Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel29}} vissza InfelmTetelek-hez ==Bayes döntés és o…”

2012-10-21T19:59:28Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel29}} vissza InfelmTetelek-hez <style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style> ==Bayes döntés és o…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel29}}

[[InfElmVizsga|vissza InfelmTetelek-hez]]
<style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style>

==Bayes döntés és optimalitása==

<math>X</math> valószínűségi változó <math>\mathbb{X}</math> diszkrét halmazból veszi értékeit.<BR>
A véletlen <math>A</math> paraméter <math>\mathbb{A}=\{a_1,\ldots,a_s\}</math> halmazból veszi értékeit.

''Az a <math>A</math> paraméter értékét szeretnénk megismerni, de csak az <math>X</math> megfigyelésére van módunk. Ha a két változó nem független, akkor <math>X</math> értékéből következtethetünk <math>A</math> értékére.''

<math>G: \mathbb{X}\rightarrow\mathbb{A}</math> függvény a '''következtetés'''. Ha az értékkészlete véges, akkor <math>G(X)</math> '''döntés''', ha végtelen, akkor '''becslés'''.

''A <math>G</math> függvény <math>X</math> minden értékéhez <math>A</math> egy értékét rendelni. Ha tehát <math>X</math> értékét megfigyeltük, akkor ennek ismeretében <math>G</math> segítségével meghatározható <math>A</math> feltételezett értéke. Természetesen a következtetés lehet hibás is. A költségfüggvénnyel megadható egy konktér következtetés jósága:''

<math>C: \mathbb{A}\times\mathbb{A}\rightarrow\mathbb{R}</math> '''költségfüggvény''', '''C(A, G(X))''' adja meg a következtetés jóságát.

''A teljes következtetési függvény jóságát a következő érték adja:'' <BR>
Az <math>R(G)=E(C(A,G(X)))</math> mennyiség a '''globális kockázat'''.

A <math>q_i=P\{A=a_i\}</math> valószínűségeket '''a priori valószínűségeknek''' nevezzük.

A <math>H_i=\{A=a_i\}</math> eseményt <math>i</math>. hipotézisnek nevezzük.

Ha a költségfüggvény <math>C(a_i, a_j)=\begin{cases} 1 & \text{ ha $i \neq j$} \\ 0 & \text{egyebkent}\end{cases}</math>, akkor a globális kockázat a hibavalószínűséggel egyezik: <math>R(G)=P(A\neq G(X))</math>.

A <math>P(A=a_i|X=x)</math> feltételes valószínűségeket '''a posteriori valószínűségeknek''' nevezzük, és <math>P_i(x)</math>-el jelöljük.

A döntési tartományok a <math>D_j \subseteq \mathbb{X}</math> halmazok, melyek bármely elemének megfigyelésekor <math>a_j</math>-t döntünk:
<math>
D_j=\{x: G(x)=a_j\}
</math>

===Bayes döntés===

Legyen a <math>j</math>. döntés tartománya <math>D_j^*</math> olyan, hogy <math>\forall x \in D_j^*</math>-ra <math>P_j(x)\geq P_i(x)</math> teljesüljön <math>\forall i \neq j</math>-re. <math>x</math> pont akkor eleme a <math>j</math>. döntési tartománynak, ha <math>x</math> megfigyelés esetén az <math>A=a_j</math> hipotézis feltételes valószínűsége a legnagyobb. A <math>D_j^*</math>-ok páronként diszjunktaknak választhatók, például úgy, hogy nem egyértelmű esetben az alacsonyabb indexűt választjuk. Ekkor a döntés függvény:
<math>
G^*(X)=a_i \text{, ha } x \in D_i^*
</math>
Ezt nevezzük Bayes-döntésnek, vagy maximum a posteriori döntésnek. A Bayes döntés optimális (a hibavalószínűsége minimális).

===Bayes-döntés optimalitása===

A Bayes döntés <math>G^*</math> döntésfüggvénye optimális, tehát ennek a döntésnek a legkisebb a hibavalószínűsége.

-- [[SzelessZoltanTamas|Sales]] - 2006.06.27.

[[Category:Infoalap]]

InfElmTetel29 - Laptörténet

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel29}} vissza InfelmTetelek-hez li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} ==Bayes döntés és o…”

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|InfElmTetel29}} vissza InfelmTetelek-hez ==Bayes döntés és o…”