Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZH1Gyakorlo2008Osz}} ==Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 1. ZH-hoz== ''Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, let…”

2012-10-21T20:13:09Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZH1Gyakorlo2008Osz}} ==Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 1. ZH-hoz== ''Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, let…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZH1Gyakorlo2008Osz}}

==Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 1. ZH-hoz==

''Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, letisztázni, összerendezni.''

'''1. Fogalmazza meg az általánosított Nyquist stabilitási kritériumot.'''

* A Nyquist-diagramnak annyiszor kell (óramutató járásával ellenkező irányban) körbemennie a <math> -1+0\cdot j </math> pont körül, ahány pólusa L(s)-nek van a jobb félsíkon.
* Megjegyzés: a körüljárási irány nagyon fontos. Ha L(s)-nek nincs pólusa a jobb félsíkon, akkor az egyszerűsített kritériumot kapjuk: a görbének nem szabad a <math> -1+0\cdot j </math> pontot körbevennie.
* [https://wiki.sch.bme.hu/bin/view/Infoalap/SzabTechNyquistBode VIK wiki: Nyquist és Bode diagram]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist_stability_criterion Wikipédia: Nyquist stabilitási kritérium]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist_plot Wikipédia: Nyquist diagram]

'''2. Egy folytonos szabályozási rendszerben a felnyitott kör átviteli függvénye'''
<math> L(s)=\frac{5(1+0.01s)}{s(1+0.05s)} </math>
* '''a. Adja meg a rendszer zérusait és pólusait.'''
* '''b. Vázolja fel a Bode diagram aszimptotikus amplitúdó-körfrekvencia görbéjét és a fázis-körfrekvencia görbe menetét!'''
* '''c. Tüntesse fel a Bode diagramon a fázistöbbletet!'''
* '''d. Stabilis-e a rendszer? Indokolja válaszát.'''
* '''e. Mekkora statikus hibával követi a zárt szabályozási kör az egységugrás, az egységsebességugrás illetve az egységgyorsulás alapjelet?'''
* '''a.''' A felnyitott kör átviteli függvényéből a rendszerét a következő képlettel kaphatjuk meg: <math> W(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)} </math> (vagyis, ha <math> L(s)=\frac{A(s)}{B(s)} </math>, akkor <math> W(s)=\frac{A(s)}{A(s)+B(s)} </math>), így ebben az esetben <math> W(s) = \frac{\frac{5(1+0.01s)}{s(1+0.05s)}}{1+\frac{5(1+0.01s)}{s(1+0.05s)}} = \frac{5(1+0.01s)}{5(1+0.01s)+s(1+0.05s)} = \frac{5+0.05s}{5+1.05s+0.05s^2} </math> illetve a szokásos alakban (a számlálóban és a nevezőben is 1 a konstans, és a tört elé ki van emelve egy konstans erősítés): <math> W(s)=1\cdot\frac{1+0.01s}{1+0.21s+0.01s^2} </math>
* A rendszer átviteli függvénye jellemzően polinom per polinom alakú. A számlálóban lévő polinom gyökei a rendszer zérusai, a nevezőben lévő polinom gyökei a rendszer pólusai. Így itt egy zérus van, s=-100, és két pólus, s=-7.3 és s=-13.7.
* Megjegyzés: lehetnek többszörös zérusok és pólusok is, de nem lehet egy érték egyszerre zérus és pólus (mert akkor lehetne egyszerűsíteni).
* '''b.'''
* [https://wiki.sch.bme.hu/bin/view/Infoalap/SzabTechNyquistBode VIK wiki: Nyquist és Bode diagram]
* [https://wiki.sch.bme.hu/bin/view/Infoalap/SzabTechBodeDiagramHowTo VIK wiki: Bode diagram közelítő felrajzolása]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bode_plot#Straight-line_amplitude_plot Wikipédia: Bode amplitúdódiagram töröttvonalas közelítés]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bode_plot#Straight-line_phase_plot Wikipédia: Bode fázisdiagram töröttvonalas közelítés]
* '''c.''' A Bode amplitúdó- és fázisdiagramot egymás alá rajzolva, ha a vágási frekvenciánál (az a <math> \omega_c </math>, ahol <math> \left|W(j\omega_c)\right|=1 </math>, az erősítés pont egységnyi, illetve 0dB, vagyis az amplitúdódiagram metszi a 0dB-es vízszintes vonalat) húzunk egy függőleges vonalat át a fázisdiagramra, és bejelöljük, hogy ott mennyivel van -pi fölött a fázis, az lesz a fázistartalék (formálisan: ha arg(z) a z komplex szám szöge, akkor <math> \varphi_{tartalek}=\pi+arg(W(j\omega_c))) </math>
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bode_plot#Gain_margin_and_phase_margin Wikipédia: amplitúdó- és fázistartalék a Bode-diagramon]
* '''d.''' A rendszer akkor és csak akkor stabilis, ha minden pólusának negatív a valós része. Itt ez teljesül, tehát a rendszer stabilis.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Control_theory#Stability Wikipédia: Stabilitás]
* '''e.''' Egységugrás: <math> \varepsilon(t) </math>, egységsebességugrás: <math> t\cdot\varepsilon(t) </math>, egységgyorsulásugrás: <math> \frac{t^2}{2}\cdot\varepsilon(t) </math>.
* A statikus hiba a hibajel (válaszjel mínusz alapjel) határértéke a végtelenben. Tehát pl. ha egységugrással gerjesztjük, és a rendszer válasza hosszú idő után 0.7-re áll be (az egységugrás határértéke, vagyis 1 helyett), akkor a statikus hiba 0.3.
* Ha egységsebességugrással gerjesztjük, és a rendszer 0.8-ra áll be, akkor a statikus hiba végtelen nagy, ugyanis a gerjesztőjel elszáll a végtelenbe, a válasz meg nem. Ha egységsebességugrással gerjesztjük, és a válasz a gerjesztőjel 0.7-szerese lesz nagy t-kre, akkor szintén végtelen a hiba (mert a hibajel így is a végtelenbe tart).
* A rendszer válaszának levezetése ezekre a jelekre megtalálható a feladatokat tartalmazó pdf 5.-6. oldalán (csatolva a wikilaphoz alul). Ez alapján a statikus hibák a megadott bemenetekre rendre 0, 0.2, végtelen.

'''3. Mi a gyökhelygörbe definíciója? Legyen egy folytonos szabályozási rendszerben a felnyitott kör átviteli függvénye:''' <math> L(s)=\frac{k(s+100)}{s(s+20)} </math> '''Hol van a gyökhelygörbének szakasza a valós tengelyen?'''
* Gyakori, hogy a felnyitott szabályozási körben van egy K erősítés, amit ha változtatunk, a lezárt kör pólusai is változnak. Ha felrajzoljuk a komplex számsíkra azokat a görbéket, amiket a pólusok bejárnak, ha pl. K-t 0-tól végtelenig minden pozitív valós számon végigfuttatunk, ezek fogják kiadni a gyökhelygörbét.
* Itt a lezárt kör átviteli függvénye <math> W(s)=\frac{L(s)}{L(s)+1}=\frac{k(s+100)}{k(s+100)+s(s+20)} </math>. A pólusok a <math> k(s+100)+s(s+20)=0 </math> egyenlet gyökei k függvényében. Innen k-t kifejezzük s-sel: <math> k=\frac{-s(s+20)}{s+100} </math>. Ha egy adott s szám rajta van a gyökhelygörbén, akkor létezik olyan pozitív k (általában csak pozitív erősítéseket vizsgálunk), aminél ez az s pólus lesz. Tehát, ha kifejezzük, hogy milyen k-nál lesz egy adott s pólus, és pozitív k-t kapunk, akkor az adott s rajta van a gyökhelygörbén, egyébként nincs. A <math> \frac{-s(s+20)}{s+100} </math> kifejezés -100-ban, -20-ban és 0-ban vált előjelet, -100-nál kisebb, illetve -20 és 0 közötti számokra lesz pozitív, így ezek a gyökhelygörbe szakaszai a valós tengelyen.
* ''ezt még letisztázni''
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Root_locus Wikipédia: gyökhelygörbe]

'''4. Számítsa ki az <math> A=\left[ \begin{array}{rr} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{array} \right],\; b=\left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 1 \end{array} \right],\; c^T=\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \end{array} \right],\; d=0</math> paraméter mátrixokkal adott állapotegyenletű folyamat átviteli függvényét!'''
* A rendszerünket leíró differenciálegyenlet-rendszer: <math> \left[ \begin{array}{rr} x_1^\prime(t) \\ x_2^\prime(t) \end{array} \right]=A\cdot\left[ \begin{array}{rr} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right]+b\cdot u(t) \]\[ y(t)=c^T\cdot\left[ \begin{array}{rr} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right]+d\cdot u(t) </math> ahol u a gerjesztés, y a válasz, a két x pedig az állapotváltozók.
* Ha az egészet Laplace-transzformáljuk, (ezt megtehetjük, mert a Laplace-transzformáció lineáris), és a szokásos módon nagybetűkkel jelöljük a transzformáltakat: <math> \left[ \begin{array}{rr} s\cdot X_1(s) \\ s\cdot X_2(s) \end{array} \right]=A\cdot\left[ \begin{array}{rr} X_1(s) \\ X_2(s) \end{array} \right]+b\cdot U(s) \]\[ Y(s)=c^T\cdot\left[ \begin{array}{rr} X_1(s) \\ X_2(s) \end{array} \right]+d\cdot U(s) </math>
* Ez már egy szimpla lineáris egyenletrendszer. Kifejezve az átviteli függvényt (jelölje a 2x2-es egységmátrixot E): <math> H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=c^T\cdot (sE-A)^{-1} \cdot b + d=\frac{s}{s^2+4} </math>

'''5. Az <math> e^{-4s} </math> átviteli függvényű holtidős tag az <math> u(t)=\sin(\omega_0t) </math> szinuszos bemenőjelre állandósult állapotban <math> 60^\circ </math>-os fáziskésleltetéssel ad választ. Határozza meg <math> \omega_0 </math> értékét és a kimenőjel maximális amplitúdóját!'''
* Az impulzusválasz (vissza-Laplace-transzformálva az átviteli függvényt): <math> \delta(t-4) </math>, vagyis a bemenetet 4-gyel késlelteti időben a rendszer. Ez alapján a kimenet: <math> y(t)=\sin(\omega_0(t-4))=\sin(\omega_0t-4\omega_0) </math>, vagyis a fáziskésleltetés <math> 60^\circ=\pi/3=4\omega_0 \Rightarrow \omega_0=\pi/12 </math>, valamint az amplitúdó értékét a rendszer nem módosítja, tehát az marad egységnyi.

'''6. Egy folytonos szabályozási rendszerben a felnyitott kör átviteli függvénye''' <math> L(s)=\frac{K}{(1+s)(1+5s)} </math> '''A negatívan visszacsatolt szabályozási körben egységnyi visszacsatolást alkalmazunk. Határozza meg K>0 azon értékét, amely mellett a zárt kör csillapítása <math> \xi=0.7 </math> lesz.'''
* A lezárt kör átviteli függvénye: <math> W(s)=\frac{K}{K+(1+s)(1+5s)}=\frac{\frac{K}{K+1}}{1+\frac{6}{K+1}s+\frac{5}{K+1}s^2} </math>
* Az ilyen átviteli függvénnyel rendelkező tagokat "kéttárolós lengőtagnak" hívják, mert két állapotváltozóval (energiatárolóval) írhatók le, és lengésekkel állnak be az állandósult állapotba. Az átviteli függvényük szokásos felírása: <math> W(s)=\frac{A}{1+2\xi Ts+T^2s^2}=\frac{A\omega_0^2}{\omega_0^2+2\xi\omega_0s+s^2} </math>, ahol <math> \omega_0 </math> a lengés körfrekvenciája, T ennek reciproka (nem a lengés periódusideje!), A az erősítés, és <math> \xi </math> a csillapítás.
* "Ráhúzva" ezt a jelölést a kapott átviteli függvényre (vagyis megkeresve, hogy hogyan kell megválasztani a betűket, hogy egyenlő legyen a kettő): <math> A=\frac{K}{K+1},\, T^2=\frac{5}{K+1},\, 2\xi T=\frac{6}{K+1} </math>, innen kifejezve K-t <math> \xi </math>-vel: <math> K=\frac{9}{5\xi^2}-1=2.67 </math>

'''7. Egy folytonos szabályozási kör hatásvázlata az ábrán látható.'''
{{InLineImageLink|Infoalap|SzabtechZH1Gyakorlo2008Osz|szabtech1.gif}}
* '''a. Adja meg az eredő átviteli függvényeket az y kimenőjel és az r alapjel, az u beavatkozójel és az r alapjel, valamint az e hibajel és az r alapjel között.'''
* '''b. <math> P(s)=\frac{9}{s},\; C(s)=\frac{1+2s}{s} </math> mellett vázolja fel a felnyitott kör közelítő Bode-diagramját (közelítő amplitúdó-körfrekvencia és fázis- körfrekvencia görbe).'''
* '''c. Stabilis-e a zárt szabályozási kör? Válaszát indokolja.'''
* '''d. Mekkora a kritikus körerősítés értéke?'''
* '''e. Mekkora statikus hibával követi a zárt szabályozási kör az egységugrás, az egységsebességugrás illetve az egységgyorsulás alapjelet?'''
* '''a.''' Egyszerűen fel kell írni egy egyenletet minden "dobozra" (a frekvenciatartományban mindegyik azzal szoroz, ami rá van írva), illetve a csomópontra (a két bemenet összege, illetve itt a különbsége, mert az egyik negatívan van bekötve): <math> U(s)=E(s)C(s),\; Y(s)=U(s)P(s),\; E(s)=R(s)-Y(s) </math>, innen kifejezve Y, U és E hányadosát R-rel: <math> \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{C(s)P(s)}{1+C(s)P(s)},\; \frac{U(s)}{R(s)}=\frac{C(s)}{1+C(s)P(s)},\; \frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+C(s)P(s)} </math>
* '''b.''' Lásd 2. feladatnál a Bode-diagram rajzolásához a segítséget.
* '''c.''' A rendszer akkor és csak akkor stabilis, ha a lezárt kör átviteli függvényének pólusainak valós része negatív. Itt <math> W(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{C(s)P(s)}{1+C(s)P(s)}=\frac{1+2s}{1+2s+\frac{1}{9}s^2} </math>, a pólusok a nevező gyökei: s=-17.5 és s=-0.5, így a rendszer stabilis.
* '''d.''' A kritikus körerősítés K=0. ''(megjegyzés: ez elég fura, talán elrontottam valamit)''
* '''e.''' A 2. feladat e. részéhez hasonlóan rendre 0, 0, 9.

'''8. Egy zárt szabályozási körben a felnyitott kör átviteli függvénye: <math> L(s)=\frac{K}{s}e^{-sT_h}</math> Adott <math> T_h </math> holtidő mellett adja meg a K hurokerősítés azon értékét, amellyel a fázistöbblet értéke <math> 60^\circ </math>.'''

'''9. Adja meg a folytonos PI szabályozó átviteli függvényét. Ábrázolja átmeneti függvényét és Bode diagramját.'''

'''10. Adja meg a lineáris állapotegyenlet alakját és megoldását az időtartományban.'''

'''11. Egy zárt szabályozási körben a felnyitott rendszer átviteli függvénye:''' <math> W_o(s)=-\frac{5}{(1-5s)(1+s)} </math> '''Stabilis-e a zárt szabályozási kör? Válaszát indokolja.'''

'''12. Adja meg a kaszkád szabályozás blokk-diagramját. Mikor célszerű az alkalmazása?'''

'''13. Egy rendszer állapotmátrixai:''' <math> A=\left[ \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -3 \end{array} \right],\; b=\left[ \begin{array}{rr} 5 \\ 0 \end{array} \right],\; c^T=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \end{array} \right],\; d=0</math> '''Állapotirányítható-e, megfigyelhető-e a rendszer?'''

'''14. Adja meg az eredő átviteli függvényeket az y és r, valamint az y és z jelek között.'''
{{InLineImageLink|Infoalap|SzabtechZH1Gyakorlo2008Osz|szabtech2.gif}}

-- [[KisGergelyG|G]] - 2008.10.15.

[[Category:Infoalap]]

SzabtechZH1Gyakorlo2008Osz - Laptörténet

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzabtechZH1Gyakorlo2008Osz}} ==Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 1. ZH-hoz== ''Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, let…”