Fizika 1 vizsga, 2013.06.03. forrásának megtekintése

'''Megjegyzés''': Ez nem a hivatalos javítókulcs, az esetleges hibákért felelősséget nem vállalok!

== Feladatok ==
# Egy gépkocsi 21 m/s-os egyenletes sebességgel egyenes úton halad. Abban a pillanatban, amikor egy parkoló motoros rendőr mellé ér, a rendőr 2,2 m/s<sup>2</sup> állandó gyorsulással üldözni kezdi. Mennyi utat tesz meg a rendőr, amíg utoléri a gépkocsit?
#: ''a'' = 2.2 m/s. A gépkocsihoz rögzített koordinátarendszerben a rendőr <math>v_0 = -21 \mathrm{\frac ms}</math> sebességről indul. <math>x = -v_0 t + \frac a2 t^2 = 0</math> esetén van a két autó egymás mellett. <math>t = 0</math> vagy <math>t = 19.0909</math>, nyílván a második eset érdekel minket. A földhöz képest a rendőr nulla kezdősebességű, egyenletesen gyorsuló mozgást végez, <math>s = \frac a2 t^2 = \frac{2.2}2 19.0909^2 = 400.909\,\mathrm m</math>
# Mennyivel nyúlik meg az ábra szerinti elrendezésben a két test közé iktatott rugó, amikor az összekapcsolt rendszer egyenletesen gyorsuló mozgásban van? (A csiga, a rugó és a fonál tömegét ne vegyük figyelembe. Legyen m=1 kg; a súrlódási együttható 0,2; a rugóállandó 4 N/cm)
#: [[Fájl:Fizika1i_vizsga_2013-06-03_2feladat.png|thumb|Erők]] ''m'' = 1 kg, ''µ'' = 0.2, ''D'' = N/cm. Feltesszük hogy a rugó nyugalomban van (nem rezeg), így a rendszer együtt mozog, a gyorsulása legyen ''a''. Eredő erő az egyes testekre:
#: <math>
\addtolength\arraycolsep{-3.5pt}
\begin{array}{rl}
  ma &= mg - K_1 \\
  ma &= K_1 - K_2 - F_s = K_1 - K_2 - \mu mg \\
  ma &= K_2 - F_s = K_2 - \mu mg
\end{array}
</math>
#: Az egyenleteket megoldása:
#: <math>
\addtolength\arraycolsep{-3.5pt}
\begin{array}{rl}
  K_1 &= mg - ma \\
  K_2 &= ma + \mu mg \\
  ma  &= (mg - ma) - (ma + \mu mg) \mu mg = -2ma -2\mu mg + mg \\
  3ma &= m(1-2\mu)g \\
  a   &= \frac{(1-2\mu)g}3 = \frac{0.6\cdot 10}3 = 2 \frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \\
  K_2  &= 1\cdot(2 + 0.2\cdot10) = 4\,\mathrm{N}
\end{array}
</math>
#: A rugót 4 N erő húzza, <math>-K_2 = -D x</math>, ebből <math>x = \frac{K_2}D = \frac44 = 1\,\mathrm{cm}</math>
# Az ábrán látható felfüggesztett test tömege 200kg. A rúd súlya elhanyagolható. Határozzuk meg a kötélben ébredő erőt!
#: [[Fájl:Fizika1i_vizsga_2013-06-03_3feladat.png|thumb|Erők]] ''m'' = 200 kg, ''g'' = 10 m/s<sup>2</sup>. A súlyt ''mg'' húzza lefele, a kötélerő iránya a kötéllel párhuzamos és felfele mutat. Vízszintes irányban csak ''K'' és ''T'' hat, így ezeknek egyensúlyban kell lenniük: <math> K_x + T_x = -K \cos 30^\circ + T \cos 30^\circ = 0</math>, vagyis ''T'' és ''K'' nagysága megegyezik. Függőleges irányban: <math>K_y + T_y = 2K \sin 30^\circ = mg</math>, ebből <math>K = \frac{mg}{2\sin 30^\circ} = 2000\,\mathrm{N}</math>.
# A tér egy tartományában az elektromos térerősség '''E''' = (-3''x'''''e'''<sub>x</sub> + 4'''e'''<sub>z</sub>) N/C. Az ''A'' és ''B'' pontok az ''x'' tengelyen vannak, ''x''<sub>A</sub> = 3 m és ''x''<sub>B</sub> = 5 m. Az ''U''<sub>B</sub> - ''U''<sub>A</sub> potenciálkülönbség
#: <math>\vec E = -3x \vec i + 4 \vec k</math>, <math>\vec A = 3\vec i\,\mathrm{m}</math>, <math>\vec B = 5\vec i\,\mathrm{m}</math>. Elektromos tér esetén <math>\vec E = -\operatorname{grad}\vec U</math>, tehát <math>\vec U = \frac{3x^2}2 \vec i - 4z \vec k + \vec C</math>, ahol ''C'' egy valamilyen vektor (integrálás miatt jön be, mivel úgyis csak különbség kell, úgyis kiesik). <math>U(B) - U(A) = \frac{3\cdot5^2}2 \vec i - 4z \vec k + \vec C - \frac{3\cdot3^2}2 \vec i + 4z \vec k - \vec C = \frac32\left(5^2-3^2\right) = 24 \vec i\,\mathrm V</math>.
# Függőleges irányú harmonikus rezgéseket végző vízszintes fémlapon egy pénzdarab helyezkedik el. Megfigyelték, hogy első ízben akkor sikerült becsúsztatni egy vékony papírlapot, a pénzdarab és a fémlap közé, amikor a rezgésszám elérte a 18-at másodpercenként. Mennyi volt a fémlap rezgésének amplitúdója?
#: ''f'' = 18 Hz. Papírlapot akkor lehet becsúsztatni, ha a fémlap gyorsabban süllyed, mint ahogy a pénzérme esik (szabad esésben), vagyis ''a'' > ''g''. Harmonikus rezgésnél <math>a_{\mathrm{max}} = A\omega^2 = A\left(2\pi f\right)^2 = g</math>, vagyis <math>A = \frac{g}{4\pi^2f^2} = \frac{10}{4\pi^2 18^2} = 0.000781\,\mathrm m = 0.781\,\mathrm{mm}</math>.
# Mesterlövész balról jobbra haladó célpontra céloz. A mesterlövész függőleges tengely körül forog, a cső 70°-os szöget zár be a függőlegessel. A puska szögsebessége 1,8 rad/s abban a pillanatban, amikor a 7 gramm tömegű lövedék 850m/s sebességgel éppen kirepül a csőből. A forgó rendszerben mekkora Coriolis erő hat a lövedékre a cső elhagyásának pillanatában? A Föld forgásától tekintsünk el.
#: ''m'' = 0.007 kg, ''v'' = 850 m/s. Rögzítsük a koordinátarendszerünket úgy, hogy a lövész van a középpontban, a z tengely körül forog (így xy sík a vízszintes), a vadász pedig +x felé lő. Ekkor a golyó ''v'' sebessége: <math>v_x = v \cos \alpha = 850\cdot \cos 20^\circ = 798.74 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>, <math>v_z = v \sin \alpha = 290.72\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math> (azért 20°, mert nekünk a vízszintessel bezárt szög kell). A forgás szögsebessége: <math>\vec\omega = 1.8 \vec k</math>. Ezekből a Coriolis-erő számolható: <math>
F_{\mathrm{cor}} = 2mv \times \omega = \left| \begin{matrix}
  \vec i & \vec j & \vec k \\
  11.182 & 0      & 4.071  \\
  0      & 0      & 1.8    \\
\end{matrix} \right| = 1.8 \left| \begin{matrix}
  \vec i & \vec j \\
  11.182 & 0      \\
\end{matrix} \right| = 1.8 \cdot (-11.182 \vec j) = -20.13\vec j\,\mathrm{N}
</math>.
# A súlytalan, merev, szigetelő anyagból készült, 0,2m hosszú rúddal összekötött, Q<sub>1</sub> = +3x10<sup>-9</sup>C és Q<sub>2</sub> = -3x10<sup>-9</sup> C töltéssel ellátott két fémgömböt 10<sup>6</sup> N/C térerősségű homogén elektromos térbe tesszük úgy, hogy az O felezőponton keresztülmenő, a papír síkjára merőleges tengely körül elfordulhat. Mekkora munkával lehet a rendszert a legkisebb energiával bíró helyzetéből a legnagyobb energiával bíró helyzetbe átvinni?
#: ''d'' = 0.2 m, ''Q'' = 3·10<sup>-9</sup>, ''E'' = 10<sup>6</sup> N/C. A két töltés 0.2 m-re egymástól dipólust alkot, így a dipólusokra vonatkozó képleteket kell használni (ha valaki a pontszerű töltésekre vonatkozó képleteket használta, és abból hozta ki valahogy a helyes eredményt, azt nem fogadták el). A dipólmomentum: <math>\vec p = Q \vec d</math>, nagysága: <math>p = Q d = 3\cdot10^{-9}\cdot0.2 = 6\cdot10^{-10}\,\mathrm{Cm}</math>. Dipólus potenciális energiája: <math>U = -\vec p \cdot \vec E = -pE \cos \alpha</math>. Látható hogy utóbbi akkor minimális, ha <math>\cos \alpha = 1</math>, és akkor maximális, ha <math>\cos \alpha = -1</math>. <math>W = U_{\mathrm{max}} - U_{\mathrm{min}} = (-pE \cdot -1) - (-pE \cdot 1) = 2pE = 2\cdot6\cdot10^{-10}\cdot10^6 = 1.2\cdot10^{-3}\,\mathrm{J}</math>.
# [[Fájl:Fizika1i_vizsga_2013-06-03_8feladat.png|thumb|8. feladat]] Az ábra szerinti kapcsolásban az AB pontokra 120V feszültséget kapcsolunk. Mekkora a töltés a kondenzátoron?
#: ''U'' = 120 V, ''R''<sub>1</sub> = 150Ω, ''R''<sub>2</sub> = 600Ω, ''C'' = 5µF. Miután a kondenzátor feltöltődött, nem folyik áram rajta, tehát olyan mintha csak a két ellenállás lenne az áramkörben. <math>I = \frac U{R_1 + R_2} = \frac{120}{150+600} = 0.16\,\mathrm A</math>. Így ''R''<sub>2</sub>-n <math>U_2 = I R_2 = 96\,\mathrm{V}</math> feszültség esik, vagyis ennyi lesz a potenciálkülönbség a két lába között. Ez persze csak akkor lehet, ha a kondenzátor két lába között is ekkora a potenciálkülönbség. Tehát <math>Q = CU = 5\cdot10^{-6} \cdot 96 = 4.8\cdot10^{-4}\,\mathrm{C}</math>.
# Egy 4,5 V-ra feltöltött 2µF-os kondenzátorral párhuzamosan kötünk egy ismeretlen kapacitású, töltetlen kondenzátort, aminek hatására a feszültség 3,9 V-tal csökken. Mekkora az ismeretlen kapacitás?
#: ''U''<sub>1</sub> = 4.5 V, ''C''<sub>1</sub> = 2 µF, ''U''<sub>2</sub> = 0.6 V. Eredetileg <math>Q = C_1U_1 = 2\cdot10^{-6}\cdot 4.5 = 9\cdot10^{-6}\,\mathrm{C}</math>. A két kondenzátor eredő kapacitása <math>C_e = C_1 + C_2 = \frac{Q}{U_2}</math> (a töltés nem változik meg a folyamatban). <math>C_2 = \frac{Q}{U_2} - C_1 = \frac{9\cdot10^{-6}}{0.6} - 2\cdot10^{-6} = 1.3\cdot10^{-5}\,\mathrm{F} = 13\,\mathrm{\mu F}</math>.
# 1,25 m magasból a 0,1 kg tömegű golyó a 0,1 s időtartamú kölcsönhatás után 80 cm magasra pattan vissza. (g=10 m/s<sup>2</sup>) Mekkora átlagos erőt fejtett ki a talaj a golyóra?
#: ''h''<sub>1</sub> = 1.25 m, ''h''<sub>2</sub> = 0.8 m, ''m'' = 0.1 kg, ''t'' = 0.1 s. A pattanás előtt ''h''<sub>1</sub> magasságból indul, az ütközés előtti sebesség kiszámolható: <math>mgh_1 = \frac12m v_1^2</math>, <math>v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2\cdot10\cdot1.25} = 5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>. Az ütközés utáni sebesség hasonlóan: <math>v_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2\cdot10\cdot0.8} = 4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>. ''v''<sub>1</sub> és ''v''<sub>2</sub> azonban ellentétes irányú, így <math>\Delta v = 9 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>. Ebből a gyorsulás számolható: <math>\Delta v = at</math> => <math>t = \frac{\Delta v}{t} = \frac{9}{0.1} = 90\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}</math>. <math>F_1 = ma = 0.1\cdot 90 = 9\,\mathrm{N}</math>. Ez azonban még nem minden, a labdát ezen kívül még a gravitációs erő is húzza, ami az ütközés ideje alatt szintén a padlót nyomja, tehát <math>F = F_1 + mg = 9 + 1 = 10\,\mathrm{N}</math>. 
#:Szerk.: Ugyanannek a feladatnak a helyes megoldása a 2014.01.15-ei vizsgán <math>9N</math> volt, nyilván az <math>mg</math> tagot nem számolták bele.

[[Kategória:Infoalap]]