Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07 - Laptörténet

Szikszayl, 2014. március 13., 17:49-n

2014-03-13T17:49:33Z

← Régebbi változat		A lap 2014. március 13., 19:49-kori változata
206. sor:		206. sor:
	}}		}}

	[[~~Category~~:~~Villanyalap~~]]		[[Kategória:Villamosmérnök]]

David14, 2014. február 2., 02:23-n

2014-02-02T02:23:23Z

← Régebbi változat		A lap 2014. február 2., 04:23-kori változata
1. sor:		1. sor:
	~~{{noautonum}}~~		__NOTOC__
	{{vissza\|Matematika A1a - Analízis}}		{{vissza\|Matematika A1a - Analízis}}

	===1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.~~===~~		===1. Feladat===

			Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

	{{Rejtett		{{Rejtett
14. sor:		16. sor:
	}}		}}

	===2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.~~===~~		===2. Feladat===

			Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.

	{{Rejtett		{{Rejtett
38. sor:		42. sor:
	}}		}}

	===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:~~===~~		===3. Feladat===

			Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

	<math>a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>		<math>a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>
102. sor:		108. sor:
	}}		}}

	===4. Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>.~~===~~		===4. Feladat===

			Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>.

	a, Hol folytonos és hol deriválható <math>f(x)</math>?		a, Hol folytonos és hol deriválható <math>f(x)</math>?
118. sor:		126. sor:
	}}		}}

	===5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!~~===~~		===5. Feladat===

			Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

	a, Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>		a, Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>
138. sor:		148. sor:
	}}		}}

	===6. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:~~===~~		===6. Feladat===

			Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

	<math>a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>		<math>a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>

David14: /* 6. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat: */

2014-01-17T22:59:58Z

6. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

← Régebbi változat		A lap 2014. január 18., 00:59-kori változata
148. sor:		148. sor:
	\|szöveg=		\|szöveg=

	~~====(~~a~~) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>====~~
			'''a, Feladat:'''


	Parciális törtekre bontjuk az integrandust:		Parciális törtekre bontjuk az integrandust:

	<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>		<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>

155. sor:		159. sor:

	<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}</math>		<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}</math>


	<math> 1 = (A+B)x^2 + Cx + A</math>		<math> 1 = (A+B)x^2 + Cx + A</math>


			Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:

	<math> A=1</math>		<math> A=1</math>
163. sor:		171. sor:

	<math> C=0</math>		<math> C=0</math>


			Tehát:

	<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}</math>		<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}</math>


	Így már könnyű integrálni:		Így már könnyű integrálni:

	<math> \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln\|x\| - \frac{1}{2}ln\|x^2+1\|+C </math>		<math> \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln\|x\| - \frac{1}{2}ln\|x^2+1\|+C </math>

	~~-- [[OverLord\|OverLord]] - 2008.01.14.~~

	~~====(~~b~~) <math> \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx </math>====~~		'''b, Feladat:'''


	<math> \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>		<math> \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>

	Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)		Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

	<math> \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{\|x^{\frac{3}{2}}+3\|+C}</math>		<math> \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{\|x^{\frac{3}{2}}+3\|+C}</math>

	~~-- [[OverLord\|OverLord]] - 2008.01.14.~~

	}}		}}

	[[Category:Villanyalap]]		[[Category:Villanyalap]]

David14: /* 3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: */

2014-01-17T22:53:38Z

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

← Régebbi változat		A lap 2014. január 18., 00:53-kori változata
40. sor:		40. sor:
	===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:===		===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:===

	<math>a, \; a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math>		<math>a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>

	<math>b, \; \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>		<math>b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>

	{{Rejtett		{{Rejtett
48. sor:		48. sor:
	\|szöveg=		\|szöveg=

	~~====(a)====~~
	~~Először alkalmazzuk az [[OverLord\|OverLord]] féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:~~

	<math>(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.</math>		'''a, Feladat:'''


			<math> a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
			\left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
			\left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
			\left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>

	A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:		A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
	<math>(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} </math>		<math>\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} </math>

	Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!		Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

	<math>\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} </math>		<math>\frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} </math>

	Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:		Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:

	<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>		<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>

	~~-- [[ViszkeiGyorgy\|Gyurci]] - 2008.01.14.~~

	~~====(~~b~~) ====~~		'''b, Feladat:'''
	~~Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet~~:
	~~Egyszerűsítsük a törtet <math>n^2</math>-el:~~
	<math> \~~frac{2n^2-1}{~~n~~^2+2} = \frac~~{2-\frac{1}{n^2~~}}{1~~+~~\frac{2}{n^~~2}~~} \rightarrow \underline{2~~} </math>		A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:
	~~Azaz~~ a ~~gyökjelen belüli rész~~ 2~~-höz tart végtelennél~~. ~~Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk:~~
	~~<math> \sqrt[~~n~~]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} </math>~~		<math> b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>

			Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:

			Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.

			Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.

	-- ~~[[OverLord\|OverLord]] - 2008.01.14.~~		<math>2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} < 2-\frac{5}{n^2+2} < 2</math>

	~~Troll vagyok~~, ~~de ez a megoldás hibás. '''Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni~~, ~~ha a "~~gyök~~" művelet~~ n-~~től függ!''' Tekintsük a nevezetes <math> (1+\frac{a}{n})^n = e^a </math> határértéket: Ha belül vizsgálom~~, ~~a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba~~.		Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.

	~~Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az~~ n~~. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám~~ n~~. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:~~		<math>\sqrt[n]{\frac{1}{3}} <\sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }<\sqrt[n]{ 2}</math>

	~~<math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>~~

	~~Látjuk~~, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint <math> \sqrt[n]{2} </math>, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél <math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} </math>, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^		Tudjuk, hogy:

			<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1</math>

			<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1</math>


	~~-- [[mp9k1\|MP]] - 2012.01.09.~~		Így a rendőrelv miatt:

			<math>\lim_{n\to\infty} {b_n}=1</math>

	}}		}}

David14: /* 2. Oldja meg a z^2 = \overline{z}^ 2 egyenletet. */

2014-01-17T22:26:53Z

2. Oldja meg a z^2 = \overline{z}^ 2 egyenletet.

@@ 19. sor: / 19. sor: @@
 |mutatott='''Megoldás'''
 |szöveg=
 <math> z^2 = \overline{z}^2 </math>
@@ 64. sor: / 34. sor: @@
 <math> ab = -ab </math>
-Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math>, az összes ilyen alakú szám megoldás.
+Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math> és <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, az összes ilyen alakú szám megoldás.
 }}

David14, 2014. január 17., 22:21-n

2014-01-17T22:21:39Z

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-==Feladatok:==
+{{noautonum}}
 ===1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.===
-==Megoldások:==
+{{Rejtett
 ===2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.===
 <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math>
@@ 63. sor: / 68. sor: @@
 -- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.
 ====(a)====
@@ 102. sor: / 117. sor: @@
 -- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.
 ===6.===
 ====(a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>====
 Parciális törtekre bontjuk az integrandust:
@@ 133. sor: / 196. sor: @@
 -- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.
 [[Category:Villanyalap]]

David14: David14 átnevezte a(z) Matematika A1 - 2007 tavasz, 3. vizsga lapot a következő névre: Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

2014-01-17T22:10:12Z

David14 átnevezte a(z) Matematika A1 - 2007 tavasz, 3. vizsga lapot a következő névre: Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

← Régebbi változat		A lap 2014. január 18., 00:10-kori változata
(Nincs különbség)

David14, 2013. február 25., 17:09-n

2013-02-25T17:09:32Z

← Régebbi változat		A lap 2013. február 25., 19:09-kori változata
1. sor:		1. sor:
	{{~~GlobalTemplate\|Villanyalap\|VizsgaHat~~}}		==Feladatok:==
			===1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.===
			===2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.===
			===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>===
			===4. Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>. (a) Hol folytonos és hol deriválható f? (b) Hol folytonos f'?===
			===5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!===
			==== (a) Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>====
			==== (b) Ha <math>lima_n = limb_n = 0</math> akkor <math>lim \frac{a_n}{b_n} = 1</math>====
			==== (c) Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n.====
			==== (d) Ha f szigorúan monoton nő <math>\mathbb{R}</math>-en, akkor <math>lim_\infty f = \infty</math>====
			===6. Számítsa ki a következő integrálokat:<math> (a) \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx (b) \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx</math>===

			==Megoldások:==

			===2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.===
	~~===Feladatok:===~~
	~~=====1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.=====~~
	=====2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.~~=====~~
	~~=====3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>=====~~
	~~=====4. Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>. (a) Hol folytonos és hol deriválható f? (b) Hol folytonos f'?=====~~
	~~=====5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!=====~~
	~~====== (a) Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>======~~
	~~====== (b) Ha <math>lima_n = limb_n = 0</math> akkor <math>lim \frac{a_n}{b_n} = 1</math>======~~
	~~====== (c) Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n.======~~
	~~====== (d) Ha f szigorúan monoton nő <math>\mathbb{R}</math>-en, akkor <math>lim_\infty f = \infty</math>======~~
	~~=====6. Számítsa ki a következő integrálokat: (a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx (b) \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx</math>=====~~

	~~-- [[ViszkeiGyorgy\|Gyurci]] - 2008.01.14.~~


	~~===Megoldások:===~~

	~~=====2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.==~~===

	<math>z^2 = \overline{z}^ 2</math>		<math>z^2 = \overline{z}^ 2</math>
70. sor:		63. sor:
	-- [[mp9k1\|MP]] - 2012.01.09.		-- [[mp9k1\|MP]] - 2012.01.09.

	=====3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>=====		===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>===


	======(a)======		====(a)====
	Először alkalmazzuk az [[OverLord\|OverLord]] féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:		Először alkalmazzuk az [[OverLord\|OverLord]] féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:

88. sor:		81. sor:
	-- [[ViszkeiGyorgy\|Gyurci]] - 2008.01.14.		-- [[ViszkeiGyorgy\|Gyurci]] - 2008.01.14.

	======(b) ======		====(b) ====
	Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet:		Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet:
	Egyszerűsítsük a törtet <math>n^2</math>-el:		Egyszerűsítsük a törtet <math>n^2</math>-el:
109. sor:		102. sor:
	-- [[mp9k1\|MP]] - 2012.01.09.		-- [[mp9k1\|MP]] - 2012.01.09.

	=====6.=====		===6.===
	======(a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>======		====(a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>====
	Parciális törtekre bontjuk az integrandust:		Parciális törtekre bontjuk az integrandust:
	<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>		<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>
132. sor:		125. sor:
	-- [[OverLord\|OverLord]] - 2008.01.14.		-- [[OverLord\|OverLord]] - 2008.01.14.

	======(b) <math> \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx </math>======		====(b) <math> \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx </math>====
	<math> \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>		<math> \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>
	Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)		Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

David14: David14 átnevezte a(z) Matekvizsga vill.BSc 2007. tavasz (3. vizsga) lapot a következő névre: Matematika A1 - 2007 tavasz, 3. vizsga

2013-02-25T17:02:58Z

David14 átnevezte a(z) Matekvizsga vill.BSc 2007. tavasz (3. vizsga) lapot a következő névre: Matematika A1 - 2007 tavasz, 3. vizsga

← Régebbi változat		A lap 2013. február 25., 19:02-kori változata
(Nincs különbség)

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaHat}} ===Feladatok:=== =====1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.===== =====2.…”

2012-10-22T12:01:20Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaHat}} ===Feladatok:=== =====1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.===== =====2.…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaHat}}

===Feladatok:===
=====1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.=====
=====2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.=====
=====3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>=====
=====4. Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>. (a) Hol folytonos és hol deriválható f? (b) Hol folytonos f'?=====
=====5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!=====
====== (a) Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>======
====== (b) Ha <math>lima_n = limb_n = 0</math> akkor <math>lim \frac{a_n}{b_n} = 1</math>======
====== (c) Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n.======
====== (d) Ha f szigorúan monoton nő <math>\mathbb{R}</math>-en, akkor <math>lim_\infty f = \infty</math>======
=====6. Számítsa ki a következő integrálokat: (a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx (b) \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx</math>=====

-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.

===Megoldások:===

=====2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.=====

<math>z^2 = \overline{z}^ 2</math>

Átírjuk másik alakba:

<math>(a+bj)^2</math>=<math>(a-bj)^2</math>

<math>a^2</math>+<math>2abj</math>+<math>b^2</math><math>i^2</math>=<math>a^2</math><math>-2abj</math>+<math>b^2</math><math>i^2</math>

"hosszas" rendezés után:

abj=0

Egy szorzat eredménye akkor és csak akkor zérus, ha valamely tagja a szoraztnak 0.

Tehát:

a=0 és "b" <math>\in</math> R
vagy
b=0 és "a" <math>\in</math> R
vagy
a és b is 0

(A tördelés kicsit csúnya, sajnos nem értek ehhez, kérlek ha nem fáradtság javítsd ki)
(*A megoldásomban nem vagyok biztos, senki sem ellenőrizte. Ha ellenőrizted, kérlek töröld ezt a sort.*)

-- [[GAbika]] -- 2009.01.15.

Nekem az előző megoldás nem jelent meg érthetően, itt az enyém:

<math> z^2 = \overline{z}^2 </math>

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

<math> (a+bi)^2 = (a-bi)^2 </math>

Zárójelek felbontása után:

<math> a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 </math>

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

<math> ab = -ab </math>

Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math>, az összes ilyen alakú szám megoldás.

-- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.

=====3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>=====

======(a)======
Először alkalmazzuk az [[OverLord|OverLord]] féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:

<math>(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.</math>
A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
<math>(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} </math>

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

<math>\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} </math>
Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>

-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.

======(b) ======
Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet:
Egyszerűsítsük a törtet <math>n^2</math>-el:
<math> \frac{2n^2-1}{n^2+2} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \rightarrow \underline{2} </math>
Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk:
<math> \sqrt[n]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} </math>

-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.

Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. '''Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ!''' Tekintsük a nevezetes <math> (1+\frac{a}{n})^n = e^a </math> határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.

Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:

<math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>

Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint <math> \sqrt[n]{2} </math>, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél <math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} </math>, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^

-- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.

=====6.=====
======(a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>======
Parciális törtekre bontjuk az integrandust:
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>

<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1)+ x(Bx +C)}{x(x^2+1)}</math>

<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}</math>

<math> 1 = (A+B)x^2 + Cx + A</math>

<math> A=1</math>

<math> (A+B)=0 \Rightarrow B = -1 </math>

<math> C=0</math>

<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}</math>
Így már könnyű integrálni:
<math> \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C </math>

-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.

======(b) <math> \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx </math>======
<math> \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>
Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

<math> \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}</math>

-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.

[[Category:Villanyalap]]