Makkos Bence, 2016. május 17., 09:20-n

2016-05-17T09:20:26Z

← Régebbi változat		A lap 2016. május 17., 11:20-kori változata
123. sor:		123. sor:
	'''15. Adott a következő homogén lineáris transzformáció (a transzformálandó pont helyvektorát sorvektornak kell tekinteni):'''		'''15. Adott a következő homogén lineáris transzformáció (a transzformálandó pont helyvektorát sorvektornak kell tekinteni):'''
	<math> \left[ \begin{array}{rrrr} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 8 & 6 & 4 & 2 \end{array} \right] </math>		<math> \left[ \begin{array}{rrrr} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 8 & 6 & 4 & 2 \end{array} \right] </math>
	'''Adja meg azon ponthalmaz egyenletét, amelyre ez a transzformáció a 8x+6y+8z + 6 = 0 egyenletet kielégítő ponthalmazt leképezi! Először írja le a megoldás menetét, azután végezze el a szükséges számításokat.'''		'''Adja meg azon ponthalmaz egyenletét, amelyre ez a transzformáció a 8x+6y+8z + 6 = 0 egyenletet kielégítő ponthalmazt leképezi! Először írja le a megoldás menetét, azután végezze el a szükséges számításokat.'''

	'''16. Adott két pont Descartes koordinátákkal: (3,6), (-2,5). Adja meg erre a két pontra illeszkedő egyenes ideális pontját homogén koordinátákban!'''		'''16. Adott két pont Descartes koordinátákkal: (3,6), (-2,5). Adja meg erre a két pontra illeszkedő egyenes ideális pontját homogén koordinátákban!'''

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|GrafikaGyakorloAnalitikusGeometria}} ===Mintakérdések a Számítógépes grafika és képfeldolgozás tárgy vizsgájára való felkészül…”

2012-10-21T19:58:42Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|GrafikaGyakorloAnalitikusGeometria}} ===Mintakérdések a Számítógépes grafika és képfeldolgozás tárgy vizsgájára való felkészül…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|GrafikaGyakorloAnalitikusGeometria}}

===Mintakérdések a Számítógépes grafika és képfeldolgozás tárgy vizsgájára való felkészüléshez===

====Analitikus geometria====

'''1. Írja fel azon művelet mátrixát, amely egy ax+by+cz+d=0 egyenletű síkra merőlegesen vetít.'''

* A sík normálvektora: <math>\underline{n} = (a, b, c)</math>, <math>\underline{p}</math> a pont, amit vetíteni akarunk. Írjuk fel a <math>\underline{p}</math> pontból induló síkra merőleges egyenes egyenletét: <math>\underline{p}- q\underline{n}</math> Megkaphatjuk a sík és az egyenes metszéspontját, ha a következő egyenletet megoldjuk <math>q</math>-ra: <math>a(p_{x}-qa)+b(p_{y}-qb)+c(p_{y}-qc)+d=0</math> Majd a <math>q</math>-t visszaírva az egyenes egyenletébe megkaphatjuk a metszéspontot. Most, hogy megvan a <math>q</math>, hogyan írjuk fel a vetítés mátrixát? Tudjuk, hogy: <math>(p_{x}, p_{y}, p_{z}, 1)*\underline{\underline{T}} = (p_{x}-qa, p_{y}-qb, p_{y}-qc, 1)</math> Most már csak ki kell találni a mátrix elemeit, hogy az egyenlet két oldala megegyezzen.
<math>
T = \left[\begin{array}{cccc}
1-\frac{a^2}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-a\cdot b}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-a \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 0\\
\frac{-a \cdot b}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 1-\frac{b^2}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-b \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 0\\
\frac{-a \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-b \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 1-\frac{c^2}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 0 \\
\frac{-ad}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-bd}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-cd}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 1
\end{array}
\right]
</math> -- [[PaleszA|Pálesz]] - 2007.10.27.
* Megjegyzés: az <math> a^2+b^2+c^2 </math> nevező nem hagyható el, ugyanis itt "kívülről" kapjuk a, b, c értékét, tehát nem tehetjük fel, hogy az (a, b, c) vektor egységnyi hosszú.

'''2. Bizonyítsa be, hogy a projektív sík egyenesének AX+BY+ch=0 egyenlete összhangban van a projektív geometria azon axiómáival, hogy "két különböző egyenes egy pontban metszi egymást", és hogy "két pont meghatároz egy egyenest".'''

* Egy A, B, c hármas akkor határoz meg egy projektív egyenest, ha legalább az egyik nem nulla, két ilyen hármas pedig akkor határoz meg két különböző egyenest, ha az egyik nem áll elő a másik konstansszorosaként. Ez a két feltétel pontosan azt jelenti, hogy az <math> \underline{\underline{F}}=\left[\begin{array}{rrr} A_1 & B_1 & c_1 \\ A_2 & B_2 & c_2 \end{array}\right] </math> mátrix rangja 2. Ekkor az <math> \underline{\underline{F}}\cdot (X, Y, h)^T=(0, 0) </math> egyenletnek végtelen sok megoldása lesz (tehát lesz nem csupa nullából álló, valódi projektív pontot kijelölő megoldás), viszont bármely két megoldás egymásnak a konstansszorosa lesz, tehát ugyanazt a projektív síkbeli pontot jelenti. Tehát pontosan egy pont van rajta mindkét egyenesen.
* A projektív síkban teljes dualitás van az egyenesek és a pontok között; ugyanezt a bizonyítás a másik állításra is működik, az <math> (A, B, c) \Leftrightarrow (X, Y, h) </math> felcseréléssel.

'''3. Írja fel három pontra illeszkedő sík egyenletét az euklideszi és a projektív térben.'''

* Euklideszi térben: ismerjük a sík 3 pontját: <math>\underline{p_{1}}</math>, <math>\underline{p_{2}}</math>, <math>\underline{p_{3}}</math>, tehát ismerünk 2 vektort, ami a síkon van: <math>\underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}</math> és <math>\underline{p_{3}} - \underline{p_{1}}</math> Ezeket össze keresztelve megkapjuk a sík normál vektorát: <math>\underline{n} = (\underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}) \times (\underline{p_{3}} - \underline{p_{1}}) </math> A sík egyenlete: <math>\underline{n} \cdot (\underline{r} - \underline{r_{0}}) = 0</math>, behelyettesítve: <math>((\underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}) \times (\underline{p_{3}} - \underline{p_{1}})) \cdot (\underline{r} - \underline{p_{1}}) = 0</math>
* Projektív térben: először is, írjuk át az euklideszi térben érvényes egyenletet, hogy vektorok helyett a vektorok x, y, z komponensei szerepeljenek benne: <math> det \left[\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{array}\right]=0 </math> ugyanis fent a <math> \underline{p_{2}} - \underline{p_{1}} </math>, <math> \underline{p_{3}} - \underline{p_{1}} </math>, <math> \underline{r} - \underline{p_{1}} </math> vektorok vegyes szorzata szerepel, az pedig pont a vektorok komponenseiből felírt mátrix determinánsa. Ezután, a sík egyenletének másik levezetéséhez hasonlóan, x-et x/h-val, stb. helyettesítjük: <math> det \left[\begin{array}{ccc} x/h-x_1/h_1 & y/h-y_1/h_1 & z/h-z_1/h_1 \\ x_2/h_2-x_1/h_1 & y_2/h_2-y_1/h_1 & z_2/h_2-z_1/h_1 \\ x_3/h_3-x_1/h_1 & y_3/h_3-y_1/h_1 & z_3/h_3-z_1/h_1\end{array}\right]=0 </math> majd (felhasználva, hogy a mátrix egy sorát konstanssal szorozva a determináns is ugyanazzal szorzódik) beszorozzuk mindegyik sort, hogy eltüntessük a törteket (az első sort <math> hh_1 </math>-gyel, stb.): <math> det \left[\begin{array}{ccc} xh_1-x_1h & yh_1-y_1h & zh_1-z_1h \\ x_2h_1-x_1h_2 & y_2h_1-y_1h_2 & z_2h_1-z_1h_2 \\ x_3h_1-x_1h_3 & y_3h_1-y_1h_3 & z_3h_1-z_1h_3\end{array}\right]=0 </math>
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product#Properties Wikipédia: vegyes szorzat]

'''4. Bizonyítsa be, hogy a homogén lineáris transzformációk a konvex kombinációkat konvex kombinációkká képezik le.'''

* Nem tudom, jól értettem-e a feladatot, de: konvex kombinációnak az olyan lineáris kombinációt hívják, ahol mindegyik együttható 0 és 1 között van, és az együtthatók összege 1 (ugyanis egy konvex sokszög csúcsvektorainak konvex kombinációiként a sokszög minden pontja előáll, és csak azok). Mivel a lineáris transzformációk pontosan azzal a tulajdonsággal rendelkeznek, hogy a lineáris kombinációkat azonos lineáris kombinációkba viszik, ezért az állítás nyilvánvaló.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_combination Wikipédia: konvex kombináció]

'''5. Írja fel azon síkpontok mértani helyének egyenletét, amelyek egy egyenestől és egy ponttól ugyanolyan távolságra vannak. Milyen alakzat ez? Terjessze ki az alakzatot a projektív síkra. Mik az ideális pontjai?'''

* Úgy vesszük fel a koordinátarendszert, hogy a pont a (0, 0.25) legyen, az egyenes pedig az y=-0.25 egyenes. Ekkor a ponttól való távolság négyzete egyenlő az egyenestől vett távolság négyzetével: <math> (x-0)^2+(y-0.25)^2=(y-(-0.25))^2 </math> A zárójeleket felbontva és rendezve: <math> x^2=y </math>, tehát ez az alakzat a parabola.
* A projektív síkra kiterjesztve, az egyenes egyenletéhez hasonló módszerrel: <math> \left(\frac{x}{h}\right)^2=\frac{y}{h} </math>, átrendezve: <math> x^2=yh </math>, így a parabolán egy ideális pont van, az x=0, h=0.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Parabola Wikipédia: parabola]

'''6. Írjon C függvényt, amely egy egyenes és egy pont távolságát kiszámítja.'''
* <math>\underline{p_{1}}</math>, <math>\underline{p_{2}}</math> egyenes 2 pontja
* <math>\underline{p}</math> a pont
* <math>\underline{v} = \underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}</math> egyenes irány vektora
<math> d = \frac{\left| (\underline{p} - \underline{p_{1}}) \times \underline{v} \right|}{\left| v \right|} </math>

<pre>
float distanceLinePoint(float x1, float y1, float z1,
float x2, float y2, float z2,
float px, float py, float pz)
{
//egyenes irányvektora
float vx = x2 - x1,
vy = y2 - y1,
vz = z2 - z1;
//irányvektor nagysága
float v = sqrt(vx*vx + vy*vy + vz*vz);
//irányvektor normalizálása
vx /= v; vy /= v; vz /= v;

//pont - egyenes első pontja közötti vektor
float qx = px - x1,
qy = py - y1,
qz = pz - z1;

//r = q (kereszt) v = |q|*|v|*sin(alpha)
//v-t normalizáltuk, ezért az 1, nem kell osztani
float rx = qy*vz - vy*qz,
ry = vx*qz - qx*vz,
rz = qx*vy - qy*vx;

//r vektor nagysága
return sqrt(rx*rx + ry*ry + rz*rz);

/*Másik megoldás:
q vektor skalárisan szorozva v-vel, így megvan az egyenesre
vetített q vektor nagysága. Ezt összeszorozva v-vel, és hozzáadva
az egyenes első pontjához, megvan az egyenesre vetített pont.
Innen d = a 2 pont távolsága.*/
}
</pre>

'''7. Írjon C függvényt, amely két térbeli egyenes távolságát kiszámítja.'''

* Legyenek az egyenesek kezdőpontjai az <math> \underline{a}_1,\; \underline{a}_2 </math> vektorok, az irányvektoraik pedig <math> \underline{d}_1,\; \underline{d}_2 </math>. Vegyünk fel mindkét egyenesen egy-egy pontot, úgy, hogy a lehető legközelebb legyenek egymáshoz; a távolságuk egyenlő lesz az egyenesek távolságával. Legyen <math> \underline{n}=\frac{\underline{d}_1 \times \underline{d}_2}{|d_1 \times d_2|} </math> egy mindkét egyenesre merőleges egységvektor. Erre vetítve bármely, az egyenesek pontjait összekötő szakaszt, legalább <math> |\underline{n}(a_1-a_2)| </math> lesz a vetület hossza, tehát bármely szakasz is legalább ilyen hosszú. (Ilyen hosszú szakasz elő is állítható.)
* Párhuzamos egyeneseknél máshogy kell számolni: ekkor egyszerűen a két kezdőpont különbségének az irányvektorokra merőleges komponensének abszolútértéke a távolság.
<pre>
float lineDistance(Vector a1, Vector a2, Vector d1, Vector d2) {
Vector adiff=vectSub(a1, a2);
Vector n=crossProduct(d1, d2);
float temp;
if (vectAbs(n)==0) {
normalize(&d1);
temp=dotProduct(adiff, d1);
return sqrt(vectAbs(adiff)*vectAbs(adiff)-temp*temp);
} else {
normalize(&n);
return fabs(dotProduct(n, adiff));
}
}
</pre>

'''8. Írjon C függvényt, amely egy implicit egyenletével adott egyenes, és két végpontjával adott szakasz metszéspontját kiszámítja.'''

'''9. Írja fel a projektív sík egyeneseinek implicit (azaz nem paraméteres) egyenletét homogén koordinátákban. Bizonyítsa be, hogy a sík minden invertálható homogén lineáris transzformációja ezt az egyenest egyenesre képezi le. Melyek azok a transzformációk, amelyek az egyenest önmagára képezik le? Mi történik az egyenes normálvektorával?'''

'''10. Lehet-e egy affin - azaz párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe leképző - transzformáció mátrixának negyedik oszlopa [0, 0, 0, 2]?'''

* Az egységmátrix λ-szorosa az (x, y, z, h) homogén koordinátás pontot a (λx, λy, λz, λh) pontba viszi, azaz helyben hagyja. A helyben hagyás egy affin transzformáció, és λ=2-re a mátrix negyedik oszlopa pont (0, 0, 0, 2) lesz. -- [[PallosPeter|Peti]] - 2007.10.27.

'''11. A projektív tér síkjainak homogén lineáris transzformációi. A projektív tér síkjának egyenlete. A transzformáció mibe viszi át a síkot (feltételezheti, hogy a transzformációs mátrix invertálható), bizonyítás. Mi történik a sík normálvektorával? Mi ennek a következménye az [[OpenGL]] működésére?'''

'''12. Tekintsük a projektív térben a [1, 2, 3, 4] és [-4,-3,-2,-1] homogén koordinátákkal azonosított végpontok konvex kombinációiként előálló szakaszt! Mekkora a szakasz hossza?'''

'''13. Írja fel azon homogén lineáris transzformáció mátrixát, amely egy síkbeli pontot az xc, yc vetítési középponttal az ax+by+c=0 egyenletű egyenesre vetít.'''

'''14. Tekintsük a következő homogén lineáris transzformációs mátrixot (a transzformálandó pontot a mátrix bal oldalára kell írni):'''
<math> \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] </math>
'''Mit csinál a transzformáció? Mi keletkezik a transzformáció után a [2, 1] és [-1, 1] pontokat összekötő szakaszból?'''

'''15. Adott a következő homogén lineáris transzformáció (a transzformálandó pont helyvektorát sorvektornak kell tekinteni):'''
<math> \left[ \begin{array}{rrrr} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 8 & 6 & 4 & 2 \end{array} \right] </math>
'''Adja meg azon ponthalmaz egyenletét, amelyre ez a transzformáció a 8x+6y+8z + 6 = 0 egyenletet kielégítő ponthalmazt leképezi! Először írja le a megoldás menetét, azután végezze el a szükséges számításokat.'''

'''16. Adott két pont Descartes koordinátákkal: (3,6), (-2,5). Adja meg erre a két pontra illeszkedő egyenes ideális pontját homogén koordinátákban!'''

'''17. Bizonyítsa be, hogy ha egy invertálható transzformációs mátrix 4. oszlopa [0, 0, 0, 1], akkor a transzformáció affin, azaz párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekre képez le (a transzformálandó pont homogén koordinátáit sorvektornak tekintjük és a mátrixszal jobbról szorozzuk)!'''

'''18. Írja fel a 3D projektív tér összes ideális síkjának és ideális egyenesének egyenletét (az ideális térelem csak ideális pontokat tartalmaz). Hány ideális sík és egyenes van?'''

'''19. Írja fel a projektív sík egy körének egyenletét! Mi lesz abból a körből, amelynek középpontja egy ideális ponton van? Segítség: a kör egyenlete homogén koordinátákban annak analógiájára, ahogyan az egyenes egyenletét a síkban, és a sík egyenletét a térben bevezettük.'''

* A kör egyenlete euklideszi síkon: <math> (x-x_0)^2+(y-y_0)^2-r^2=0 </math> Amit itt a pont x koordinátájának nevezetünk, azt a projektív síkon úgy lehet kiszámítani, hogy az x koordinátát h-val leosztjuk (homogén osztás). Legyen a pont (aminek a körön lévőségét el akarjuk dönteni) negyedik koordinátája h, a középponté <math> h_0 </math>. Ekkor a projektív síkon az egyenlet: <math> (\frac{x}{h}-\frac{x_0}{h_0})^2+(\frac{y}{h}-\frac{y_0}{h_0})^2-r^2=0 </math> beszorozva <math> hh_0 </math>-lal, hogy ne legyen benne tört: <math> (xh_0-x_0h)^2+(yh_0-y_0h)^2-r^2h^2h_0^2=0 </math>
* Ha a középpont az ideális egyenesen van, akkor <math> h_0=0 </math>, ezt behelyettesítve: <math> (x_0^2+y_0^2)h^2=0 </math> Mivel egy pontnak nem lehet mindhárom koordinátája nulla, ezért nem lehet <math> x_0,\; y_0 </math> közül mindkettő nulla, tehát a négyzetösszegük sem, így h-nak kell nullának lennie. Tehát ha egy kör középpontja az ideális egyenesen van, akkor a kör az ideális egyenes lesz. (Igen, a projektív síkon van értelme annak, hogy a kör egy egyenes lesz.)

'''20. Tekintsük a projektív tér [a, b, c, d] homogén négyessel megadott síkját. Írja fel ezen sík ideális egyenesének paraméteres egyenletét!'''

'''21. Írjon C++ függvényt, amely a bemeneti paraméteréül a projektív sík két egyenesét kapja, kiszámítja a két egyenes metszéspontját, a metszéspontot vetíti az origó középpontú, egység sugarú körre, és a vetület Descartes koordinátáit adja vissza.'''

'''22. Adott a következő <math> r \rightarrow r^\prime </math> 2D transzformáció, ahol r, r'; és a, b, c a sík vektorai: <math> r^\prime = \left[\frac{a\cdot r}{c\cdot r}, \frac{b\cdot r}{c\cdot r}\right] </math> Mibe vihet át ez a transzformáció egy szakaszt?'''

* A feladatban nagyon lényeges pont, hogy a két tört nevezője azonos. Ugyanis, ha áttérünk (kétdimenziós) homogén koordinátákra, akkor az <math> r^\prime </math> vektort felírhatjuk a következőképp is: <math> r^\prime = \left[ \frac{a\cdot r}{c\cdot r}, \frac{b\cdot r}{c\cdot r}, 1 \right] = \left[ a\cdot r, b\cdot r, c\cdot r \right] </math> ahol a harmadik elem a w homogén koordináta. Ezt pedig - felhasználva az a, b, c vektorok x és y komponenseit - mátrixos alakba írhatjuk: <math> \left[ \begin{array}{r} r_x^\prime \\ r_y^\prime \\ r_w^\prime \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} a_x & a_y & 0 \\ b_x & b_y & 0 \\ c_x & c_y & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} r_x \\ r_y \\ 1 \end{array} \right] </math>
* A fenti transzformáció tehát nem más, mint egy kétdimenziós projekció. Ez egyenest egyenesbe visz, viszont szakaszok esetében bonyolultabb a helyzet. Végig lehet gondolni, hogy - attól függően, a szakasz valamelyik pontja ideális pont lesz-e, vagy sem - szakasz, félegyenes, vagy "inverz szakasz" (egy egyenes, amiből egy szakasz ki van vágva) lehet a kép. Egy projektív transzformáció egyik legfontosabb jellemzője, hogy melyik egyenest viszi át az ideális egyenesbe, illetve a konkrét esetben az, hogy ez az egyenes milyen viszonyban van a szakaszunkkal:
** Ha az ideálisba átmenő egyenesnek nincs közös pontja a szakasszal, akkor nem történik semmi "különleges", egy szakasz lesz a kép.
** Ha az egyenes a szakasz egyik végpontján átmegy, a másikon nem, akkor félegyenest kapunk.
** Ha a szakasz benne fekszik az egyenesben, akkor szakaszt kapunk, csakhogy az ideális egyenesen.
** Ha az egyenes a szakaszt belső pontjában metszi, akkor "inverz szakaszt" kapunk.

'''23. Adott a következő <math> r \rightarrow r^\prime </math> 2D transzformáció, ahol r, r' és b a sík vektorai: <math> r^\prime = \frac{r}{\left| r \right|} + b </math> A képletben <math> \left| r \right| </math> az r vektor abszolútértékét jelenti. Mibe vihet át ez a transzformáció egy szakaszt?'''

* Az első lépésben a vektort osztjuk a saját abszolút értékével. Könnyen látható, hogy ez nem más, mint az origó körüli egységsugarú körre való vetítés (középpontosan, az origóból). Ez általában egy körívet eredményez, kivéve két speciális esetet: ha a szakasz egyenese átmegy az origón, de az origó nincs a szakaszban, akkor egyetlen pont ("nulla hosszú körív") lesz az eredmény. Ha viszont az origó benne van a szakaszban, akkor két, a körön átellenesen elhelyezkedő pont lesz az eredmény.
* A második lépésben csak egy eltolást végzünk, ami a fenti alakzatok alakját nem változtatja meg.

-- [[KisGergelyG|G]] - 2008.12.25.

[[Category:Infoalap]]

GrafikaGyakorloAnalitikusGeometria - Laptörténet

Makkos Bence, 2016. május 17., 09:20-n

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|GrafikaGyakorloAnalitikusGeometria}} ===Mintakérdések a Számítógépes grafika és képfeldolgozás tárgy vizsgájára való felkészül…”