gábor: start

← Régebbi változat		A lap 2016. május 20., 15:17-kori változata
1. sor:		1. sor:
			== Wiki szerkesztői pályázathoz ==

			- Lentebb található content
			- Saját BSz1 jegyzet [http://vik.wiki/Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_I.#Vizsga belinkelve] és [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek forráskódja]
			- Saját BSz2 jegyzet [http://vik.wiki/index.php?title=Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_II.#Kidolgozott_t.C3.A9telek belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek forráskódja]

			----------------------------

	{{Vissza\|Analízis II.}}		{{Vissza\|Analízis II.}}
	== Fontos ==		== Fontos ==