Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|GrafikaGyakorloFraktalok}} ===Mintakérdések a Számítógépes grafika és képfeldolgozás tárgy vizsgájára való felkészüléshez ===…”

2012-10-21T19:58:45Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|GrafikaGyakorloFraktalok}} ===Mintakérdések a Számítógépes grafika és képfeldolgozás tárgy vizsgájára való felkészüléshez ===…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|GrafikaGyakorloFraktalok}}

===Mintakérdések a Számítógépes grafika és képfeldolgozás tárgy vizsgájára való felkészüléshez ===

====Fraktálok====

=====Mottó:=====
_"A brokkoli egészségesebb, mint a karfiol, mert több benne a [http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension#Random_and_natural_fractals dimenzió]!"_

'''76. Mennyi a következő IFS attraktorának Hausdorff dimenziója:'''

<math> \left[ \begin{array}{lll} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{lll} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \\ 0 & 0.5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{lll} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{lll} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array} \right] </math>

'''Feltételezheti, hogy az IFS-t gyártó diszkjunkt halmazokat használt a kollázs során. Adjon meg két pontot, amely biztosan része az attraktornak (indokolja a választást).'''
''Megjegyzés: nem sikerült LaTeX-kel megoldanom, hogy úgy jelenjen meg, mint az eredeti feladatsorban. A felső 2x2-es, és az alsó 1x2-es részek külön be voltak keretezve az egyes mátrixokban, mert a felső rész jelenti a mátrixot, amivel szorozzuk a vektorokat, az alsó pedig a vektort, amit hozzájuk adunk.''

* Ha az ember kísérletezik kicsit a transzformációkkal, gyorsan "meg lehet sejteni", hogy a halmaz képe egy négyzet lesz, és a dimenziója 2. Ha nem, akkor csak azt kell észrevenni, hogy 4 darab transzformációnk van, amik felére zsugorítanak minden koordináta mentén (a transzformációk felső 2x2-es része az egységmátrix 0.5-szöröse). Ha d dimenziós lenne az alakzat, akkor ez <math> 0.5^d </math>-szeresére változtatná a "területét". Viszont, mivel 4 ilyenből kirakható az egész, ezért egy ilyennek a "területe" pont a 0.25-szöröse kell legyen az egészének, tehát <math> 0.5^d=0.25 </math>, azaz d=2.
* Az egyes transzformációk fixpontjai az összetettnek is fixpontjai lesznek (vagyis elemei az alakzatnak). Az elsőé pl. a (0, 0) pont, az utolsóé az (1, 1). Az egyes transzformációk fixpontjai úgy kaphatók meg, hogy fel kell írni egy vektoregyenletet, pl. a második transzformációnál: <math> \left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ll} 0 & 0.5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right] </math>
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function_system Wikipédia: IFS]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension Wikipédia: Hausdorff dimenzió]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension Wikipédia: néhány fraktál Hausdorff dimenziója]

'''135. Írjon programot, amely egy IFS-t megjelenít.'''

* Az IFS-eket elvileg úgy lehetne megjeleníteni, hogy kiindulunk egy ponthalmazból, és erre ismételgetjük a transzformációkat, majd néhány iteráció után az eredményt megjelenítjük. Ha a pontok koordinátáinak listáját tárolnánk minden lépés után, akkor ennek nagyon nagy (iterációnként exponenciálisan növekvő) memóriaigénye lenne, ha pedig egy képet tárolnánk, amin be vannak jelölve azok a pontok, ahova az adott iterációban került pont, az pontatlan lenne.
* Egy jobban alkalmazható módszer: induljunk ki egy pontból, ami biztosan része az alakzatnak (pl. az egyik transzformáció fixpontjából). Minden lépésben az új pont legyen a réginek a transzformáltja, azt pedig, hogy melyik transzformációt alkalmazzuk rá, válasszuk ki véletlenszerűen. Belátható, hogy az így előállított pontsorozat közel egyenletesen le fogja fedni a fraktált.
* A függvény kap egy transzformáció-tömböt, egy képet, amire rajzolni fog, meg hogy hány iterációt végezzen. Minden lépésben választ egy transzformációt, alkalmazza az aktuális pontra, majd a kép megfelelő helyén növeli a pixel fényességét. Így azok a pixelek, amiken belül "sűrűbb" a fraktál, fényesebbek lesznek.
<pre>
void ifs(const Array<Transform>& trans, Image& img, unsigned int iter) {
Vector current=trans[0].fixpoint();
for (unsigned int i=0; i<iter; i++) {
current=current.transform(trans[rand()%trans.size()]);
img.pixel(current.x, current.y)+=0.01;
}
}
</pre>

'''136. Mi a Mandelbrot halmaz? Hogyan dönthető el, hogy egy pont a halmazhoz tartozik-e vagy sem?'''

* A Mandelbrot-halmaz a komplex számok egy részhalmaza. Azon c komplex számok tartoznak bele, amikre a következő sorozat nem "száll el" a végtelenbe: <math> z_0=0,\; z_n=z_{n-1}^2+c </math> Pl. a halmaznak eleme a 0 szám, mert ekkor nyilván a sorozat mindegyik tagja 0 lesz, viszont semelyik 2-nél nagyobb abszolútértékű szám nem, mert ekkor a sorozat tagjainak abszolút értéke monoton nőni fog.
* Egy pont halmazba tartozását a sorozat tagjainak kiszámításával lehet eldönteni: ha valamelyik lépésben 2-nél nagyobb abszolú értékű számot kapunk, akkor biztosan nem eleme, ha pedig egy, a sorozatban már szerepelt elemet, akkor biztosan eleme. Bizonyos számokról ez az eljárás nem tudja véges lépésben eldönteni, hogy a halmazba tartoznak-e.
* Megjegyzés: azokon a színes képeken, amiken a halmazt általában bemutatják, a középső (többnyire fekete) rész maga a halmaz, és a többi pont aszerint van színezve, hogy "mennyire gyorsan" száll el a végtelenbe a sorozata.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set Wikipédia: Mandelbrot halmaz]

'''137. Adott egy EEG görbe. Írja le, hogy hogyan lehet kiszámítani a Hausdorff dimenzióját.'''

* A gyakorlatban a Hausdorff dimenzió nehezen számítható vagy mérhető. Léteznek viszont a dimenzióra más definíciók is, amik nem ekvivalensek egymással vagy a Hausdorff dimenzióval, de sok esetben azonos eredményt adnak. A dobozdimenzió (box counting dimension) jól használható szabálytalan, de fraktálszerű dolgok (pl. EEG görbe, földrész partvonala) dimenziójának mérésére. Lényege, hogy ráfektetünk az objektumra egy szabályos rácsot, és megnézzük, hány rácsnégyzet kell a lefedéséhez, illetve, hogy ez hogyan függ a rács méretétől. Ha a c méretű rácsnál N(c) négyzet kell a lefedéshez, akkor a dimenzió: <math> \lim_{c\rightarrow 0} \frac{\log N(c)}{-\log c} </math>
* ''Megjegyzés: valószínűleg a kérdés az órán elmondott vonalzós módszerre vonatkozott, viszont azt nem értem elég pontosan, és még nem találtam hozzá leírást, viszont matematikailag ez a módszer is korrekt.''

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Bouligand_dimension Wikipédia: dobozdimenzió]

'''138. Tekintsük a következő homogén lineáris transzformációs mátrixot (a transzformálandó pontot a mátrix bal oldalára kell írni):'''
<math> \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] </math> '''Mit csinál a transzformáció?'''

'''?. Része-e a Mandelbrot halmaznak a -1 + j0 komplex szám?'''

'''71. Mekkora az alábbi Sierpinski halmaz Hausdorff dimenziója?'''

{{InLineImageLink|Infoalap|GrafikaGyakorloFraktalok|Clipboard07.png}}

* 3 darab, minden irányban felére zsugorított másolatából rakható ki az alakzat. Ha d dimenziós lenne, akkor a felére zsugorítás <math> 0.5^d </math>-szeresére változtatná a "területét", és <math> 2^d </math> darab kis alakzatból lehetne az egészet kirakni. <math> 2^d=3 </math> tehát a dimenziója <math> \frac{\log 3}{\log 2}\approx 1.585 </math>
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle Wikipédia: Sierpinski háromszög]

'''139. Része-e a Mandelbrot halmaznak a <math> j=\sqrt{-1} </math> komplex szám?'''

* Előállítva a halmazhoz tartozást meghatározó sorozat első pár tagját: <math> z_0=0,\; z_1=j,\; z_2=-1+j,\; z_3=-j,\; z_4=-1+j </math> és a sorozat ettől kezdve ismétlődik, mert a negyedik tag megegyezik a másodikkal. Nem fog tehát elszállni a végtelenbe, így a j a halmazhoz tartozik.

'''140. Mi a labilis attraktor? Hogyan lehet megjeleníteni?'''

'''141. Írjon fel egy olyan IFS-t, amelynek attraktora a (0,0), (1,1) sarkú négyzet.'''

* Úgy lehet egy alakzathoz őt előállító IFS-s csinálni, hogy az alakzatot a saját kicsinyített másaival kirakjuk (vagy, ha átfedés nélkül nem lehet, akkor lefedjük, de kilógnia a kicsinyített képeknek nem szabad az eredetiből). Majd, sorban felírjuk a transzformációkat, amik az eredeti alakzatot az őt lefedő kis alakzatokba transzformálják; az így felírt transzformációkból álló IFS képe a kívánt alakzat lesz.
* A konkrét esetben a 76. feladatban megadott transzformáció-készlet megfelelő: itt a négyzetet négy, fele akkora oldalhosszú négyzetből rakjuk ki.

'''142. Összefüggő-e a Julia halmaz a c=0+0j komplex számra? Mekkora a halmaz Hausdorff dimenziója?'''

* A Julia-halmaz a komplex számok egy részhalmaza. Azon <math> z_0 </math> komplex számok tartoznak a halmazba, amikre a <math> z_n=z_{n-1}^2+c </math> sorozat nem száll el a végtelenbe. A c szám a halmaz paramétere, és alapvetően meghatározza a kinézetét: ha a c szám eleme a Mandelbrot-halmaznak, akkor a c-hez tartozó Julia-halmaz tartalmazza a 0 számot, és a halmaz egyetlen összefüggő tartomány. Ha c nem eleme a Mandelbrot-halmaznak, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz végtelen sok különálló pontból áll, és nem tartalmazza a 0-t.
* A c=0 számra a Julia-halmaznak nagyon egyszerű a szerkezete, ugyanis azokból a számokból áll, amiket, ha sokszor egymás után négyzetre emelünk, akkor nem szállnak el a végtelenbe. Ezek pedig az egynél kisebb vagy egyenlő abszolút értékű komplex számok; vagyis a halmaz c=0-ra a komplex síkon az origó körüli egységsugarú körből és annak belsejéből áll, összefüggő, dimenziója pedig 2.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set Wikipédia: Julia halmaz]

-- [[KisGergelyG|G]] - 2008.12.26.

[[Category:Infoalap]]

GrafikaGyakorloFraktalok - Laptörténet

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|GrafikaGyakorloFraktalok}} ===Mintakérdések a Számítógépes grafika és képfeldolgozás tárgy vizsgájára való felkészüléshez ===…”