Matematika A3 villamosmérnököknek - Vizsga, 2006.06.02. - Laptörténet

Szikszayl, 2014. március 13., 17:50-n

2014-03-13T17:50:00Z

← Régebbi változat		A lap 2014. március 13., 19:50-kori változata
140. sor:		140. sor:
	}}		}}

	[[Kategória:~~Villanyalap~~]]		[[Kategória:Villamosmérnök]]

Hryghr: /* 1. feladat */ legyen mindenhol i, ne vegyesen i és j

2013-09-06T10:38:10Z

1. feladat: legyen mindenhol i, ne vegyesen i és j

← Régebbi változat		A lap 2013. szeptember 6., 12:38-kori változata
11. sor:		11. sor:
	\|mutatott='''Megoldás'''		\|mutatott='''Megoldás'''
	\|szöveg=<math>\sinh z = i</math> <br>		\|szöveg=<math>\sinh z = i</math> <br>
	<math>\sinh z = \sinh{x} \cos{y} + \j \cosh{c} \sin{y} = \j</math> <br>		<math>\sinh z = \sinh{x} \cos{y} + i \cosh{c} \sin{y} = i</math> <br>
	Ebből következik:		Ebből következik:
	* <math>\sinh{x} \cos{y} = 0</math>, ami <math>x = 0</math> vagy <math>y = \frac{\pi}{2} + k2\pi</math> számpárokra teljesül		* <math>\sinh{x} \cos{y} = 0</math>, ami <math>x = 0</math> vagy <math>y = \frac{\pi}{2} + k2\pi</math> számpárokra teljesül
	* <math>\cosh{x} \sin{y} = 1</math>, ami szintén a fenti számpárokra teljesül		* <math>\cosh{x} \sin{y} = 1</math>, ami szintén a fenti számpárokra teljesül
	tehát <math>z= 0 + \j (\frac{\pi}{2} + k2\pi), k\in\mathbb{Z}</math>.		tehát <math>z= 0 + i (\frac{\pi}{2} + k2\pi), k\in\mathbb{Z}</math>.
	}}		}}

	==2. feladat==		==2. feladat==
	Mutassa meg, hogy az <math> u(x,y) = e^{-y}\sin x </math> függvény harmonikus , és keresse meg azt a <math>v(x,y)</math> harmonikus társat, amelynél az <math> f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)</math> függvényre <math>f(0)=0</math> teljesül. ''(15p)''		Mutassa meg, hogy az <math> u(x,y) = e^{-y}\sin x </math> függvény harmonikus , és keresse meg azt a <math>v(x,y)</math> harmonikus társat, amelynél az <math> f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)</math> függvényre <math>f(0)=0</math> teljesül. ''(15p)''

Hryghr: Hryghr átnevezte a(z) AndaiB320060602 lapot a következő névre: Matematika A3 villamosmérnököknek - Vizsga, 2006.06.02.

2013-08-27T11:11:57Z

Hryghr átnevezte a(z) AndaiB320060602 lapot a következő névre: Matematika A3 villamosmérnököknek - Vizsga, 2006.06.02.

← Régebbi változat		A lap 2013. augusztus 27., 13:11-kori változata
(Nincs különbség)

Hryghr, 2013. augusztus 27., 11:11-n

2013-08-27T11:11:28Z

← Régebbi változat		A lap 2013. augusztus 27., 13:11-kori változata
1. sor:		1. sor:
	{{Vissza\|Matematika A3 villamosmérnököknek}}		{{Vissza\|Matematika A3 villamosmérnököknek}}

	~~_NOTOC_~~		__NOTOC__

	''Dr. Andai Attila'' által összeállított feladatsor.		''Dr. Andai Attila'' által összeállított feladatsor.

Hryghr, 2013. augusztus 27., 11:11-n

2013-08-27T11:11:14Z

← Régebbi változat		A lap 2013. augusztus 27., 13:11-kori változata
1. sor:		1. sor:
	{{Vissza\|Matematika A3 villamosmérnököknek}}		{{Vissza\|Matematika A3 villamosmérnököknek}}

			_NOTOC_

	''Dr. Andai Attila'' által összeállított feladatsor.		''Dr. Andai Attila'' által összeállított feladatsor.
50. sor:		52. sor:
	</math>		</math>
	}}		}}
	===4. feladat===		==4. feladat==
	Oldja meg az		Oldja meg az
	<math>		<math>
107. sor:		109. sor:
	<math>y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5</math>		<math>y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5</math>
	}}		}}
	===5. feladat===		==5. feladat==
	A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az <math>f(z) = \bar z z^2</math> függvény ? ''(15p)''		A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az <math>f(z) = \bar z z^2</math> függvény ? ''(15p)''
	{{Rejtett		{{Rejtett
113. sor:		115. sor:
	\|szöveg=TODO		\|szöveg=TODO
	}}		}}
	===6. feladat===		==6. feladat==
	Oldja meg az		Oldja meg az
	<math>		<math>

Hryghr, 2013. augusztus 27., 11:10-n

2013-08-27T11:10:26Z

← Régebbi változat		A lap 2013. augusztus 27., 13:10-kori változata
1. sor:		1. sor:
	{{Vissza\|Matematika A3 villamosmérnököknek}}		{{Vissza\|Matematika A3 villamosmérnököknek}}

	~~{{TODO}}~~		''Dr. Andai Attila'' által összeállított feladatsor.

	~~2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila)~~		==1. feladat==
	~~==Feladatok==~~

	===1. feladat===

	Oldja meg a komplex számok körében a <math>\sinh z = i </math> egyenletet. ''(15p)''		Oldja meg a komplex számok körében a <math>\sinh z = i </math> egyenletet. ''(15p)''
18. sor:		15. sor:
	tehát <math>z= 0 + \j (\frac{\pi}{2} + k2\pi), k\in\mathbb{Z}</math>.		tehát <math>z= 0 + \j (\frac{\pi}{2} + k2\pi), k\in\mathbb{Z}</math>.
	}}		}}
			==2. feladat==
	===2. feladat===

	Mutassa meg, hogy az <math> u(x,y) = e^{-y}\sin x </math> függvény harmonikus , és keresse meg azt a <math>v(x,y)</math> harmonikus társat, amelynél az <math> f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)</math> függvényre <math>f(0)=0</math> teljesül. ''(15p)''		Mutassa meg, hogy az <math> u(x,y) = e^{-y}\sin x </math> függvény harmonikus , és keresse meg azt a <math>v(x,y)</math> harmonikus társat, amelynél az <math> f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)</math> függvényre <math>f(0)=0</math> teljesül. ''(15p)''
	{{Rejtett\|mutatott='''Megoldás'''\|szöveg=}}		{{Rejtett
			\|mutatott='''Megoldás'''
	===3. feladat===		\|szöveg=TODO
			}}
			==3. feladat==
	Tekintsük a		Tekintsük a
	<math>V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \|y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 9} \right\}</math> térrészt és az <math>f=(x,y,z) = xy^2z</math> függvényt. Számolja ki a <math>		<math>V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \|y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 9} \right\}</math> térrészt és az <math>f=(x,y,z) = xy^2z</math> függvényt. Számolja ki a <math>
53. sor:		49. sor:
	\end{gathered}		\end{gathered}
	</math>		</math>
	}}		}}

	===4. feladat===		===4. feladat===

	Oldja meg az		Oldja meg az
	<math>		<math>
113. sor:		107. sor:
	<math>y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5</math>		<math>y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5</math>
	}}		}}

	===5. feladat===		===5. feladat===

	A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az <math>f(z) = \bar z z^2</math> függvény ? ''(15p)''		A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az <math>f(z) = \bar z z^2</math> függvény ? ''(15p)''
	{{Rejtett		{{Rejtett
	\|mutatott='''Megoldás'''		\|mutatott='''Megoldás'''
	\|szöveg=		\|szöveg=TODO
	}}		}}

	===6. feladat===		===6. feladat===

	Oldja meg az		Oldja meg az
	<math>		<math>

Hryghr, 2013. augusztus 27., 11:07-n

2013-08-27T11:07:50Z

Változtatások megtekintése

Hryghr: Nem tartom törlendőnek, át kell futni és megmenteni

2013-08-26T22:18:19Z

Nem tartom törlendőnek, át kell futni és megmenteni

← Régebbi változat		A lap 2013. augusztus 27., 00:18-kori változata
1. sor:		1. sor:
	{{~~GlobalTemplate\|Villanyalap\|AndaiB320060602}}~~		{{TODO}}

	~~{{Delete\|indok=Nem releváns infókat tartalmazó oldal, nem linkel rá semmi~~}}

	2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila)		2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila)

David14, 2013. február 8., 21:11-n

2013-02-08T21:11:20Z

← Régebbi változat		A lap 2013. február 8., 23:11-kori változata
1. sor:		1. sor:
	{{GlobalTemplate\|Villanyalap\|AndaiB320060602}}		{{GlobalTemplate\|Villanyalap\|AndaiB320060602}}

			{{Delete\|indok=Nem releváns infókat tartalmazó oldal, nem linkel rá semmi}}

	2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila)		2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila)
171. sor:		173. sor:

	-- [[KissGergely\|Ger******]] - 2006.06.02.		-- [[KissGergely\|Ger******]] - 2006.06.02.


	~~[[Category:Villanyalap]]~~

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Villanyalap|AndaiB320060602}} 2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila) ==Feladatok== ===1. feladat=== Oldja meg a komplex számok körében a
2012-10-22T11:50:24Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Villanyalap|AndaiB320060602}} 2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila) ==Feladatok== ===1. feladat=== Oldja meg a komplex számok körében a <math…”

Új lap
{{GlobalTemplate|Villanyalap|AndaiB320060602}}

2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila)
==Feladatok==

===1. feladat===

Oldja meg a komplex számok körében a <math>\sinh z = i </math> egyenletet. ''(15p)''
[[#ToMegoldas1|megoldás]]

===2. feladat===

Mutassa meg, hogy az <math> u(x,y) = e^{-y}\sin x </math> függvény harmónikus , és keresse meg azt a <math>v(x,y)</math> harmonikus társat, amelynél az <math> f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)</math> függvényre <math>f(0)=0</math> teljesül. ''(15p)''
[[#ToMegoldas2|megoldás]]

===3. feladat===

Tekintsük a
<math>V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 |y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 9} \right\}</math> térrészt és az <math>f=(x,y,z) = xy^2z</math> függvényt. Számolja ki a <math>
\int\limits_{V} f </math> térfogati integrált ''(20p)''
[[#ToMegoldas3|megoldás]]

===4. feladat===

Oldja meg az
<math>
y''(x) + 3y'(x) + 2y(x) = 1 + e^{ - x}
</math>
differenciálegyenletet. ''(15p)''
[[#ToMegoldas4|megoldás]]

===5. feladat===

A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az <math>f(z) = \bar z z^2</math> függvény ? ''(15p)''
[[#ToMegoldas5|megoldás]]

===6. feladat===

Oldja meg az
<math>
\left\{ \begin{gathered}
\dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\
\dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\
\end{gathered} \right.
</math>
differenciálegyenlet-rendszert az <math>x_1 (0) = 1,x_2 (0) = 0</math> kezdeti feltételek mellett. ''(20p)''

[[#ToMegoldas6|megoldás]]

#ToMegoldas1
==Megoldások==

===1. feladat megoldása===
<math>\sinh z = i</math> <br>
<math>\sinh z = \sinh{x} \cos{y} + \j \cosh{c} \sin{y} = \j</math> <br>
Ebből következik:
* <math>\sinh{x} \cos{y} = 0</math>, ami <math>x = 0</math> vagy <math>y = \frac{\pi}{2} + k2\pi</math> számpárokra teljesül
* <math>\cosh{x} \sin{y} = 1</math>, ami szintén a fenti számpárokra teljesül
tehát <math>z= 0 + \j (\frac{\pi}{2} + k2\pi), k\in\mathbb{Z}</math>.

#ToMegoldas2
===2. feladat megoldása===

...

#ToMegoldas3
===3. feladat megoldása===

A
<math>V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 |y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 9} \right\}</math> térrész egy 3 sugarú negyed körcikk és belseje. Gömbi koordinátákkal felírva:
<math>
V = \left\{ {(r,\varphi ,\vartheta ) \in \mathbb{R}^3 |0 \leqslant r \leqslant 3,0\leqslant \varphi \leqslant \pi,0 \leqslant \vartheta \leqslant \frac{\pi }{2}} \right\}
</math>

Az <math>f</math> függvény gömbi koordinátákkal:
<math>
f(x,y,z) = xy^2 z = (r\sin \vartheta \cos \varphi )(r\sin \vartheta \sin \varphi )^2 (r\cos \vartheta )
</math>

ezzel a térrészen vett integrál:

<math>
\begin{gathered}
\int\limits_V f = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi }
{2}} {\int\limits_{\varphi = 0}^\pi {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \sin ^2 \varphi \cos \varphi \cdot d\varphi } d\vartheta dr} } \hfill \\
= \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi }
{2}} {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \left[ {\frac{{\sin ^3 \varphi }}
{3}} \right]_{\varphi = 0}^\pi d\vartheta dr} } = 0 \hfill \\
\end{gathered}
</math>

#ToMegoldas3
===3. feladat megoldása===

...

#ToMegoldas4
===4. feladat megoldása===
Először a tekintsük a homogén egyenletet:

<math>y'' + 3y' + 2y = 0</math>

A diffegyenlet karakterisztikus polinomja:

<math>m^{2} + 3m + 2 = 0</math>

<math>(m+1)(m+2)=0 \rightarrow m_{1}=-1; m_{2}=-2</math>

Ebböl a homogén egyenlet általános megoldása:

<math>y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}</math>

Tekintsük most az inhomogén egyenletet.
Mivel a homogén megoldásban és a gerjesztő függvényben is szerepel e^(-x) alakú tag,
a megoldást a következő formában kell keresnünk:

<math>y(x)=Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D</math>

A feladat tehát az A,B,C,D konstansok meghatározása.
Fejezzük ki y'-t és y''-t:

<math>y'=-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2Ce^{-2x}</math>

<math>y"=Axe^{-x}-2Ae^{-x}+4Ce^{-2x}</math>

Helyettesítsünk vissza az inhomogén egyenletbe!

<math>[Axe^{-x}-2Ae^{-x}+4Ce^{-2x}]+3[-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2Ce^{-2x}] +2[Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D]=1+e^{-x}</math>

összevonva az azonos kitevőjű tagokat:

<math>2D+Ae^{-x} = 1+e^{-x}</math>

d/dx:

<math>-Ae^{-x}=-e^{-x} \rightarrow A=1</math>

x=0-t behelyettesítve az előző előtti egyenletbe:

<math>2D=1 \rightarrow D=1/2</math>

Mivel B és C kiesik ezért B,C bármely valós szám lehet.

Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:

<math>y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5</math>

Bugok, észrevételek: ruster@sch.bme.hu

#ToMegoldas5
===5. feladat megoldása===

...

#ToMegoldas6
===6. feladat megoldása===
<math>
\left\{ \begin{gathered}
\dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\
\dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\
\end{gathered} \right.
</math>
Az első egyenletetből <math>x_2</math>:

<math>x_2 = x_1 - \dot x_1</math> , amiből <math>\dot x_2 = \dot x_1 - \ddot x_1</math>

így a második egyenlet kifejezhető <math>x_1</math>-nek és deriváltjainak segítségével.

-- [[KissGergely|Ger******]] - 2006.06.02.

[[Category:Villanyalap]]