Analízis (MSc) típusfeladatok - Laptörténet

Csala Tamás: /* Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása */

2016-10-22T11:36:05Z

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

← Régebbi változat		A lap 2016. október 22., 13:36-kori változata
733. sor:		733. sor:
	<math>\|g'(x)\| = \left\|(\sqrt{1 + coshx} - 2)'\right\| = \left\|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right\|</math>		<math>\|g'(x)\| = \left\|(\sqrt{1 + coshx} - 2)'\right\| = \left\|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right\|</math>

	<math>min_I\|g'(x)\| \geq \left\|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right\| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt(1 + e^5 + e^{-5})} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math>		<math>min_I\|g'(x)\| \geq \left\|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right\| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt{1 + e^5 + e^{-5}}} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math>

	Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens.		Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens.

Csala Tamás, 2016. szeptember 24., 16:26-n

2016-09-24T16:26:50Z

← Régebbi változat		A lap 2016. szeptember 24., 18:26-kori változata
1. sor:		1. sor:
	Az [[Analízis ~~I. (MSc) \| Analízis I.~~ (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni.		Az [[Analízis (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni.

	= Integrál trafók témakör =		= Integrál trafók témakör =

Kővágó Zoltán: /* Laplace trafó szabályok alkalmazása */

2016-06-06T14:33:50Z

Laplace trafó szabályok alkalmazása

@@ 129. sor: / 129. sor: @@
 * Amiből:
 <math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math>
 }}

Csala Tamás: /* Fourier diff-egyenlet */

2016-06-05T17:13:29Z

Fourier diff-egyenlet

← Régebbi változat		A lap 2016. június 5., 19:13-kori változata
231. sor:		231. sor:
	<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\frac{\xi}{y})^2 + 1} d\xi</math>		<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\frac{\xi}{y})^2 + 1} d\xi</math>

	<math> ~~u(x, y)~~ = ~~\frac{1}{y \pi} \left[arctg~~ \frac{\xi}{y} ~~\right]_{~~\xi=~~-\infty}^{\xi=\infty}~~</math>		Vezessük be a <math>z = \frac{\xi}{y},~d\xi = y dz</math> változót:

	<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{\pi}{y \pi} = ~~\frac{~~1~~}{y}~~</math>		<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2 + 1} ydz</math>

			<math> u(x, y) = \frac{y}{y \pi} \left[arctg z \right]_{-\infty}^{\infty}</math>

			<math> u(x, y) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{\pi}{\pi} = 1</math>
	}}		}}

Csala Tamás: /* Fourier diff-egyenlet */

2016-06-05T15:19:13Z

Fourier diff-egyenlet

← Régebbi változat		A lap 2016. június 5., 17:19-kori változata
184. sor:		184. sor:
	<math> \hat{u}(s, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y) e^{-ixs} dx </math>		<math> \hat{u}(s, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y) e^{-ixs} dx </math>

	Az egyenlet x szerinti Fourier ~~trafója tehát~~:		Vegyük az egyenlet x szerinti Fourier trafóját (a deriválás x-ben <math>i \cdot s</math>-el szorzás):

	<math> -s^2 \hat{u}(s,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{u}(s, y) = 0</math>		<math> -s^2 \hat{u}(s,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{u}(s, y) = 0</math>

Csala Tamás: /* Fourier diff-egyenlet */

2016-06-05T15:14:51Z

Fourier diff-egyenlet

← Régebbi változat		A lap 2016. június 5., 17:14-kori változata
226. sor:		226. sor:

	<math> u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi</math>		<math> u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi</math>

			<math> u(x, y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\xi^2 + y^2} d\xi</math>

			<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\frac{\xi}{y})^2 + 1} d\xi</math>

			<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \left[arctg \frac{\xi}{y} \right]_{\xi=-\infty}^{\xi=\infty}</math>

			<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{\pi}{y \pi} = \frac{1}{y}</math>
	}}		}}

Csala Tamás: /* Fourier diff-egyenlet */

2016-06-05T15:07:01Z

Fourier diff-egyenlet

← Régebbi változat		A lap 2016. június 5., 17:07-kori változata
194. sor:		194. sor:
	<math> \lambda^2 = s^2 </math>		<math> \lambda^2 = s^2 </math>

	<math> \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{sy} + c_2(s) e^{-sy}</math>		<math> \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{\|s\|y} + c_2(s) e^{-\|s\|y}</math>

	Tudjuk, hogy ez a kifejezés <math>s \to \infty</math>-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó:		Tudjuk, hogy ez a kifejezés <math>s \to \infty</math>-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó:

	<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{sy} + c_2(s) e^{-sy} = 0</math>		<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{\|s\|y} + c_2(s) e^{-\|s\|y} = 0</math>

	Ami, tekintve, hogy <math>y \geq 0</math>, csak akkor teljesülhet, ha <math>c_1(s) = 0</math>.		Ami, tekintve, hogy <math>y \geq 0</math>, csak akkor teljesülhet, ha <math>c_1(s) = 0</math>.
204. sor:		204. sor:
	Tehát:		Tehát:

	<math> \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-sy}</math>		<math> \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-\|s\|y}</math>

	A kezdeti feltétel Fourier trafója:		A kezdeti feltétel Fourier trafója:
215. sor:		215. sor:

	Vagyis:		Vagyis:
	<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-sy}</math>		<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-\|s\|y}</math>

	<math>u(x, y)</math>-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját:		<math>u(x, y)</math>-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját:

			<math> \hat{u}(s, y) = \mathcal{F}(1) \cdot e^{-\|s\|y}</math>

			<math> u(x, y) = 1 * \mathcal{F}^{-1}(e^{-\|s\|y})</math>

			<math> \mathcal{F}^{-1}(e^{-\|s\|y}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{x^2 + y^2}</math>

			<math> u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi</math>
	}}		}}

Csala Tamás: /* Fourier diff-egyenlet */

2016-06-05T14:56:16Z

Fourier diff-egyenlet

@@ 168. sor: / 168. sor: @@
 * Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet <math>\hat{y}</math>-ra):
 <math>-s^2 \hat{y} + -\hat{y} - s\hat{y}' = \sqrt{2\pi}i\delta'(s)</math>
 }}

Kővágó Zoltán: /* Variáció számítás */

2016-06-02T16:35:02Z

Variáció számítás

← Régebbi változat		A lap 2016. június 2., 18:35-kori változata
949. sor:		949. sor:

	https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/236x/55/08/4b/55084be16a6b92e2cdb97951f371f4df.jpg		https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/236x/55/08/4b/55084be16a6b92e2cdb97951f371f4df.jpg
			}}

			<big>3)</big> <small>[2016V1]</small> Keressük meg az extremális függvényt az <math>I(y) = \int_0^1 y(2-y') dx,~y(0) = 1,~ y(1) = 2</math> operátorra vonatkozóan a <math>J(y) = \int_0^1 y'^2 = \frac{13}{3}</math> feltétel mellett!

			{{Rejtett
			\|mutatott=Megoldás:
			\|szöveg=

			<math>F = y(2-y') - \lambda y'^2</math>

			Erre alkalmazzuk az Euler-Lagrange egyenletet:

			<math>2-y' - \frac{d}{dx}(-y - 2\lambda y') = 2-y' + y' + 2\lambda y'' = 2 + 2\lambda y'' = 0</math>

			<math>y'' = \frac{-1}{\lambda}</math>

			<math>\frac{dy'}{dx} = \frac{-1}{\lambda}</math>

			<math>\int dy' = \int \frac{-1}{\lambda} dx</math>

			<math>y' = \frac{-x}{\lambda} + c_1</math>

			<math>\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\lambda} + c_1</math>

			<math>\int dy = \int \frac{-x}{\lambda} + c_1 dx</math>

			<math>y = \frac{-x^2}{2 \lambda} + c_1 x + c_2</math>

			Használjuk fel a kezdeti feltételeket!

			<math>y(0) = c_2 = 1</math>

			<math>y(1) = \frac{-1}{2 \lambda} + c_1 + 1 = 2</math>

			<math>c1 = 1 + \frac{1}{2 \lambda}</math>

			A <math>\lambda</math>-hoz ki kell számolni J(y)-t.

			<math>y = \frac{-x^2}{2 \lambda} + x + \frac{x}{2 \lambda} + 1</math>

			<math>y' = \frac{-x}{\lambda} + 1 + \frac{1}{2 \lambda}</math>

			<math>y'^2 = \frac{x^2}{\lambda^2} - \frac{2x}{\lambda} + 1 - \frac{2x}{2\lambda^2} + \frac{2}{2\lambda} + \frac{1}{4 \lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \left( x^2 - 2x\lambda + \lambda^2 - x + \lambda + \frac{1}{4} \right)</math>

			<math>\int_0^1 y'^2 = \frac{1}{\lambda^2} \left[ \frac{x^3}{3} - \lambda x^2 + \lambda^2 x - \frac{x^2}{2} + \lambda x + \frac{x}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{\lambda^2} \left( \frac{1}{3} - \lambda + \lambda^2 - \frac{1}{2} + \lambda + \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{1}{12\lambda^2} = \frac{13}{3}</math>

			<math>\lambda^2 = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}</math>

			<math>\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{40}}</math>

			Visszaírva y-ba:

			<math>y(x) = \mp \sqrt{10} x^2 + (1\pm\sqrt{10}) x + 1</math>
	}}		}}

Kővágó Zoltán: /* Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása */ newton

2016-06-02T15:51:02Z

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása: newton

← Régebbi változat		A lap 2016. június 2., 17:51-kori változata
680. sor:		680. sor:

	Az [1,2] tartományon ennek a maximuma <math>\frac{2}{\sqrt{3}}</math> ami nagyobb, mint 1, ezért itt az iteráció még csak nem is konvergens. A [2, 3] tartományon a maximum <math>\frac{2}{\sqrt{17}} \approx 0.485</math>, tehát itt az iteráció gyorsabban konvergál.		Az [1,2] tartományon ennek a maximuma <math>\frac{2}{\sqrt{3}}</math> ami nagyobb, mint 1, ezért itt az iteráció még csak nem is konvergens. A [2, 3] tartományon a maximum <math>\frac{2}{\sqrt{17}} \approx 0.485</math>, tehát itt az iteráció gyorsabban konvergál.
			}}

			<big>4)</big> <small>[2016V1]</small> Newton (érintő) módszerrel keressük a <math>f(x) = 0</math> egyenlet megoldását. Adjuk meg <math>x_{k+1}</math>-et <math>x_k</math> és <math>f</math> segítségével!<br>
			Legyen <math>f(x) = e^x - 1,~x\in[-a, a]</math>. Adjuk meg <math>a</math>-t úgy, hogy a módszer konvergáljon!<br>
			Mi a konvergencia sebessége?

			{{Rejtett
			\|mutatott=Megoldás:
			\|szöveg=
			<math>x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math>

			A konvergencia feltétele: <math>\|I\| \left\| \frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2} \right\| < 1</math> a tartomány összes pontján, illetve ezt közelíthetjük a számláló maximumával és nevező minimumával:

			<math>2a \left\| \frac{\max_I ((e^x - 1) e^x)}{\min_I (e^x)^2} \right\| = 2a \frac{(e^a - 1) e^a}{\left(e^{-a}\right)^2} = 2a (e^a - 1) e^{3a} < 1</math>


			A konvergencia sebessége: <math>\epsilon_{k+1} \le \frac{\|f''\|}{2\|f'\|} \epsilon_k^2</math>, vagy egyszerűbb alakban: <math>d_k \le d_0^{2k}</math>
	}}		}}