Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel36}} vissza InfelmTetelek-hez ==Definíciók== =…”

2012-10-21T19:59:43Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel36}} vissza InfelmTetelek-hez <style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style> ==Definíciók== =…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel36}}

[[InfElmVizsga|vissza InfelmTetelek-hez]]
<style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style>

==Definíciók==

===Csatornakód===

Legyen <math> \bold{U} </math> a csatornán átküldhető betűk halmaza.<BR>
Ekkor <math> \bold{U}^n </math> a csatorna <math>n</math> hosszúságú szavainak halmaza.<BR>
Legyen <math> \bold{C} \subset \bold{U}^n </math> a felhasznált kódszavak halmaza.<BR>
Legyen <math> \bold{C} </math> mérete <math> |\bold{C}| = M. \bold{C} = \{ \underline{c}_1, ..., \underline{c}_M \} </math><BR>
Ekkor <math> \underline{c}_i \in \bold{C} </math> egy felhasznált kódszó.<BR>
Legyen <math> c_{i_j} </math> az i. kódszó j. betűje.<BR>

Ekkor <math> \bold{C} </math>-t ''csatornakódnak'' nevezzük.

===Kódóló===

A forrás jelfolyam, amit megfelelő kódolás után át szeretnénk küldeni a csatornán.
Legyen <math> \bold{Y} </math> a forrásábécé.
Legyen <math> k </math> a forrásblokkok hossza.
Ekkor ''kódolónak'' nevezzük az invertálható <math> f:\bold{Y}^k\longmapsto\{\underline{c}_1, ..., \underline{c}_M \} </math> függvényt, amely a k hosszú forrásblokkokhoz kódszavakat rendel.

===Dekódoló===

A ''dekódoló'' a csatornából kilépő üzenet alapján próbálja meg kideríteni, hogy mi volt az eredeti üzenet.<BR>
A dekódoló két részből áll a ''döntőből'' és a kódoló inverzéből.<BR>
A döntő eldönti a fogadott kódszó alapján, hogy milyen kódszót küldtek a csatornán.<BR>

A döntőt a <math> g: V^n \rightarrow \{\underline{c}_1, ..., \underline{c}_M \} </math> leképezés adja meg,
a döntési tartományok:
<math> D_m=\{\underline{v} \in V^n: g(\underline{v})=\underline{c}_m \} \text{ ahol } m=1,2,\ldots,M </math>

===Hibás dekódolás valószínűsége===

====Egy adott kód hibás detektálásának valószínűsége ====

<math> P_{e,m} </math> annak a valószínűsége, hogy hibát vétünk, feltéve, hogy az m. kódszót továbbítottuk.<BR>
Egy <math> y_m </math> kódra megkaphatjuk úgy, kiszámítjuk, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy <math> y_m </math> kódra a csatorna olyan kódot ad, amelyre a döntő nem <math> y_m </math> kódra dönt. Másszóval: az <math> y_m </math> kódra kapott kód kivül esik <math> y_m </math> döntési tartományán.

<math> P_{e,m} = \sum_{f^{-1}(y')\neq y_m} p(y' | y_m) = \sum_{y' \notin D_m} p(y' | y_m) </math>

====Hibás dekódolás valószínűsége====

<math> P_e = \sum_{m=1}^{M} p(y_m) P_{e,m} </math>

Annak az átlagos valószínűségét, hogy egy üzenet javíthatatlanul megsérül a csatornán, és ezért hibásan dekódoljuk <math> \bar{P_e} </math>-vel jelöljük, és ''átlagos hibának'' nevezzük.

====Átlagos hiba====

A hiba valószínűségére olyan mérőszámot szeretnénk, ami független az üzenetek valószínűségétől, ezért az ''átlagos hibát'' használjuk:<BR>

<math> \hat{P_e}= \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} P_{e,m} </math>

===Jelsebesség===

Ha továbbra is <math> n </math> a csatorna kódszavainak hossza, és </math> M </math> az átvihető üzenetek száma, akkor:
''Jelsebességnek'' (vagy _kódolási sebességnek_) nevezzük az <math> R = \frac{log M}{n} </math> értéket.

A jelsebesség tehát azt mutatja meg, hogy egy csatornahasználattal (a kódszó egy betűjével) hány bit információt viszünk át.<BR>
No garancia megjegyzés: ''Bináris kód esetében ez értelemszerűen legfeljebb 1. A maximumát akkor veszi fel, ha az összes lehetséges kódszót felhasználjuk. Látható, hogy ilyenkor nincs hibajavító képessége a kódnak.''

==Csatornakódolási tétel==

Vegyünk egy <math>C</math> kapacitású [[InfElmTetel33|diszkrét memóriamentes csatornát]].

Bármely <math>r<C</math> és <math>\epsilon>0</math> számhoz létezik olyan <math>C=\{\underline{c}_1,\ldots,\underline{c}_M\}</math> csatornakód <math>n</math> hosszú kódszavakkal, hogy <BR>
<math> \bar{P_e} < \epsilon </math> <BR>
<math> M > 2^{rn}</math> <BR>

azaz a <math>R=\frac{\log{M}}{n}</math> jelsebesség nagyobb, mint <math>r</math>.

No garancia megjegyzés: ''Tehát egy C kapacitású csatornán át akarunk vinni információt r<C jelsebességgel, és <math>\epsilon</math> hibát tudunk elfogadni. Ekkor található olyan kód, ahol legfeljebb <math>\epsilon</math> lesz a hiba valószínűsége, és r kisebb lesz a kód R jelsebességénél.''

===Bizonyításvázlat===

TODO: a könyvben elég ronda a bizonyítás, hogy kellene ennek előállítani a vázlatát?

-- [[SzelessZoltanTamas|Sales]] - 2006.06.26.

[[Category:Infoalap]]

InfElmTetel36 - Laptörténet

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel36}} vissza InfelmTetelek-hez li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} ==Definíciók== =…”

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel36}} vissza InfelmTetelek-hez ==Definíciók== =…”