2007. 05. 30. (keresztféléves vizsga), A csoport forrásának megtekintése

{{GlobalTemplate|Infoalap|SzgGrafVizsga20070530A}}


__TOC__

==1. feladat ==

# Miért és mikor jobb a Monte Carlo integrálás, mint a trapéz módszer? (1p)
# Mennyi a 10 kontrollpontból álló, harmadfokú (negyedrendű) NURBS görbe Hausdorff dimenziója? (1p)
# Mit csinál a geometria árnyaló (geometry shader) standard OpenGL alkalmazásban (1p), mi a bemenete és a kimenete (1p) ?
# Miért dolgozik az OpenGL homogén koordinátákkal és miért nem Descartes koordinátákkal? (1p)
# Mi az SSE és a 3DNow! és hogyan kapcsolódik a számítógépes grafikához? (1p)
# Mi az albedó? (1p)
# Melyik árnyékszámító algoritmust kapcsolja be a ==glEnable(GL_SHADOW)==? (1p)
# Írja fel az OpenGL vágási lépésében használt egyenleteket, azaz a feltétel rendszert, amit egy pontnak ki kell elégítenie, hogy az OpenGL megtartandónak ítélje! (1p) Milyen koordinátarendszerben érvényesek ezek az egyenletek? (1p)

===Megoldás===

# 1-nél magasabb dimenzióknál amikor a hibák csökkentése miatt növeljük a mérési pontok számát, akkor nem exponenciálisan nő a számolási feladat.
# 1, a síkot nem tölti ki ezért 2-nél kevesebb, valamint nem önhasonló ezért a H-dimenziója egész, ezen túl nem pont vagy diszkrét pontok véges halmaza, így nem nulla.
# http://en.wikipedia.org/wiki/Shader#Types_of_shader vagy [http://en.wikipedia.org/wiki/Geometry_shader Geometria árnyaló (ENG)]
# Azért, hogy a projektív vetítés során esetlegesen megjelenő ideális pontokat és átforduló szakaszokat kezelni tudjuk
# Utasításkészlet-kiegészítés processzorok számára. Ezek segítségével gyorsíthatóak a grafikus számolások. Konkrétan: 4 float-on párhuzamosan végzik ugyanazt a műveletet, ezért kiváltképp alkalmasak RGBA és homogén koordinátás számításokra.
# <i>"A tetszőleges irányú visszaverődés valószínűségét albedónak nevezzük".</i> Egyenlet definició: ld. Sünis könyv 252. oldal!
# Az OpenGL-ben nincs beépített árnyékszámító algoritmus :D
# -h <=x<= h, -h<=y<=h, -h<=z<= h, és h>0. Ezek az egyenletek a homogén koordinátás alakra vonatkoznak.

==2. feladat ==

Adja meg azt az IFS-t, amely a (0,0) (1,1) sarokpontú négyzetet definiálja! (5p)

===Megoldás===

<math> T_{IFS}=\left[ \begin{array}{rrrr} \\ 
\left[ \begin{array}{rrr} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] & 
\left[ \begin{array}{rrr} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] & 
\left[ \begin{array}{rrr} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 & 1 \\ \end{array} \right] & 
\left[ \begin{array}{rrr} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 1 \\ \end{array} \right] \\ \\ \end{array} \right]</math>

-- [[TothP]] - 2007.06.12.

Magyarázat: [[SzgGrafZH20041102C#1_feladat|2004.11.02. ZH, C. csoport, 1. feladat]]

-- [[PallosPeter|Peti]] - 2007.06.25.

==3. feladat==

Milyen ModelView és Projection mátrixokkal dolgozik, és melyik pixelt szinezi át a következő program? (10p)
<pre>
glViewPort (0, 0, 100, 100);
glDisable (GL_DEPTHTEST);
glMatrixMode (GL_PROJECTION);
glLoadIdentity ();
glScale (1, 0.1, 0.1);
glScale (0.1, 1, 0.1);
glMatrixMode (GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity ();
glTranslatef (5, 6, 4);
glRotatef (180, 0, 0, 1);
glScalef (2, 3, 4);
glBegin(GL_POINTS);
glVertex3f (1, 1, 1);
glEnd ();
</pre>

===Megoldás===

Két skálázást hajtunk végre az (x,y,z) tengelyek mentén, ezek szimplán összezorozhatók:
<math> T_{projection}=\left[ \begin{array}{rrrr} 0.1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.01 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right]</math>

Először egy (2,3,4) skálázást hajtunk végre, majd egy 180° forgatást a (0,0,1) vektor, azaz a Z tengely körül, végül egy (5,6,4) vektorú eltolást végzünk.

<math> T_{skalazas}=\left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right]</math>

<math> T_{forgatas}=\left[ \begin{array}{rrrr} \cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrrr} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right]</math>

<math> T_{eltolas}=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 4 & 1 \\  \end{array} \right]</math>

Innen pedig:
<math> T_{modelview}=T_{skalazas}.T_{forgatas}.T_{eltolas} = \left[ \begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 5 & 6 & 4 & 1 \\  \end{array} \right]</math>

Az (1,1,1,1) pontra alkalmazva a mátrixot ezt kapjuk eredményül: (3, 3, 8, 1). Alkalmazva a Projekciós mátrixot az eredmény: (0.3, 0.3, 0.08, 1). A vágást elvégezve, a pont az ablakon belül marad.

A ViewPort 100x100-as, így a képernyőn a (65, 65)-ös pixelt szinezzük ki. (Bár szín nem volt közvetlenül megadva, de biztosan már hamarabb definiálták valahol a programban, nehogymár az legyen a válasz, hogy nem szinez semmit...)

==4. feladat==

Bizonyítsa be, hogy ha egy invertálható transzformációs mátrix 4. oszlopa [0,0,0,1] akkor a transzformáció <b>affin</b>! (a transzformálandó pont homogén koordinátás alakját sorvektornak tekintjük és a mátrixszal jobbról szorozzuk) (10p)

===Megoldás===

Egy transzformáció akkor affin, ha aránytartó, azaz pl. egy szakasz felezőpontját felezőpontba viszi át.
Legyen <u>x</u> egy nem ideális pont a térben, 1-es homogén koordinátával. Ekkor a transzformáció:
<math>
	 \begin{array}{|ccc|c|}
		  \hline
		  & x & & 1 \\
		  \hline
	 \end{array}
	 \cdot
	 \begin{array}{|ccc|c|}
		  \hline
		  & & & 0 \\
		  & A & & 0 \\
		  & & & 0 \\
		  \hline
		  & b & & 1 \\
		  \hline
	 \end{array}
	 =
	 \begin{array}{|c|c|}
		 \hline
		 xA+b & 1 \\
		 \hline
	 \end{array}
</math>

Az <i>b</i>-vel való eltolás nem változtat az arányokon, csak annyit kell bizonyítani, hogy a transzformáció lineáris kombináció tartó, azaz

<math>
	 (\lambda x + (1-\lambda) y) A = \lambda (x A) + (1-\lambda) (y A)
</math>

ami triviális.

-- [[PallosPeter|Peti]] - 2007.05.31.

-- [[VargaAlmosImre|Glandeur]] - 2007.05.30.


[[Category:Infoalap]]