VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Anal2-magic

2014-01-14T17:25:48Z

Naitodai: /* Azonossagok, amiket jo ha tudsz */

{{TODO}}
{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y) 
sin(x ‒ y) = sin(x) * cos(y) ‒ cos(x) * sin(y) 
cos(x ‒ y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y) 
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) ‒ sin(x) * sin(y) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f 'x = ....... = 0 
f 'y = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p1(..,..) 
p2(..,..) 
p3(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)2 = ... 
 
4) 
f ''xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-14T17:14:58Z

Naitodai: /* Azonossagok, amiket jo ha tudsz */

{{TODO}}
{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y) 
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) ‒ sin(x) * sin(y) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f 'x = ....... = 0 
f 'y = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p1(..,..) 
p2(..,..) 
p3(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)2 = ... 
 
4) 
f ''xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Számítógépes grafika és képfeldolgozás

2013-12-25T12:42:50Z

Naitodai: /* Segédanyagok */

{{TODO}}

{{Tantárgy
|targykod=VIIIA316
|nev=Számítógépes grafika és képfeldolgozás
|szak=info
|kredit=4
|felev=5
|tanszék=IIT
|kiszh=nincs
|vizsga=írásbeli
|nagyzh=nincs
|hf=5 db
|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VIIIA316/
|targyhonlap=http://cg.iit.bme.hu/portal/oktatott-targyak/szamitogepes-grafika-es-kepfeldolgozas
|levlista=grafika{{Kukac}}sch.bme.hu
}}

==Követelmények==

===Előtanulmányi rend===
[[Bevezetés a számításelméletbe I.|Bevezetés a számításelméletbe 1.]] tárgyból kredit megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez és legkorábban a [[Szoftver labor III.|Szoftver laboratórium 3.]] tárggyal vehető fel együtt.

===A szorgalmi időszakban===
*Az '''aláírás feltételei:'''
**'''Házi feladatok leadása'''. 5 db kis házi feladat van, ezekből 3-at kell sikeresen megcsinálni és az erre kijelölt [https://cg.iit.bme.hu/grafhazi/ portálon] feltölteni. Opcionálisan, az oktatóval előre egyeztetett módon nagy házi feladat is készíthető, mely kiválthat két kis házi feladatot.
**'''Házi feladatok védése'''. A védés arra szolgál, hogy megbizonyosodjanak róla, hogy Te írtad a beadott házijaidat. Ennek megfelelően ez nem egy vizsga a teljes anyagból, hanem a háziban alkalmazott megoldásaidat kell tudnod elmagyarázni és azzal kapcsolatban kérdésekre felelni. Ha tényleg te írtad meg a házikat, akkor ez semmilyen problémát nem jelenthet.
*'''Megajánlott jegy:''' van, 5 kiemelkedően jó házi feladat leadása és azok megvédése szükséges a megajánlott ötöshöz. A sikeres védéshez itt már szükséges a tárgy teljes anyagának (beleértve a sugárkövetést és az árnyalóprogramozást is) az implementációs részleteken túlmutató, alapos ismerete, amely alapján a védésen úgy ítélik meg, hogy a vizsgán is teljes bizonyossággal ötös születne.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A házi feladatok nem pótolhatók.
*'''Elővizsga:''' nincs.

===A vizsgaidőszakban===
*'''Vizsga:''' írásbeli, 30 pontot lehet rajta elérni, min. 40% (12 pont) kell az elégségeshez.
**Előfeltétele: az aláírás megléte.

===Félévvégi jegy===
*A jegyet a vizsga (V) és a házi feladatok (HFi) összpontszáma (P) adja a következő módon:
*<math>P= V + \min\left(V,\sum\limits_{i= 1}^5 HF_i\right)</math>
*''Tehát ha a házik eredménye rosszabb, mint a vizsgáé, akkor vizsga és házik összpontszáma adja a jegyet, ha jobb, akkor csak a vizsgapontszám.
*Ponthatárok:
:{| class="wikitable" align="center"
!P!!Jegy
|-
| 0 - 23 || 1
|-
|24 - 29 || 2
|-
|30 - 35 || 3
|-
|36 - 41 || 4
|-
|42 - 60 || 5
|}

== Segédanyagok ==

2013 őszi félév fóliái összefűzve: [[Media:grafika_foliak_2013osz_merged.pdf|Fóliák]]

A összes diasor egybe vágva: [[Media:Grafika_diasor_szirmayfull.pdf|Grafika diasor]]

OpenGL segédlet: [[Media:Grafika_jegyzet_OpenGL.pdf|OpenGL]]

=== Videó ===
A 2009 őszi kurzusról videofelvétel készült, elérhető a [http://videotorium.hu/hu/categories/details/1083,Szamitogepes_grafika Videotorium]-on streamelve, vagy a [http://video.bme.hu/index.php?act=vid&tkod=BMEVGR régi oldalán] egyben letölthető. Egyes előadásokról nem készült felvétel (1,3,4)

== Házi ==
A tárgy arról szól, hogy ezeket meg tudod-e írni. Az első órán el szokott hangzani, hogy vagy 5-sel, vagy 1-sel szeretik értékelni a munkát, kettest csak az kap akit már sok év alatt sem sikerült megtanítani a tárgyra, de a tudása kezd körvonalazódni. Szóval ez a rész amire nagyon szükséged lesz!

Korábbi házi feladat kiírások: [[Számítógépes_grafika_és_képfeldolgozás_házi_feladat_kiírások|Házi feladat kiírások]]'''

Feladatbeadó rendszer: [http://cg.iit.bme.hu/grafhazi cg.iit.bme.hu/grafhazi]

===Előkészületek===
Mielőtt elkezdenéd be kell lőni a fejlesztőkörnyezetet:
* [[SzgGrafIDEs]] << Ez az ajánlott olvasmány
* [http://mockid.net/?p=5 xCode OSX] << Illetve ez
* [[SzgGrafLinux|Linux]] << Esetleg ez
* [http://www.astahost.com/info.php/installing-glut-dev-c_t14192.html Dev C++ (opensource) + GLUT]
* [http://www.ferdychristant.com/blog/articles/DOMM-72MPPE *LINUX*+Eclipse+GLUT]
* [http://paulsolt.com/GLUT/ Windows+Eclipse+GLUT]
* [http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/~goetz/codeblocks/glut/ CodeBlocks+GLUT Win]

===Első házi===
Ez általában valamilyen 2D rajzolásos "játék". Amit a házi megtanít, az az, hogy hogy kell a különböző koordinátarendszereket egymásnak megfeleltetni. Érdemes felfrissíteni a C++ tudást, mert Java után az emberek el szokták felejteni a nyelv sajátosságait.

===Második házi===
Ez valamilyen görberajzolási feladat szokott lenni, érdemes a jegyzeteket, könyveket elővenni. Nem szabad mindig az internetre hagyatkozni, a feladatok többnyire úgy vannak megfogalmazva, hogy a neten található kódok nem húzhatóak rájuk.

===Harmadik házi===
Sugárkövetés. Ez megy a legkevésbé az embereknek, pedig ezzel lehet a legszebb képeket előállítani. Erősen igényel térgeometriai ismereteket. Neten rengeteg tutorial található hozzá, a wikin található Wolfee-féle tutorial fenntartásokkal kezelendő (őszintén szólva hatalmas marhaságok vannak benne ([[Szerkesztő:Madbence|lennon]] ([[Szerkesztővita:Madbence|vita]]) 2013. január 19., 21:24 (CET)))

===Negyedik házi===
Az első 3D-s OpenGL feladat.

===Ötödik házi===
A negyedik házi továbbfejlesztése, általában animációval, mozgással, fizikával. (Jól érzed, ha nincs meg a negyedik akkor esélytelen kb.)
Ha jól építetted föl a 4. házit (struktúrálisan), akkor viszont a házi lekódolása töredéke az előzőeknek.

== Vizsga ==
* 2013 tavasz
** [[Grafika_vizsga_20130605|2013-06-05]]
** [[Grafika_vizsga_20130619|2013-06-19]]

== Kedvcsináló ==
[[TargynevAjanlas|Ajánlott rövidítés]]: grafika 
[[SzgGrafKedvCsinalo|Kedvcsináló]]

'''Mottó:''' 
A terroristák manapság főleg OpenGL függvényeket lopnak. Abban van az igazi biznisz. 
Az Avatar című animációs film már állítólag majdnem megajánlott 4-est ért, de sajnos nem volt mellé kész a négy házi feladat. 
Bal kezünk a billentyűzeten, jobb kezünkben az egér, a lábunk között meg szorongatjuk a joystickot. 
''"Ha azt kérdeznénk önöktől vizsgán, amit előadáson elmondunk, akkor önök nem a Műszaki Egyetemre járnának, hanem a Színművészeti Főiskolára."''

== Tippek ==
Érdemes mind az 5 házit elfogadottra megcsinálni. Védésen örülnek neki amikor megkérdezik, hogy "na melyikből kérdezhetek?", és mondod, hogy bármelyikből.
Védésre mindenképpen szedd össze az 5 házidat, és előtte legalább 1 órát tölts el a kódok felelevenítésével, mert bár akkor amikor írtad valószínű értetted, ez nem biztos hogy reflexből tudsz válaszolni 1-1 kérdésre, nem árt rákészülni picit, végülis ez egy szóbeli "vizsga".
A házikat érdemes a kiadás napjától emészteni, és a leadás napján az a jó, ha már csak nagyon kicsi hibák vannak benne, mert a beadórendszer nagyon le tud lassulni. A határidő előtt 6 órával akárhogy áll töltsd fel, mert rossz azon elbukni 1-1 házit hogy bent maradt egy printf, csak már nem láttad az eredményt mert lejárt a határidő.

Ha a határidő előtt 1-2 nappal akarod elkezdeni a munkát, és az anyagot még nem nagyon érted, akkor bele se kezdj egyedül.

== Verseny ==
Általában a sugárkövetéses házira hirdetnek meg szépségversenyt, amivel jó pontot lehet szerezni, illetve van hogy elfogadják +1 házinak, extrém esetben akár nagyházinak is.

==Egyéb információk==
===Előadáson elhangzott dolgok===
* [[SzgGrafEA2010_Tavasz|2009/2010 tavaszi félév]]
===Megértést segítő anyagok===
* [[SzgGrafHaziTutorial|Grafika házi tutorial]] (egyelőre még fejlesztés alatt)
* [http://www.videotutorialsrock.com/ VideoTutorialsRock]. Hasznos kódok és tutorialok az abszolút kezdőknek. Sok képpel és magyarázattal.
* [http://nehe.gamedev.net/ [[OpenGL]] tutorial]. Alapmű, viszont a WinAPI-s cuccokat érdemes belőle kihagyni. A példák végén általában van GLUT-os megvalósítás is.
* [http://www.lighthouse3d.com/opengl/ Lighthouse 3D [[OpenGL]] tutorialok]
* http://www.videotutorialsrock.com/
* Opengl megvilágítás tutorial (nagyon hasznos): http://www.falloutsoftware.com/tutorials/gl/gl8.htm
* Opengl textúrázás tutorial: http://www.gamedev.net/reference/articles/article947.asp
* Sugárkövetés alapok: [http://www.linuxvilag.hu/content/files/cikk/69/cikk_69_16_21.pdf 1. rész] [http://linuxvilag.hu/content/files/cikk/72/cikk_72_29_35.pdf 2. rész]
* [http://www.inf.u-szeged.hu/oktatas/jegyzetek/KubaAttila/opengl_html/szak.html 2D-s rajzolás abszolút kezdőknek] (első házihoz jól jöhet)
* [http://www.cc.gatech.edu/classes/AY2003/cs4451a_fall/ClippingApplets%20Folder/Sutherland-Hodgeman/index.html Sutherland-Hodgeman interaktív vágás] - Java-s alkalmazás az algoritmus szemléltetésére
* [[GrafShader|Shaderek]]
* [[Média:Grafika_jegyzet_2011_kvaternio.pdf|Kvaterniós feladat]]: A mi van az <code>m[0][0]</code> helyen feladat megoldása (feladat: ''"Milyen értéket vesz fel a következő végrehajtása után az ang, tx, ty, tz függvényében az OpenGL Model-View mátrixának [0][0] indexű eleme?"'')
* http://www.eet.bme.hu/~poppe/szgraf/2007/ (Poppe András előadásanyagai a Számítógépes grafika és képfeldolgozás c. tárgy "képfeldolgozás" részéhez - sajnos már ezen a címen nem elérhető)
* http://www.eet.bme.hu/~szekely/ (Dr. Székely Vladimír; [http://www.eet.bme.hu/~szekely/szg4.ppt Fourier-módszerek a képfeldolgozásban], [http://www.eet.bme.hu/~szekely/szg5.ppt Képfeldolgozási esettanulmányok, képfájlformátumok])
* [http://www.geometrictools.com/LibMathematics/CurvesSurfacesVolumes/CurvesSurfacesVolumes.html Görbék minden mennyiségben]
* [http://www.rhino3d.com/nurbs.htm NURBS magyarázat]
* [[Média:Grafika_tutorial_20110410_Raytracing_-_Farkas_Adam_Attila_-wolfee-_levlistarol_(rt).pdf|Sugárkövetés tutorial (by Wolfee, 2011.04.11)]] (A benne lévő kódokat semmiképp NE használjátok fel egy az egyben a házi feladatokban (ld. plágiumgyanú), az anyag csupán iránymutatás, a megértést segíti!!)
** a szerző (Farkas Ádám Attila) [https://lists.sch.bme.hu/wws/arc/grafika/2011-09/msg00052.html levlistán, 2011.09.09-én felhívta a figyelmet] Dr. Szirmay-Kalos László kóddal kapcsolatos aggályaira: ''"a pdf-fel tényleg óvatosan bánjatok, a legfőbb kifogások a Tanár Úr részéről: Kamerakezelés. én pont-szerű kamerával dolgoztam annó. na nem ez a matematikailag korrekt módja a dolognak, de a pdf-be megteszi. Színkezelés. én 0..255ös skálával dolgoztam (amikor számolni kellett vele, akkor normáltam persze), de T. Ú. azt mondta, hoyg végig 0..1 tartománnyal kéne számolni."''
* [[Média:Grafika_jegyzet_catmull-rom.pdf‎|Catmull-Rom tutorial]]

===Ajánlott olvasmányok===

* [http://iam035.inf.unideb.hu/mobidiak/listdocument.mobi?id=101 Juhász Imre: [[OpenGL]] — mobiDIÁK könyvtár, 2005.12.30.]
* Dr. Szirmay-Kalos László, Antal György, Csonka Ferenc: Háromdimenziós grafika, animáció és játékfejlesztés — ComputerBooks, 2003 (Ez a "sünis könyv", lásd könyvrendelés lentebb)
* Dr. Szirmay-Kalos László: Számítógépes grafika — ComputerBooks, 1999
* Az előző könyv 1999-es kiadása. A fraktálokról szóló fejezet csak ebben van benne. Egyébként az új kiadást érdemes elolvasni, mert sokkal részletesebben és érthetőbben magyarázza el a dolgokat. Ingyenesen letölthető [http://www.iit.bme.hu/~szirmay/grafika/graf.pdf innen].
* Székely Vladimír: Képfeldolgozás (55067) — Műegyetemi Kiadó, 2007

===Vizsga===

* [[SzgGrafVizsgaTanacsok|Tanácsok vizsgára]] (Németh Balázs)
* '''[[SzgGrafVizsga|Vizsgakérdések kidolgozása]]'''
* [[SzgGrafKerdesKidolg|Kérdések kidolgozása]]
* [http://www.renyi.hu/~endre/csoportok/9.szakasz.xhtml Projektív sík transzformációi]
* [[SzgGrafOsszefogOpenGL|OpenGL összefoglaló]] -- [[KovacsTamas|kovi]] - 2006.01.12.

=== Könyvrendelés (2007, 2009) ===

A levlistán felmerült kezdeményezés alapján:
''"A grafika könyvet meg lehet venni a kiadótól 20% kervezménnyel, amitől máris barátságosabb az ára. Viszont azt írják, 10 példány
felett csoportos kedvezményt is adnak. Ha vagyunk legalább 10-en, akiknek kell grafika könyv, akkor lehetne alkudni még a kiadóval."''

A könyvrendelés és kiosztás befejeződött. Tanulság:

Szirmay-Kalos László, Antal György, Csonka Ferenc: Háromdimenziós grafika, animáció és játékfejlesztés — ComputerBooks, 2003 - 5500 Ft, és sikerült az árat 3800 Ft-ra letornászni.

Ezt megismételtük 2009-ben. Részletesebb feltételek: a könyv hallgatói kedvezményes ára: 4397 Ft (20%), csoportos rendelés minimum 10 db esetén 30% kedvezmény után 3848 Ft/db. Bolti ára 5496 Ft. Telefonon lehet velük időpontot egyeztetni: 375-1564, 3753-591, 225-0110.

Ide kell menni: [http://goo.gl/maps/vW59n 1126 Budapest Tartsay Vilmos u. 12.] Ha a Móricz-ról 61-essel a Csörsz utcánál leszálltok, akkor a déli irányába kell sétálni, és az első utca balra, viszonylag sokáig kell menni, és egy családi házban van az iroda.

[http://sirkan.iit.bme.hu/~szirmay/3djatek.htm A nem kedvezményes könyv]

=== Könyvrendelés (2013) ===
A kiadó szerint a könyv elfogyott, utánnyomás nem lesz!
[[Kategória:Infoalap]]

Fájl:Grafika foliak 2013osz merged.pdf

2013-12-25T12:38:20Z

Naitodai: http://cg.iit.bme.hu/portal/oktatott-targyak/szamitogepes-grafika-es-kepfeldolgozas oldalról lementett fóliák összefűzve.

http://cg.iit.bme.hu/portal/oktatott-targyak/szamitogepes-grafika-es-kepfeldolgozas oldalról lementett fóliák összefűzve.

Szoftvertechnológia (régi)

2013-11-20T09:15:30Z

Naitodai: /* Videó */

{{Tantárgy
|nev=Szoftvertechnológia
|targykod=VIIIA217
|kredit=4
|felev=3
|kereszt=vizsgakurzus
|tanszék= IIT
|nagyzh= nincs
|kiszh= nincs
|vizsga= írásbeli
|hf=1 db
|szak=info|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VIIIA217/
|targyhonlap=https://www.iit.bme.hu/~stuser/|levlista=szofttechATsch.bme.hu }}

[[TargynevAjanlas|Ajánlott rövidítés]]: "szofttech"

== Követelmények ==
=== Előtanulmányi rend ===
[[A_programozás_alapjai_II.|A programozás alapjai 2.]] tárgyból kredit megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez.

=== A szorgalmi időszakban ===
*Heti 2 előadás van, kötelező jelenléti ív nincs.
*Az '''aláírás''' feltétele:
**A kiadott '''házi feladat''' elkészítése. Egy névre szóló feladatsort kell letölteni, kinyomtatni és a feladatokat megoldani, majd leadni. Akkor fogadják el, ha a feladatsor minden feladatára az adható pontok min. 50%-át sikerült megszerezni.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A házi feladat pótolható a pótlási héten új feladatsor kérésével (két és fél nap alatt kell megcsinálni), különeljárási díj ellenében.
*'''Elővizsga:''' nincs.

=== A vizsgaidőszakban ===
* '''Vizsga:''' írásbeli, amely két részből áll. Az első (beugró) részben 24, a másodikban 26 pont szerezhető. A vizsga első 30 percében kell megírni a beugrót, majd azt beszedik, és lehet folytatni a vizsgát. A vizsga sikeres, ha a beugró 24 pontjából min. 14 megvan (~58%), valamint a vizsga összpontszáma eléri a 21 pontot (42%).
**Előfeltétele: az aláírás megléte.

===Félévvégi jegy===
*A házi feladat eredménye nem számít bele a a félévvégi jegybe, azt tisztán a vizsgaeredményre kapod.

== Segédanyagok ==
=== Könyv ===
''Főbb könyvek''
* Kondorosi, László, Szirmay-Kalos: [[Media:szofttech_objektumorientaltszoftverfejlesztes_konyv.pdf|Objektum orientált szoftver fejlesztés]], ComputerBooks, Bp., 1997 , Kempelen Farkas Digitális Tankönyvtár
* Sommerville, I. – Szoftver rendszerek fejlesztése 2. bővített kiadás, Panem Kiadó, Debrecen, 2007.
* '''Harald Störrle: UML 2, Panem Kiadó, Budapest, 2007'''
** Az UML 2 szabvány van benne. Egy esettanulmányt vezet végig a könyvön és az '''összes''' diagramtípust részletesen kivesézi. A mély megértéshez nagy segítség.
* '''Java 2 - Útikalauz programozóknak 5.0, ISBN 9630640923, Kiadó:ELTE TTK Hallgatói Alapítvány'''
* Használtan nehezen beszerezhető, ki kell fogni. A korábbi verziója (ami a közkedvelt illegaláis helyeken is megtalálhatók) egyáltalán nem váltja ki. Szájbarágós, ezért hosszú, DE ebből BÁRKI megérti! (Aki meg pro, az az olyan részekkel úgyis gyorsan halad.) A honlapon (stuser) be vannak hivatkozva a könyv szükséges fejezetei.

''Egyéb könyvek''
* Sommerville, I. - Software Engineering 8th ed., Pearson Education Ltd, 2007, http://www.cs.st-andrews.ac.uk/%7Eifs/index.html
* Booch, G., Rumbaugh, J., Jacobson, I.: The Unified Modeling Language User Guide, Addison-Wesley, 1999.
* Roger s. Pressman: Software Engineering, A Practitioner's Approach, 6th ed, McGraw-Hill, 2006
* UML 2.1.1 Superstructure Specification & Infrastructure Specification, http://www.omg.org/technology/documents/modeling_spec_catalog.htm#UML

===Hasznos publikációk===
* [http://www.ibm.com/developerworks/rational/library/content/03July/1000/1251/1251_bestpractices_TP026B.pdf Rational Unified Process] - minden, amit a RUP-ról tudni lehet (workflow-k, fázisok)

=== SzofttechJegyzet ===
Legfrissebb változat: [[Media:SzofttechJegyzet8.pdf|SzofttechJegyzet8]]
* NEM HIVATALOS JEGYZET: nincs benne minden, vannak benne hibák/elírások
* 2011-es Elméleti anyag + feladatok megoldással + java
* (utolsó frissítés 2011.12.30. 16:58)
* A 2011-es tematika anyagai találhatóak meg benne, a 2012-es anyagok nincsenek benne!!!
* Továbbfejlesztési lehetőségek:
** Minden évben szükséges lenne frissíteni az aktuális anyagokkal és kiegészíteni, újabb "kiadásban" feltölteni!
** [[Szerkesztő:Ferrero| a készítő elérhetősége]], vele egyeztetve lehet elkérni a forrást és továbbfejlesztésről érdeklődni (mely mindenki számára nyitott, csak pár tanácsot adna)

=== Videó ===
2010 őszén az EHK felvette a tárgy előadásait, akkor még nem volt Java a tananyagban, illetve azóta megváltozott a tárgy szoftvertechnológiai része is, a videók NEM fedik le teljes mértékben az anyagot!

2012 őszén a [http://videotorium.hu/hu/search/all?q=Szoftvertechnol%C3%B3gia+Java+gyakorlat Java-előadásokat] is felvették.

[http://bme.videotorium.hu/hu/channels/details/902,Szoftvertechnologia A videók itt megnézhetőek, innen letölthetőek]

A 2010-es videókhoz készült [[Media:szofttech_video_jegyzet_timestamps_v1.pdf|Videó-jegyzet]] időbélyegzőkkel. Segítségével könnyű megkeresni adott anyagot a videókban.
* '''[[Szoftvertechnológia - Videójegyzet]]''' - a pdf Wiki-aloldallá alakított változata. --[[Szerkesztő:Harapeti|Haraszin Péter]] ([[Szerkesztővita:Harapeti|vita]]) 2013. június 9., 17:20 (UTC)

=== Vizsgakérdések ===
* [[Szoftvertechnológia - Lehetséges vizsgakérdések]] - szerkesszétek bátran! (korábbi [https://docs.google.com/document/d/1y6989PPel8nhjoPSYU3ztUS4poe0XC23kAQigjBVcQ4/edit?usp=sharing Google Docs-segédlet Wikis változata])
* [https://docs.google.com/document/d/1UcrKOjgA3vN9S4SD3uF_I6EjGssRkgN7ofhonbmohTM/edit?usp=sharing| Diagramok kigyűjtve a diákból] - szerkesszétek bátran!

===Egyéb segédanyagok===
==== Java ====
* [https://docs.google.com/document/d/1wfXi3eqx_KPbbc2LHxP5_dqQ75gaZou6gEknFETEdck/edit '''Közösen szerkeszthető''' Google-doksi] - nem hibátlan, egészítsd és javítsd ki Te is!
* [https://sites.google.com/site/czirjakzoltan91/programozas/java Czirják Zoltán Java-anyagai]
* [http://docs.oracle.com/javase/tutorial/java/generics/bounded.html Bounded Type Parameters] - Oracle Java tutorial kötött dzsókerekröl
* [http://docs.oracle.com/javase/tutorial/java/nutsandbolts/_keywords.html Java Language Keywords] - Oracle Java tutorial a kulcsszavakról (pl. delete nincs benne, tehát használható változónévként)
* [http://docs.oracle.com/javase/tutorial/java/javaOO/accesscontrol.html Controlling Access to Members of a Class] - Oracle Java tutorial

==== Órai jegyzet ====
* [[Media:Szofttech_elekescsaba_szofttech_oraijegyzet_2008.pdf|Elekes Csaba órai jegyzete]] - 2008-as előadáson kézzel írt jegyzet

==== UML ====
* UML quick reference (angolul): [http://www.holub.com/goodies/uml/ Allen Holub's UML Quick Reference]
* [[Media:Szofttech_UML_diagramok.pdf|Szofttech UML diagramok]] - diagramok magyarul
* [[Media:szofttech_diplomamunkaUML2.pdf|UML2 diplomamunka]] - Az UML eszközeinek bemutatása egy komplex rendszer tervezésén keresztül.
* [http://www.visual-paradigm.com/VPGallery/diagrams/Class.html az UML2 specifikációból kigyűjtve nagyon jó UML diagram magyarázatok (angolul)]
* [http://www.zicomi.com/viewDictionaryHome.jsp UML2 Diagramok - interaktív gyakorló példák]: deepHistory, shallowHistory, mindenféle példa magyarázattal! (angolul)
* [[Media:szofttech_PhDreport_UML.pdf|PhDreport_UML.pdf]] - UML PhD Project Report a Carnegie oldaláról
* [[Media:szofttech_uml_diagramok_tananyagfejlesztes.pdf|uml_diagramok_tananyagfejlesztes.pdf]] - UML diagramok a [http://tananyagfejlesztes.mik.uni-pannon.hu/index.php?option=com_content&view=article&id=58&Itemid=71 Tananyagfejlesztés portálról]

==== DTD ====
* [http://www.w3schools.com/dtd/default.asp DTD tutorial 1 @ W3Schools]
* [http://www.zvon.org/xxl/DTDTutorial/Output_hun/example1.html DTD tutorial 2 @ ZVON.org]

==== Jackson system development (JSD), Jackson Structured Programming (JSP) ====
* [[JspSegitseg|JSP-segítség a Wikin]] - érdemes lenne jobban kidolgozni

==== XML ====
* [http://www.w3schools.com/xml/default.asp W3Schools XML tutorial] (figyelem: http://www.w3fools.com/)
* [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/XML_Introduction MDN - XML Introduction]
* [http://www.w3.org/XML/ Extensible Markup Language (XML) @ W3.org]
* [http://alistapart.com/d/usingxml/xml_uses_a.html XML Example @ A List Apart]
* [http://alistapart.com/article/usingxml Using XML @ A List Apart]

==== Algebrai axiómák ====
* [[Media:szofttech_algebrai_axiomak.pdf|Algebrai axiómák hasznos segédlet]]

==== Tesztelés ====
* [[Media:szofttech_teszteles_segedlet_veszprem.pdf|Tesztelés segédlet]] - tesztelés rész segédlet, Veszprémi Egyetem

==== Egyéb ====
* [[Media:szofttech_szoftverkarbantartas_tananyagfejlesztes.pdf|szoftverkarbantartas_tananyagfejlesztes.pdf]] - Szoftverkarbantartás a [http://tananyagfejlesztes.mik.uni-pannon.hu/index.php?option=com_content&view=article&id=58&Itemid=71 Tananyagfejlesztés portálról]

=== Régi anyagok ===
A régi anyagok (pl.: Progtechnológia) teljesen más tematikát követtek, de nem érdemes kitörölni őket, mert találhatunk bennük értékes információkat.

* [[Media:Szofttech_magyarJegyzet_1.pdf|Szofttech_magyarJegyzet_1.pdf]]
* [[Media:Szofttech_magyarJegyzet_2.pdf|Szofttech_magyarJegyzet_2.pdf]]
* [[Media:szofttechfogalmak.pdf|szofttechfogalmak.pdf]] - Elméleti vizsgakérdések, válaszokkal
* [[Media:szofttech_elmelet2006-2008.pdf|szofttech_elmelet2006-2008.pdf]]]
* [[Media:szofttech_pt_biblia_1.pdf|szofttech_pt_biblia_1.pdf]] - Kézzel írt jegyzet
* [[Media:szofttech_pt_biblia_2.pdf|szofttech_pt_biblia_2.pdf]] - Kézzel írt jegyzet digitalizálva

===Nemhivatalos konzultációk===

* [[SzoftTechKonzi|Cassus féle szoftvertechnológia konzultáció 2009. jan. 12]]

== Házi ==
A NEPTUN-ban beállított email címre érkezik majd egy email előre láthatólag november elején, amiben egy kód található. [https://www.iit.bme.hu/~stuser/feladat.html Erről] az oldalról lehet letölteni majd a házi feladatot a kóddal.

A feladatlapot kinyomtatva, kitöltve és összetűzve kell leadni az emailben említett helyen (IIT adminisztráció), az emailben említett határidőig, ami általában november vége.

=== Házi felépítése ===
* 8 darab, tipikus szoftvertechnológia feladat vagy elméleti kérdés (olyan feladatok melyek vizsgákban szoktak szerepelni), tehát az AllInOne PDF sokat segít hasonló feladatok keresésében
* minden egyes feladatra külön-külön a pontok 50%-ának megszerzése.

== Vizsga ==

====2012/13/2 félév====
* [[Media:stv_130528.pdf|stv_130528.pdf]]: 2013 május 28-ai vizsga megoldásokkal
* [[Media:stv_130611.pdf|stv_130611.pdf]]: 2013 június 11-ei vizsga megoldásokkal
* [[Media:stv_130618.pdf|stv_130618.pdf]]: 2013 június 18-ai vizsga megoldásokkal

====2012/13/1 félév====
* [[Media:stv_130115.pdf|stv_130115.pdf]]: 2013 január 15-ei vizsga megoldásokkal
* [[Media:stv_130108.pdf|stv_130108.pdf]]: 2013 január 8-ai vizsga megoldásokkal
* [[Media:stv_121218.pdf|stv_121218.pdf]]: 2012 december 18-ai vizsga megoldásokkal

====2011/12/2 félév====
* [[Média:Stv_120522.pdf‎|stv_120522.pdf]]: 2012. május 22. vizsga megoldásokkal
* [[Média:Stv_120605.pdf‎‎|stv_120606.pdf]]: 2012. június 5. vizsga megoldásokkal
* [[Média:Stv_120612.pdf‎‎|stv_120612.pdf]]: 2012. június 12. vizsga megoldásokkal

====2011/12/1 félév====
* [[Media:stv_120117.pdf|stv_120117.pdf]]: 2012. január 17-i vizsga megoldással
* [[Media:stv_120103.pdf|stv_120103.pdf]]: 2012. január 3-ai vizsga megoldással
* [[Media:stv_111220.pdf|stv_111220.pdf]]: 2011. december 20-ai vizsga megoldással

====2010/11 év====
* [[Media:stv_110614.pdf|stv_110614.pdf]]: 2011. június 14. vizsga megoldással
* [[Media:stv_110607.pdf|stv_110607.pdf]]: 2011. június 7. vizsga megoldással
* [[Media:stv_110524.pdf|stv_110524.pdf]]: 2011. május 24. vizsga megoldással
* [[Media:stv_110118.pdf|stv_110118.pdf]]: 2011. január 18. vizsga megoldással
* [[Media:stv_110104a.pdf|stv_110104a.pdf]]: 2011. január 4. vizsga A csoport megoldással
* [[Media:stv_110104b.pdf|stv_110104b.pdf]]: 2011. január 4. vizsga B csoport megoldással
* [[Media:stv_101221.pdf|stv_101221.pdf]]: 2010. december 21. vizsga megoldással

====2009/10 év====
* az utolsó vizsga hiányzik, akinek megvan töltse fel
* [[Media:stv_100601.pdf|stv_100601.pdf]]: 2010. június 1. vizsga megoldással
* [[Media:stv_100526.pdf|stv_100526.pdf]]: 2010. május 26-ai vizsga megoldással
* [[Media:stv_100126.pdf|stv_100126.pdf]]: 2010. január 26. vizsga megoldással
* [[Media:stv_100112B.pdf|stv_100112B.pdf]]: 2010. január 12. 13:30 vizsga megoldással
* [[Media:stv_100112A.pdf|stv_100112A.pdf]]: 2010. január 12. 12:00 vizsga megoldással
* [[Media:stv_100105B.pdf|stv_100105B.pdf]]: 2010. január 5. 13:30 vizsga megoldással
* [[Media:stv_100105A.pdf|stv_100105A.pdf]]: 2010. január 5. 12:00 vizsga megoldással

====2008/09 év====
* [[Media:stv_090618.pdf|stv_090618.pdf]]: 2009. június 18. vizsga megoldással
* [[Media:stv_090611.pdf|stv_090611.pdf]]: 2009. június 11. vizsga megoldással (4. feladat megoldása: 11. előadás-videó (2010.10.11) 44. percétől)
* [[Media:stv_090528.pdf|stv_090528.pdf]]: 2009. május 28. vizsga megoldással
* [[Media:stv_090127.pdf|stv_090127.pdf]]: 2009. január 27. vizsga megoldással
* [[Media:stv_090113.pdf|stv_090113.pdf]] 2009. január 13. vizsga megoldással
* [[Media:stv_090106.pdf|stv_090106.pdf]]: 2009. január 06. vizsga megoldással

====2007/08 év====
* [[Media:stv_080617.pdf|stv_080617.pdf]]: 2008. június 17. vizsga megoldással
* [[Media:stv_080610.pdf|stv_080610.pdf]]: 2008. június 10. vizsga megoldással
* [[Media:stv_080527.pdf|stv_080527.pdf]]: 2008. május 27. vizsga megoldással
* [[Media:stv_080122.pdf|stv_080122.pdf]]: 2008. január 22. vizsga megoldással
* [[Media:stv_080115.pdf|stv_080115.pdf]]: 2008. január 15. vizsga megoldással
* [[Media:stv_080108.pdf|stv_080108.pdf]]: 2008. január 8. vizsga megoldással

==== All In One PDF ====
* [[Media:All_In_One_2011_12_14.pdf|All_In_One_2011_12_14.pdf]]: Ez a PDF tartalmazza az összes ZH-t és vizsgát 2011-12-14-ig , de egy két hiányosság lehet. Bookmarkokat érdemes majd használni. Hasznos például egy-egy típusfeladat megkeresésekor és gyakorlásakor
* [[Media:Szofttech_Vizsga_All_in_One_2000-12-19_-_2013-06-11_vizsgák_merged_bookmarked.pdf|Szofttech vizsga all in one 2000. december 19-től 2013. június 11-ig, könyvjelzőkkel ellátva!]]. A vizsgák a hivatalos oldalról lettek letöltve (http://directory.iit.bme.hu/belso/st/stbelso.html), a bookmarkok azok alapján készültek. Az anyagoknak Dr. László Zoltán (BME-IIT), jogi személyként a BME a jogtulajdonosa. --[[Szerkesztő:Harapeti|Haraszin Péter]] ([[Szerkesztővita:Harapeti|vita]]) 2013. június 17., 23:12 (UTC)

== Tippek ==
A tárgyat nem könnyű elvégezni, de nem is lehetetlen. A szofttech tipikusan olyan tárgy, melyre ha félév közben csak pár órat készülsz, akkor is eljutsz vizsgára, de vizsgán veszed észre hogy milyen keveset is tudsz, ezért ajánlom mindenkinek a félév közbeni készülést. A Java rész bevezetésével csak nehezedett a vizsga, arra úgy érdemes készülni hogy kódolsz és minden anyagrészt kipróbálsz amit csak vettünk órán, a diákból mindent meg kell értened, mert bármi előfordulhat vizsgán belőle. A szofttech részt pedig meg kell tanulni és meg kell érteni! Nincs mese, ez tanulós és nem egyszerü tárgy!

== Kedvcsináló ==
===Szabó Csaba===
A tárgy tetszett, hasznos de nehéz. Szerintem nagyon hasznos tárgy, én már találkoztam több részével az életben (UML, scrum, DTD, XML), illetve végre a Java programozási nyelvet is megtanulhatod rendesen (régi szoftlab3 képzés siralmas volt), van róla 4 előadás melyeket Goldschmidt Balázs tart, a java rész gyakorlata lényegében a szoftverlabor 3 tárgy. A vizsgákról, főleg a beugróról mindenkinek megvan a saját véleménye, nem egyszerü az biztos, de ez nem ennek a vitának a helye, levlistán lehet sok ilyen vitát találni/kezdeni. 
-- [[Szerkesztő:Ferrero|Szabó Csaba]]

===Lord Viktor===
A tárgy a Bsc. egyik legnehezebb(en elvégezhető) tárgya. Az aláírás lényegében ingyen van, gyakorlatilag egy ZH-feladatsort kell megoldanod otthon egy-két hét alatt. Cserébe viszont a vizsga nehéz, nem is az anyag, hanem inkább a számonkérés módja miatt. A <strike>beugrató</strike> beugró teljesítéséhez kell nagy adag szerencse is, valamint lelemény és logika, hogy az ember egy kétértelmű dolognál kitalálja, hogy LZ mire gondolt. Ne tévesszen meg a neve: nem alapinformációkra kérdez rá, az anyagból bármi lehet benne. Sok előző évekbeli vizsgasor van fenn itt a wikin, ezekből látszik, mire gondolok. Ezért érdemes a vizsgát véresen komolyan venni, főleg a 6 vizsgás szabály bevezetése óta. A tárgy összességében nem haszontalan, csak sok a száraz elmélet, de aki szoftverfejlesztő akar lenni, annak kifejezetten érdekes is lehet. 
-- [[Szerkesztő:Lordviktor|Lord Viktor]] ([[Szerkesztővita:Lordviktor|vita]]) 2013. április 17., 09:20 (UTC)

== Egyéb anyagok/linkek ==
Interjú Dr. László Zoltánnal:
* [[SzoftTechTippek|Tanulási tippek, FAQ a tárggyal kapcsolatban]]

''Mottó:''
* Az OOP nagyon class dolog.
* There are no significant bugs in our released software that any significant number of users want fixed. (Bill Gates - http://en.wikiquote.org/wiki/Bill_Gates)
* - Mit mond a hallgató, amikor megkapja a szoftvertechnológia vizsgalapot? - OMG UML!
* "Ami a vizsga nehezseget illeti: alig fejezodott be a vizsgaidoszak, es maris felulemelkedik a "multbeli" nehezsegen, belatja, hogy a vizsganak komoly szerepe volt a tudasanak megszerzeseben. Ez igy van rendjen. A velt kellemetlenseg elhalvanyul idovel, a tudas megmarad."
* "A targyban szerzett ismeretek reven lassan bekerul abba a profi tarsasagba, amit "informatikusok"-nak is szoktak nevezni. Van sajat nyelvunk, fogalomrendszerunk, felszavakbol megertjuk egymast."

=== Fun Page ===
[[SzofttechFunPage]]

[[Category:Infoalap]]

Analízis II.

2013-05-30T15:32:11Z

Naitodai: /* Összefoglalók */

{{Tantárgy
|nev=Analízis 2 informatikusoknak
|targykod=TE90AX05
|szak=info
|kredit=7
|felev=2
|kereszt=van
|tanszék= TTK Analízis Tanszék
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db
|hf= nincs
|vizsga=írásbeli
|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90AX05/
|targyhonlap=http://www.math.bme.hu/~mweiner/anal2/
|levlista=anal2{{kukac}}sch.bme.hu }}

A tárgy témája '''differenciálegyenletek, sorok, többváltozós függvények, komplex függvénytan'''. Az egyik legfontosabb tárgy a második félévben. A legtöbb kreditet éri, tehát sokat húz az ösztöndíjátlagon is.

==Követelmények==

=== Előtanulmányi rend ===
[[Analízis I.|Analízis 1.]] tárgyból kredit megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez.

=== A szorgalmi időszakban ===
*Az '''aláírás''' feltételei:
**A '''gyakorlatok''' legalább 70%-án való részvétel.
**'''Két ZH''' sikeres (egyenként min. 30%, ill. összesen min. 40%) megírása.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A két ZH-ból csak az egyik pótolható, egyszer félév közben, egyszer a pótlási héten (különeljárási díj fejében). Ha egyik ZH sem sikerül elsőre, bukod a tárgyat.
*'''Elővizsga''': nincs.
*''[http://math.bme.hu/~tasnadi/merninf_anal_1/al%C3%A1%C3%ADr%C3%A1s%20felt%C3%A9telei.pdf Bővebben...]''

===A vizsgaidőszakban ===
*'''Vizsga''': írásbeli. A sikeres vizsgához min. 40% kell. A stílusa a ZH-kéhoz hasonló, viszont nagyobb súllyal szerepel benne a 2. ZH után vett anyag. A feladatsorban ezek a *-al jelölt feladatok, melyekből külön 40%-ot is el kell érni a sikeres vizsgához.
*Előfeltétele: az aláírás megléte.

===Félévvégi jegy===
*A jegyet az összpontszám (A) alapján kapod, melybe az 1. és 2. ZH (ZHx) és a vizsga (V) eredménye számít bele a következő módon:
**<math>A=0,5*\frac{ZH_1 + ZH_2}{2}+0,5*V</math>
*A tárgy teljesítéséhez a vizsgának is sikerülnie kell, nem elég a jó ZH-eredmény!
*Ponthatárok:
:{| class="wikitable" align="center"
|-
! A !! Jegy
|-
|0 - 39 || 1
|-
|40 - 54 || 2
|-
|55 - 64 || 3
|-
|65 - 79 || 4
|-
|80 - 100 || 5
|}

*Tételsor: [http://www.math.bme.hu/~konya/anal2/egyeb/an208t.pdf tárgyhonlap] [[Media:anal2_jegyzet_2008_telelsor.pdf |(VIK Wiki mirror)]]

==Tematika==

#Differenciálegyenletek:
#*szétválasztható változójú,
#*lineáris elsőrendű,
#*magasabb rendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek
#Sorok:
#*Numerikus sorok konvergencia kritériumai
#*Hatványsorok
#*Taylor sor
#Többváltozós függvények:
#*Határérték, folytonosság
#*Differenciálhatóság, irány menti derivált, láncszabály
#*Magasabb rendű parciális deriváltak és differenciálok
#*Szélsőérték
#*Kettős és hármasintegrál kiszámítása.
#*Integrál transzformáció, Jacobi mátrix
#Komplex függvénytan:
#*Komplex függvények folytonossága, regularitása
#*Cauchy-Riemann parciális differenciálegyenletek
#*Komplex változós elemi függvények értékeinek kiszámítása
#*Komplex vonalintegrál
#*Cauchy-Goursat integráltétel és következményei
#*Reguláris komplex függvény és deriváltjainak integrál-előállításai (Cauchy integrál-formulák)

== Segédanyagok ==

===Hivatalos egyetemi jegyzetek===

*[[Media:anal2_jegyzet_2011_konya_linearis_rekurzio.pdf |Kónya Ilona: Lineáris Rekurzió]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2006_fibonacci_rekurziv_egyenlotlensegek.pdf |Gyakorló feladatok (Fibonacci sorozat és rekurzív egyenlőtlenségek)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_fritz_konya_tobbvaltozos_fuggvenyek.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Többváltozós függvények''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_tobbes_integralok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Többes integrálok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_differencialegyenletek.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Differenciálegyenletek''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_fritz_konya_fuggvenysorozatok_fuggvenysorok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Függvénysorozatok, függvénysorok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_fuggvenysorok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Függvénysorok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_frizt_konya_komplex_fuggvenytan.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Komplex függvénytan''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2002_fritz_konya_komplex_fuggvenytan_feladatok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Komplex függvénytan feladatok''']] + [[Media:anal2_jegyzet_2005_komplex_feladatok_megoldasa.pdf |néhány feladat megoldása]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2000_fritz_konya_feladatgyujtemeny.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Feladatgyűjtemény''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2010_konya_gyakorlatok.pdf |Kónya Ilona: Gyakorlatok (2010)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2009_tavasz_gyakorlatok.pdf |Gyakorlatokon bemutatott feladatok (2009)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_tasnadi_diffegy_fizikai_problemak.pdf |Tasnádi Tamás: Néhány fizikai probléma (differenciálegyenletek alkalmazása a gyakorlatban)]]

===Egyéb jegyzetek===

*[[Media:anal2_jegyzet_2008_elekes_csaba_elmelet.pdf |Elekes Csaba előadásjegyzete]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_elekes_csaba_gyakorlat.pdf |Elekes Csaba gyakorlatjegyzete]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_kristof_a_matematika_analízis_elemei_II.pdf |Kristóf János: A matematikai analízis elemei II]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_kristof_a_matematika_analízis_elemei_III.pdf |Kristóf János: A matematikai analízis elemei III]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_kalkulus_II.pdf |Lajkó Károly: Kalkulus II.]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_kalkulus_II_peldatar.pdf |Lajkó Károly: Kalkulus II. Példatár]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_differencialegyenletek.pdf |Lajkó Károly: Differenciálegyenletek]]
*[[Media:anal1_2009_mezei-faragó-simon_bev_anal.pdf | Mezei István, Faragó István, Simon Péter: Bevezetés az analízisbe]]

===Összefoglalók===

*[[Media:anal2_jegyzet_2012_varyanna_osszefoglalo.pdf |Váry Anna: Összefoglaló (2012)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_kidolgozott_tetelek.pdf |Kidolgozott tételek (2008)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_osszefoglalo.pdf |Összefoglaló(2008)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2001_taylorpolinom.doc |Taylor-polinom összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_galik_differencialegyenletek.pdf |Galik Zsófia: Differenciálegyenletek]]
*[[Media:Anal2_jegyzet_diffegyenlet_masodrendu.pdf | Másodrendű differenciálegyenletek]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_iranymenti derivalt.jpg |Iránymenti derivált összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_tobbvaltozos_fuggvenyek_abrazolasa.pdf |Többváltozós függvények ábrázolása]]
*[[Media:Matek3 Komplexösszefoglaló.pdf |Visontay Péter: Komplex függvénytan összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_komplex_fuggvenytan.pdf |Komplex függvénytan gyakorlatjegyzet]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2010_fuggvenytranszformaciok.pdf |Függvénytranszformációk]]
*[[Media:anal1_derivalttablazat.png | '''Deriválttáblázat''']]

=== Sablonok ===

*[[Media:anal2_vizsgasablon_2012.docx | Vizsga/Zárthelyi sablon]]

==Számonkérések==

=== 1. zárthelyi ===

*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20121015.pdf | ZH]] + [[Media:Anal2_zh1_20121015_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1p_20121027.pdf | pótZH]] + [[Media:Anal2_zh1p_20121027_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1pp_20121210.pdf | pótpótZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20130314_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:Anal2_zh1_20130314_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1_20130314_B.pdf | ZH (B)]] + [[Media:Anal2_zh1_20130314_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1p_20130328_B_megoldassal.pdf | pótZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_ppzh1.pdf | pótpótZH (A)]] + [[Media:anal2_ppzh1_megold.pdf | megoldás]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1p_20111105_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20120308_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1_20120308_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20120322_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20101013_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20101029_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20110310_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20110324_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20091005_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20091014_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1pp_20091217.pdf | pótpótZH]] + [[Media:anal2_zh1pp_20091217_megoldas.pdf |megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20100311_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:anal2_zh1_20100311_A_megoldas.pdf |megoldás]]
***[[Media:anal2_zh1_20100311_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20100401_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2008/2009
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20090316_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20090327_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2007/2008
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20080319_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2006/2007
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20070322_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20070504_B_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2005/2006
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20060316_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20050317_A.gif | ZH (A)]]
***[[Media:anal2_zh1_20050317_B_megoldassal.pdf |ZH (B) megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20040311_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20040505.jpg | pótZH megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20030313_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1_20030313_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]

*2001/2012
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20020314_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20010307_A.pdf | ZH]]

*1997/1998
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_19980319.pdf | ZH]]
***[[Media:anal2_zh1p_19980515.pdf | pótZH]]

*1996/1997
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1p_19970521.pdf | pótZH]]

=== 2. zárthelyi ===

*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20121119.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh2_20121119_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2p_20121130.pdf | pótZH]] + [[Media:anal2_zh2p_20121130_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20121210.pdf | pótpótZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20130425.pdf | ZH(A)]] + [[Media:anal2_zh2_20120425_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_pzh2.pdf | pótZH(A)]] + [[Media:anal2_pzh2_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_ppzh2.pdf | pótpótZH(A)]] + [[Media:anal2_ppzh2_megold.pdf | megoldás]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20111117_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20111201_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20120412_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20120412_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20120503_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20101110_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20101122_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20101213_megoldassal.pdf | pótpótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20110414_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20110505_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20091109_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20091123_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20091217.pdf | pótpótZH]] + [[Media:anal2_zh2pp_20091217_megoldas.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20100415_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:anal2_zh2_20100415_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2_20100415_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20100429_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2008/2009
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20081121_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20081205_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2007/2008
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20080416_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2006/2007
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2pp_20061219.jpg | pótpótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20070419_AB.pdf | ZH (A-B)]]
***[[Media:anal2_zh2_20070419_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20070504_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2005/2006
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20060420_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20060420_C_megoldassal.pdf | ZH (C) megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20050421_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20040415_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20040505_A.jpg | pótZH (A)]]
***[[Media:anal2_zh2p_200405_B_megoldassal.pdf | pótZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20040603.jpg | pótpótZH megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20030417_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20030605_megoldassal.pdf | pótpótZH megoldással]]

*2001/2002
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20020418_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20020418_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20010419_B.pdf | ZH]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20010509_A.jpg | pótpótZH]]

*1997/1998
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_19980423.pdf | ZH]]

=== Vizsga ===

*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20121227.pdf | December 27.]] + [[Media:anal2_vizsga_20121227_megoldas_1B.pdf | 1B feladat megoldása]]
***[[Media:anal2_vizsga_20130107.pdf | Január 7.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20130114.pdf | Január 14.]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20111219_megoldassal.pdf | December 19. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120102_megoldassal.pdf | Január 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120109_megoldassal.pdf | Január 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120116_megoldassal.pdf | Január 16. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20120524_megoldassal.pdf | Május 24. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120531_megoldassal.pdf | Május 31. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120607_megoldassal.pdf | Június 7. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120614_megoldassal.pdf | Június 14. megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20110103_megoldassal.pdf | Január 3. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110110_megoldassal.pdf | Január 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110117_megoldassal.pdf | Január 17. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20110526_megoldassal.pdf | Május 26. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110602_megoldassal.pdf | Június 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110609_megoldassal.pdf | Június 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110616_megoldassal.pdf | Június 16. megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20100104.pdf | Január 4.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100104_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100111.pdf | Január 11.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100111_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100118.pdf | Január 18.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100118_megoldas.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20100527_megoldassal.pdf | Május 27. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100603_megoldassal.pdf | Június 3. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100610_B_megoldassal.pdf | Június 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100617_megoldassal.pdf | Június 17. megoldással]]

*2008/2009
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20090107_megoldassal.pdf | Január 7. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090114_megoldassal.pdf | Január 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090128_megoldassal.doc | December 28. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20090528_B_megoldassal.pdf | Május 28. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090604_megoldassal.pdf | Június 4. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090611_megoldassal.pdf | Június 11. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090618_megoldassal.pdf | Június 18. megoldással]]

*2007/2008
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20080109.jpg | Január 9.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080123.jpg | Január 23.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20080529_A_megoldassal.pdf | Május 29. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080605_megoldassal.pdf | Június 5. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080612_megoldassal_silany.pdf | Június 12. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080619.jpeg | Június 19.]]

*2006/2007
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20070103.jpg | Január 3.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070110_megoldassal.pdf | Január 10. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20070531_A.pdf | Május 31. A]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070531_B.gif | Május 31. B]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070607_B.jpg | Június 7.]] + [[Media:anal2_vizsga_20070607_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070614_A_megoldassal.pdf | Június 14. A megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070614_B_megoldassal.pdf | Június 14. B megoldással]]

*2005/2006
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20060102.jpg | Január 2.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060119.pdf | Január 19.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20060601_AB_megoldassal.pdf | Június 1. AB megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060601_C_megoldassal.pdf | Június 1. C megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060608_B_megoldassal.pdf | Június 8. B megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060608_C_megoldassal.pdf | Június 8. C megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060615_megoldassal.pdf | Június 15 megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20050526_megoldassal.pdf | Május 26. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20050609_megoldassal.pdf | Június 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20050623_megoldassal.pdf | Június 23. megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20040520_megoldassal.pdf | Május 20. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040603.jpg | Június 3.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040610_megoldassal.pdf | Június 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040617_megoldassal.pdf | Június 17. megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20030522_megoldassal.pdf | Május 22. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030605_megoldassal.pdf | Június 5. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030612_megoldassal.pdf | Júnis 12. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030619_megoldassal.pdf | Júnis 19. megoldással]]

*2001/2002
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20020606_megoldassal.pdf | Június 6. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20020620.pdf | Június 20.]] + [[Media:anal2_vizsga_20020620_megoldassal.pdf | megoldás]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20010518_A_I.pdf | Május 18. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010518_A_II.pdf | Május 18. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_A_I.pdf | Június 7. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_A_II.pdf | Június 7. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_B_II.pdf | Június 7. B II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010614_A_II.pdf | Június 14. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010614_B_II.pdf | Június 14. B II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_A_I.pdf | Június 18. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_A_II.pdf | Június 18. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_B_I.pdf | Június 18. B I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_B_II.pdf | Június 18. B II.]]

*1999/2000
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20000524_B.pdf | Május 24.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000606_B.pdf | Június 6.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000613_B.pdf | Június 13.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000619_A.pdf | Június 19.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000620_B.pdf | Június 20.]]

==Idegennyelvű kurzusok==



=== Angol ''(Course in English)'' ===

[[Media:anal2_jegyzet_2002_angol_laurent.pdf | Laurent series]]

=== Német ===

''A német nyelvű képzéshez kapcsolódó anyagokat keresd a [http://nemet.sch.bme.hu/ Német Seite]-on.''

== Tippek ==

*A hivatalos jegyzetből érdemes az elméletet elsajátítani, a legtöbb helyen részletes és érthető.
*A felkészüléshez elengedhetetlen, hogy gyakorlottan oldjunk meg feladatokat. Feladatokat megoldással a gyakorlati jegyzetben találunk, de érdemes a régebbi ZH-kat, vizsgákat is átnézni. (Figyeljünk, hogy a dolgozatok tematikája évről-évre változik.)
*Amennyiben az aktuális szabályzat engedi, ne feledjétek elvinni a számonkérésekre a [[Media:Anal1_derivalttablazat.png |deriválttáblázatot]].

== Verseny ==

*[http://verseny.vik.hk/versenyek/olvas/6?v=Matematika BME Matematika Verseny]

== Kapcsolódó tárgyak ==
*Előkövetelmény
**[[Analízis I.]]
*Közvetlenül ráépül
**[[Jelek és rendszerek]]
*Érdeklődőknek
**[[A többváltozós analízis mérnöki alkalmazásai]] tárgyat párhuzamosan ajánlott felvenni.
**A [[Haladó Analízis]] tárgyat az [[Analízis II.]] elvégzése után érdemes felvenni.
**[[A differenciálegyenletek és a vektoranalízis mérnöki alkalmazásai 1]] tárgyat az [[Analízis II.]] elvégzése után érdemes felvenni.
*Hasonló tematikájú villanyos tárgyak
**[[Matematika A2a - Vektorfüggvények]]
**[[Matematika A3 Villamosmérnököknek]]

== Ajánlott oldalak ==
*'''Előadók oldalai:'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~tasnadi/ Tasnádi Tamás]'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~reffyj/ Réffy Júlia]'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~pataki/ Pataki Gergely]'''
**''[http://www.math.bme.hu/~mweiner/anal2/ Weiner Mihály keresztfélév]''
**''[http://www.math.bme.hu/~konya/anal2/ Kónya Ilona archív]''
*Jegyzetek, segédanyagok:
**[http://www.mateking.hu/ Matematika érthetően - egy egészen új statisztika és a matek tanulás]
**[http://wps.aw.com/aw_thomas_calculus_11/29/7661/1961403.cw/content/index.html Calculus Resources for Students ''(Thomas' Calculus)'']
**[http://www.cs.elte.hu/~krja/ Kristóf János jegyzetei]
**[http://www.math.unideb.hu/~lajko/ Lajkó Károly jegyzetei]
**[http://www.trillia.com/products.html Mathematical Analysis by Elias Zakon]
*Segédprogramok:
**'''[http://www.wolframalpha.com/ WolframAplha - függvények ábrázolása, deriválása, integrálása, határérték-számolás, stb.]'''
**[http://www.wolfram.com/ Wolfram Research - a Mathematica alkalmazás fejlesztője]
*Konzultációs oldalak:
**'''[http://konzultacio.sch.bme.hu/ Villanykari Konzi Site]'''
**[http://www.math.bme.hu/~mmm/ Matematika Konzultációs Központ]

== Kedvcsináló ==

{{Idézet|idézet="Ki találta ki ezt a feladatot? Biztos válófélben van, otthagyták a gyerekei, utálják a szomszédai, a felesége, meg mindenki. De lehet, hogy javító, mert ezt úgysem tudja senki megoldani, és már ki is van javítva a feladat."|forrás=Kónya Ilona}}

[[Kategória:Infoalap]]

Fájl:Anal2 jegyzet diffegyenlet masodrendu.pdf

2013-05-30T15:23:56Z

Naitodai: Naitodai feltöltötte a(z) „Fájl:Anal2 jegyzet diffegyenlet masodrendu.pdf” fájl új változatát: Algoritmus szerű tutorial, másodrendű diffegyenletekhez. Forrás: http://www.math.bme.hu/~belab/

MsUpload

Fájl:Anal2 jegyzet diffegyenlet masodrendu.pdf

2013-05-30T15:21:10Z

Naitodai: MsUpload

MsUpload