Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoszak|TeljesitmenyElemzesPeldaKidolgozas}} %TOC{depth="2"}% Lásd még: [[TeljesitmenyElemzesElmeletKidolgozas|elméleti kérdések kidolgozása]…”

2012-10-22T09:47:37Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoszak|TeljesitmenyElemzesPeldaKidolgozas}} %TOC{depth="2"}% Lásd még: [[TeljesitmenyElemzesElmeletKidolgozas|elméleti kérdések kidolgozása]…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoszak|TeljesitmenyElemzesPeldaKidolgozas}}

%TOC{depth="2"}%

Lásd még: [[TeljesitmenyElemzesElmeletKidolgozas|elméleti kérdések kidolgozása]]

<div id="reselt"></div>
==Réselt adatcsatorna==

===2005.01.06/B, 1. feladat===

Egy réselt adatátviteli rendszerbe egy időrésben ''λ'' paraméterű Poisson-eloszlással érkeznek csomagok. (A Poisson-folyamatból következően az aktuális kiszolgálás megkezdése után, a következő kiszolgálás megkezdése előtt.) Egy nem ideális kiszolgáló csatorna áll rendelkezésre, amely — amennyiben van benne igény — annak kiszolgálását az adott időrésben 0<γ≤1 valószínűséggel befejezi a korábbi időrésektől függetlenül, illetve 1-γ valószínűséggel nem fejezi be, hanem a következő időrésben tovább folytatja. Minden csomag egységnyi hosszúságú puffertt igényel. Az érkező igények mind a kiszolgálóba, mind a pufferbe beléphetnek, ha az szabad.

<ol type="a">
<li> ''Rajzolja fel a fenti rendszer állapotgráfját, ha végtelen a puffer hossza!''

Az állapotgráf áttekinthetetlen lenne, ezért állapotmátrixot rajzolok.
Az időrés hossza legyen _t_. Ekkor annak a valószínűsége, hogy egy időrésben _k_ igény érkezik, ''λt'' paraméterű Poisson-eloszlás szerint alakul: <math>y_k = \frac{(\lambda t)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda t} </math>
Az állapotátmeneti mátrix:
<math> P = \begin{array}{c|cccc}
& 0 & 1 & 2 & \cdots \\
\hline
0 & y_0 & y_1 & y_2 & \cdots \\
1 & \gamma y_0 & (1-\gamma)y_0 + \gamma y_1 & (1-\gamma)y_1 + \gamma y_2 & \cdots \\
2 & 0 & \gamma y_0 & (1-\gamma)y_0 + \gamma y_1 & \cdots \\ 3 & 0 & 0 & \gamma y_0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{array} </math>

Pl. 1<big>→</big>1 állapotátmenet akkor történik, ha 0 igény érkezik (y0) és nincs kiszolgálás (1-γ) vagy 1 igény érkezik (y1) és van kiszolgálás (γ).

<li> ''Adja meg a rendszer kihasználtságát! Mikor stabil ez a rendszer?''

Az átlagos kiszolgálási idő az időrés hosszának és az egy igény kiszolgálásához szükséges időrések átlagos számának szorzata: E[x] = t*1/γ. A rendszer akkor stabil, ha az átlagos érkezési időköz nagyobb, mint az átlagos kiszolgálási idő: 1/λ > E[x], azaz 1/λ > t/γ. A rendszer kihasználtsága a Little-formulából számítható: ρ = E[XS] = λE[x] = λt/γ.

<li> ''Rajzolja fel a rendszer állapotgráfját, ha a puffer hossza 2!''

Az állapotokat úgy jelölöm, hogy a sorszámuk az időrés végén a rendszerben lévő igények számával legyen egyenlő.

<math> \begin{array}{c|cccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & y_0 & y_1 & y_2 & 1-y_0-y_1-y_2 \\
1 & \gamma y_0 & (1-\gamma)y_0 + \gamma y_1 & (1-\gamma)y_1 + \gamma y_2 & 1-y_0-y_1-\gamma y_2 \\
2 & 0 & \gamma y_0 & (1-\gamma)y_0 + \gamma y_1 & 1-y_0-\gamma y_1 \\
3 & 0 & 0 & \gamma y_0 & 1-\gamma y_0
\end{array} </math>

<li> ''Adja meg az utóbbi esetben a rendszer kihasználtságát és az igényvesztés valószínűségét ismert állapotvalószínűségek feltételezésével!''

Kihasználtság:
a következő időrésben akkor dolgozik a kiszolgáló, ha a rendszer nem p0 állapotban van
<big>⇒</big> ''ρ'' = 1-p0.

Veszteség valószínűség: ha a rendszer p3 állapotban volt, 1 valószínűséggel veszik el a beérkező igény. Ha p2-ben volt, egy igény még belefér a pufferbe, de az adott időrésben a többi el fog veszni. Tehát pv > p3, de nem tudom pontosan megmondani, hogy mennyi.

</ol>

<div id="20061219_feladat1"></div>
===[[TeljesitmenyElemzesV20061219#feladat1|2006.12.19, 1. feladat]]===

''Egy réselt adatátviteli rendszerebe egy időrésben p0, p1, p2 valószínűséggel időrésenként 0, 1, 2 igény érkezik, aszinkron módon, azaz az aktuális kiszolgálás megkezdése után. Egy kiszolgáló csatorna van, amely az igényeket γ paraméterű geometriai eloszlás szerint szolgálja ki. Minden csomag egységnyi hosszúságú puffert igényel. Az érkező igények mind a kiszolgálóba, mind a pufferbe beléphetnek, ha az szabad.''

<ol type="a">
<li> ''Rajzolja fel a rendszer állapotgráfját, ha végtelen a puffer hossza!''

Az állapotgráf helyett állapotátmeneti mátrixot rajzolok:

<math>
\begin{array}{c|cccccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\
\hline
0 & p_0 & p_1 & p_2 & 0 & 0 & \cdots \\
1 & \gamma p_0 & (1-\gamma) p_0+\gamma p_1 & (1-\gamma) p_1+\gamma p_2 & (1-\gamma) p_2 & 0 & \cdots \\
2 & 0 & \gamma p_0 & (1-\gamma) p_0+\gamma p_1 & (1-\gamma) p_1+\gamma p_2 & (1-\gamma) p_2 & \cdots \\
3 & 0 & 0 & \gamma p_0 & (1-\gamma) p_0+\gamma p_1 & (1-\gamma) p_1+\gamma p_2 & \cdots \\
4 & 0 & 0 & 0 & \gamma p_0 & (1-\gamma) p_0+\gamma p_1 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}
</math>

<li> ''Adja meg a rendszer kihasználtságát! Mikor stabil a rendszer?''

Ha _T_ az időrés hossza
* Egy igényt átlagosan 1/γ időrés alatt lehet kiszolgálni, azaz E[x] = T/γ.
* Egy időrésben átlagosan p1+2p2 igény érkezik. Az átlagos érkezési intenzitás E[λ] = (p1+2p2)/T

A Little-formula alapján ''ρ'' = E[λ]E[x] = (p1+2p2)/γ. A rendszer akkor stabil, ha ρ<1

<li> ''Rajzolja fel a rendszer állapotgráfját, ha a puffer hossza 2!''

Feltételezem, hogy ha több igény érkezik, mint amennyi belefér a pufferba, akkor csak a túlcsorduló igények vesznek el, nem az összes. Az állapotátmeneti mátrix:

<math>
\begin{array}{c|cccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & p_0 & p_1 & p_2 & 0 \\
1 & \gamma p_0 & (1-\gamma) p_0+\gamma p_1 & (1-\gamma) p_1+\gamma p_2 & (1-\gamma) p_2 \\
2 & 0 & \gamma p_0 & (1-\gamma) p_0+\gamma p_1 & (1-\gamma) p_1+p_2 \\
3 & 0 & 0 & \gamma p_0 & (1-\gamma) p_0+p_1+p_2 \\
\end{array}
</math>

Megjegyzés: mivel p0+p1+p2=1, a mátrix jobb alsó mezőjét írhatnánk akár 1-γp0 alakban is.

<li> ''Adja meg az utóbbi esetben a rendszer kihasználtságát és az igényvesztés valószínűségét ismert állapotvalószínűségek feltételezésével!''

Kihasználtság: ''ρ'' = 1-p0.
Igényvesztés valószínűsége:
* 0 és 1 állapotban nem veszhet el igény
* 2 állapotban (1-γ)p2 valószínűséggel veszik el 1
* 3 állapotban (1-γ)p1+γp2 valószínűséggel veszik el 1 és (1-γ)p2 valószínűséggel 2.

Ha az állapotvalószínűségeket S0, S1, S2, S3-mal jelöljük, egy időrés alatt átlagosan S2(1-γ)p2 + S3((1-γ)p1+γp2) +
2S3(1-γ)p2 igény veszik el. Az érkező igények száma p1+2p2, tehát az igényvesztés valószínűsége
<math>
p_v = \frac{
S_2 (1-\gamma) p_2 +
S_3 ((1-\gamma) p_1 + \gamma p_2) +
2 S_3 (1-\gamma) p_2
}{
p_1 + 2 p_2
}
</math>
</ol>

<div id="MG1"></div>
==M/G/1 és M/G/1/1 rendszerek==

===2005.01.06/B, 2. feladat===

Egy sorbanállási rendszerbe független azonos eloszlású időközönként ''λ'' paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek igények. Minden igény két fokozatban igényel kiszolgálást: az első fokozatban μ paraméterű, exponenciális eloszlásút, majd a második fokozatban ''α'' valószínűséggel 0 idejű, illetve 1-α valószínűséggel _T_ idejű determinisztikus eloszlásút. Adja meg a rendszer jellemzőit, ha

<ol type="a">

<li> ''egy kiszolgáló van és nincs puffer:''

A rendszer [[TeljesitmenyElemzesSorok#MG11|M/G/1/1 sor]]. Alapvető jellemzői:
* 1. fokozat: σμ2 = 1/μ2, E[xμ] = 1/μ
* 2. fokozat: σT2 = 0, E[xT] = (1-α)T
* Teljes kiszolgálási idő: E[x] = E[xμ]+E[xT] = 1/μ+(1-α)T.
* Teljes szórásnégyzet: σ2 = σμ2+σT2 = 1/μ2 a soros kapcsolás miatt
* Relatív szórásnégyzet: CS2 = σ2/E[x]2 = 1/(1+(1-α)μT)2

<ul>
<li> ''Adja meg a rendszer kihasználtságát!''

A rendszer veszteséges, ezért a Little-formula nem használható. A rendszer E[x] ideig dolgozik, aztán 1/λ ideig vár a következő igényre, ezért a kihasználtsága ''ρ'' = E[x]/(E[x]+1/λ).

<li> ''Határozza meg a veszteséget!''

''pv'' = ''ρ'', mert egy igény pontosan akkor veszik el, ha foglalt a kiszolgálóhoz érkezik, aminek ''ρ'' a valószínűsége.

</ul>

<li> ''egy kiszolgáló van és végtelen puffer:''

<ul>
<li> ''Adja meg a rendszer modelljét!''

Ilyenkor [[TeljesitmenyElemzesSorok#MG1|M/G/1 sorról]] beszélünk. A rendszer evolúciós egyenlettel modellezhető.
* Legyen ''Xi'' az _i_. kiszolgálás végén a rendszerben lévő igények száma (i≥0, X0=0).
* Legyen ''Yi'' az i-1. és az _i_. kiszolgálás vége között érkező igények száma (i≥1).
Ekkor Xi+1 = (Xi-1)++Yi+1.

<li> ''Adja meg a stabilitás feltételét!''

A rendszer akkor stabil, ha λE[x] < 1, azaz 1/μ+(1-α)T < 1/λ.

<li> ''Adja meg a rendszerbeli igények várható számát!''

<math> \mathrm{E}[W] = \frac{\rho}{1-\rho} \mathrm{E}[x] \frac{1+C_S^2}{2} = \frac{\lambda \mathrm{E}[x]^2}{1-\lambda \mathrm{E}[x]} \frac{1+C_S^2}{2} </math>

<math> \mathrm{E}[X] = \lambda \mathrm{E}[T] = \lambda (\mathrm{E}[W] + \mathrm{E}[x]) = \dots </math>
</ul>

<li> ''Mennyivel tér el ezen rendszerben a rendszerbeli várható igények száma attól a rendszertől, amelynem várható kiszolgálási ideje ugyanekkore, de a két — nem nulla idejű — fokozatot két különböző kiszolgáló látja el?''

A Burke-tétel szerint az exponenciális fokozat M/M/1 olyan sorként működik, aminek a kimenete ''λ'' paraméterű Poisson-folyamat. A rendszer tehát felbontható egy ''λ'' bemeneti intenzitású M/M/1 és egy (1-α)λ bemeneti intenzitású M/D/1 sorra. A két E[T]-t az [[TeljesitmenyElemzesSorok#MG1|M/G/1 sorok]] speciális eseteként számolom.

* <math> \mathrm E[X_\mu] = \lambda \mathrm E[T_\mu] = \frac{\lambda}{\mu-\lambda} </math>
* <math> \mathrm E[X_T] = (1-\alpha)\lambda \mathrm E[T_T] = (1-\alpha)\lambda \left( T + \frac{1}{2} \frac{(1-\alpha)\lambda T^2}{1-(1-\alpha)\lambda T} \right) </math>
* <math> \mathrm E[X] = \mathrm E[X_\mu] + \mathrm E[X_T] </math>

E[X] kisebb lesz, mint az egykiszolgálós esetben, mert a két kiszolgáló párhuzamosan működik.
</ol>

<div id="20061122_peldamegoldas"></div>
===[[TeljesitmenyElemzesZH20061122#pelda|2006.11.22. zh4 példa]]===

''Adott egy kiszolgáló rendszer, amelybe az igények λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az igények két fokozatban igényelnek kiszolgálást: az elsőben T1, míg a másodikban T2 paraméterű determiniszikust. Három esetet vizsgálunk:''
<ol>
<li> ''A puffer végtelen:''

<ul>
<li> ''Milyen típusú ez a rendszer?''

Egy kiszolgáló van. Az igény két fokozatban igényel kiszolgálást, de mivel az egyes fokozatokra külön-külön nem vonatkoznak kérdések, összevonhatjuk őket egy T1+T2 paraméterű determinisztikus fokozattá. A rendszer tekinthető [[TeljesitmenyElemzesSorok#MD1|M/D/1]]-nek.

<li> ''Adja meg a rendszer stabilitásának feltételét!''

Akkor stabil, ha az átlagos érkezési időköz nagyobb, mint a kiszolgálás ideje, azaz 1/λ > T1+T2

<li> ''Mekkora a rendszer kihasználtsága?''

A Little-formula alapján ''ρ'' = λE[x] = λ(T1+T2)

<li> Mekkora a rendszerbeli igények számának várható értéke?

M/D/1 rendszerben
<math> \mathrm{E}[X] = \lambda \mathrm{E}[T] = \lambda D + \frac{1}{2} \frac{(\lambda D)^2}{1-\lambda D} = \lambda (T_1+T_2) + \frac{1}{2} \frac{(\lambda (T_1+T_2))^2}{1-\lambda (T_1+T_2)}. </math>
A levezetést lásd [[TeljesitmenyElemzesSorok#MD1|itt]].
</ul>

<li> ''A rendszerben nincs puffer:''

<ul>
<li> ''Mikor stabil a rendszer?''

Mindig stabil.

<li> ''Mekkora a rendszer kihasználtsága?''

A Little-formula nem használható, mert a rendszer veszteséges. 
A rendszer T1+T2 tölt kiszolgálással, aztán átlagosan 1/λ ideig vár a következő igényre. Ezért a rendszer kihasználtsága <math> \rho = \frac{T_1+T_2}{1/\lambda+T_1+T_2}. </math>

<li> ''Mekkora az igényvesztés valószínűsége?''

Akkor veszik el egy igény, ha foglalt kiszolgálóhoz érkezik, tehát ''pv'' = ''ρ''.

</ul>

<li> ''Hogyan változna a rendszer modellje és hogyan változnának a rendszerparaméterek az előző két esetben, ha az első és a második fokozatban a determinisztikus helyett μ1=1/T1 és μ2=1/T2 paraméterű exponenciális eloszlás lenne?''

<ul>
<li> ''Mikor stabil a rendszer?''

Akkor, ha az átlagos érkezési időköz nagyobb, mint a kiszolgálás átlagos ideje, azaz 1/λ > 1/μ1+1/μ2 = T1+T2. Tehát a két rendszer ugyanakkor stabil.

<li> ''Mekkora a rendszer kihasználtsága?''

A Little-formula alapján ''ρ'' = λE[x] = λ(1/μ1+1/μ2) = λ(T1+T2).

<li> ''Mekkora az igényvesztés valószínűsége?''

Mivel végtelen a pufferméret, nem veszik el igény.
</ul>
</ol>

<div id="20061219_feladat2"></div>
===[[TeljesitmenyElemzesV20061219#feladat2|2006.12.19, 2. feladat]]===

''Egy sorbanállási rendszerbe független azonos eloszlású időközönként λ1 és λ2 paraméterű Poisson eloszlás szerint érkeznek igények. Az 1. típusú igények μ paraméterű exponenciális eloszlású, míg a 2. típusú igények D paraméterű determinisztikus eloszlású kiszolgálást igényelnek.''

<ol type="a">
<li> ''Egy kiszolgáló van és nincs puffer:''
<ul>

<li> ''Adja meg a rendszer kihasználtságát!''

A rendszerbe λ1+λ2 intenzitással érkeznek az igények. Egy igény λ1/(λ1+λ2) valószínűséggel 1. típusú és λ2/(λ1+λ2) valószínűséggel 2. típusú.

A rendszer működése periodikus. Először átlagosan 1/(λ1+λ2) ideig vár a következő igényre, aztán az érkező igény típusától függően átlagosan 1/μ vagy _D_ ideig szolgálja ki. A rendszer kihasználtsága:

<math> \rho =
\frac{
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \frac{1}{\mu} +
\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} D
}{
\frac{1}{\lambda_1+\lambda_2} +
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \frac{1}{\mu} +
\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} D
} =
\frac{
\lambda_1 / \mu + \lambda_2 D
} {
1 + \lambda_1 / \mu + \lambda_2 D
} </math>

<li> ''Határozza meg a veszteséget!''

A veszteség megegyezik a kihasználtsággal. ''pv'' = ''ρ''

</ul>
<li> ''Egy kiszolgáló van és végtelen puffer:''
<ul>

<li> ''Adja meg a rendszer modelljét!''

M/G/1 rendszer, jellemzőit a következő részfeladatokban számoljuk.

<li> ''Adja meg a stabilitás feltételét!''

<math> \displaystyle{
\mathrm{E}[x] =
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \frac{1}{\mu} +
\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} D
} </math>

Akkor stabil, ha E[x] < 1/(λ1+λ2), azaz λ1/μ+λ2D < 1

<li> ''Hogyan határozná meg a rendszerbeli igények várható számát!''

<math> \displaystyle{
\mathrm{E}[x^2] =
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \mathrm{E}[x_\mu^2] +
\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} \mathrm{E}[x_D^2]
=
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \frac{2}{\mu^2} +
\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} D^2
} </math>

<math> \displaystyle{
C_S^2 =
\frac{\sigma[x^2]}{\mathrm{E}[x]^2} =
\frac{\mathrm{E}[x^2] - \mathrm{E}[x]^2}{\mathrm{E}[x]^2} =
\frac{\mathrm{E}[x^2]}{\mathrm{E}[x]^2}-1
} </math>

<math> \displaystyle{
\rho =
(\lambda_1+\lambda_2) \mathrm{E}[x] =
\lambda_1 \mathrm{E}[x_\mu] + \lambda_2 \mathrm{E}[x_D] =
\lambda_1 / \mu + \lambda_2 D
} </math>

<math> \displaystyle{
\mathrm{E}[X] =
(\lambda_1+\lambda_2) \mathrm{E}[T] =
(\lambda_1+\lambda_2) (\mathrm{E}[x] + \mathrm{E}[W]) =
(\lambda_1+\lambda_2) (\mathrm{E}[x] + \frac{\rho}{1-\rho} \mathrm{E}[x] \frac{1+C_S^2}{2})
} </math>

</ul>
<li> ''Mennyivel tér el ezen rendszerben a rendszerbeli igények várható száma attól a rendszertől, amelyben a kétféle igényt két különböző kiszolgáló szolgálja ki, mindkettő előtt végtelen pufferrel? Mekkora lenne ekkor a kiszolgálók átlagos kihasználtsága?''

A rendszer felbontható egy párhuzamosan működő M/M/1 és M/D/1 rendszerre. Az igények átlagos száma
* az elsőben <math> \mathrm{E}[X_\mu] = \frac{\lambda_1}{\mu-\lambda_1} </math>;
* a másodikban <math> \mathrm{E}[X_D] = \lambda_2 D + \frac{1}{2} \frac{(\lambda_2 D)^2}{1-\lambda_2 D} </math>.
A teljes rendszerben lévő igények átlagos számát a kettő összege adja. A részletes levezetés [[TeljesitmenyElemzesSorok#mg1|itt]] található.

<li> ''Adja meg a rendszer állapotgráfját, ha egy kiszolgáló van, a 2. típusú igények kiszolgálási ideje is exponenciális eloszlású 1/D paraméterrel, és a rendszerben egy puffer van, amelyik bármelyik típusú igényt tudja fogadni. Mekkora lenne ekkor az igényvesztés valószínűsége ismert állapotvalószínűségeket feltételezve?''

Az állapottérben két jellemző van lekódolva:
* a rendszerben lévő igények száma és
* az éppen kiszolgálás alatt lévő igény típusa.

Az ábrán nem mindig tudtam jelezni, de a ''λ'' nyilak mindig jobbra, a ''μ'' és 1/D nyilak mindig balra mutatnak.
<pre> μ * λ1/(λ1+λ2)
/-----\
| |
V λ1 | λ1
o------>o------>o ...
/ \ /
λ1 / \ / μ * λ2/(λ1+λ2)
/ \ /
o X
\ / \
λ2 \ / \ (1/D) * λ1/(λ1+λ2)
\ / \
o------>o------>o ...
^ λ2 | λ2
| |
\_______/
(1/D) * λ2/(λ1+λ2)</pre>

Az igényvesztés valószínűsége végtelen puffernél 0, véges puffernél pm lenne.
</ol>

-- [[PallosPeter|Peti]] - 2007.01.12.

[[Category:Infoszak]]

Példák kidolgozása - Laptörténet

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoszak|TeljesitmenyElemzesPeldaKidolgozas}} %TOC{depth="2"}% Lásd még: [[TeljesitmenyElemzesElmeletKidolgozas|elméleti kérdések kidolgozása]…”