Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZH2Gyakorlo2008Osz}} ==Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 2. ZH-hoz== ''Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, let…”

2012-10-21T20:13:21Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZH2Gyakorlo2008Osz}} ==Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 2. ZH-hoz== ''Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, let…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZH2Gyakorlo2008Osz}}

==Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 2. ZH-hoz==

''Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, letisztázni, összerendezni.''

'''1. Egy mintavételes, zárt szabályozási körben az e[k] hibajel az r[k] alapjel és az y[k] szabályozott jellemző különbsége: e[k]=r[k]-y[k]. A hibajel z-transzformáltja <math> E(z)=z^{-1}+0.6z^{-2}+0.2z^{-3} </math>. Határozza meg és vázolja fel az y[k] kimenőjel időbeli lefolyását a k=0, 1, 2, 3, 4, 5 mintavételi időpillanatokra, ha az alapjel egységsebességugrás függvény.'''

'''2. Határozza meg egy matematikailag mintavételezett x(t) időfüggvény Laplace transzformáltját.'''

'''10. A <math> P(s)=\frac{4}{1+2s} </math> átviteli függvényű folytonos szakaszt mereven visszacsatolva mintavételesen szabályozzuk zárt körben. Azt tapasztaljuk, hogy a zárt szabályozási kör a stabilitás határhelyzetében van. Határozza meg a mintavételezési időt.'''

* A rendszer tehát úgy néz ki, hogy a diszkrét alapjel és a diszkrét kimeneti jel különbsége a diszkrét hibajel. Ezt (mivel nem volt más megadva, ezért nulladrendű tartót, és C(z)=1 szabályozót feltételezve) egy nulladrendű tartó alakítja a rendszer folytonos bemeneti jelévé. A rendszer folytonos kimenőjelét pedig mintavételezve csatoljuk vissza.
* Ismeretes (pl. Feladatok_megoldasok_2ZH.pdf, 6. oldal), hogy a nulladrendű tartóból, <math> P(s)=\frac{K}{1+sT}=\frac{4}{1+2s} </math> tagból, és mintavevőből álló felnyitott kör átviteli függvénye (<math> T_s </math> mintavételi idő mellett): <math> L(z)=K\frac{1-e^{-T_s/T}}{z-e^{-T_s/T}}=\frac{4(1-e^{-T_s/2})}{z-e^{-T_s/2}} </math>
* Innen kiszámítva a lezárt kör átviteli függvényét: <math> \frac{4(1-e^{-T_s/2})}{z-(5e^{-T_s/2}-4)} </math>
* Ennek egy pólusa van, <math> 5e^{-T_s/2}-4 </math>. A stabilitás határhelyzetében vagyunk, tehát <math> |5e^{-T_s/2}-4|=1 </math>, mivel valós számokkal dolgozunk, ezért a pólus 1 vagy -1 kell legyen. Mivel <math> T_s > 0 </math>, ezért <math> 5e^{-T_s/2}-4 < 1 </math>, így -1 kell legyen, tehát <math> T_s=-2\ln(\frac{3}{5})=1.021 </math>

'''11. Egy <math> P(s)=\frac{1}{s^2+5s+6} </math> átviteli függvényű folytonos folyamatot merev visszacsatolás mellett egy C(s) soros folytonos kompenzátorral szabályozunk.'''
* '''a. Az <math> x_1=y,\, x_2=\dot{x_1} </math> állapotváltozók bevezetésével írja fel a megadott P(s) folytonos folyamat állapotteres modelljét, majd határozza meg annak a <math> C(s)=K\frac{s+3}{1+sT} </math> szabályozónak a K és T paraméterét, amely a szakasz állapotteres modelljének a <math> \left[ \begin{array}{rr} 42 & 9 \end{array} \right] </math> erősítési vektoron keresztül történő negatív állapotvisszacsatolásával ekvivalens karakterisztikus egyenletet biztosítja a zárt körre.'''
* '''b. Vázolja fel az a. pontban kapott C(s) szabályozó mellett a rendszer gyökhelygörbéjét.'''
* '''c. T=0.2sec esetén határozza meg K azon értékét, amely mellett a zárt rendszer egységugrás alapjelre adott válaszában 15%-os túllendülés lesz megfigyelhető. Határozza meg továbbá, hogy mekkora lesz ebben az esetben a statikus hiba értéke.'''
* '''d. Adja meg K>0 maximális értékét, amely mellett a zárt kör stabilis marad.'''
* '''a.''' Áttérve a komplex frekvenciatartományra: ki kell fejeznünk Y(s)-et, <math> sX_1(s) </math>-et és <math> sX_2(s) </math>-et <math> X_1(s) </math>, <math> X_2(s) </math> és U(s) lineáris kombinációjaként (vagyis kifejezzük a kimenetet és az állapotváltozók deriváltját a bemenettel és az állapotváltozókkal). Ismerjük továbbá, hogy <math> Y(s)=X_1(s) </math>, <math> sX_1(s)=X_2(s) </math> és <math> Y(s)=U(s)\frac{1}{s^2+5s+6} </math> Innen kifejezhetjük <math> sX_1(s) </math>-et és <math> sX_2(s) </math>-et is U(s)-sel: <math> sX_1(s)=U(s)\frac{s}{s^2+5s+6} </math>, <math> sX_2(s)=U(s)\frac{s^2}{s^2+5s+6} </math> Innen (vagy akár az eredeti egyenletekből) látszik, hogyan lehet Y(s)-et és <math> sX_1(s) </math>-et előállítani: <math> sX_1(s)=0\cdot X_1(s)+1\cdot X_2(s)+0\cdot U(s) </math>, <math> Y(s)=1\cdot X_1(s)+0\cdot X_2(s)+0\cdot U(s) </math> Csak <math> sX_2(s)=U(s)\frac{s^2}{s^2+5s+6} </math>-et kell még kifejezni. <math> sX_2(s) = U(s)\frac{s^2}{s^2+5s+6} = U(s)(1-\frac{5s+6}{s^2+5s+6}) = U(s) - 5U(s)\frac{s}{s^2+5s+6} - 6U(s)\frac{1}{s^2+5s+6} </math>, ezért <math> sX_2(s) = -6\cdot X_1(s)-5\cdot X_2(s)+1\cdot U(s) </math>, tehát az állapotváltozós leírás: <math> \left[ \begin{array}{r} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{array} \right]=A\cdot\left[ \begin{array}{r} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right]+b\cdot u(t) \]\[ y(t)=c^T\cdot\left[ \begin{array}{r} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right]+d\cdot u(t) </math>, ahol <math> A=\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{array} \right],\; b=\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array} \right],\; c^T=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \end{array} \right],\; d=0</math>
* Az állapotvisszacsatolással kapott karakterisztikus egyenlet <math> c^T(sI-A+bk^T)^{-1}b </math> nevezője, vagyis <math> det(sI-A+bk^T)=det\left[ \begin{array}{rr} s & -1 \\ 48 & s+14 \end{array} \right]=s^2+14s+48 </math> A szabályozóval kapott karakterisztikus egyenlet <math> \frac{P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)} </math> nevezője, vagyis <math> P(s)C(s)=\frac{K}{(s+2)(1+sT)} </math> számlálójának és nevezőjének összege, azaz: <math> Ts^2+(1+2T)s+(K+2) </math>. Ennek a kettőnek nem kell megegyeznie, csak ekvivalensnek lennie, vagyis az egyik legyen a másik konstansszorosa. A négyzetes tag miatt nyilván a második az elsőnek T-szerese, innen 14T=1+2T, 48T=K+2 , így T=1/12, K=2.
* '''b.''' Pl. Matlabbal ki lehet rajzoltatni: s=zpk('s'); PC=tf(1/((s+2)*(1+s/12))); rlocus(PC); (azért van K helyett 1, mert pont a visszacsatolt rendszer pólusainak K-tól való függése érdekel minket).
* '''c.''' A lezárt kör átviteli függvénye: <math> \frac{P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)}=\frac{K/T}{s^2+(1/T+2)s+(K/T+2/T)}=\frac{5K}{s^2+7s+(5K+10)}=\frac{K_2}{s^2+2\xi\omega_0s+\omega_0^2} </math>, valamint, a maximális túllendülés: <math> 0.15=e^{-\xi\pi/\sqrt{1-\xi^2}} </math>. Ezek alapján <math> \xi=0.517 </math>, <math> \omega_0=6.77 </math> és <math> K=7.17 </math>. A statikus hiba, a végértéktételt alkalmazva az átviteli függvény 1/s-szeresére (az átmeneti függvény Laplace-transzformáltjára), és kivonva a végértéket 1-ből (avagy alkalmazva a nulla integrátoros rendszerre vonatkozó képletet) <math> \frac{1}{K_2/\omega_0^2+1}=0.56 </math>
* '''d.''' A rendszernek két pólusa van, így strukturálisan stabil, bármely pozitív K-ra stabil lesz.
'''12. Tekintsünk egy folytonos, {A,b,c,d} négyessel definiált állapotteres rendszert u bemenettel, x állapotvektorral és y kimenettel.'''
* '''a. Ismertesse az állapotvisszacsatolás Ackermann-féle összefüggését és alkalmazhatóságának feltételét.'''
* '''b. Negatív visszacsatolást feltételezve számítsa ki az állapotvisszacsatolás erősítési vektorát, ha <math> A=\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{array} \right],\; b=\left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 1 \end{array} \right] </math> és a visszacsatolással a zárt rendszer pólusait a <math> p_1=-1,\;p_2=-2 </math> pozícióba kívánjuk áthelyezni.'''
* '''c. Feltételezve, hogy az állapotváltozók nem állnak rendelkezésre a visszacsatolás realizálásához, mutassa meg, hogyan választandók egy <math> \dot{\hat{x}}=F\hat{x}+gy+hu </math> lineáris becslőhálózat dimenziói és paraméterei azzal a feltétellel, hogy a becslőhálózat (másnéven megfigyelő) <math> \alpha_0(s) </math> karakterisztikus polinomja adott.'''
* '''a.''' Legyen q(s) a (visszacsatolt) rendszer megkövetelt karakterisztikus polinomja (ennek gyökei az átviteli függvény pólusai). Ahhoz, hogy egy polinom értékét kiszámítsuk egy adott dologra, azt a dolgot csak önmagával és számmal kell tudni szorozni, illetve összeadni. Ezek a műveletek (n*n-es) mátrixokkal is elvégezhetők, ezért van értelme a polinom változója helyére az A mátrixot behelyettesíteni (és ekkor a polinom értéke is egy ugyanakkora mátrix lesz). (Behelyettesítéskor a végén a konstans tagot úgy kell hozzáadni, hogy a megfelelő méretű egységmátrix annyiszorosát adod hozzá.)
* A rendszer irányíthatósági mátrixa a következő: <math> S_C=\left[ \begin{array}{rrrrr} b & Ab & A^2b & \cdots & A^{n-1}b \end{array} \right] </math>. Vagyis, fogjuk a b (oszlop)vektort, illetve ennek A különböző hatványaival való szorzatát, és ezeket az oszlopokat egymás mellé rakva, csinálunk egy n*n-es mátrixot.
* Ezek felhasználásával, az a <math> k^T </math> visszacsatoló vektor, aminek hatására a visszacsatolt rendszer karakterisztikus egyenlete q(s) lesz: <math> k^T=\left[ \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right]S_C^{-1}s(A) </math> (vagyis <math> S_C^{-1}s(A) </math> utolsó sora).
* Az összefüggés akkor és csak akkor alkalmazható, ha <math> S_C </math> invertálható, vagyis a rangja n, azaz a rendszer teljesen állapotirányítható.

-- [[KisGergelyG|G]] - 2008.12.05.

[[Category:Infoalap]]

SzabtechZH2Gyakorlo2008Osz - Laptörténet

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZH2Gyakorlo2008Osz}} ==Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 2. ZH-hoz== ''Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, let…”