VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Laboratórium 2 - 8. Mérés ellenőrző kérdései

2014-03-18T10:55:29Z

Zeleik: /* 9. Miért szükséges állapotmegfigyelő alkalmazása? */

{{Vissza|Laboratórium 2}}
{{Vissza|Laboratórium 2 - 8. Mérés: Rendszer-identifikáció és szabályozás}}

<div class="noautonum">__TOC__</div>

==1. Milyen identifikációs rendszermodelleket ismer? ==

AR, ARX, IV, ARMAX stb. Ezek a modellek a MATLAB System Identification (röviden IDENT) toolboxa segítségével identifikálhatók. ARX modell a klasszikus LS (least squares) becsléssel is identifikálható. A módszerek érzékenyek a jel és zaj korreláltságára, amelyen segédváltozók (IV) alkalmazásával lehet javítani. Az ARMAX modell már általánosabb zajstruktúrát alkalmaz, de identifikációja numerikusan bonyolultabb módszert igényel, nevezetesen a kvázi Newton-módszert. Lásd elméleti alapok.

==2. Miért van szükség identifikációra? ==

Az identifikáció célja dinamikus modell nyerése az ismeretlen rendszerről, a szabályozástechnikában a szabályozott szakaszról. Dinamikus modell hiányában csak kísérletezéssel tudnánk egyszerű szabályozók paraméterbeállítását megkeresni. A dinamikus modell ismerete lehetővé teszi elméletileg megalapozott szabályozások tervezését, amely minimálissá teszi a reális folyamaton való kísérletezést. A modell jó, ha azonos bemenő jel mellett a kimenetén hasonlóan válaszol, mint az ismeretlen rendszer. A modellel szemben pótlólagos elvárásaink is lehetnek, mint például az, hogy az identifikációval kapott diszkrétidejű modellnek legyen folytonosidejű megfelelője. Ez a negatív valós pólusokkal áll kapcsolatban a z-tartományban.

==3. Mit értünk állapot-visszacsatolás alatt? ==

[[Fájl:Szabtech állapot-visszacsatolás ábra.JPG|400px]]

Állapot-visszacsatolás alatt azt értjük, hogy a szabályozó kimenő jelét (a beavatkozó jelet) az állapotokból állítjuk elő. Lineáris állapot-visszacsatolás esetén folytonos időben <math>u(t)=-K\cdot x(t)</math>, diszkrét időben pedig <math>u(iT)=-K\cdot x(it)</math>, vagy röviden <math>u_i=-K\cdot x_i</math>, ahol T a mintavételi idő. Egyváltozós (SISO) rendszer esetén K sorvektor.

==4. Mi lesz állapot-visszacsatolás esetén a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete? ==

Folytonos időben:
*A szakasz állapotegyenlete: <math>\dot{x}=Ax + Bu</math>
*A zárt rendszer állapotegyenlete: <math>\dot{x}=(A-BK) \cdot x</math>
*A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete: <math>\varphi_c(s)=det \; (sI-(A-BK))</math>

Diszkrét időben:
*A szakasz állapotegyenlete: <math>x_{i+1}=\Phi x_i + \Gamma u_i</math>
*A zárt rendszer állapotegyenlete: <math>x_{i+1}=(\Phi-\Gamma K) \cdot x_i</math>
*A zárt rendszer állapotegyenlete: <math>\varphi_c(z)=det \; (zI-(\Phi - \Gamma K))</math>

A pólusáthelyezési feladatban előírjuk a zárt rendszer karakterisztikus egyenletét (ami ekvivalens a zárt rendszer pólusainak, azaz a velük megegyező sajátértékeknek az előírásával), és keressük az ehhez szükséges állapot-visszacsatolást. Vegyük észre az algebrai hasonlóságot a folytonosidejű és diszkrétidejű feladat esetén.

==5. Mik a fő problémák az egyszerű u=-Kx állapot-visszacsatolás esetén tipikus irányítási rendszerekben? ==

Az egyik probléma az, hogy az állapotvektornak az összes komponense általában nem mérhető, például SISO esetben csak a kimenő jelet méri egy érzékelő, ezért állapotmegfigyelőt célszerű alkalmazni a becslés előállítására és bevonásába a beavatkozó jel számításába. A másik probléma, hogy az egyszerű állapot-visszacsatolás nem veszi figyelembe az alapjelet (más néven referencia jelet), ezért pótlólagos figyelembevételéről külön kell gondoskodni, lásd <math>N_x,N_u</math>

==6. Mi a domináns póluspár? ==

A szabályozási kör <math>s_{1,2}=- \sigma_e \pm j \omega_e</math> póluspárját dominánsnak nevezzük, ha a zárt szabályozási kör dinamikus minőségi jellemzőit lényegében <math>s_{1,2}</math> határozza meg. Ennek feltétele, hogy a többi stabil pólusra teljesüljön <math>\left|Re \left\{ s_i \right\} \right| > 3 \sigma_e</math>, mert ekkor a többi pólus okozta tranziens már lecseng az első maximumig terjedő időpont <math>(T_m)</math>, a túllövés <math>(\Delta v)</math> és a beállási idő <math>(T_{2 \%} )</math> számításakor. Ebben az esetben jó közelítéssel:

<math>T_m={\pi \over \omega_e}</math>

<math>\Delta v = \exp \left( {-\pi \sigma_e \over \omega_e} \right) = \exp \left( { - \pi \xi \over \sqrt{ 1- \xi^2 } } \right)</math>

<math>T_{2\%}={\ln(50) \over \sigma_e } \approx {5 \over \sigma_e}</math>

==7. Mi a kapcsolat a kéttárolós lengő tag csillapítása és csillapítatlan sajátfrekvenciája valamint a hozzátartozó pólusok között? ==

A kéttárolós lengő tag átviteli függvénye:

<math>W(s)={\omega_0^2 \over s^2 + 2 \xi \omega_0 s + \omega_0^2 }</math>

Pólusai: <math>s_{1,2}=-\sigma_e \pm j \omega_e= - \xi \omega_0 \pm j \omega_0 \sqrt{1 - \xi^2}</math>

Csillapítás: <math>0<\xi<1</math>

Csillapítatlan sajátfrekvencia: <math>\omega_0 = {1 \over T}</math>

Aszimptotikus amplitúdó menete az <math>\omega_0</math> helyen törésfrekvenciával rendelkezik, rezonanciahelye és az amplitúdó értéke a rezonancia helyén <math>\xi</math>-től függ.

Nincs rezonancia, ha <math>\xi \geq {1 \over \sqrt{2} } \approx 0.707</math>.

A <math>v(t)</math> átmeneti függvénynek ezzel szemben <math>\Delta v > 0</math> túllövése van, ha <math>\xi <1</math>

==8. Mi biztosítja a konstans alapjel követését állapot-visszacsatolt rendszerekben? ==

[[Fájl:Szabtech DI alapjel miatti korrekció ábra.JPG]]

Az <math>r = y_{\infty}</math> alapjel követést az <math>N_x r</math> és az <math>N_u r</math> jelek biztosítják az állapot-visszacsatolt rendszerben, ahol <math>N_x r = x_{\infty}</math> és <math>N_u r = u_{\infty}</math>.

Diszkrét időben ezeket a következő feltételből lehet meghatározni:

<math> \left[ \begin{array}{rr} N_x \\ N_u \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \Phi-I & \Gamma \\ C & 0 \end{array} \right]^{-1} \cdot \left[ \begin{array}{rr} 0_{n \times m} \\ I_{m \times m} \end{array} \right]</math>

==9. Miért szükséges állapotmegfigyelő alkalmazása? ==

Az <math>x</math> állapotvektornak általában nem mérhető az összes komponense, például SISO esetben csak a kimenő jelet méri egy érzékelő, ezért állapotmegfigyelőt célszerű alkalmazni a becslés előállítására és bevonásába a beavatkozó jel számításába folytonos időben <math>u = - K \hat{x}</math> , diszkrét időben pedig <math>u_i = -k \hat{x}_i</math> alakban. Az állapotmegfigyelő egy dinamikus rendszer, amelynek kimenete a becsült állapot, bemenete pedig a szakasz kimenete és a beavatkozó jel.

==10. Mi a kapcsolat a "terhelés" elnevezés és a zavaró jel között? ==

Terhelés alatt a szabályozott szakasz bemenetére redukált <math>d</math> zavaró jelet értjük.

==11. Hogyan küszöbölhető ki a terhelés hatása? ==

Ha az állapotmegfigyelő becsülni tudja a bemenetre redukált <math>d</math> zavarást is, akkor jó becslés esetén a szabályozó kimenetéhez hozzáadva a terhelés <math>- \hat{x}_d</math> becslését, a <math>d</math> zavarást kompenzálja a <math>- \hat{x}_d</math> , és a rendszer úgy viselkedik, mintha nem is lenne zavarás.

==12. Mit értünk diszkrétidejű aktuális megfigyelő alatt és mik az előnyei? ==

A diszkrétidejű aktuális állapotmegfigyelő állapotegyenlete:

<math>\hat{x}_i = F \hat{x}_{i-1} + G y_i + H u_{i-1}</math>

Ha <math>\tilde{x} = x - \hat{x}</math> a becslési hiba, akkor <math>F=\Phi - GC\Phi, \; H=\Gamma - GC\Gamma</math> választás esetén, ha a gerjesztetlen <math>\tilde{x}_i=F \tilde{x}_{i-1}</math> rendszer stabil és gyors, akkor rövid tranziens után a becslési hiba eltünik, és az állapot-visszacsatolásban <math>x</math> helyettesíthető a vele már megegyező <math>\hat{x}</math> becsült állapottal.

Az aktuális megfigyelő előnye, hogy <math>\hat{x}_i</math> számításakor már figyelembe veszi az aktuális <math>y_i</math> kimenő jelet, és ezáltal egy mintavételi időnyi holtidőt eliminál az irányítási algoritmusban, ami gyorsabb működést eredményezhet.

Mivel <math>\varphi_0(z)=\det (zI-F)=\det \left( zI - F^T \right) =\det \left( zI- \left( \Phi^T - \Phi^T C^T G^T \right) \right)</math> , ezért az aktuális állapotmegfigyelő tervezése algebrailag hasonló a pólusáthelyezési feladathoz, azaz előírt <math>\varphi_0(z)</math> esetén a fiktív <math>\left( \Phi^T, \Phi^TC^T \right)_{II}</math> rendszerhez kell <math>K_{II}=G^T</math> fiktív állapot-visszacsatolást tervezni.

==13. Miért érdemes integrátort tenni a szabályozási körbe? ==

A szabályozási körbe integrátort helyezve javulnak az alapjel követési és zavaró jel elnyomási tulajdonságok, ha biztosítjuk a zárt rendszer stabilitását is. Az integrátor javítja a lassú paraméterváltozásokkal szembeni robusztusságot is mindaddig, amíg a paraméterváltozások ellenére a zárt rendszer stabil marad. Ennek oka, hogy az integrátor miatt a felnyitott kör erősítése alacsony frekvencián nagy (nulla frekvencián végtelen). Másrészt viszont alacsonyfrekvenciás pólus/zérus pár léphet fel a zárt rendszer átviteli függvényében, ami a dinamikus minőségi jellemzők romlásához vezethet.

==14. Hogyan képződik le egy folytonos idejű pólus a diszkrétidejű tartományba? ==

A folytonosidejű <math>s_i</math> pólus a <math>z_i = \exp(s_iT)</math> helyre képződik le a pólusok számának és multiplicitásának megőrzése mellett.

Mivel <math>s_i=(\ln z_i) /T</math> , ezért páratlan multiplicitású negatív valós <math>z_i</math> pólusú diszkrétidejű rendszernek nincs folytonosidejű megfelelője.

==15. Mit okoznak a megfigyelő sajátértékei a zárt rendszer átviteli függvényében? ==

A megfigyelő sajátértékei a zárt rendszer átviteli függvényében pólus/zérus kiejtést okoznak.

A zárt rendszernek az egyszerűsítés után megmaradó pólusai a K állapot-visszacsatolás tervezésénél specifikált <math>\varphi_c</math> polinom gyökei lesznek, vagyis az állapotmegfigyelő alkalmazása nem módosítja a zárt rendszer megtervezett pólusait (feltéve, hogy a szabályozott szakasz modelljét pontosan ismerjük).

[[Kategória:Villamosmérnök]]

Laboratórium 2 - 8. Mérés ellenőrző kérdései

2014-03-18T10:53:39Z

Zeleik: /* 7. Mi a kapcsolat a kéttárolós lengő tag csillapítása és csillapítatlan sajátfrekvenciája valamint a hozzátartozó pólusok között? */

{{Vissza|Laboratórium 2}}
{{Vissza|Laboratórium 2 - 8. Mérés: Rendszer-identifikáció és szabályozás}}

<div class="noautonum">__TOC__</div>

==1. Milyen identifikációs rendszermodelleket ismer? ==

AR, ARX, IV, ARMAX stb. Ezek a modellek a MATLAB System Identification (röviden IDENT) toolboxa segítségével identifikálhatók. ARX modell a klasszikus LS (least squares) becsléssel is identifikálható. A módszerek érzékenyek a jel és zaj korreláltságára, amelyen segédváltozók (IV) alkalmazásával lehet javítani. Az ARMAX modell már általánosabb zajstruktúrát alkalmaz, de identifikációja numerikusan bonyolultabb módszert igényel, nevezetesen a kvázi Newton-módszert. Lásd elméleti alapok.

==2. Miért van szükség identifikációra? ==

Az identifikáció célja dinamikus modell nyerése az ismeretlen rendszerről, a szabályozástechnikában a szabályozott szakaszról. Dinamikus modell hiányában csak kísérletezéssel tudnánk egyszerű szabályozók paraméterbeállítását megkeresni. A dinamikus modell ismerete lehetővé teszi elméletileg megalapozott szabályozások tervezését, amely minimálissá teszi a reális folyamaton való kísérletezést. A modell jó, ha azonos bemenő jel mellett a kimenetén hasonlóan válaszol, mint az ismeretlen rendszer. A modellel szemben pótlólagos elvárásaink is lehetnek, mint például az, hogy az identifikációval kapott diszkrétidejű modellnek legyen folytonosidejű megfelelője. Ez a negatív valós pólusokkal áll kapcsolatban a z-tartományban.

==3. Mit értünk állapot-visszacsatolás alatt? ==

[[Fájl:Szabtech állapot-visszacsatolás ábra.JPG|400px]]

Állapot-visszacsatolás alatt azt értjük, hogy a szabályozó kimenő jelét (a beavatkozó jelet) az állapotokból állítjuk elő. Lineáris állapot-visszacsatolás esetén folytonos időben <math>u(t)=-K\cdot x(t)</math>, diszkrét időben pedig <math>u(iT)=-K\cdot x(it)</math>, vagy röviden <math>u_i=-K\cdot x_i</math>, ahol T a mintavételi idő. Egyváltozós (SISO) rendszer esetén K sorvektor.

==4. Mi lesz állapot-visszacsatolás esetén a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete? ==

Folytonos időben:
*A szakasz állapotegyenlete: <math>\dot{x}=Ax + Bu</math>
*A zárt rendszer állapotegyenlete: <math>\dot{x}=(A-BK) \cdot x</math>
*A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete: <math>\varphi_c(s)=det \; (sI-(A-BK))</math>

Diszkrét időben:
*A szakasz állapotegyenlete: <math>x_{i+1}=\Phi x_i + \Gamma u_i</math>
*A zárt rendszer állapotegyenlete: <math>x_{i+1}=(\Phi-\Gamma K) \cdot x_i</math>
*A zárt rendszer állapotegyenlete: <math>\varphi_c(z)=det \; (zI-(\Phi - \Gamma K))</math>

A pólusáthelyezési feladatban előírjuk a zárt rendszer karakterisztikus egyenletét (ami ekvivalens a zárt rendszer pólusainak, azaz a velük megegyező sajátértékeknek az előírásával), és keressük az ehhez szükséges állapot-visszacsatolást. Vegyük észre az algebrai hasonlóságot a folytonosidejű és diszkrétidejű feladat esetén.

==5. Mik a fő problémák az egyszerű u=-Kx állapot-visszacsatolás esetén tipikus irányítási rendszerekben? ==

Az egyik probléma az, hogy az állapotvektornak az összes komponense általában nem mérhető, például SISO esetben csak a kimenő jelet méri egy érzékelő, ezért állapotmegfigyelőt célszerű alkalmazni a becslés előállítására és bevonásába a beavatkozó jel számításába. A másik probléma, hogy az egyszerű állapot-visszacsatolás nem veszi figyelembe az alapjelet (más néven referencia jelet), ezért pótlólagos figyelembevételéről külön kell gondoskodni, lásd <math>N_x,N_u</math>

==6. Mi a domináns póluspár? ==

A szabályozási kör <math>s_{1,2}=- \sigma_e \pm j \omega_e</math> póluspárját dominánsnak nevezzük, ha a zárt szabályozási kör dinamikus minőségi jellemzőit lényegében <math>s_{1,2}</math> határozza meg. Ennek feltétele, hogy a többi stabil pólusra teljesüljön <math>\left|Re \left\{ s_i \right\} \right| > 3 \sigma_e</math>, mert ekkor a többi pólus okozta tranziens már lecseng az első maximumig terjedő időpont <math>(T_m)</math>, a túllövés <math>(\Delta v)</math> és a beállási idő <math>(T_{2 \%} )</math> számításakor. Ebben az esetben jó közelítéssel:

<math>T_m={\pi \over \omega_e}</math>

<math>\Delta v = \exp \left( {-\pi \sigma_e \over \omega_e} \right) = \exp \left( { - \pi \xi \over \sqrt{ 1- \xi^2 } } \right)</math>

<math>T_{2\%}={\ln(50) \over \sigma_e } \approx {5 \over \sigma_e}</math>

==7. Mi a kapcsolat a kéttárolós lengő tag csillapítása és csillapítatlan sajátfrekvenciája valamint a hozzátartozó pólusok között? ==

A kéttárolós lengő tag átviteli függvénye:

<math>W(s)={\omega_0^2 \over s^2 + 2 \xi \omega_0 s + \omega_0^2 }</math>

Pólusai: <math>s_{1,2}=-\sigma_e \pm j \omega_e= - \xi \omega_0 \pm j \omega_0 \sqrt{1 - \xi^2}</math>

Csillapítás: <math>0<\xi<1</math>

Csillapítatlan sajátfrekvencia: <math>\omega_0 = {1 \over T}</math>

Aszimptotikus amplitúdó menete az <math>\omega_0</math> helyen törésfrekvenciával rendelkezik, rezonanciahelye és az amplitúdó értéke a rezonancia helyén <math>\xi</math>-től függ.

Nincs rezonancia, ha <math>\xi \geq {1 \over \sqrt{2} } \approx 0.707</math>.

A <math>v(t)</math> átmeneti függvénynek ezzel szemben <math>\Delta v > 0</math> túllövése van, ha <math>\xi <1</math>

==8. Mi biztosítja a konstans alapjel követését állapot-visszacsatolt rendszerekben? ==

[[Fájl:Szabtech DI alapjel miatti korrekció ábra.JPG]]

Az <math>r = y_{\infty}</math> alapjel követést az <math>N_x r</math> és az <math>N_u r</math> jelek biztosítják az állapot-visszacsatolt rendszerben, ahol <math>N_x r = x_{\infty}</math> és <math>N_u r = u_{\infty}</math>.

Diszkrét időben ezeket a következő feltételből lehet meghatározni:

<math> \left[ \begin{array}{rr} N_x \\ N_u \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \Phi-I & \Gamma \\ C & 0 \end{array} \right]^{-1} \cdot \left[ \begin{array}{rr} 0_{n \times m} \\ I_{m \times m} \end{array} \right]</math>

==9. Miért szükséges állapotmegfigyelő alkalmazása? ==

Az <math>x</math> állapotvektornak általában nem mérhető az összes komponense, például SISO esetben csak az kimenő jelet méri egy érzékelő, ezért állapotmegfigyelőt célszerű alkalmazni a becslés előállítására és bevonásába a beavatkozó jel számításába folytonos időben <math>u = - K \hat{x}</math> , diszkrét időben pedig <math>u_i = -k \hat{x}_i</math> alakban. Az állapotmegfigyelő egy dinamikus rendszer, amelynek kimenete a becsült állapot, bemenete pedig a szakasz kimenete és a beavatkozó jel.

==10. Mi a kapcsolat a "terhelés" elnevezés és a zavaró jel között? ==

Terhelés alatt a szabályozott szakasz bemenetére redukált <math>d</math> zavaró jelet értjük.

==11. Hogyan küszöbölhető ki a terhelés hatása? ==

Ha az állapotmegfigyelő becsülni tudja a bemenetre redukált <math>d</math> zavarást is, akkor jó becslés esetén a szabályozó kimenetéhez hozzáadva a terhelés <math>- \hat{x}_d</math> becslését, a <math>d</math> zavarást kompenzálja a <math>- \hat{x}_d</math> , és a rendszer úgy viselkedik, mintha nem is lenne zavarás.

==12. Mit értünk diszkrétidejű aktuális megfigyelő alatt és mik az előnyei? ==

A diszkrétidejű aktuális állapotmegfigyelő állapotegyenlete:

<math>\hat{x}_i = F \hat{x}_{i-1} + G y_i + H u_{i-1}</math>

Ha <math>\tilde{x} = x - \hat{x}</math> a becslési hiba, akkor <math>F=\Phi - GC\Phi, \; H=\Gamma - GC\Gamma</math> választás esetén, ha a gerjesztetlen <math>\tilde{x}_i=F \tilde{x}_{i-1}</math> rendszer stabil és gyors, akkor rövid tranziens után a becslési hiba eltünik, és az állapot-visszacsatolásban <math>x</math> helyettesíthető a vele már megegyező <math>\hat{x}</math> becsült állapottal.

Az aktuális megfigyelő előnye, hogy <math>\hat{x}_i</math> számításakor már figyelembe veszi az aktuális <math>y_i</math> kimenő jelet, és ezáltal egy mintavételi időnyi holtidőt eliminál az irányítási algoritmusban, ami gyorsabb működést eredményezhet.

Mivel <math>\varphi_0(z)=\det (zI-F)=\det \left( zI - F^T \right) =\det \left( zI- \left( \Phi^T - \Phi^T C^T G^T \right) \right)</math> , ezért az aktuális állapotmegfigyelő tervezése algebrailag hasonló a pólusáthelyezési feladathoz, azaz előírt <math>\varphi_0(z)</math> esetén a fiktív <math>\left( \Phi^T, \Phi^TC^T \right)_{II}</math> rendszerhez kell <math>K_{II}=G^T</math> fiktív állapot-visszacsatolást tervezni.

==13. Miért érdemes integrátort tenni a szabályozási körbe? ==

A szabályozási körbe integrátort helyezve javulnak az alapjel követési és zavaró jel elnyomási tulajdonságok, ha biztosítjuk a zárt rendszer stabilitását is. Az integrátor javítja a lassú paraméterváltozásokkal szembeni robusztusságot is mindaddig, amíg a paraméterváltozások ellenére a zárt rendszer stabil marad. Ennek oka, hogy az integrátor miatt a felnyitott kör erősítése alacsony frekvencián nagy (nulla frekvencián végtelen). Másrészt viszont alacsonyfrekvenciás pólus/zérus pár léphet fel a zárt rendszer átviteli függvényében, ami a dinamikus minőségi jellemzők romlásához vezethet.

==14. Hogyan képződik le egy folytonos idejű pólus a diszkrétidejű tartományba? ==

A folytonosidejű <math>s_i</math> pólus a <math>z_i = \exp(s_iT)</math> helyre képződik le a pólusok számának és multiplicitásának megőrzése mellett.

Mivel <math>s_i=(\ln z_i) /T</math> , ezért páratlan multiplicitású negatív valós <math>z_i</math> pólusú diszkrétidejű rendszernek nincs folytonosidejű megfelelője.

==15. Mit okoznak a megfigyelő sajátértékei a zárt rendszer átviteli függvényében? ==

A megfigyelő sajátértékei a zárt rendszer átviteli függvényében pólus/zérus kiejtést okoznak.

A zárt rendszernek az egyszerűsítés után megmaradó pólusai a K állapot-visszacsatolás tervezésénél specifikált <math>\varphi_c</math> polinom gyökei lesznek, vagyis az állapotmegfigyelő alkalmazása nem módosítja a zárt rendszer megtervezett pólusait (feltéve, hogy a szabályozott szakasz modelljét pontosan ismerjük).

[[Kategória:Villamosmérnök]]

Szabályozástechnika - Folytonosidejű állapotteres szabályozók tervezése

2013-12-23T13:38:04Z

Zeleik: /* A mechanikai lengőrendszer leírása */

{{Vissza|Szabályozástechnika}}

== Simulink modellek ==

[[Media:Szabtech_FI_allapotteres_simulink.zip|Simulink modellek]]

# Töltsd le!
# Csomagold ki!
# Másold be a Matlab aktuális munkakönyvtárába!

== A mechanikai lengőrendszer leírása ==
<syntaxhighlight lang="matlab" style="font-size: 150%;">

%% Állapotteres szabályozás folytonos időben

%% Mechanikai lengőrendszer leírása

% A rendszer paraméterei
m=2; % A test tömege
k=0.75; % Rugóállandó
b=0.25; % Csillapítás

% A rendszer differenciálegyenlete:
% F=mx'' + bx' +kx

%% Állapotteres leírás mátrixokkal

% Állapotváltozók, be es kimenet:
% x_ = [x x']'
% u = F
% y = x
%
% Az állapotegyenletek:
% x' = x'
% x'' = -(k/m)x' - (b/m)x + (1/m)F
%
% Az állapotteres leírás:
% x_' = Ax_ + Bu
% y = Cx_ + Du
%
% Az állapotteres leírás mátrixai:

A = [0 1; -k/m -b/m]
B = [0; 1/m]
C = [1 0]
D = 0

sys=ss(A,B,C,D); % A rendszer összeállítása

</syntaxhighlight>

== Állapotvisszacsatolás tervezése ==
<syntaxhighlight lang="matlab" style="font-size: 150%;">

damp(A) % A rendszer sajátértékei, azok csillapítása (xi)
% és csillapítatlan sajátfrekvenciája (w0)

% Gyorsabb, de jobban csillapított zárt kört szeretnénk
w0=1;
xi=0.8;

% A zárt kör sajátértékei
sdom1=-w0*xi+j*w0*sqrt(1-xi^2);
sdom2=conj(sdom1);

% A zárt kör sajátértékeit tartalmazó vektor
phic=[sdom1 sdom2];
% Ha a rendszernek 2-nél több állapotváltozója lenne, akkor
% n-2 darab, a domináns poluspárnál 3-5ször gyorsabb, valós
% segédpólust (scinf) is bele kellene vennünk.

% Az irányíthatóság ellenőrzése
Mc=ctrb(A,B); % Az irányíthatósági mátrix...
rank(Mc) % ... és rangja
% Ha rank(Mc) = n, akkor a rendszer irányítható!

% Állapotvisszacsatolás tervezése az Ackermann-képlet segítségével
K=acker(A,B,phic)

% A zárt kör sajátértékei az általunk előírt domináns póluspár lesz
damp(A-B*K)

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_1');
% A rendszerünk itt egy [-1 -0.1] kezdőértéket kap, azaz t=0-ban
% a lengőrendszer a nullpontjához képest -1 méterrel ki van mozdítva
% és éppen 0.1 m/s pillanatnyi sebességgel mozog a nullponja felé.
% A PLAY gombra nyomva láthatjuk, hogy a lengőrendszer a szabályzó
% segítségével beáll a nullhelyzetébe.

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause

</syntaxhighlight>
== Állapotmegfigyelő tervezése ==
<syntaxhighlight lang="matlab" style="font-size: 150%;">

% A megfigyelő sajátértékei jóval gyorsabbak mint a zárt kör sajátértékei
soinf=-5

% A megfigyelő karakterisztikus gyökei: soinf megfelelő multiplicitással (n)
phio=[soinf soinf]

% A megfigyelhetőség ellenőrzése
Mo=obsv(A,C); % A megfigyelhetőségi mátrix...
rank(Mo) % ... és rangja
% Ha rank(Mo) = n, akkor a rendszer megfigyelhető

% Megfigyelő tervezése
G=acker(A',C',phio)'
F=A-G*C
H=B

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_2');
% Ugyanaz a felállás mint az előbb, csak most állapotmegfigyelővel.
% Látható, hogy a szabályzás ugyanolyan hatékony maradt.

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause

</syntaxhighlight>
== Alapjel miatti korrekció ==
<syntaxhighlight lang="matlab" style="font-size: 150%;">

% Tervezés
NxNu=inv([A B; C 0])*[0;0;1];
% n darab 0-át kell az oszlopvektorba pakolni és a végére egyetlen 1-est.

% Az Nx-et és Nu-t tartalmazó vektor szétválasztása
Nx=NxNu(1:2) % Annyi elem, ahány állapotunk van
Nu=NxNu(end) % Skalár

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_3');
% Most már zérus kezdeti értékekkel indítjuk a legnőrendszert és cél, hogy
% 1 méterrel kimozdítsuk és stabilan ott tartsuk a testet.

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause

</syntaxhighlight>
== Terhelésbecslő tervezése ==
<syntaxhighlight lang="matlab" style="font-size: 150%;">

% A kibővített rendszer mátrixai
Atilde=[A B; 0 0 0]; % n+1 nulla az utolsó sorba (SISO)
Btilde=[B;0]; % Fixen 1 darab nulla a végére (SISO)
Ctilde=[C 0]; % Fixen 1 darab nulla a végére (SISO)

% A megfigyelő sajátértékeit tartalmazó vektorban soinf most egyel nagyobb
% multiplicitással szerepel (n+1), hiszen felvettünk egy új (fiktív) állapotot
phiotilde=[soinf soinf soinf];

% Megfigyelőtervezés a kibővített rendszerhez
Gtilde=acker(Atilde',Ctilde',phiotilde)'
Ftilde=Atilde-Gtilde*Ctilde;
Htilde=Btilde;

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_4');
% t=10 secnél egy egységugrás jellegű zavarás adódik a szakasz bemenetére.
% A modellben a K,Nu és Nx paraméterek ugyanazok, mint amiket korábban meghatároztunk.

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause

</syntaxhighlight>
== Integráló szabályozás tervezése ==
<syntaxhighlight lang="matlab" style="font-size: 150%;">

% Itt új K erősítésvektrot kell meghatározni, de a többi már
% meghatározott paraméter ugyanaz marad!

% A kibővített rendszer mátrixai
Ai=[A zeros(2,1);C 0]; % Az első sorban n*1-es nullmátrix
% A második sorban fixen 1 darab nulla (SISO)
Bi=[B;0]; % Fixen 1 darab nulla a végére

% Az integrátor állapotának -3-as sajátértéket írunk elő
phictilde=[sdom1 sdom2 -3];

% Állapotvisszacsatolás számítása a kibővített rendszerre
Ktilde=acker(Ai,Bi,phictilde);

% Az állapotvisszacsatolás vektorának felbontása
Kt=Ktilde(1:2); % Annyi eleme van, ahány valódi állapotunk (n)
Ki=Ktilde(3); % Skalár

% A megfelelő Simulink-modell megnyitása
open('continuous_5');
% Vigyázat ez itt a terhelésbecslő nélküli modell továbbfejlesztése.
% Az integráló szabályozás is a bemenetre szuperponálódott zavarjelek
% kiküszöbölésére való. Itt Nu helyett egy Ki erősítés van és egy integrátor,
% valamint K helyett Kt !!!

% Várakozás billentyűlenyomásra
pause

</syntaxhighlight>

[[Category:Villanyalap]]