Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23 - Laptörténet

Szikszayl, 2014. március 13., 17:49-n

2014-03-13T17:49:27Z

← Régebbi változat		A lap 2014. március 13., 19:49-kori változata
188. sor:		188. sor:
	}}		}}

	[[~~Category~~:~~Villanyalap~~]]		[[Kategória:Villamosmérnök]]

David14, 2014. február 2., 02:21-n

2014-02-02T02:21:58Z

← Régebbi változat		A lap 2014. február 2., 04:21-kori változata
1. sor:		1. sor:
	{{~~noautonum~~}}		__NOTOC__
			{{vissza\|Matematika A1a - Analízis}}

	~~{{vissza\|Matematika A1a - Analízis}}~~		===1. Feladat===

	~~===1.~~ Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.~~===~~		Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.

	{{Rejtett		{{Rejtett
23. sor:		24. sor:
	}}		}}

	===2. Határozza meg az alábbi határértékeket!~~===~~		===2. Feladat===

			Határozza meg az alábbi határértékeket!

	<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>		<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
48. sor:		51. sor:
	}}		}}

	===3. Melyik igaz, melyik nem:~~===~~		===3. Feladat===

			Melyik igaz, melyik nem:

	a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n		a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
70. sor:		75. sor:
	}}		}}

	===4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!~~===~~		===4. Feladat===

			Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

	{{Rejtett		{{Rejtett
112. sor:		119. sor:
	}}		}}

	===5. Határozza meg az alábbi integrál értékét!~~===~~		===5. Feladat===

			Határozza meg az alábbi integrál értékét!

	<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>		<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>
141. sor:		150. sor:
	}}		}}

	===6. Határozza meg az alábbi határértéket!~~===~~		===6. Feladat===

			Határozza meg az alábbi határértéket!

	<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?</math>

David14: /* 6. Határozza meg az alábbi határértéket! */

2014-01-17T22:07:06Z

6. Határozza meg az alábbi határértéket!

← Régebbi változat		A lap 2014. január 18., 00:07-kori változata
143. sor:		143. sor:
	===6. Határozza meg az alábbi határértéket!===		===6. Határozza meg az alábbi határértéket!===

	<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?</math>

	{{Rejtett		{{Rejtett
151. sor:		151. sor:
	Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:		Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:

	<math>\int_0^x 1\arctan{t}\mathrm{d}t=[t\arctan{t}]_0^x-\int_0^x t\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=[t\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>		<math>\int_0^x 1\arctan{(t)}\mathrm{d}t=\left[t\arctan{(t)}\right]_0^x-\int_0^x t\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\left[t\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
	<math>=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}[ln(t^2+1)]_0^x=~~</math>~~
	~~<math>=~~x\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-0=x\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)</math>		<math>=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\left[ln\left(t^2+1\right)\right]_0^x=
			x\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)+0=x\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)</math>

	Most ezt visszahelyettesítjük:		Most ezt visszahelyettesítjük:

	<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)}{x}=</math>
	<math>\lim_{x\to\infty}(\arctan{x}-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\left(\arctan{x}-\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}\right)=</math>
	<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}</math>		<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}</math>

			<math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>

	~~Mert, <math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>.~~

	A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:		A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:

	<math>lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
	<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>
	<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>
	<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>

	~~Így a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>~~


	~~A feladatokat le kellene ellenőrizni + hozzáadni a 3. feladat megoldását.~~

	-~~- [[BalazsiPeter\|r.crusoe]] - 2008.01.14.~~		Tehát a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>

	}}		}}

	[[Category:Villanyalap]]		[[Category:Villanyalap]]

David14: /* 5. Határozza meg az alábbi integrál értékét! */

2014-01-17T21:56:22Z

5. Határozza meg az alábbi integrál értékét!

← Régebbi változat		A lap 2014. január 17., 23:56-kori változata
120. sor:		120. sor:
	\|szöveg=		\|szöveg=

	~~Parciálisan fogunk integrálni~~, ~~beviszünk~~ az ~~integrálba egy~~ 1-~~es szorzót~~, ~~ez lesz <math>v'(x)</math>, és <math>u(x)=ln^2x</math>~~.		A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.

	<math>\~~int_1^e 1ln^2x~~\~~mathrm{d}x=[xln^2x]_1^e-~~\int_1^e x\~~frac{2lnx}{x}~~\~~mathrm{d}~~x=		<math>v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x</math>
	~~[xln~~^2x~~]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x~~</math>

	<math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x</math>-et az előző módszerrel integráljuk:		<math>v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}</math>

			<math>\int_1^e 1ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x=
			[xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=</math>

			<math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x \;</math>-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:

			<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)=</math>

			<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\left[x\right]_1^e\right)=</math>

			<math>\left[x\left(ln^2x-2lnx+2\right)\right]_1^e=</math>

	~~<math>[xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x)=</math>~~
	~~<math>[xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-[x]_1^e)=</math>~~
	~~<math>[x(ln^2x-2lnx+2)]_1^e=</math>~~
	<math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math>		<math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math>

David14: /* 4. Hány megoldása van az x^{13}-13x-9=0 egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket! */

2014-01-17T21:45:26Z

4. Hány megoldása van az x^{13}-13x-9=0 egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

← Régebbi változat		A lap 2014. január 17., 23:45-kori változata
79. sor:		79. sor:
	A feladat ekvivalens a következővel:		A feladat ekvivalens a következővel:

	Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> ~~egyenletnek~~?		Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> függvénynek?

	Deriváljuk a függvényt először:		Deriváljuk a függvényt először:
89. sor:		89. sor:
	<math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math>		<math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math>

	Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, ~~akövetkezőt~~ tudjuk meg: ~~ha f''(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,~~		Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:
	~~ha f''(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.~~

	~~<math>~~f''(x)~~=156x^{11}</math~~> , ~~ebből <math>f''(-1)=-156</math>~~ és ~~<math>~~f''(1)~~=156~~<~~/math>~~, ~~tehát -1-ben lokális~~ maximuma~~, 1-ben lokális minimuma~~ van.		ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,

			ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.

	~~Így igaz a következő~~ <math>(~~\infty,-1~~)</math> ~~intervallumon szig. mon. nő~~,		<math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math>.
	<math>(-1,1)</math>~~-on szig.mon. csökken,~~ <math>(1~~,\infty~~)</math>~~-on szig. mon. nő~~.

	Emiatt lehet 1,2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:		Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.

			Így igaz, hogy a függvény a <math>(\infty,-1)</math> intervallumon szigorúan monoton nő, a
			<math>(-1,1)</math> intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a <math>(1,\infty)</math> intervallumon szigorúan monoton nő.

			Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:

	<math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.		<math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
104. sor:		109. sor:

	Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.		Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.

	~~A megoldás kicsit hosszadalmas lett, amennyiben tudsz egyszerűbbet rakd fel nyugodtan ezután.~~

	~~-- [[BalazsiPeter\|r.crusoe]] - 2008.01.14.~~

	~~Az egyenletből egyébként ránézésre látszik, hogy egyáltalán van-e megoldása.. Ugyanis: páratlan fokú, tehát biztos átmegy az abszcisszán.~~

	~~-- [[ViszkeiGyorgy\|Gyurci]] - 2008.05.27.~~

	Vizsgatapasztalat: Ha lehet 3 gyök és a végén kijön, hogy van is, akkor oda kell írni, hogy ez Bolzano miatt van. Itt persze a lényeg az, hogy ha pozitívból negatívba megyünk (vagy fordítva), és a fv. folytonos, akkor muszáj átmennünk az x tengelyen, tehát kell lennie gyöknek. Ez a függvény pedig folytonos, mert folytonosakból raktuk össze.

	~~-- [[ViszkeiGyorgy\|Gyurci]] - 2008.01.14.~~

	}}		}}

David14: /* 2. Határozza meg az alábbi határértékeket! */

2014-01-17T21:28:44Z

2. Határozza meg az alábbi határértékeket!

← Régebbi változat		A lap 2014. január 17., 23:28-kori változata
25. sor:		25. sor:
	===2. Határozza meg az alábbi határértékeket!===		===2. Határozza meg az alábbi határértékeket!===

	a, <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>		<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>

	b, <math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?</math>		<math>b,\;\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?</math>

	{{Rejtett		{{Rejtett
33. sor:		33. sor:
	\|szöveg=		\|szöveg=

	a, ~~<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>~~		'''a, Feladat:'''

	<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+~~\frac~~{n^3}{3^n}}{1-~~\frac~~{n}{3^n}}=\frac{9+0}{1-0}=9</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=
			\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+{n^3}/{3^n}}{1-{n}/{3^n}}=
			\frac{9+0}{1-0}=9</math>

			'''b, Feladat:'''

	b, <math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=\lim_{x\to\infty}(\frac{3-\frac{1}{n}}{3})^n=\lim_{x\to\infty}(1-\frac{\frac{1}{3}}{n})^n=e^{-\frac{1}{3}}</math>		<math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=
			\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}\right)^n=
			\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n=
			e^{-\frac{1}{3}}</math>

	}}		}}

David14: /* 1. Adja meg az összes olyan z komplex számot, melyre z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}. */

2014-01-17T21:25:31Z

1. Adja meg az összes olyan z komplex számot, melyre z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}.

← Régebbi változat		A lap 2014. január 17., 23:25-kori változata
13. sor:		13. sor:
	<math>z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4</math>		<math>z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4</math>

	~~Tehát~~ <math>z^4=-4=-4+0j=4(cos\pi+j*sin\pi)</math> Mert ~~a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge <math>\pi</math> és nagysága 4.~~		Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge <math>\pi</math> és nagysága 4, így:

			<math>z^4=-4=-4+0j=4(cos\pi+j*sin\pi)</math> Mert

	Ebből kell most negyedik gyököt vonni:		Ebből kell most negyedik gyököt vonni:

David14, 2014. január 17., 21:22-n

2014-01-17T21:22:09Z

Változtatások megtekintése

David14: David14 átnevezte a(z) Matematika A1- Vizsga: 2007.01.23 lapot a következő névre: Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23: Egy szóköz kimaradt

2013-02-25T22:42:03Z

David14 átnevezte a(z) Matematika A1- Vizsga: 2007.01.23 lapot a következő névre: Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23: Egy szóköz kimaradt

← Régebbi változat		A lap 2013. február 26., 00:42-kori változata
(Nincs különbség)

David14, 2013. február 25., 17:50-n

2013-02-25T17:50:09Z

← Régebbi változat		A lap 2013. február 25., 19:50-kori változata
1. sor:		1. sor:
	~~{{GlobalTemplate\|Villanyalap\|VizsgaNegy}}~~		==Feladatok:==

			===1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.===

			===2. Határozza meg az alábbi határértékeket!===

	===~~==1~~. ~~Adja~~ meg az ~~összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.=====~~


	~~=====2.==~~===

	(a) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>		(a) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
14. sor:		10. sor:


	=====3. Melyik igaz, melyik nem:=====		===3. Melyik igaz, melyik nem:===

	a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n		a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
28. sor:		24. sor:


	=====4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!=====		===4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!===

	=====5. ~~<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>==~~===		===5. Határozza meg az alábbi integrál értékét!===

			<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>

	=====6. ~~<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>==~~===		===6. Határozza meg az alábbi határértéket!===

			<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>

	===Megoldások:===		==Megoldások:==

	=====1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.=====		===1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.===

	Végezzük el először a <math>2j</math>-vel való beszorzást.		Végezzük el először a <math>2j</math>-vel való beszorzást.
51. sor:		49. sor:


			===2.===

	=====2.=====

	(a) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>		(a) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
63. sor:		59. sor:


			===4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!===


	=====4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!=====

	Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat.		Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat.
111. sor:		104. sor:


			===5. <math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>===

	=====5. <math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>=====

	Parciálisan fogunk integrálni, beviszünk az integrálba egy 1-es szorzót, ez lesz <math>v'(x)</math>, és <math>u(x)=ln^2x</math>.		Parciálisan fogunk integrálni, beviszünk az integrálba egy 1-es szorzót, ez lesz <math>v'(x)</math>, és <math>u(x)=ln^2x</math>.
129. sor:		120. sor:


			===6. <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>===

	=====6. <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>=====

	Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:		Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is: