PótZH 2006. 12. 07., B csoport, első turnus forrásának megtekintése

{{GlobalTemplate|Infoalap|SzgGrafPZH20061207B1}}


18:15-18:45

'''Adott egy szakasz két végponttal a modell-koordinátarendszerben: (1,1,-3) és (1,1,3). Van egy transzformációs mátrixunk, ami modellből visz világkoordinátába:'''

<math> T_m = \left[\begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\  \end{array} \right] </math>



'''És van egy másik transzformációs mátrixunk, ami világkoordinátákból visz normalizált eszközkoordinátákba:'''

<math> T_{proj} = \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\  \end{array} \right] </math>

'''Mely pixeleket színezi ki a DDA szakaszrajzoló algoritmus, ha a viewport felbontása 6x6?'''

-- [[ZoltanH|Mezzanine]] - 2006.12.07.

Megoldás:

A két mátrixot össze kell szorozni, majd a homogén koordinátás pontokkal balról meg kell szorozni.

<math> \left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\  \end{array} \right] * \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\  \end{array} \right]
</math>

Ezzel a konkatenált mátrixszal szorozzuk meg balról az egyes pontokkal. A pontokat előtte természetesen homogén koordinátára alakítjuk, azaz mögé csapunk egy 1-est. A transzformációk után a pontok:

<math> p_1= \left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & -3 & 9 \\ \end{array} \right] </math> javította: [[AdamO|adamo]] <br>
<math> p_2= \left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 15 & -9 \\ \end{array} \right] </math>

A vágást a homogén koordinátarendszerben kell elvégezni, hiszen látszik, hogy átfordulás lesz (a negyedik koordináta a kettő pont között 9-ről -9-re vált, tehát a 0-t érinti!). Írjuk fel a vágósíkokat, illetve hogy azok szerint az egyes pontok a sík jó oldalán vannak, avagy sem.


{| border="1"
|Vágósíkok || [x,y,z,h]=[3,3,-3,9] || [x,y,z,h]=[3,3,15,-9] 
|-
| <math> x \leq h </math> || bent || kint 
|-
| <math> x \geq -h </math> || bent || kint 
|-
| <math> y \leq h </math> || bent || kint 
|-
| <math> y \geq -h </math> || bent || kint 
|-
| <math> z \leq h </math> || bent || kint 
|-
| <math> z \geq -h </math>  || bent || bent 
|}

Jól látszik, hogy <math>p_1 = [3,3,-3,9]</math> belső pont, hiszen minden vágósík szerint belülre esik. Ezután azon sorokra, ahol valamely pont kiesik a síkból, el kell végeznünk a megfelelő síkra történő vágást. Írjuk fel a szakasz egyenletét a koordinátákra külön-külön:

<math> x = 3t + 3(1-t) </math><br>
<math> y = 3t + 3(1-t) </math><br>
<math> z = -3t + 15(1-t) </math><br>
<math> h = 9t - 9(1-t) </math>

Most nézzük meg, hogy az egyes vágósíkokkal való metszetüknél <math> t </math> milyen értéket vesz fel!

<math> x=h \Longrightarrow 3t+3(1-t)=9t-9(1-t) \Longrightarrow t=\frac{2}{3} </math><br>
<math> x=-h \Longrightarrow 3t+3(1-t)=-9t+9(1-t) \Longrightarrow t=\frac{1}{3} </math><br>
<math> y=h \Longrightarrow 3t+3(1-t)=9t-9(1-t) \Longrightarrow t=\frac{2}{3} </math><br>
<math> y=-h \Longrightarrow 3t+3(1-t)=-9t+9(1-t) \Longrightarrow t=\frac{1}{3} </math><br>
<math> z=h \Longrightarrow -3t+15(1-t)=9t-9(1-t) \Longrightarrow t=\frac{2}{3} </math> <br>

A fentiekből tehát kiderül, hogy a szakaszunk két helyen is metszi a vágósíkokat. Igen ám, de honnan tudjuk, hogy melyik metszéspont az, amelyik minket érdekel? Tudjuk, hogy a <math>p_1</math> a belső pont. Ha a szakasz egyenletébe behelyettesítjük a <math>t=\frac{1}{3}</math> értéket, akkor azt kapjuk, hogy a levágott <math>p_2'</math> pont koordinátái: <math>[x,y,z,h]=[3,3,-9,-3]</math>. Ugyanezt <math>t=\frac{2}{3}</math>-ra kiszámolva kapjuk, hogy <math>p_2''=[3,3,3,3]</math>.

'''Megjegyzés:'''
Szerintem egy apró számítási hiba miatt <math>p_2'</math> pont koordinátái: <math>[x,y,z,h]=[3,3,9,-3]</math>. -- [[SikAndrasFerenc|Bandita]] - 2008.06.03.

Képzeljünk el egy kockát, amelyben van egy <math>p_1</math> belső pontunk és egy olyan szakasz indul ki belőle, amely két helyen is metsz (nyilván két különböző) síkot. Hogyan lehetséges ez? Úgy, hogy igazából nem egy kockára vágunk, hanem a kockát határoló síkokra! Nyilván az lesz a számunkra érdekes metszéspont, amely a belső ponthoz közelebb esik (a másik metszéspont ugyanis már a kockán kívül, annak egyik lapja által kijelölt síkkal való metszést jelenti!). Meg kell határoznunk tehát <math>(d(p_1,p_2')</math> és <math>d(p_1,p_2''))</math> távolságot, és az a pont lesz a jó nekünk, amelyre ez a távolságmérték kisebb.
Emlékeztető: vektorok távolságát úgy számítjuk, hogy a koordinátánkénti különbségek négyzetét összegezzük, majd az egész összegnek a gyökét vesszük.

<math>d(p_1,p_2')=\sqrt{(3-3)^2+(3-3)^2+(-3-(-9))^2+(9-(-3))^2}=</math> <math>\sqrt{36+144}=13.41</math><br>
<math>d(p_1,p_2'')=\sqrt{(3-3)^2+(3-3)^2+(-3-3)^2+(9-3)^2}=\sqrt{36+36}=8.48</math>

'''Megjegyzés:'''
Mivel <math>p_2'</math> pont koordinátái: <math>[x,y,z,h]=[3,3,9,-3]</math>, ezért
<math>d(p_1,p_2')=\sqrt{(3-3)^2+(3-3)^2+(-3-9)^2+(9-(-3))^2}=</math> <math>\sqrt{144+144}=16.97</math><br>
Szerencsére ez nem befolyásolja a feladat további megoldását :) -- [[SikAndrasFerenc|Bandita]] - 2008.06.03.

Ebből látható, hogy a <math>p_2''</math> lesz a metszéspont, amit kerestünk, vagyis a síkokra vágott pontunk <math>p_2=[3,3,3,3]</math>-ban lesz.

Így a szakasz két végpontja a vágás, illetve homogén osztás után:

<math> p_1=[\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}] </math><br>
<math> p_2=[1,1,1] </math>

A képernyőkoordinátarendszerben a szakaszt a következőképpen kapjuk meg:

<math> X_w = (X_d+1)\frac{V_{sx}}{2}+V_x </math><br>
<math> Y_w = (Y_d+1)\frac{V_{sy}}{2}+V_y </math>

A <math> p_1 </math> pont a képernyőn:<br>
<math> X_{w1} = \left(\frac{1}{3}+1\right)\cdot3=4 </math><br>
<math> Y_{w1} = \left(\frac{1}{3}+1\right)\cdot3=4 </math>

A <math> p_2 </math> pont a képernyőn:<br>
<math> X_{w2} = (1+1)\cdot3=6 </math><br>
<math> Y_{w2} = (1+1)\cdot3=6 </math>

Így a szakaszrajzoló algoritmus a (4,4), (5,5) és (6,6) pixeleket fogja kiszínezni. A vágósíkokkal való metszésszámításnál egyébként már látszódott, hogy a szakasz mind az x, mind az y (sőt, a z) vágósíkokat is ugyanazon <math> t=\frac{2}{3} </math> paraméternél metszi, azaz éppen a képernyő jobb felső sarkán hagyja el a képernyőt.

-- [[NeoXon|NeoXon]] - 2006.12.08.

Megjegyzés:
Ebben a gondolatmenetben egy apró hiba, hogy a vágósikok pontos számítása:

<math> \begin{array}{r}
-1 \leq Xh/h \leq 1 \\
-1 \leq Yh/h \leq 1 \\
-1 \leq Zh/h \leq 1 \\
\end{array} </math>

Azaz, ha h>0:

<math> \begin{array}{r}
-h \leq Xh \leq h \\
-h \leq Yh \leq h \\
-h \leq Zh \leq h \\
\end{array} </math>

ha h<0:

<math> \begin{array}{r}
-h \geq Xh \geq h \\
-h \geq Yh \geq h \\
-h \geq Zh \geq h \\
\end{array} </math>

Ebből pedig:

{| border="1"
| Vágósíkok || [x,y,z,h]=[3,3,-3,9] || [x,y,z,h]=[3,3,15,-9] 
|-
| <math> x \leq h </math> || bent || 
|-
| <math> x \geq -h </math> || bent || 
|-
| <math> y \leq h </math> || bent || 
|-
| <math> y \geq -h </math> || bent || 
|-
| <math> z \leq h </math> || bent || 
|-
| <math> z \geq -h </math> || bent || 
|-
| <math> x \geq h </math> || || bent 
|-
| <math> x \leq -h </math> || || bent 
|-
| <math> y \geq h </math> || || bent 
|-
| <math> y \leq -h </math> || || bent 
|-
| <math> z \geq h </math> || || bent 
|-
| <math> z \leq -h </math> || || kint 
|}

De ez nem befolyásolja a végeredményt, szerencsére :)

-- [[GyenesePeter|Gyenö]] - 2007.10.29.


[[Category:Infoalap]]