A grafkerdes.doc feladatai - Laptörténet

Makkos Bence: /* Megoldás */ törött link javítása

2016-05-12T11:33:02Z

Megoldás: törött link javítása

← Régebbi változat		A lap 2016. május 12., 13:33-kori változata
153. sor:		153. sor:
	<math> d = \frac{\left\| (\underline{p_{1}} - \underline{q_{1}}) \cdot (\underline{v_{1}} \times \underline{v_{2}}) \right\|}{\left\| \underline{v_{1}} \times \underline{v_{2}} \right\|} </math>		<math> d = \frac{\left\| (\underline{p_{1}} - \underline{q_{1}}) \cdot (\underline{v_{1}} \times \underline{v_{2}}) \right\|}{\left\| \underline{v_{1}} \times \underline{v_{2}} \right\|} </math>

			'''Egy kis magyarázat a fenti képlethez''': Két kitérő egyenes távolságán az azokat összekötő, mindkettőre merőleges normáltranszverzális szakasz hosszát értjük. A v1 × v2 vektoriális szorzat normáltranszverzális irányú, hiszen mindkét irányvektorra merőleges vektor, osztva a hosszával, egységvektor. Ennek és a két egyenes egy-egy pontjával meghatározott (P1, Q1) reprezentánsú (q1 - p1) vektornak a skaláris szorzata éppen a (q1 - p1) vektor normáltranszverzális irányra vett merőleges vetületének hosszát adja abszolútértékben. (forrás: http://zeus.nyf.hu/~szalonta/Trigkoord06.doc)
	<pre>		<pre>
	float distanceLineLine(float p1x, float p1y, float p1z,		float distanceLineLine(float p1x, float p1y, float p1z,
204. sor:		205. sor:
	}		}
	</pre>		</pre>

	~~Egy-kis magyarázat a fenti képlethez: (forrás: http://zeus.nyf.hu/~szalonta/Trigkoord06.pdf)~~

	Bizonyítás: Két kitérő egyenes távolságán az azokat összekötő, mindkettőre merőleges normáltranszverzális szakasz hosszát értjük. A v1 × v2 vektoriális szorzat normáltranszverzális irányú, hiszen mindkét irányvektorra merőleges vektor, osztva a hosszával, egységvektor. Ennek és a két egyenes egy-egy pontjával meghatározott (P1, Q1) reprezentánsú (q1 - p1) vektornak a skaláris szorzata éppen a (q1 - p1) vektor normáltranszverzális irányra vett merőleges vetületének hosszát adja abszolútértékben.

	Ez az abs feltétel biztos? Mert sztem ez bővebb a párhuzamosságnál, pl két merőleges egyenes is lehet ilyen.		Ez az abs feltétel biztos? Mert sztem ez bővebb a párhuzamosságnál, pl két merőleges egyenes is lehet ilyen.
217. sor:		214. sor:
	----		----
	----		----


	===10. feladat===		===10. feladat===

Makkos Bence: /* Analitikus geometria */ mátrixos latexek helyrehozása

2016-05-12T10:42:03Z

Analitikus geometria: mátrixos latexek helyrehozása

← Régebbi változat		A lap 2016. május 12., 12:42-kori változata
25. sor:		25. sor:
	----		----
	====Megoldás====		====Megoldás====
	<math>$		<math>
	T = \underline{v} - (\underline{v}\cdot\underline{n})\cdot\underline{n} = \left[\begin{array}{cccc}		T = \underline{v} - (\underline{v}\cdot\underline{n})\cdot\underline{n} = \left[\begin{array}{cccc}
	1-a^2 & -a\cdot b & -a \cdot c & 0\\		1-a^2 & -a\cdot b & -a \cdot c & 0\\
33. sor:		33. sor:
	\end{array}		\end{array}
	\right]		\right]
	$</math>		</math>

	----		----
55. sor:		55. sor:
	Most már csak ki kell találni a mátrix elemeit, hogy az egyenlet két oldala megegyezzen.		Most már csak ki kell találni a mátrix elemeit, hogy az egyenlet két oldala megegyezzen.

	<math>$		<math>
	T = \left[\begin{array}{cccc}		T = \left[\begin{array}{cccc}
	1-\frac{a^2}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-a\cdot b}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-a \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 0\\		1-\frac{a^2}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-a\cdot b}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-a \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 0\\
63. sor:		63. sor:
	\end{array}		\end{array}
	\right]		\right]
	$</math>		</math>

	Ha valaki tudja, hogy esetleg miért nem jó ez a megoldás, akkor írja meg ide, thx.		Ha valaki tudja, hogy esetleg miért nem jó ez a megoldás, akkor írja meg ide, thx.
232. sor:		232. sor:

	Sztem a mátrix így néz ki (nevezzük A-nak) :		Sztem a mátrix így néz ki (nevezzük A-nak) :
	<math>$		<math>
	T = \left[\begin{array}{cccc}		T = \left[\begin{array}{cccc}
	a11 & a12 & a13 & 0\\		a11 & a12 & a13 & 0\\
240. sor:		240. sor:
	\end{array}		\end{array}
	\right]		\right]
	$</math>		</math>
	Ez annyiban különbözik egy általánosan megszokott affin transzformációs mátrixtól, hogy az a44 eleme 2 és nem 1 (nevezzük 1-essel A'-nek). Ha meggondoljuk ez nem baj, mert annyi változást okoz A az A'-höz képest, hogy (x, y, z, 1) helyett (x, y, z, 2)-t kapunk, ami pont egy 1/2-szeres nagyítást jelent (hiszen ha leosztjuk a pont koordinátáit 2-vel, akkor ezt kapjuk : (x/2, y/2, z/2, 1), és az x, y és z helyen a Descartes-koordinátáknak megfelelő pontot kapjuk(ha a 4. koordináta (h) 1)). A könyvből vett idézetet ellenőriztem, valóban így szerepelt, és ez nem pontos megfogalmazás.		Ez annyiban különbözik egy általánosan megszokott affin transzformációs mátrixtól, hogy az a44 eleme 2 és nem 1 (nevezzük 1-essel A'-nek). Ha meggondoljuk ez nem baj, mert annyi változást okoz A az A'-höz képest, hogy (x, y, z, 1) helyett (x, y, z, 2)-t kapunk, ami pont egy 1/2-szeres nagyítást jelent (hiszen ha leosztjuk a pont koordinátáit 2-vel, akkor ezt kapjuk : (x/2, y/2, z/2, 1), és az x, y és z helyen a Descartes-koordinátáknak megfelelő pontot kapjuk(ha a 4. koordináta (h) 1)). A könyvből vett idézetet ellenőriztem, valóban így szerepelt, és ez nem pontos megfogalmazás.
	Szerintem a [0, 0, 0, 1] helyett [0, 0, 0, λ], λ ≠ 0 a helyes kifejezés.		Szerintem a [0, 0, 0, 1] helyett [0, 0, 0, λ], λ ≠ 0 a helyes kifejezés.
254. sor:		254. sor:

	====Megoldás====		====Megoldás====
	<math>$T = \left(		<math>T = \left(
	\begin{array}{ccc}		\begin{array}{ccc}
	1 & 0 & 0 \\		1 & 0 & 0 \\
260. sor:		260. sor:
	0 & 0 & 0 \\		0 & 0 & 0 \\
	\end{array}		\end{array}
	\right)$</math>		\right)</math>

	=====Javítás:=====		=====Javítás:=====
266. sor:		266. sor:
	ax + by = 1 egyenletű egyenesre origó középpontú vetítés esetén a mátrix:		ax + by = 1 egyenletű egyenesre origó középpontú vetítés esetén a mátrix:

	<math>$T = \left(		<math>T = \left(
	\begin{array}{ccc}		\begin{array}{ccc}
	1 & 0 & a \\		1 & 0 & a \\
272. sor:		272. sor:
	0 & 0 & 0 \\		0 & 0 & 0 \\
	\end{array}		\end{array}
	\right)$</math>		\right)</math>

	Ehhez képest az ax + by + c = 0 egyenlet helyett írhatjuk azt, hogy ax + by = 1-c, és akkor az előzőhöz hasonló egyenletet kapunk. Rátolunk egy (1-c)-vel skálázást a mátrixra: ax és by összege ez esetben nem 1, hanem annak (1-c)-szerese. Az y=c egyenesre való vetítéshez hasonlóan ez itt egy (1-c)-vel való osztásként jelenik meg a mátrix harmadik oszlopában. Mivel nem az origó a középpont, ezért még el is kell tolni az egészet (xc, yc)-vel, így a keresett mátrix:		Ehhez képest az ax + by + c = 0 egyenlet helyett írhatjuk azt, hogy ax + by = 1-c, és akkor az előzőhöz hasonló egyenletet kapunk. Rátolunk egy (1-c)-vel skálázást a mátrixra: ax és by összege ez esetben nem 1, hanem annak (1-c)-szerese. Az y=c egyenesre való vetítéshez hasonlóan ez itt egy (1-c)-vel való osztásként jelenik meg a mátrix harmadik oszlopában. Mivel nem az origó a középpont, ezért még el is kell tolni az egészet (xc, yc)-vel, így a keresett mátrix:

	<math>$T = \left(		<math>T = \left(
	\begin{array}{ccc}		\begin{array}{ccc}
	1-c & 0 & a \\		1-c & 0 & a \\
282. sor:		282. sor:
	xc & yc & 0 \\		xc & yc & 0 \\
	\end{array}		\end{array}
	\right)$</math> = <math>$T = \left(		\right)</math> = <math>T = \left(
	\begin{array}{ccc}		\begin{array}{ccc}
	1 & 0 & \frac{a}{1-c} \\		1 & 0 & \frac{a}{1-c} \\
288. sor:		288. sor:
	xc & yc & 0 \\		xc & yc & 0 \\
	\end{array}		\end{array}
	\right)$</math>		\right)</math>

	[[GurmaiGergely\|Gergő]] -- 2007.11.29.		[[GurmaiGergely\|Gergő]] -- 2007.11.29.
297. sor:		297. sor:
	Tekintsük a következő homogén lineáris transzformációs mátrixot (a transzformálandó pontot a mátrix bal oldalára kell írni):		Tekintsük a következő homogén lineáris transzformációs mátrixot (a transzformálandó pontot a mátrix bal oldalára kell írni):

	<math>$\left(		<math>\left(
	\begin{array}{ccc}		\begin{array}{ccc}
	1 & 0 & 1 \\		1 & 0 & 1 \\
303. sor:		303. sor:
	0 & 0 & 0 \\		0 & 0 & 0 \\
	\end{array}		\end{array}
	\right)$</math>		\right)</math>

Unknown user: Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzgGrafFeladatok}} Letöltés itt: [http://www.iit.bme.hu/~szirmay/grafika/grafkerdes.doc grafkerdes.doc] ''Megjegyzés: elkezdtem tömöre…”

2012-10-21T20:15:34Z

Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoalap|SzgGrafFeladatok}} Letöltés itt: [http://www.iit.bme.hu/~szirmay/grafika/grafkerdes.doc grafkerdes.doc] ''Megjegyzés: elkezdtem tömöre…”

Új lap

{{GlobalTemplate|Infoalap|SzgGrafFeladatok}}

Letöltés itt: [http://www.iit.bme.hu/~szirmay/grafika/grafkerdes.doc grafkerdes.doc]

''Megjegyzés: elkezdtem tömörebben formázva, témakörökre vágva beírni a feladatokat, itt:''
* [[GrafikaGyakorloAnalitikusGeometria|Gyakorlófeladatok: analitikus geometria]]
* [[GrafikaGyakorloGeometriaiModellezes|Gyakorlófeladatok: geometriai modellezés]]
* [[GrafikaGyakorlo2DKepszintezis|Gyakorlófeladatok: 2D képszintézis]]
* [[GrafikaGyakorloIlluminacio|Gyakorlófeladatok: illumináció]]
* [[GrafikaGyakorloSugarkovetes|Gyakorlófeladatok: sugárkövetés]]
* [[GrafikaGyakorloInkrementalisKepszintezis|Gyakorlófeladatok: inkrementális képszintézis]]
* [[GrafikaGyakorloOpenGL_Cg|Gyakorlófeladatok: OpenGL, Cg nyelv]]
* [[GrafikaGyakorloGlobalisIlluminacio|Gyakorlófeladatok: globális illumináció]]
* [[GrafikaGyakorloTerfogatVizualizacio|Gyakorlófeladatok: térfogat vizualizáció]]
* [[GrafikaGyakorloAnimacio|Gyakorlófeladatok: animáció]]
* [[GrafikaGyakorloFraktalok|Gyakorlófeladatok: fraktálok]]
''Az itt lévő kidolgozásokat letisztázva majd áttöltöm az új lapokra, és itt csak az al-lapokra mutató linkek maradnak.''
-- [[KisGergelyG|G]] - 2008.12.25.

==Analitikus geometria==

===1. feladat===
Írja fel azon művelet mátrixát, amely egy ax+by+cz+d=0 egyenletű síkra merőlegesen vetít.
----
====Megoldás====
<math>$
T = \underline{v} - (\underline{v}\cdot\underline{n})\cdot\underline{n} = \left[\begin{array}{cccc}
1-a^2 & -a\cdot b & -a \cdot c & 0\\
-a \cdot b & 1-b^2 & -b \cdot c & 0\\
-a \cdot c & -b \cdot c & 1-c^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & d
\end{array}
\right]
$</math>

----
Nem tudom, hogy a fenti megoldás hogyan jött ki, én a következőt kaptam:

A sík normálvektora: <math>\underline{n} = (a, b, c)</math>,

<math>\underline{p}</math> a pont, amit vetíteni akarunk.

írjuk fel a <math>\underline{p}</math> pontból induló síkra merőleges egyenes egyenletét: <math>\underline{p}- q\underline{n}</math>

Megkaphatjuk a sík és az egyenes metszéspontját, ha a következő egyenletet megoldjuk <math>q</math>-ra:
<math>a(p_{x}-qa)+b(p_{y}-qb)+c(p_{z}-qc)+d=0</math>

Majd a <math>q</math>-t visszaírva az egyenes egyenletébe megkaphatjuk a metszéspontot.

Most, hogy megvan a <math>q</math>, hogyan írjuk fel a vetítés mátrixát?

Tudjuk, hogy: <math>(p_{x}, p_{y}, p_{z}, 1)*\underline{\underline{T}} = (p_{x}-qa, p_{y}-qb, p_{z}-qc, 1)</math>

Most már csak ki kell találni a mátrix elemeit, hogy az egyenlet két oldala megegyezzen.

<math>$
T = \left[\begin{array}{cccc}
1-\frac{a^2}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-a\cdot b}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-a \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 0\\
\frac{-a \cdot b}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 1-\frac{b^2}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-b \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 0\\
\frac{-a \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-b \cdot c}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 1-\frac{c^2}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 0 \\
\frac{-ad}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-bd}{(a^2 + b^2 + c^2)} & \frac{-cd}{(a^2 + b^2 + c^2)} & 1
\end{array}
\right]
$</math>

Ha valaki tudja, hogy esetleg miért nem jó ez a megoldás, akkor írja meg ide, thx.
-- [[PaleszA|Pálesz]] - 2007.10.27.

A Pálesz-mátrix elemeiben az <math>a^2+b^2+c^2</math> nevező elhagyható, ugyanis ez megegyezik az <math>\underline{n}</math> normálvektor hosszával, amit egységnyire választunk.
-- [[RebeliSzaboTamas|toma]] - 2007.10.28.

----
----

===3. feladat===
Írja fel három pontra illeszkedő sík egyenletét az euklideszi és a projektív térben.

====Megoldás====
'''Euklideszi térben'''

Ismerjük a sík 3 pontját: <math>\underline{p_{1}}</math>, <math>\underline{p_{2}}</math>, <math>\underline{p_{3}}</math>

Tehát ismerünk 2 vektort, ami a síkon van: <math>\underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}</math> és <math>\underline{p_{3}} - \underline{p_{1}}</math>

Ezeket össze keresztelve megkapjuk a sík normál vektorát: <math>\underline{n} = (\underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}) \times (\underline{p_{3}} - \underline{p_{1}}) </math>

A sík egyenlete: <math>\underline{n} \cdot (\underline{r} - \underline{r_{0}}) = 0</math>, behelyettesítve: <math>((\underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}) \times (\underline{p_{3}} - \underline{p_{1}})) \cdot (\underline{r} - \underline{p_{1}}) = 0</math>

----
----

===6. feladat===
Írjon C függvényt, amely egy egyenes és egy pont távolságát kiszámítja.

Általánosan:
* <math>\underline{p_{1}}</math>, <math>\underline{p_{2}}</math> egyenes 2 pontja
* <math>\underline{p}</math> a pont
* <math>\underline{v} = \underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}</math> egyenes irány vektora
<math> d = \frac{\left| (\underline{p} - \underline{p_{1}}) \times \underline{v} \right|}{\left| v \right|} </math>

====Megoldás====
<pre>
float distanceLinePoint(float x1, float y1, float z1,
float x2, float y2, float z2,
float px, float py, float pz)
{
//egyenes irányvektora
float vx = x2 - x1,
vy = y2 - y1,
vz = z2 - z1;
//irányvektor nagysága
float v = sqrt(vx*vx + vy*vy + vz*vz);
//irányvektor normalizálása
vx /= v; vy /= v; vz /= v;

//pont - egyenes első pontja közötti vektor
float qx = px - x1,
qy = py - y1,
qz = pz - z1;

//r = q (kereszt) v = |q|*|v|*sin(alpha)
//v-t normalizáltuk, ezért az 1, nem kell osztani
float rx = qy*vz - vy*qz,
ry = vx*qz - qx*vz,
rz = qx*vy - qy*vx;

//r vektor nagysága
return sqrt(rx*rx + ry*ry + rz*rz);

/*Másik megoldás:
q vektor skalárisan szorozva v-vel, így megvan az egyenesre
vetített q vektor nagysága. Ezt összeszorozva v-vel, és hozzáadva
az egyenes első pontjához, megvan az egyenesre vetített pont.
Innen d = a 2 pont távolsága.*/
}
</pre>

----
----

===7. feladat===
Írjon C függvényt, amely két térbeli egyenes távolságát kiszámítja.
----
====Megoldás====
Általánosan:
* <math>\underline{p_{1}}</math>, <math>\underline{p_{2}}</math> egyik egyenes pontjai
* <math>\underline{q_{1}}</math>, <math>\underline{q_{2}}</math> másik egyenes pontjai
* <math>\underline{v_{1}} = \underline{p_{2}} - \underline{p_{1}}</math> első egyenes irány vektora
* <math>\underline{v_{2}} = \underline{q_{2}} - \underline{q_{1}}</math> második egyenes irány vektora
<math> d = \frac{\left| (\underline{p_{1}} - \underline{q_{1}}) \cdot (\underline{v_{1}} \times \underline{v_{2}}) \right|}{\left| \underline{v_{1}} \times \underline{v_{2}} \right|} </math>

<pre>
float distanceLineLine(float p1x, float p1y, float p1z,
float p2x, float p2y, float p2z,
float q1x, float q1y, float q1z,
float q2x, float q2y, float q2z)
{
//irány vektorok
float v1x = p2x - p1x,
v1y = p2y - p1y,
v1z = p2z - p1z;
float v2x = q2x - q1x,
v2y = q2y - q1y,
v2z = q2z - q1z;

//vektorok nagysága
float v1 = sqrt(v1x*v1x + v1y*v1y + v1z*v1z),
v2 = sqrt(v2x*v2x + v2y*v2y + v2z*v2z);

//normalizálás
v1x /= v1; v1y /= v1; v1z /= v1;
v2x /= v2; v2y /= v2; v2z /= v2;

//egyenesek pontjai közötti vektor
float ex = p1x - q1x,
ey = p1y - q1y,
ez = p1z - q1z;

if (abs(v1x) == abs(v2x) && abs(v1y) == abs(v2y) && abs(v1z) == abs(v2z)) {
//az egyenesek párhuzamosak, de lehet, hogy ellentétes irányuak, ezért kell abs
//a kereszt szorzat 0-t eredményezne rosszul
//mert a vektorok által bezárt szög 0, vagy 180 és sin(0) = sin(180) = 0

//a távolság |e|*|v1|*sin(alpha)
//d = |e (cross) v1|
float fx = ey*v1z - v1y*ez,
fy = v1x*ez - ex*v1z,
fz = ex*v1y - ey*v1x;

return sqrt(fx*fx + fy*fy + fz*fz);
} else {
//v1 (cross) v2
float wx = v1y*v2z - v2y*v1y,
wy = v2x*v1z - v1x*v2z,
wz = v1x*v2y - v1y*v2x;

//e (dot) w
//v-ket normalizáltuk, nem kell leosztani
return abs(ex*wx + ey*wy + ez*wz);
}
}
</pre>

Egy-kis magyarázat a fenti képlethez: (forrás: http://zeus.nyf.hu/~szalonta/Trigkoord06.pdf)

Bizonyítás: Két kitérő egyenes távolságán az azokat összekötő, mindkettőre merőleges normáltranszverzális szakasz hosszát értjük. A v1 × v2 vektoriális szorzat normáltranszverzális irányú, hiszen mindkét irányvektorra merőleges vektor, osztva a hosszával, egységvektor. Ennek és a két egyenes egy-egy pontjával meghatározott (P1, Q1) reprezentánsú (q1 - p1) vektornak a skaláris szorzata éppen a (q1 - p1) vektor normáltranszverzális irányra vett merőleges vetületének hosszát adja abszolútértékben.

Ez az abs feltétel biztos? Mert sztem ez bővebb a párhuzamosságnál, pl két merőleges egyenes is lehet ilyen.
lásd (1,1,0) és (1,-1,0) vektorok.
-- [[TakoTibor|TTb]] - 2008.05.26.

A kód megértését segítendő magyarázat: a felvázolt képlet egy elméleti koordinátageometria megoldás, a kód analógiája teljesen más. A megvalósítás kihasználja a vektoriális szorzat azon tulajdonságát, hogy két vektor vektoriális szorzata egy a két vektorra merőleges vektor lesz, melynek hossza |v1*sin(alpha). ([http://www.fsz.bme.hu/~szirmay/grafika/bmeanalgeom.ppt Szirmay - Analitikus geometria - 7.oldal]) Ami nem más, mint a v2 és v1 vektor síkján lévő v2 vektorra merőleges egyenesre vetített v1 vektor. A mi esetünkben ez pont a normáltranszverzális, melynek hossza adja a két egyenes közti távolságot.
-- [[EberhardtPeter|Paaci]] - 2009.01.17.
----
----

===10. feladat===
Lehet-e egy affin - azaz párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe leképező - transzformáció mátrixának negyedik oszlopa [0, 0, 0, 2]?

====Megoldás====
Az egységmátrix λ-szorosa az (x, y, z, h) homogén koordinátás pontot a (λx, λy, λz, λh) pontba viszi, azaz helyben hagyja. A helyben hagyás egy affin transzformáció, és λ=2-re a mátrix negyedik oszlopa pont (0, 0, 0, 2) lesz. -- [[PallosPeter|Peti]] - 2007.10.27.

=====Vita=====
Idézet tk. 46 oldala: "Az '''affin transzformációkban''' a mátrix negyedik oszlopa mindig [0,0,0,1] alakú , tehát a pont negyedik koordinátáját nem rontja el. (...) Ha a mátrix negyedik oszlopában nem ragaszkodunk a [0,0,0,1] értékekhez, akkor egy még átalánosabb transzformáció típushoz, a '''projektív transzformációkhoz''' jutunk." Szóval szerintem a válasz a feladatra a "nem".
-- [[TothZs|Zsófi]] - 2007.10.28.

Sztem a fenti megoldás helyes: adott egy példát h miért ''lehet''. Valóban definíció szerint projektyv transzformációkat kaunk, viszont az affin is projektív, és a fenti példa arra, hogy valóban lehet affin sztem, javítsatok ki ha tévednék. -- [[TakoTibor|TTb]] - 2008.05.27.

Sztem a mátrix így néz ki (nevezzük A-nak) :
<math>$
T = \left[\begin{array}{cccc}
a11 & a12 & a13 & 0\\
a21 & a22 & a23 & 0\\
a31 & a32 & a33 & 0\\
a41 & a42 & a43 & 2\\
\end{array}
\right]
$</math>
Ez annyiban különbözik egy általánosan megszokott affin transzformációs mátrixtól, hogy az a44 eleme 2 és nem 1 (nevezzük 1-essel A'-nek). Ha meggondoljuk ez nem baj, mert annyi változást okoz A az A'-höz képest, hogy (x, y, z, 1) helyett (x, y, z, 2)-t kapunk, ami pont egy 1/2-szeres nagyítást jelent (hiszen ha leosztjuk a pont koordinátáit 2-vel, akkor ezt kapjuk : (x/2, y/2, z/2, 1), és az x, y és z helyen a Descartes-koordinátáknak megfelelő pontot kapjuk(ha a 4. koordináta (h) 1)). A könyvből vett idézetet ellenőriztem, valóban így szerepelt, és ez nem pontos megfogalmazás.
Szerintem a [0, 0, 0, 1] helyett [0, 0, 0, λ], λ ≠ 0 a helyes kifejezés.
-- [[ProdanovMitko|k317h]] - 2009.06.07.

----
----

===13. feladat===
Írja fel azon homogén lineáris transzformáció mátrixát, amely egy síkbeli pontot az xc, yc vetítési középponttal az ax+by+c=0 egyenletű egyenesre vetít.

====Megoldás====
<math>$T = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{c} \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)$</math>

=====Javítás:=====
Ez az y = c egyenletű egyenesre origó középponttal vetítő mátrix. A megoldás alapja a bmetransf slideshow 20. slide-ja:
ax + by = 1 egyenletű egyenesre origó középpontú vetítés esetén a mátrix:

<math>$T = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)$</math>

Ehhez képest az ax + by + c = 0 egyenlet helyett írhatjuk azt, hogy ax + by = 1-c, és akkor az előzőhöz hasonló egyenletet kapunk. Rátolunk egy (1-c)-vel skálázást a mátrixra: ax és by összege ez esetben nem 1, hanem annak (1-c)-szerese. Az y=c egyenesre való vetítéshez hasonlóan ez itt egy (1-c)-vel való osztásként jelenik meg a mátrix harmadik oszlopában. Mivel nem az origó a középpont, ezért még el is kell tolni az egészet (xc, yc)-vel, így a keresett mátrix:

<math>$T = \left(
\begin{array}{ccc}
1-c & 0 & a \\
0 & 1-c & b \\
xc & yc & 0 \\
\end{array}
\right)$</math> = <math>$T = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & \frac{a}{1-c} \\
0 & 1 & \frac{b}{1-c} \\
xc & yc & 0 \\
\end{array}
\right)$</math>

[[GurmaiGergely|Gergő]] -- 2007.11.29.

----
----
===14. feladat===
Tekintsük a következő homogén lineáris transzformációs mátrixot (a transzformálandó pontot a mátrix bal oldalára kell írni):

<math>$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)$</math>

Mit csinál a transzformáció? Mi keletkezik a transzformáció után a [2, 1] és [-1, 1] pontokat összekötő szakaszból.

====Megoldás====
Ez egy nem-lineáris transzformáció a 2 dimenziós térben, ami a [x,y,1] alakból [x,y,x] (vagy másként [1,y/x,1]) alakba képez át. A transzformáció után a két új végpont az [1, 0.5] és az [1, -1]. A szakasz 90 fokkal elfordul, és az x tengelyre lesz merőleges, a hossza pedig megrövidül 2-ről 1,5-re. Összeségében a transzformáció minden pontot az x tengelyre merőleges, és azt 1-nél metsző egyenesre helyez át.

=====Javítás:=====
A vetítés után a szakasz hosszával nem a fent leírt dolog történik, ugyanis létrejön az átfordulási probléma; azaz az x=1 egyenesen a szakaszunk nem a 0.5 és a -1 között helyezkedik el, hanem pont ezen kívül; az eredeti szakasz [0,1] pontja pedig ideális ponttá válik! Tk. 49 oldal.

-- [[TothZs|Zsófi]] - 2007.10.28.

=====Rajz=====

Ez egy homogén lineáris transzformáció 2D-ben. Középpontosan levetíti a pontokat az <math>x = 1</math> egyenesre az origón át.

%ATTACHURL%/graph_anal_14.png

* piros egyenes: a vetítési egyenes
* kék pontok, szakasz: eredeti pontok, és a szakasz
* zöld pontok, szakasz: vetített pontok, és félegyenesek a már említett átfordulás miatt

Lásd: [http://www.fsz.bme.hu/~szirmay/grafika/bmetransf.ppt bmetrans.ppt] 20. slide

-- [[DeVi|DeVi]] - 2007.10.28.

----
----
===22. feladat===
Adott a következő <math>\underline{r} \rightarrow \underline{r}' </math> 2D transzformáció, ahol <math>\underline{r}</math>, <math>\underline{r}</math>’ és <math>\underline{b}</math> a sík vektorai:
<math> \underline{r}' = \frac{\underline{r}}{\left| \underline{r} \right |} + \underline{b} </math>

A képletben <math>\left| \underline{r} \right|</math> az <math>\underline{r}</math> vektor abszolút értékét jelenti. Mibe vihet át ez a transzformáció egy szakaszt?

====Megoldás====

Az origó körüli 1 sugarú körre vetíti a pontokat, majd ezeket az új pontokat eltolja <math>\underline{b}</math>-vel.

Szakaszból görbe lesz.

====Megoldás 2====

A trafo elsőként lenormálja a paraméterül kapott vektort, (azaz megőrzi az irányát és egységnyire változtatja a hosszát), majd eltolja azt 'b' vektorral. Egy szakaszt, ha az nem tartalmazza az origót egy Pi-nél kisebb szögű origó középpontú körivvé transzformál, majd eltolja 'b' -vel. Különben két ponttá transzformálja a szakaszt és azt tolja el, de ekkor a trafo a nullvektorra nem értelmezett.

-- [[SzucsMiklos|<<Miki>>]] - 2007.10.29

----
----
===23. feladat===
Hogyan definiálható a B-spline és milyen tulajdonságai vannak.
Sünis Könyv 58.

====Megoldás====

A B-spline olyan görbeleírás, amely a lokális vezérelhetőség és a simaság (deriválhatóság) között ad kompromisszumot.
Approximációs görbe, tehát a vezérlőpontokon jellemzően nem halad át. (Az első és az utolsó vezérlőponton sem)
Általános esetben a szomszédos csomópontok távolságára nincs megkötés.

A görbe bázisfüggvényeit úgy származtatjuk, hogy kiindulunk olyan bázisfüggvényekből, amelyek a hozzájuk tartozó csomópontintervallumon Bi=1 értéket vesznek fel,
egyébként pedig nullát.
Ezután a B-spline fokszámának megfelelő számszor lineáris simítást végzünk.

Ha egy B-spline fokszáma n. akkor egy vezérlőpont a görbe n+1 szegmensére van hatással, tehát a fokszám növelésével a lokális vezérelhetőség csökken.

----
----
===24. feladat===
Mi a NURBS.

====Megoldás====

Non-Uniform Rational B-Spline, a B-Spline egy kezelhetőbb változata. A vezérlőpontokhoz még egy w súlyt is rendelünk, ennek növelésével a görbe az adott pontban egyre jobban csúcsosodik. Előnye, hogy a kúpszeletek tökéletesen leírhatók legalább harmadfokú NURBS-ökkel, hátránya hogy (hacsak homogén koordinátákban nem számolunk), osztásokra is szükség van a görbe kirajzolásához.

A görbe egy pontjának meghatározása:
<math>
r(t) = {{\sum w_iB_i^{NUBS} r_i}\over{\sum w_jB_j^{NUBS}}} = B_i^{NURBS} r_i
</math>

A bázisfüggvények kiszámítása a NUBS bázisfüggvényeiből tehát:
<math>
B_i^{NURBS} = {{w_i B_i^{NUBS}}\over{\sum w_jB_j^{NUBS}}}
</math>

----
----
===27. feladat===
Adja meg a kvadratikus felületek általános definícióját. Milyen konkrét tagjai vannak ennek a családnak.

====Megoldás====

Kvadratikus felületnek nevezzük azokat a felületeket, melyek legfeljebb másodfokú implicit egyenlettel leírhatók. Általános, homogén koordinátás alakban megadva:

<math>
[x, y, z, 1] Q \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right] = 0
</math>

Ahol Q egy 4x4-es mátrix. Kvadratikus felülettel leírható például a kúp, ellipszoid, hengerpalást, paraboloid.

----
----
===28. feladat===
Rajzolja fel a szárnyas él adatstruktúrát, és írjon programot, amely egy lapnak kiírja az összes csúcsát.

====Megoldás====

Sünis könyv 140.o.
<br>Adatszerkezet:

<pre>
class Edge {
Vertex * vertex_start, vertex_end; //Az él kezdő- és végpontja
Face * face_left, face_right; //Az él jobb- és baloldali lapja
Edge * loop_left, loop_right; //A végpontból kiinduló két él
Edge * next; //Az éllista következő eleme
}

struct Vertex {
Vector point;
Edge * edge; //A csúcsot tartalmazó él
}

struct Face {
Edge * edge;
Face * next;
}
</pre>

Program (vázlatosan):
<pre>
void printVertex(Vertex * v) {
cout << v.x << "," << v.y << "," v.z;
}

void printVertices(Face * face) {
Edge * edge = face.edge;
Edge * current = NULL;

bool goRight = (edge.face_right == face) ? true : false;

print(edge.vertex_end);

while( edge != current ) {
if( goRight ) {
current = edge.loop_right;
} else {
current = edge.loop_left;
}

print(current.vertex_end);
}
}
</pre>

----
----
===29. feladat===
Mik az Euler operátorok és miért van rájuk szükség.
Sünis könyv 75.o.

====Megoldás====

Euler egyenlet:
lapok + csúcsok = élek + 2

Az Euler operátorokat poligonhálóra alkalmazva az Euler tulajdonság nem sérül.

Típusai:
A, Él kettévágás
Egy él egy pontján felveszünk egy új csúcsot, ami ezáltal két élre bomlik.
A csúcsok száma eggyel, az élek száma szintén eggyel növekszik.

B, Poligon kettévágás
Egy lap két csúcsát egy új éllel kötünk össze, ezáltal a lap két lapra esik szét.
Az éleg és a lapok száma egyaránt eggyel növekszik.

C, Élzsugorítás
Egy élet egy pontba zsugorítunk. Az él eltűnik, a két végpontját egyesítjük.
Az élek száma eggyel csökkel, a csúcsok száma eggyel csökken.
Ha az élhez kapcsolódó egyik vagy minkét poligon egy háromszög, akkor az eltűnik, a a másik két éle pedig egyesül.

D, Poligon kihúzás
Kiválasztunk egy lapot, és az elmozdítjuk az eredeti helyről, ehhez a kiválasztott lap éleit és csúcsait meg kell duplázni. Ha *e* éle van a kiválaszott lapnak, akkor *e* új él jön létre, és *e* új pont. Ezután az új pontokat össze kell kötni a nekik megfelelő régi pontokkal. (még *e* új él és *e* új lap.)

----
----
===30. feladat===
Írjon C++ nyelven egy CSG fát megvalósító osztályt.

----
----
===35. feladat===
Írjon erősen emelkedő szakaszt rajzoló programot, a Bresenham algoritmus alapján.

----
----
===36. feladat===
Írjon erősen emelkedő szakaszt rajzoló programot, a DDA algoritmus alapján.

2008-as házi feladat keretben implementált DDA szakaszrajzoló algoritmus:<br>
{{InLineFileLink|Infoalap|SzgGrafFeladatok|DDA.cpp|DDA.cpp}}<br>
Erősen emelkedő szakaszokra kicsit furán viselkedik :)<br>
-- [[SikAndras|Bandita]] - 2009.01.02.

----
----
===37. feladat===
Írjon programot, amely egy szakaszt egy konvex sokszögre vág.

-- [[GergelyK|Geri]] - 2006.12.29.
-- [[PallosPeter|Peti]] - 2006.08.02.
-- [[SzelessZoltanTamas|Sales]] - 2006.07.27.

[[Category:Infoalap]]