Tg44: /* 1. feladat */

2013-05-16T10:07:11Z

1. feladat

← Régebbi változat		A lap 2013. május 16., 12:07-kori változata
163. sor:		163. sor:
	A 45 fokos fázistöbbletből --> -135=-90-arctg(w) --> 45=arctg(w) --> w=		A 45 fokos fázistöbbletből --> -135=-90-arctg(w) --> 45=arctg(w) --> w=

	~~{\| border="1"~~		L(s) = L(jw) = K / w*gyök(1+w^2), ahhoz hogy ez egy legyen w=1-nél, K=gyök2 választással kell éljünk.
	\|L(s)\|\| = \|\|L(jw) = K / w*gyök(1+w^2), ahhoz hogy ez egy legyen w=1-nél, K=gyök2 választással kell éljünk.

	C=gyök2*(1+10s)/s		C=gyök2*(1+10s)/s

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZh2Feladatok2007Osz}} -- Olthyer - 2007.12.08. A megoldásokért én vállalom a felelősséget -- WitY…”

2012-10-21T20:13:18Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZh2Feladatok2007Osz}} -- Olthyer - 2007.12.08. A megoldásokért én vállalom a felelősséget -- WitY…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZh2Feladatok2007Osz}}

-- [[KissAnett|Olthyer]] - 2007.12.08.

A megoldásokért én vállalom a felelősséget -- [[WittekAdam|WitY]] - 2007.12.12.

Beformáztam a képleteket rendesen, hogy agyelborulás nélkül lehessen olvasni. Átnéztem becsülettel, de valahol azért biztosan elszúrtam. Szóval ha valami látványosan hülyeség, gondold végig és javítsd. -- [[GyongyosiPeter|gyp]] - 2007.12.13.

==1. feladat==

'''Zárt folytonos szabályozási körben a szakasz átviteli fv-nye <math>P(s)=\frac{1}{(s+1)s}</math>. Tervezzen PD szabályozót 45 fokos fázistöbbletre. A póluseltolási arány 5. Adja meg a szabályozó átviteli függvényét.'''

A deriváló tag átv. fv-e: <math>\frac{1+sT}{1+s\frac{T}{n}}</math> , ahol T a szabályozni kívánt folyamat 2. legnagyobb időállandója, n a póluseltolási arány.
Tehát a PD szabályozó átv. fv-e első nekifutásra: <math>\frac{K(1+s)}{1+\frac{s}{5}}</math>
K-t pedig a 45 fokos fázistöbbletre való tervezésből tudod kiszámítani.

<math>L = CP = \frac{K}{s(1+s/5)}</math>

<math> arc(L) = -90-arc(1+\frac{s}{5}) = -90-arc(1+\frac{w}{5}*j) = -90-arctg(w/5)</math> -akinek ez annyira nem triviális annak sokat tud segíteni egy rajz

fázistöbblet = <math>arc(L)+180 \Rightarrow -135=-90-arctg(w/5) \Rightarrow 45=arctg(w/5) \Rightarrow w = 5</math>

A fázistöbblet definíciójához hozzátartozik az is, hogy mindezt a vágási körfrekvencián kell számolni. a vágási körfrekvencián L abszolútértéke egy kell legyen. Ez fog adni egy értéket K-ra:

<math>|L(s)| = |L(jw)| = \frac{K}{w\sqrt{1+\frac{w}{5}^2}}</math> na azt szeretnénk, hogy ez egy legyen az w=5 körfrekvencián: <math> K = 5*\sqrt{2} </math>

A szabályozó átv. fv-e: <math>5*\sqrt{2}\frac{1+s}{1+s/5}</math>

Egyébként van a jegyzetben erre a maradékrendszerek-nél vmi szép kis képlet, de én mindig többre tartottam a gondolkodást, mint a képletmagolást. Akit érdekel 8.35 243.oldal

==2. feladat==

'''Legyen a folytonos idejű folyamat átviteli függvénye <math>P(s)=\frac{1}{1+8s}e^{-2s}</math>. Adja meg a Youla parametrizálást megvalósító szabályozási kört az <math>R_r(s)=\frac{1}{1+2s}</math> és <math>R_n(s)=\frac{1}{1+s}</math> referencia modellek esetén. Végezze el minden szükséges elem kiszámítását és rajzolja fel a kapott hatásvázlatot.'''

<math>P = P^+ \cdot P_-^{-1}</math> jó hát ezek a jelöléseim itt wikin érthetetlenek. Az a lényeg hogy a folyamatot szét kell szedni két részre: a <math>P_+</math> aminek inverze realizálható a <math>P_-^{-1}</math> pedig aminek az inverze nem realizálható azaz az (e ad)-os tag. A nagyon okosok a <math>P_-^{-1}</math> tovább bontják két részre, de erre minket már nem képeztek ki a mi esetünkben a <math>P_- = 1</math>. Így ezt nekünk nem is kell optimalizálni, ezért élhetünk a <math>G_n = G_r = 1</math> választással.

<math> P_+ = \frac{1}{1+8s}, P_+^{-1} = 1 + 8s, P_- = 1 \cdot P_-^{-1}= e^{-2s} </math>

<math> C_{opt} = \frac{R_n G_n P_+^{-1}}{1 - R _n G_n \cdot P_-^{-1}} = \frac{\frac{1}{1+s}(1+8s)}{1 - \frac{1}{1+s} e^{-2s}} = \frac{1+8s}{1 - e^{-2s} } </math>

(korábban az alsó tagban 1 + R * G * P^-1 volt de a tankönyv szerint ez a helyes. TK 210 -- [[UzsokiMate]] - 2009.12.11. )

a soros kompenzátor: <math> Q_r = R_r G_ r P_+^{-1} = \frac{1}{1+2s} (1+8s)</math>

a számolásokkal kész vagyunk a hatásvázlatot pedig nem kívántam most ide ügyeskedni, nézzétek meg a jegyzetben

==3. feladat==

'''Egy lineáris FI rendszer: A,b,c,d mátrixokkal adott. Adja meg a nyílt rendszer karakterisztikus egyenletét. Állapotvisszacsatoló szabályozót alkalmazunk k visszacsatolóvektorral. Adja meg a zárt rendszer karakterisztikus egyenletét.'''

A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete:
<math>\textrm{det}(s\cdot I-A+b\cdot(k^T))=0</math>

(k^T)=k visszacsatoló mátrix transzponáltja.

==4. feladat==

'''Z transzformáció def. Hova képezi le a transzformáció az imaginárius tengelyt? Hova képezi le a pc=-0.1 folytonos pólust Ts=0.2 mintavételi idő mellett?'''

<math> X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} = x[0] + z^{-1} x[1] + z^{-2} x[2] + \ldots </math>

Az imaginárius tengelyt az egységsugarú körbe képezi le.

A pólust az <math>e^{-Ts/T}</math> -be képezi le. a pc=-0.1 -hez tartozó időállandó a T=10 (aki nem hiszi az járjon utána az s-pc -t átalakítva 1+sT alakra). Tehát <math> pz = e^{-\frac{0.2}{10}} </math>

==5. feladat==

'''A mintavételezett zárt szabályozási körben a felnyitott kör impulzusátviteli függvénye <math> L(z) = \frac{K}{z-1} </math>. HAtározza meg K azon értékeit, amelyekre a zárt rendszer stabil lesz.'''

a zárt rendszer : <math> T = \frac{L}{1+L} </math> ennek kell megvizsgálni a pólusait. Ha azok az egységsugarú körön belülre esnek (diszkrét folyamatról lévén szó) akkor a rsz. stabilis

<math> 1+L = 0 </math> karakterisztikus egyenletet kell megoldanunk.

<math> z - 1 + K = 0 \Rightarrow z = 1-K \Rightarrow |1-K| < 1 \Rightarrow 0 < K < 2 </math>

==6. feladat==

'''Milyen típusú szabályozót valósít meg a <math> C(z) = 2 \frac{z-0.9}{z-1} </math> impulzusátviteli függvény? Adja meg a szabályozó differenciálegyenletét (algoritmus). Határozza meg egységugrás bemenőjelre a szabályozó kimenetének kezdeti és végértékét.'''

PI szabályozóról van szó: az arányos tag a 2, az integráló hatást, pedig a nevezőben lévő z-1 biztosítja (a legnagyobb időállandóval rendelkező kiejteni kívánt pólus a 0.9)

<math> C(z)= \frac{U(z)}{E(z)} </math>

<math> \frac{U(z)}{E(z)} = 2 \frac{z-0.9}{z-1} </math>

<math> U (z-1) = 2 (z-0.9) E </math>

arra kell törekedni hogy z negatív hatványai szerepeljenek, ami késleltetésnek feleltethető meg.

<math> U = U z^{-1} + 2E - 1.8E z^{-1} </math>

<math> u[k]=u[k-1] + 2e[k] - 1.8e[k-1] </math>

...ezzel a differenciálegyenlet előállt.

A végértéktételekből és tudva hogy az egységugrás z-transzformáltja z/(z-1)

kezdeti érték:

<math> c[0]=\lim_{z \rightarrow \infty} \frac{z}{z-1} \frac{2(z-0.9)}{z-1} = 2 </math>

(itt érdemes a L'Hopital szabályt használni -- [[ValyiPeter|Pecc]] - 2007.12.17.)

végérték:

<math> c[\infty] = \lim_{z \rightarrow 1} \frac{z}{z-1} \frac{z-1}{z} \frac{2(z-0.9)}{z-1} = \infty </math>

egy másik megoldás lehet ez is ( a konzultáción PD szabályozóra ezt használták ):

e[] a bemenet, mivel egységugrásról beszélünk 0 felett az értéke 1, előtte az értéke 0.
Tehát:
u[0] = u[-1] + 2*e[0] - 1.8e[-1]
azaz
u[0] = 0 + 2*1 - 1.8*0 = 0.2

u[1] = u[0] + 2*e[1] - 1.8 * e[0]
azaz
u[1] = 0.2 + 2 - 1.8 = 0.4

Itt látszik, hogy lépésenként 0.2-vel nő, így szépen elszáll a végtelenbe.
-- [[UzsokiMate]] - 2009.12.11.

==7. feladat==

'''Stabilizálja a <math> G(z) = \frac{2z}{(z-0.8)(z-2.0)} </math> DI labilis folyamatot állapotvisszacsatolással oly módon, hogy a visszacsatolt rendszer pólusai a <math> z_1 = 0.5, z_2 = 0.5 </math> legyenek. Számítsa ki a stabilizáló visszacsatoló k vektort.'''

G(z) nevezője:

<math> z^2 - 2.8z + 1.6</math>

amiből <math> a_1 =-2.8, a_2 = 1.6 </math> Fontos, hogy z legnagyobb hatványú tagjának együtthatója egy legyen!!! Ekkor olvashatók csak le egymás után ai-k. Most szerencséje volt annak is, aki erről megfeledkezett :)

az előírt pólusokból számított nevező:

<math> (z-0.5)(z-0.5) = z^2 - z + 0.25 </math>

(A fenti szöveg ismét érvényes :) )

<math> r_1 = -1, r_2 = 0.25 </math>

<math> k = [r1-a1, r2-a2] = [1.8, -1.35] </math>

(Ha az új pólus nincs megadva, akkor diszkrét esetben a régi reciprokát veszed, folytonos esetben pedig szorzod -1 -el )

=B csoport=

==1. feladat==

'''Egy zárt folytonos szabályozási körben a folyamat átviteli függvénye <math> P(s)= 1/(1+10s)(1+s) </math>. Tervezzen PI szabályozót 45°-os fázistöbbletre! Adja meg a szabályozó átviteli függvényét! (5 pont)'''

A PI szabályozó átv. fv-e: K*(1+sT)/s(T) , ahol T a szabályozni kívánt folyamat legnagyobb időállandója és a nevezőben vagy ott van vagy nincs ez ízlés dolga. Tehát a mi esetünkben C=K*(1+10s)/s. A továbbiakban a gondolatmenet ugyanaz mint az A csoport első feladatánál.

Szerintem a PI szabályozó a szakasz legkisebb törési frekvenciájához tartozó pólust ejti ki tehát C=K*(1+s)/s -- [[SteinbachAntalBalint|banti]] - 2008.04.25.<br/>
^^^ Ez így konkrétan igaz is, de a legkisebb frekvenciához a legnagyobb időállandó tartozik, márpedig most időállandós alakban vannak, szóval C=K*(1+10s)/s -- [[MajorPeter|aldaris]] - 2008.12.11.

L=CP=K/(s(1+s))
arc{L(s)}=arc{L(jw)}=-90-arc{1+s}=-90-arc{1+w*j}=-90-arctg(w)

A 45 fokos fázistöbbletből --> -135=-90-arctg(w) --> 45=arctg(w) --> w=

{| border="1"
|L(s)|| = ||L(jw) = K / w*gyök(1+w^2), ahhoz hogy ez egy legyen w=1-nél, K=gyök2 választással kell éljünk.

C=gyök2*(1+10s)/s

==2. feladat==

'''Adja meg az állapotvisszacsatolásos szabályozás blokk-diagramját megfigyelővel kiegészítve! (4 pont)'''

Nem varázsolnám ide, jegyzet: 270.o. 9.4. ábra

==3. feladat==

'''Stabilizálja a <math>P(s)=-3(s+1)/(s+2)(s-3)</math> folyamatos idejű labilis folyamatot állapotvisszacsatolással! Számítson ki egy stabilzáló visszacsatoló k vektort! (4 pont)'''

A folyamat nevezője: s^2 -s -6. Megint fontos, hogy a legnagyobb hatványú tag együtthatója egy, ekkor a1=-1 a2=-6

A folyamat labilitását a +3-as pólus okozza -a nevező s-3 tényezőjéből- mert ugye nem negatív. Ezt kell stabilizálnunk, amire (FI rsz esetén) elfogadott módszer a labilis pólus -1-el való szorzása. Tehát a kívánt új pólusok: p1=-2 p2=-3. Ezekből az általunk stabilizált folyamat nevezője: (s+2)(s+3)= s^2 +5s +6. Ezekből leolvashatjuk (mert a legnagyobb hatványú tag együtthatója egy) r1=5 r2=6.

Ezek ismeretében a visszacsatoló vektor:
k=[r1-a1, r2-a2]=[6, 12]

==4. feladat==

'''Adja meg egy <math>y(t)</math> jel z-transzformáltjának kifejezését! Adja meg a mintavételezett egységugrás jel z-transzformáltját! (4 pont)'''

<math> Y(z)={\sum\limits_{n=0}^\infty y[n] z^{-n}}={\sum\limits_{n=0}^\infty y(nT_{s}) z^{-n}} = {\sum\limits_{n=0}^\infty \varepsilon(nT_{s}) z^{-n}} = {\sum\limits_{n=0}^\infty z^{-n}} = {1 + z^{-1} + z^{-2} + ...} = {\frac{z}{1 - z}} </math>

==5. feladat==

'''Egy mintavételes zárt szabályozási körben a felnyitott kör impulzusátviteli függvénye <math> L(z)=\frac{z+0.8}{(z-0.5)(z-1)} </math> . Stabilis-e a zárt rendszer? (4 pont)'''

a zárt rsz. átv. fv-e: <math> T(z)=\frac{L(z)}{1+L(z)} </math> Na ennek kell a pólusait megvizsgálni stabilitás szempontjából. Ehhez ugye a karakterisztikus egyenletet kell megoldani:

<math> 1+L(z)=0 </math>

<math> z^2 - 1.5z + 0.5 + z+0.8 = z^2 - 0.5z + 1.3 = 0 </math>

A másodfokú megoldóképlet ez esetben nem lesz annyira triviális, úgyhogy leírom:

<math> z_{1,2} = \frac{0.5 \pm\sqrt{0.25-5.2}} {2} = \frac{0.5 \pm \sqrt{4.95}*j}{2} </math>

<math> z_1 = 0.25+1.1125j </math>, z2 ennek konjugáltja

Ezek tehát a zárt rendszer pólusai. DI rsz akkor stabilis, ha a pólusai rendre az egységsugarú körön belülre esnek, különben labilis. Vizsgáljuk meg z1 abszolútértékét:

<math>|z1|=\sqrt{0.25^2 + 1.1125^2} = 1.14 > 1 </math> (z2 abszolútértéke ugyanennyi)

A zárt rendszer labilis.

==6. feladat==

'''Milyen típusú diszkrét szabályozót valósít meg a <math> C(z)= \frac{2(z-0.8)}{z-0.5}</math>? Adja meg a szabályozó differenciálegyenletét (algoritmusát)! Határozza meg egységugrás bemenőjelre a szabályozó kimenetének kezdeti és végértékét! (5 pont)'''

Erről folynak a viták, hogy ez PD avagy PI szabályozó. A jegyzet 13.21-es képletét nézve ez PD. Ám van aki azt mondja, hogy ez bizony PI hiszen a válasz számításához felhasználja a múltbeli érték(ek)et. Hogy ezt honnan veszi az illető? Nézzük meg a differenciálegyenletét :)
(Tankönyv: 8.7-es képlet (közelítő PD szabályozó) és az alatta lévő egy mondat alapján PI.)

Diszkrét szabályozóknál: Tk. 340-341. 13.19 alapján ez PI sztem. a PD nevezője a 13.28.-ban csak 'z' sztem:)

Ez a szabályozó a képlet szerint is PI szabályozó nemde? PI: <math> C= K*\frac{(z-z1)}{z-1}</math> -- [[SteinbachAntalBalint|banti]] - 2008.04.25.

<math> C(z)=\frac{U(z)}{E(z)}</math>

<math> \frac{U(z)}{E(z)} = \frac{2(z-0.8)}{z-0.5}</math>

<math> zU - 0.5U = 2z E - 1.6E </math>

<math> U = 0.5U z^{-1} + 2E - 1.6E z^{-1} </math>

<math> u[k] = 0.5u[k-1] + 2e[k] - 1.6e[k-1]</math> és akkor látható, hogy a kollégának igaza van ott az u[k-1] es múltbeli tag.

Megint a végértéktételek
<math> c[0] = \lim_{z \rightarrow \infty} {\frac{z}{z-1} \frac{2(z-0.8)}{z-0.5} } = 2 </math>

(Itt is a L'Hospital szabály alkalmazandó -- [[ValyiPeter|Pecc]] - 2007.12.17.)

<math> c[\infty] = \lim_{z \rightarrow 1} \frac{z}{z-1} (1-z^{-1}) \frac{2(z-0.8)}{z-0.5} = \frac{2 \cdot 0.2}{0.5} = 0.8 </math>

Ez viszont ellentmond a PI-s kollégának, mert nem száll el a végtelenbe egy integrátorhoz illő módon. -megj.: bennfentes információkból tudom, hogy nem vontak le neki tehát szerintem itt ha volt vmi indoklásod elfogadták-

==7. feladat==

'''Legyen a diszkrét ideű folyamat átviteli függvénye <math> G(z) = \frac{0.7 z^{-5}}{1-0.8z^{-1}} </math>. Adja meg a Youla-parametrizálást realizáló kört az <math> R_r = \frac{0.5 z^{-1}}{1-0.5z^{-1}} </math> és <math> R_n = \frac{0.8z^{-1}}{1-0.2z^{-1}} </math> referenciamodellek esetén! Végezze el minden szükséges elem kiszámítását és rajzolja fel a kapott hatásvázlatot! (4 pont)'''

A folyamat két részre bontása:

<math> G+ = \frac{0.7z^{-1}}{1-0.8z^{-1}} </math>
<math> G-=1 </math>
a nem realizálható komponens pedig <math> z^{-4} </math>

<math> {G+}^{-1} = \frac{1-0.8z^{-1}}{0.7z^{-1}} </math>

Mivel G- = 1 így nincs mit optimálisan kompenzálni, azaz a Gr = Gn = 1 választással élhetünk.

<math> C_{opt} = \frac{R_n G_n {G+}^{-1}}{1 + R_n G_n (G-) z^{-4}} = \frac{ \frac{0.8z^{-1}} {1 - 0.2z^{-1}} + 0.8z^{-5}}{\frac{1-0.8z^{-1}}{0.7z^{-1}}} </math>

Soros kompenzáció:

<math> R_r {G+}^{-1} = \frac{0.5z^{-1}}{1-0.5z^{-1}} \frac{1-0.8z^{-1}}{0.7z^{-1}} </math>

A számolásokkal kész vagyunk az ábrát mellőzöm. jegyzet 322.o. 12.1. ábra

[[Category:Infoalap]]

SzabtechZh2Feladatok2007Osz - Laptörténet

Tg44: /* 1. feladat */

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZh2Feladatok2007Osz}} -- Olthyer - 2007.12.08. A megoldásokért én vállalom a felelősséget -- WitY…”