1. tétel br Markov-lánc, átmenetvalószínűségek, homogenitás forrásának megtekintése

{{GlobalTemplate|Infoalap|TokiTetel1}}


'''Markov láncnak''' nevezzük az olyan sztochasztikus {<i>X<sub>n</sub></i>} folyamatokat, amelyekre teljesül a Markov tulajdonság:

<math> P(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}, ..., X_0=x_0) = P(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}) </math>

vagyis a folyamat által felvett állapot csak a közvetlen múlttól függ, es független a korábbi esémenyektől.
A dolog úgy is megfogalmazható, hogy a jövő a múlttól csak a jelenen keresztül függ.
Az _n_ paramétert általaban az idővel azonosítjuk.

Mivel tudjuk, hogy ha
<math> P(X_n=x_n, X_{n-1}=x_{n-1}, ..., X_0=x_0) > 0 </math>
akkor 

<math> P(X_n=x_n, X_{n-1}=x_{n-1}, ..., X_0=x_0) = P(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}, ..., X_0=x_0) \cdot P(X_{n-1}=x_{n-1} | X_{n-2}=x_{n-2}, ..., X_0=x_0) \cdot ... \cdot P(X_0=x_0) </math>

ezért ha valóban Markov láncról van szó, akkor:

<math> P(X_n=x_n, X_{n-1}=x_{n-1}, ..., X_0=x_0) = P(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}) \cdot P(X_{n-1}=x_{n-1} | X_{n-2}=x_{n-2}) \cdot ... \cdot P(X_0=x_0) </math>

amiből következik, hogy minden Markov lánc felírható egylépéses átmenet-valószínűségek es egy vetületvalószínűség szorzataként.
Minden Markov lánc egyértelműen leírható, ha megadjuk a kezdeti eloszlását es az egylépéses átmenetvalószínűségeket (<math> P(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1})</math> minden <i>n</i>-re).

Egy Markov láncot '''homogénnek''' nevezünk, ha annak a valószínűsége, hogy egy állapotot felvesz, független az időtől, vagyis: 

<math> P(X_n=j | X_{n-1}=k)</math>  nem függ n-től.

-- [[CsapoAdamBalazs]] - 2005.06.13. <br>
-- [[PallosPeter|Peti]] - 2006.12.22.


[[Category:Infoalap]]