Matematika A3 - Differenciálegyenlet-rendszerek forrásának megtekintése

==Homogén differenciálegyenlet-rendszerek==

====Definíció====

Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével.

<math> \underline{x}'(t) = \underline{\underline{A}} \underline{x}(t) </math>

<math> \Updownarrow </math>

<math> x_1' = A_{11} x_1 + A_{12} x_2 </math>

<math> x_2' = A_{21} x_1 + A_{22} x_2 </math>

====Példa====

<math> x_1' = x_1 + 2x_2 </math>

<math> x_2' = 2x_1 + x_2 </math>

Kezdeti feltételek:

<math> x_1(0) = 1 </math>

<math> x_2(0) = -1 </math>

A probléma kétféleképpen oldható meg: ''analitikusan'' és ''Laplace-transzformáció'' segítségével.

===Az analitikus megoldás===

====A megoldás általános alakja====

<math> x_{ha} = \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{k} </math>

ahol <math> \underline{\underline{\Phi}} </math> az alaprendszer mátrixa, <math> \underline{k} </math> pedig egy konstans vektor.

<math> \underline{\underline{\Phi}}(t) = \left[ \begin{array}{rr} \underline{s}_1 e^{\lambda_1 t} & \underline{s}_2 e^{\lambda_2 t} \\ \end{array} \right] </math>

ahol <math> \lambda_i </math>-k <math> \underline{\underline{A}} </math> sajátértékei, <math> \underline{s}_i </math>-k pedig az i. sajátértékhez tartozó sajátvektorok.

====A fenti példa analitikus megoldása====

<math> x_1' = x_1 + 2x_2 </math>

<math> x_2' = 2x_1 + x_2 </math>


<math> \Updownarrow </math>


<math> \underline{\underline{A}} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] </math>


Sajátértékek kiszámítása:

<math> \det(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}}) = 0 </math>


<math> \Downarrow </math>


<math> \left| \begin{array}{rr} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{array} \right| = \left( 1-\lambda \right)^2 -2^2 = 0 </math>


<math> \Downarrow </math>


<math> \lambda_1 = 3  \;\;\;\;\; \lambda_2=-1 </math> 


A <math> \lambda_1 </math>-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:

<math> \left( \underline{\underline{A}} - \lambda_1 \underline{\underline{I}} \right) \underline{s}_1 = 0 </math>


<math> \left[ \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} s_{11} \\ s_{12} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right] </math>


<math>-2s_{11} + 2 s_{12} =0</math>

<math>2s_{11} - 2 s_{12} =0</math>


<math> \Updownarrow </math>

<math> s_{11} = s_{12} \Rightarrow \; Legyen: \; \underline{s}_1 = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right] </math> 


A <math> \lambda_2 </math>-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:

<math> \left( \underline{\underline{A}} - \lambda_2 \underline{\underline{I}} \right) \underline{s}_2 = 0 </math>


<math> \left[ \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} s_{21} \\ s_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right] </math>


<math>2s_{21} + 2 s_{22} =0</math>

<math>2s_{21} + 2 s_{22} =0</math>


<math> \Updownarrow </math>

<math> s_{21} = -s_{22} \Rightarrow  \; Legyen: \; \underline{s}_2 = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right] </math>


Tehát az alaprendszer mátrixa:

<math> \underline{\underline{\Phi}}(t) = \left[ \begin{array}{rr} e^{3t} & e^{-t} \\ e^{3t} & -e^{-t} \end{array} \right] </math>


Tehát a homogén, általános megoldás:

<math> \underline{x}_{ha}(t) = \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{k} </math>

<math> \Downarrow </math>

<math> x_{ha1}(t) = k_1 e^{3t} + k_2 e^{-t} </math>

<math> x_{ha2}(t) = k_1 e^{3t} - k_2 e^{-t} </math> 


Kezdeti feltételek érvényesítése:

<math> x_1(0) = 1  \Rightarrow k_1 + k_2 = 1 </math>

<math> x_2(0) = -1 \Rightarrow k_1 - k_2 = -1 </math>


<math> \Downarrow </math>


<math> k_1 = 0 \Rightarrow k_2 = 1 </math>


<math> \Downarrow </math>


<math> x_{ha1}(t) = e^{-t} </math>

<math> x_{ha2}(t) = - e^{-t} </math>

===Megoldás Laplace-transzformációval===

====A megoldás általános alakja====

Ha adott egy differenciálegyenlet(-rendszer), ahol ismertek a kezdeti feltételek, akkor alkalmazható a Laplace-transzformációs megoldás: az egyenlet(rendszer) minden elemére alkalmazzuk a Laplace-transzformációt, ezáltal egy egyszerű algebrai egyenlet(rendszer)hez jutunk. Ezt megoldjuk, majd a megoldást visszatranszformáljuk.

====Fontosabb Laplace-transzformáltak====

A Laplace-transzformált jelölése: <math> \displaystyle\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = F(s) </math>

{| border="1"
|  <math> f(t) </math>  ||  <math> F(s) </math>  
|-
|  <math> 0 </math>  ||  <math> 0 </math>  
|-
|  <math> t^n </math>  ||  <math> \frac{n!}{s^{n+1}} </math>  
|-
|  <math> e^{at} </math>  ||  <math> \frac{1}{s-a} </math>  
|-
|  <math> \sin(\alpha t) </math>  ||  <math> \frac{\alpha}{s^2 + \alpha^2} </math>  
|-
|  <math> \cos(\alpha t) </math>  ||  <math> \frac{s}{s^2 + \alpha^2} </math>  
|-
|  <math> f'(t) </math>  ||  <math> sF(s) - f(0) </math>  
|-
|  <math> \int f(t) dt </math>  ||  <math> \frac{F(s)}{s} </math>  
|-
|  <math> f(t-t_0) </math>  ||  <math> e^{-t_0 s} F(s) </math>  
|-
|  <math> e^{-\alpha t} f(t) </math>  ||  <math> F(s+\alpha) </math>  
|}

====A fenti példa megoldása Laplace-transzformáció segítségével====

<math> x_1' = x_1 + 2x_2 </math>

<math> x_2' = 2x_1 + x_2 </math>

Kezdeti feltételek:

<math> x_1(0) = 1 </math>

<math> x_2(0) = -1 </math>

A Laplace-transzformáció után a következő egyenletrendszer adódik:

<math> sX_1 -1 = X_1 + 2X_2 \Rightarrow X_1(s-1) = 1+2X_2 \Rightarrow \underbrace{X_1 = \frac{2X_2 + 1}{s-1}}_{\searrow} </math>

<math> sX_2 +1 = 2X_1 + X_2 \Rightarrow 1+X_2(s-1) = 2X_1 \Rightarrow X_2(s-1) = 2 \frac{2X_2 + 1}{s-1} -1 </math>

<math> X_2(s-1) = 2 \frac{2X_2 + 1}{s-1} -1 </math>

<math> X_2(s-1)^2 = 4X_2 + 2 - (s-1) </math>

<math> X_2 \left[ (s-1)^2 -4 \right] = 2 - (s-1) </math>

<math> X_2 = \frac{2 - (s-1)}{(s-1)^2 -4} = \frac{3-s}{s^2 -2s -3} = \frac{-(s-3)}{(s-3)(s+1)} = -\frac{1}{s+1} </math>

<math> \displaystyle\mathcal{L}^{-1} \left\{ -\frac{1}{s+1} \right\} = x_2(t) = -e^{-t} </math>

Ezt visszahelyettesítve az eredeti első egyenletbe:

<math> X_1(s-1) = 1 -2 \frac{1}{s+1} </math>

<math> X_1 = \frac{1}{s-1} - \frac{2}{s-1} \frac{1}{s+1} = \frac{s+1}{(s+1)(s-1)} - \frac{2}{(s+1)(s-1)} = \frac{s+1-2}{(s+1)(s-1)} = \frac{s-1}{(s+1)(s-1)} = \frac{1}{s+1} </math>

<math> \displaystyle\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s+1} \right\} = x_1(t) = e^{-t} </math>

Visszakaptuk az analitikus módszerrel nyert megoldásainkat.

==Inhomogén differenciálegyenlet-rendszerek==

====Definíció====

Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével, valamint további időfüggvényekkel.

<math> \underline{x}'(t) = \underline{\underline{A}} \underline{x}(t) + \underline{b}(t) </math>

<math> \Updownarrow </math>

<math> x_1' = A_{11} x_1 + A_{12} x_2 + b_{1}(t) </math>

<math> x_2' = A_{21} x_1 + A_{22} x_2 + b_{2}(t) </math>

====A megoldás általános alakja====

Differenciálegyenlet-rendszerek esetében is igaz, hogy az inhomogén, általános megoldást a homogén, általános megoldás és az inhomogén egyenletrendszer egy partikuláris megoldásának összege adja.

<math> \underline{x}_{ia}(t) = \underline{x}_{ha}(t) + \underline{x}_{ip}(t) </math>

A homogén, általános megoldás megkeresésének két módja fent látható. Az inhomogén partikuláris megoldás megtalálására alkalmas pedig az úgynevezett ''állandók variálásának módszere.'' Azért hívják ennek, mert látszólag ugyanúgy kell elkezdeni, mint a homogén rendszer megoldását, csak a konstansok helyett t-től függő függvényekkel (<math> c_i(t) </math>) kell megszorozni a változók oszlopvektorait.

<math> \underline{x}_{ip} = c_1(t) \underline{x}_1 + c_2(t) \underline{x}_2 = \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{c}(t) </math>

Ezt behelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe, azt nyerjük, hogy:

<math> \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{c}'(t) = \underline{b}(t) </math>

Innen, tehát, _c_ deriváltja meghatározható úgy, mint:

<math> \underline{c}'(t) = \underline{\underline{\Phi}}^{-1}(t) \underline{b}(t) </math>

Tehát _c_:

<math> \underline{c}(t) = \int \underline{\underline{\Phi}}^{-1}(t) \underline{b}(t) dt </math>

Tehát, az inhomogén, partikuláris megoldás:

<math> \underline{x}_{ip}(t) = \underline{\underline{\Phi}}(t) \int \underline{\underline{\Phi}}^{-1}(t) \underline{b}(t) dt </math>


[[Category:Villanyalap]]