Alkalmazott algebra - Előadások 2012 forrásának megtekintése

=1. előadás (szeptember 3.)=
'''Testek, polinomok, vektorterek. Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel. Egy alkalmazás: polinominterpoláció.'''
==Tárgymutató==
* Testek, polinomok, vektorterek: D6-10, J1-2
* Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió: D11-16, J2-3
* Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel: D17-20, J3-5
* Egy alkalmazás: polinominterpoláció: D22, "interpoláció".

=2. előadás (szeptember 7.)=
'''Lagrange- és Newton-féle interpolációs polinomok. A Shamir-féle titokmegosztás. Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött. Műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés. Speciális mátrixok, blokkmátrixok. Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban.'''

==Tárgymutató==
* Lagrange-féle interpolációs polinom: D21-22, J5
* Newton-féle interpolációs polinom: -
* Shamir-féle titokmegosztás: D23-25, J6
* Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött: -
* Műveletek lineáris leképezésekkel: D17-18, J4, J6
* Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés: D27-31, D37-38, J7-8
* Speciális mátrixok, blokkmátrixok: D31
* Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban: D35

==Eltérések==
'''Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött'''

'''Newton-féle interpolációs polinom:'''

<math> f_0, \dots, f_{n-1}: \deg f_i = i </math>

<math> f_i(x) = f_{i-1}(x) + A(x - a_1)\dots(x-a_i) </math>

<math> f(a_{i+1}) = b_{i+1} </math>

??

Newton-féle interpolációs formula  ([http://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6rbeilleszt%C3%A9s_(matematika) innen]):

<math>y=y_0 + A_0(x-x_0)+ A_1(x-x_0)(x-x_1)+\dots +A_m(x-x_0)(x-x_1) \dots(x-x_m), </math>
 
ahol az <math>A_i</math> kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:

<math>A_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0};\quad A_1=\frac{y_1-y_0-A_0(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)};\quad\dots </math>

=3. előadás (szeptember 14.)=
'''Báziscsere. Elemi sorműveletek és elemi mátrixok. Az invertálhatóság ekvivalensei. Lineáris leképezés és mátrix rangja. A rang ekvivalensei és tulajdonságai. Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség.'''

==Tárgymutató==
* Báziscsere: D40, J9
* Elemi sorműveletek és elemi mátrixok: ??
* Az invertálhatóság ekvivalensei: ??
* Lineáris leképezés és mátrix rangja: ??
* A rang ekvivalensei és tulajdonságai: D49, J15
* Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség: -

==Eltérések==
'''Fischer-egyenlőtlenség:''' hiányzik a jegyzetből/diasorból.

Rang alkalmazása: Fischer-egyenlőtlenség

<math>n, \lambda \in \mathbb{N}^+</math>. Legyen <math> |S| = n </math> halmaz, <math> \mathcal{H}: S </math> néhány részhalmazának halmaza (halmazrendszer) úgy, hogy 

<math> h_1, h_2 \in \mathcal{H} (h_1 \neq h_2) </math>

<math> \lambda </math>-elemű részhalmazban metszik egymást (<math>|h_1 \cap h_2| = \lambda</math>). Ekkor <math> |\mathcal{H}| \leq n </math>

=4. előadás (szeptember 17.)=
'''Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai. Cauchy-Binet-formula. Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal. Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege.'''

==Tárgymutató==
* Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai: D43-48, J10-12
* Cauchy-Binet-formula: - 
* Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal: D48, J13
* Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma: D52-63, J13-14. Megoldásszám: ??
* Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér: D64-68, J15-16
* Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója: J18
* A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege: ??

==Eltérések==
'''Determináns:''' <math>A = [\sigma_1, \dots, \sigma_n]</math> esetén <math>\det A</math> a <math>\sigma_1, \dots, \sigma_n</math> egy csúcsból kiinduló oldalak által határolt <math>n</math>-dimenziós paralelepipedon előjeles térfogata.

Szerepelt a determináns korábban ismert definíciója is (D43, J10).

'''Cauchy-Binet-formula:''' hiányzik a jegyzetből/diasorból. 

<math>A \in \mathbb{R}</math>, <math>B \in \mathbb{R}^{n \times k}</math>, <math>k \leq n</math> esetén az <math>AB</math> <math>k \times k</math>-as négyzetes mátrix determinánsa:
<math> \det(AB) = \sum_i \det A_i \cdot \det B_i </math>

Az összegbe az összes lehetséges kiválasztással kapott <math>k \times k</math>-as részmátrixok kerülnek.

Formálisan ([http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/MSc_Diszkret/MSc_kombi10/ea02.pdf innen]):
<math> \sum_{F \subseteq \left\{1,\ldots,n\right\}, |F| = k} \det A[F] \cdot \det B[F] </math>

<math>n = m</math>-re a tétel megegyezik a determinánsok szorzástételével (az összeg egy tagból áll).

=5. előadás (szeptember 21.)=
'''Mátrix magterének és képterének bázisa. Mátrixok hasonlósága. Diagonalizálhatóság és ekvivalensei. Karakterisztikus és minimálpolinom. Cayley-Hamilton-tétel. Jordan-féle normálalak.'''

==Tárgymutató==
* Mátrix magterének és képterének bázisa: ??
* Mátrixok hasonlósága: D40-42, J10
* Diagonalizálhatóság és ekvivalensei: -
* Karakterisztikus és minimálpolinom: D73 és J16, D77 és J22
* Cayley-Hamilton-tétel: D76 (Hamilton-Cayley-tétel) J21
* Jordan-féle normálalak: részletes leírás a tárgy [http://www.math.bme.hu/~lukacs/bboard/linalg/comp_jordan.pdf honlapján]

[[Category:InfoMsc]]