Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel5}} vissza InfelmTetelek-hez ==Jensen egyenlőtlensé…”

2012-10-21T19:59:55Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel5}} vissza InfelmTetelek-hez <style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style> ==Jensen egyenlőtlensé…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel5}}

[[InfElmVizsga|vissza InfelmTetelek-hez]]
<style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style>

==Jensen egyenlőtlenség és következményei==

===Konvexitás definíciója===

Egy <math> h: </math> függvény ''konvex'' egy <math> [a,b] </math>, <math> a,b\in\mathbb{R} </math> intervallumon, ha ennek <math> \forall [x,y] </math>, <math> (x,y \in [a,b]) </math> részintervallumára és <math> 0 \leq \lambda \leq 1 </math> értékre: <br>
<math> h(\lambda * x + (1-\lambda) * y) \leq \lambda * h(x) + (1-\lambda) * h(y) </math>

Tehát bármely részintervallumon a függvény grafikonján az intervallum kezdőpontjában felvett értéket és az intervallum végpontjában felvett értéket összekötő egyenes szakasz alatt marad a függvénygörbe.

===Szigorúan értelmezett konvexitás===

Lásd a konvexitás definícióját, de itt nem engedünk meg egyenlőséget.

===Jensen egyenlőtlenség===

Legyen <math> h: </math> függvény ''konvex'' az <math>[a,b] a,b\in\mathbb{R} </math> intervallumon, és legyen <math> Z </math> egy valószínűségi változó, amely az értékeit a <math> [a,b] </math> intervallumból veszi.
Ekkor <math> h(E(Z)) \leq E(h(Z)) </math>

Egyenlőség:
A Jensen egyenlőtlenségben egyenlőség akkor áll fenn, ha <math>h</math> szigorúan konvex <math>E(Z)</math>-ben, és <math>P(Z=E(Z))=1</math>, tehát <math>Z</math> egy valószínűséggel a várható értékét veszi fel.

===Következmények===

''(Ezt a következményt nagyon sok bizonyításnál felhasználják.)''

Ha <math> \forall i \in [1, n] : p_i \geq 0 </math> és <math> \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 </math> <BR>
és <math> \forall i \in [1, n] : q_i \textgreater 0 </math> és <math> \sum_{i=1}^{n} q_i = 1 </math> <BR>

Ekkor:
<math> -\sum_{i=1}^{n} p_ilogp_i \leq -\sum_{i=1}^{n} p_ilogq_i </math>

-- [[SzelessZoltanTamas|Sales]] - 2006.06.22.

TODO: Plusz van mégegy következmény - TK. 15. oldal

-- [[RosenbergerAdam|Adam]] - 2008.01.29.

[[Category:Infoalap]]

InfElmTetel5 - Laptörténet

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel5}} vissza InfelmTetelek-hez li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} ==Jensen egyenlőtlensé…”

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel5}} vissza InfelmTetelek-hez ==Jensen egyenlőtlensé…”