Algoritmuselmélet - Vizsga, 2013.05.30. forrásának megtekintése

==2013.06.06. vizsga megoldásai==
===1. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===2. Feladat (Van megoldás)===
Adja meg a 2-3 fa definícióját! Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

'''Adja meg a 2-3 fa definícióját!'''
*Elemeket csak a levelekben tárolunk.
*Az elemek balról jobbra növekvő sorrendben állnak. 
*Minden belső csúcsnak 2, vagy 3 fia lehet, se több, se kevesebb. ''(Kivéve, ha csak 1 elemet tárolunk a fában, mert akkor a gyökérnek csak 1 fia van.)''
*A fa levelei a gyökértől egyenlő távolságra vannak (vagyis a levelek 1 szinten vannak).
*A belső csúcsokban mutatókat (M) és 1, vagy 2 elemet (S) tárolunk.
**Ha a csúcsnak 2 fia van, akkor 2 mutatót, és egy elememet tárol. [[File:2_3_2.png|300px]]
***A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1.
***A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1).
**Ha a csúcsnak 3 fia van, akkor 3 mutatót, és 2 elemet tárol. [[File:2_3_3.png|400px]]
***A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1.
***A középső részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1), de kisebbek, mint S2.
***A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S2 (vagyis az 1. elem S2). 
:::::::::::::::::[[File:2_3_pelda.PNG|400px]]

'''Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!'''

<math>log_2n+1\leq m \leq log_3n+1</math>, ahol <math>m</math> a fa szintszáma.

''Bizonyítás:''
*<math>log_2n+1\leq m</math>
**Minden belső csúcsnak legalább 2 fia van, így az <math>i.</math> szinten legalább <math>2^{i-1}</math> csúcs van, tehát: <math>2^{m-1} \geq n \Rightarrow m-1 \geq log_2n \Rightarrow m \geq log_2n+1</math>
*<math>m\leq log_3n+1</math>
**Minden belső csúcsnak maximum 3 fia van, így az <math>i.</math> szinten maximum <math>3^{i-1}</math> csúcs van, tehát: <math>3^{m-1} \leq n \Rightarrow m-1 \leq log_3n \Rightarrow m \leq log_3n+1</math>
}}

===3. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===4. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===5. Feladat (Van megoldás)===
Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy <math> T(n) = T\left(\left \lfloor  \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2)</math> és tudjuk azt is, hogy <math> T(1)=T(2)=T(3)=1</math>. Bizonyítsa be, hogy <math> T(n)=O(n^2)</math>.
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

Van olyan <math> c > 0</math> és <math> n_0</math>, hogy <math> n>n_0</math> esetén 
<math> T(n)=T\left(\left \lfloor  \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+O(n^2) \leq T\left(\left \lfloor  \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+cn^2 \leq T\left(\left \lfloor  \frac{n}{16} \right \rfloor\right)+c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)\right) \leq T\left(\left \lfloor  \frac{n}{64} \right \rfloor\right) + c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)+\left(\frac{n^2}{16^2} \right)\right) \leq \dots </math>
<math> \dots \leq 1+cn^2\cdot\left(\sum_{i=0}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor} \left (\frac{1}{16}  \right )^i\right)</math>

Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:<br>
<math>\sum_{i=0}^{k} r^i = \frac{1-r^{k+1}} {1-r} </math>, ahol <math> k = \left \lfloor log_4n \right \rfloor, r = \frac{1}{16}</math>, vagyis <math>\frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}}</math><br>

<math>\frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}} < 2 ,</math><big>ha</big> <math> n \geq 1</math> ''(A lényeg, hogy felülről becsüljük!)''

Tehát <math> T(n) = \dots \leq 1+2 \cdot cn^2=O(n^2)</math>

}}

===6. Feladat===
Egy ország ''n'' kis szigetből áll. Szeretnénk néhány hajójáratot indítani a szigetek között úgy, hogy bárhonnan bárhova el lehessen jutni (esetleg átszállással). Ehhez ismerjük bármely két szigetre, hogy mennyibe kerül egy évben a hajójárat fenntartása közöttük, illetve azt, hogy mekkora az itt várható éves bevétel. Adjon algoritmust, ami ezen adatok ismeretében <math>O(n^2)</math> időben meghatározza, hogy hol indítsuk el a hajójáratokat, ha a lehető legnagyobb várható éves hasznot (vagy a lehető legkisebb veszteséget) szeretnénk elérni. (Egy szigeten egy hajóállomás van csak).
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===7. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===8. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}