VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Rendszerelmélet

2019-03-28T09:49:05Z

Nagy Vilmos: /* 1. ZH */

{{Tantárgy
| név = Rendszerelmélet
| tárgykód = VIHVAB00
| szak = info
| kredit = 4
| félév = 3
| kereszt =
| tanszék = HVT
| jelenlét =
| minmunka =
| labor = nincs
| kiszh = nincs
| nagyzh = 2 db
| hf = 3 db
| vizsga = nincs
| levlista =
| tad = https://portal.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VIHVAB00
| tárgyhonlap = https://fourier.hvt.bme.hu/course/view.php?id=3
| facebook = https://www.facebook.com/groups/226001051213157/
}}

A tantárgy célja, hogy a hallgatót megismertesse a jel- és rendszerelmélet legfontosabb fogalmaival, összefüggéseivel és matematikai eszköztárával. A tananyag gerincét a folytonos és diszkrét idejű, lineáris, invariáns rendszerek analízise alkotja, amelynek módszereit az idő-, a frekvencia- és a komplex frekvencia-tartományban tárgyaljuk. A tárgy a régi tantervben szereplő [[Jelek és rendszerek]] utódja, emellett a [[Szabályozástechnika (info) | Szabályozástechnika]] is ide került beolvasztásra, de csak a számonkérések után kerül elő.

== Követelmények ==
'''Előtanulmányi rend: ''' [[Analízis II. | Analízis 2]] tárgyból kredit megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez.

A félév során két darab nagy zárthelyi és 3 darab házi feladat van. A félévközi jegy a két zárthelyi és a két legjobb házi feladat pontszámának összegéből alakul ki. Mindkét zárthelyi 50 pontos és 90 percig tart, míg a házi feladatok 10 pont értékűek. Az egyes számonkérések esetében nincsen minimális ponthatár, a végső jegy számításánál csak az összpontszám számít.

*Ponthatárok:
:{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 110px; height: 40px;"
!Pont!!Jegy
|-
|0 - 58|| 1
|-
|59 - 71|| 2
|-
|72 - 84|| 3
|-
|85 - 97|| 4
|-
|98 - 120|| 5
|}

== Segédanyagok ==

* A tantárgy portálján megtalálhatók az előadások kézzel írt jegyzetei, diasorai, gyakorlatok feladati és megoldásai, néhány korábbi év ZH feladatsorai megoldásokkal.
* Segédanyagok a tárgyhonlapról (2017)
** [[Media:relm_fourier_keplettar1_2017.pdf| Segédlet 1. (Fourier-sor képlettár 1)]]
** [[Media:relm_fourier_keplettar2_2017.pdf| Segédlet 2. (Fourier-sor képlettár 2)]]
** [[Media:JR-gyak-2010.pdf| Segédlet 3. (Jelek és rendszerek példatár 2010)]]
** [[Media:JR-gyak-2011.pdf| Segédlet 4. (Jelek és rendszerek példatár 2011)]]
** [[Media:relm_keplettar_2017.pdf | Segédlet 5. (Rendszerelmélet képlettár és útmutató 2017)]]
* Popovics Csaba 2017-es előadásjegyzetei (néhány hét kivételével)
** [[Media:reelm_jegyzet_eloadas_2017_Popovics-Csaba.pdf|Előadások]]
** [[Media:reelm_jegyzet_gyakorlat_2017_Popovics-Csaba.pdf|Gyakorlatok]]
* Jelek és rendszerek tankönyv: Ez még e tárgy elődjének a könyve, igen hasznos tud lenni, ha az ember nem ért néhány dolgot, de már sok olyan részt is tartalmaz, amely már nem része a tárgynak, azokat elég csak átugrani.
** [[Media:Relm_konyv_0tartalom.pdf | 0. fejezet]] - Tartalomjegyzék
** [[Media:Relm_konyv_1.pdf | 1. fejezet]] - Alapfogalmak
** [[Media:Relm_konyv_2.pdf | 2. fejezet]] - Analízis időtartományban
** [[Media:Relm_konyv_3.pdf | 3. fejezet]] - Analízis frekvenciatartományban
** [[Media:Relm_konyv_4.pdf | 4. fejezet]] - Analízis komplex frekvenciatartományban
** [[Media:Relm_konyv_5.pdf | 5. fejezet]] - A MATLAB néhány alkalmazása
** [[Media:Relm_konyv_0targymutato.pdf | 6. fejezet]] - Tárgymutató
* Egyéb
** [https://www.khanacademy.org/science/electrical-engineering KhanAcademy] '''Interaktív oktató videók találhatóak ezen oldalon, sajnos még csak angolul.'''
** [https://youtu.be/spUNpyF58BY A Fourier-transzformáció létjogosultságának magyarázata] (angol nyelven, néhány magyar felirattal)

== Házi ==
A félév során 3 házi feladatot lehet elkészíteni, melyek közül a két legjobb számít bele az érdemjegybe. Erősen ajánlott, hogy az első 2 házit csináljátok meg, később nagyon fogtok örülni annak a +15-20 pontnak!

Jófejségből a félév végére annyit variálnak, hogy 3. házi pontszámának a felét is hozzáadják még a végeredményhez, de persze semmi garancia nincs arra, hogy ezt minden félévben megteszik.

Popovics Csaba HF kidolgozásai (néhány feladattal):
* Első házi:
** [[Media:reelm_hf1_f1-4_megoldas.pdf|1-4 feladat]]
** [[Media:reelm_hf1_f5-12_megoldas.pdf|5-12 feladat]]
** [[Media:reelm_hf1_f1-12_megoldas-javitasok.pdf|Az előző két doksiban lévő hibák javítása]]
* [[Media:reelm_hf2_megoldas.pdf|Második házi]]
* [[Media:reelm_hf3_megoldas.pdf|Harmadik házi]]

{{Rejtett|mutatott='''Régi típusú házi feladatok megoldásai'''|szöveg=
*Pár korábbi házi:
**Első:
***[[Media:Jelek_elsohazi_megoldas.pdf | Első házi megoldás]] csak egy mintamegoldás - van benne egy elvi hiba! - 1.2.3 feladat diszkrét időben teljesen rossz. /JR Gyakvez/
***[[Media:jelek_hf1_megoldas.pdf | Első házi megoldás]] Egy 10 pontos első házi ( de 1.2.c.DI-nél van valami hiba).
***[[Media:jelek_hf1.pdf | Első házi megoldás]] Szintén egy 10 pontos mintamegoldás.
***[[Media:jelek_hf1_140523.pdf | Első házi megoldás]] - 10 pontos
**Második:
***[[Media:jelek_hf2_2.pdf | Második házi megoldás]] Csak az a,b,c feladatok megoldásai vannak benne (7.6 pontos házi). Az "a" részben 3. oldalon el van rontva a determináns. A kedves feltöltő kolléga nem tud parciálisan integrálni. Az 5. oldal tetején a megmaradó integrált kivonni kell, nem hozzáadni. Így a végén (cx - 1) lesz a számlálóban az egyik tag. Ezt a hibát az író bravúrosan korrigálja egy, a semmiből mágikusan előbukkanó -1-es szorzóval az oldal alján. 2B rész DI feladatában hibásan van kiemelve a szumma elől a 4, "4*e^(-j*p*pi/3*x)"-et kellene helyette írni.
***[[Media:jelek_hf2_140523.pdf | Második házi megoldás]] - 10 pontos
***[[Media:Jelek_HF2_20140525.pdf | Második házi megoldás]] - 10 pontos - Az 5. oldal alján H(e^(j*pi/3)) végeredményében az e kitevője nem j4.0786, hanem -j2.20456.
**Harmadik:
***[[Media:Jelek_HF3_20140525.pdf | Harmadik házi megoldás]] - 9 pontos. A második feladatot nem kellett megcsinálni (2013/14/II.)
***[[Media:jelek_hf3_20140515.zip | Harmadik házi megoldás]] - 10 pontos. A második feladatot nem kellett megcsinálni (2013/14/II.)
}}

== 1. ZH ==
[[Media:reelm_osszefoglalo_zh1_2017.pdf|Elméleti összefoglaló az 1. ZH-hoz]] (Nem teljes/pontos!)

* [[Media:relm_2018_osz_zh1_javitokulcs.pdf|2018. 10. 15. 1. ZH megoldókulcs]]
{{Rejtett|mutatott='''Valszeg elgépelt megoldások javítása: 2018. 10. 15. 1. ZH'''|szöveg=
* 1. feladat:
** e részben y[k] = [-400/9*(0.8)^k - 400/9*(0.2)^k + 765/9*(0.5)^k]*UnitStep[k]
}}

* 2017.04.06. [[Media:rendszerelmelet_zh1_20170406_megold.pdf | Megoldással ]]
* 2015.11.06 [[Media:jelek-a.jpg | A csoport]] - [[Media:Rendszerelmelet-zh1-2015-11-06-b.jpg | B csoport]] - megoldás nélkül

== 2. ZH ==
[[Media:reelm_osszefoglalo_zh2_2017.pdf|Elméleti összefoglaló az 2. ZH-hoz]] (Nem teljes/pontos!)

* 2015.12.07. [[Media:Rendszerelmelet_zh2_20151207_a.pdf | A csoport]] - [[Media:Rendszerelmelet_zh2_20151207_b.pdf | B csoport]] - megoldás nélkül

== Tippek ==
A hivatalos konzira érdemes elmenni, ZH-n nagyon hasonlóak szoktak lenni a nagyfeladatok.

{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}

Rendszerelmélet

2019-03-28T09:48:37Z

Nagy Vilmos: /* 1. ZH */ -> 2018. őszi ZH megoldókulcsból hibás megoldások felsorolása

{{Tantárgy
| név = Rendszerelmélet
| tárgykód = VIHVAB00
| szak = info
| kredit = 4
| félév = 3
| kereszt =
| tanszék = HVT
| jelenlét =
| minmunka =
| labor = nincs
| kiszh = nincs
| nagyzh = 2 db
| hf = 3 db
| vizsga = nincs
| levlista =
| tad = https://portal.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VIHVAB00
| tárgyhonlap = https://fourier.hvt.bme.hu/course/view.php?id=3
| facebook = https://www.facebook.com/groups/226001051213157/
}}

A tantárgy célja, hogy a hallgatót megismertesse a jel- és rendszerelmélet legfontosabb fogalmaival, összefüggéseivel és matematikai eszköztárával. A tananyag gerincét a folytonos és diszkrét idejű, lineáris, invariáns rendszerek analízise alkotja, amelynek módszereit az idő-, a frekvencia- és a komplex frekvencia-tartományban tárgyaljuk. A tárgy a régi tantervben szereplő [[Jelek és rendszerek]] utódja, emellett a [[Szabályozástechnika (info) | Szabályozástechnika]] is ide került beolvasztásra, de csak a számonkérések után kerül elő.

== Követelmények ==
'''Előtanulmányi rend: ''' [[Analízis II. | Analízis 2]] tárgyból kredit megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez.

A félév során két darab nagy zárthelyi és 3 darab házi feladat van. A félévközi jegy a két zárthelyi és a két legjobb házi feladat pontszámának összegéből alakul ki. Mindkét zárthelyi 50 pontos és 90 percig tart, míg a házi feladatok 10 pont értékűek. Az egyes számonkérések esetében nincsen minimális ponthatár, a végső jegy számításánál csak az összpontszám számít.

*Ponthatárok:
:{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 110px; height: 40px;"
!Pont!!Jegy
|-
|0 - 58|| 1
|-
|59 - 71|| 2
|-
|72 - 84|| 3
|-
|85 - 97|| 4
|-
|98 - 120|| 5
|}

== Segédanyagok ==

* A tantárgy portálján megtalálhatók az előadások kézzel írt jegyzetei, diasorai, gyakorlatok feladati és megoldásai, néhány korábbi év ZH feladatsorai megoldásokkal.
* Segédanyagok a tárgyhonlapról (2017)
** [[Media:relm_fourier_keplettar1_2017.pdf| Segédlet 1. (Fourier-sor képlettár 1)]]
** [[Media:relm_fourier_keplettar2_2017.pdf| Segédlet 2. (Fourier-sor képlettár 2)]]
** [[Media:JR-gyak-2010.pdf| Segédlet 3. (Jelek és rendszerek példatár 2010)]]
** [[Media:JR-gyak-2011.pdf| Segédlet 4. (Jelek és rendszerek példatár 2011)]]
** [[Media:relm_keplettar_2017.pdf | Segédlet 5. (Rendszerelmélet képlettár és útmutató 2017)]]
* Popovics Csaba 2017-es előadásjegyzetei (néhány hét kivételével)
** [[Media:reelm_jegyzet_eloadas_2017_Popovics-Csaba.pdf|Előadások]]
** [[Media:reelm_jegyzet_gyakorlat_2017_Popovics-Csaba.pdf|Gyakorlatok]]
* Jelek és rendszerek tankönyv: Ez még e tárgy elődjének a könyve, igen hasznos tud lenni, ha az ember nem ért néhány dolgot, de már sok olyan részt is tartalmaz, amely már nem része a tárgynak, azokat elég csak átugrani.
** [[Media:Relm_konyv_0tartalom.pdf | 0. fejezet]] - Tartalomjegyzék
** [[Media:Relm_konyv_1.pdf | 1. fejezet]] - Alapfogalmak
** [[Media:Relm_konyv_2.pdf | 2. fejezet]] - Analízis időtartományban
** [[Media:Relm_konyv_3.pdf | 3. fejezet]] - Analízis frekvenciatartományban
** [[Media:Relm_konyv_4.pdf | 4. fejezet]] - Analízis komplex frekvenciatartományban
** [[Media:Relm_konyv_5.pdf | 5. fejezet]] - A MATLAB néhány alkalmazása
** [[Media:Relm_konyv_0targymutato.pdf | 6. fejezet]] - Tárgymutató
* Egyéb
** [https://www.khanacademy.org/science/electrical-engineering KhanAcademy] '''Interaktív oktató videók találhatóak ezen oldalon, sajnos még csak angolul.'''
** [https://youtu.be/spUNpyF58BY A Fourier-transzformáció létjogosultságának magyarázata] (angol nyelven, néhány magyar felirattal)

== Házi ==
A félév során 3 házi feladatot lehet elkészíteni, melyek közül a két legjobb számít bele az érdemjegybe. Erősen ajánlott, hogy az első 2 házit csináljátok meg, később nagyon fogtok örülni annak a +15-20 pontnak!

Jófejségből a félév végére annyit variálnak, hogy 3. házi pontszámának a felét is hozzáadják még a végeredményhez, de persze semmi garancia nincs arra, hogy ezt minden félévben megteszik.

Popovics Csaba HF kidolgozásai (néhány feladattal):
* Első házi:
** [[Media:reelm_hf1_f1-4_megoldas.pdf|1-4 feladat]]
** [[Media:reelm_hf1_f5-12_megoldas.pdf|5-12 feladat]]
** [[Media:reelm_hf1_f1-12_megoldas-javitasok.pdf|Az előző két doksiban lévő hibák javítása]]
* [[Media:reelm_hf2_megoldas.pdf|Második házi]]
* [[Media:reelm_hf3_megoldas.pdf|Harmadik házi]]

{{Rejtett|mutatott='''Régi típusú házi feladatok megoldásai'''|szöveg=
*Pár korábbi házi:
**Első:
***[[Media:Jelek_elsohazi_megoldas.pdf | Első házi megoldás]] csak egy mintamegoldás - van benne egy elvi hiba! - 1.2.3 feladat diszkrét időben teljesen rossz. /JR Gyakvez/
***[[Media:jelek_hf1_megoldas.pdf | Első házi megoldás]] Egy 10 pontos első házi ( de 1.2.c.DI-nél van valami hiba).
***[[Media:jelek_hf1.pdf | Első házi megoldás]] Szintén egy 10 pontos mintamegoldás.
***[[Media:jelek_hf1_140523.pdf | Első házi megoldás]] - 10 pontos
**Második:
***[[Media:jelek_hf2_2.pdf | Második házi megoldás]] Csak az a,b,c feladatok megoldásai vannak benne (7.6 pontos házi). Az "a" részben 3. oldalon el van rontva a determináns. A kedves feltöltő kolléga nem tud parciálisan integrálni. Az 5. oldal tetején a megmaradó integrált kivonni kell, nem hozzáadni. Így a végén (cx - 1) lesz a számlálóban az egyik tag. Ezt a hibát az író bravúrosan korrigálja egy, a semmiből mágikusan előbukkanó -1-es szorzóval az oldal alján. 2B rész DI feladatában hibásan van kiemelve a szumma elől a 4, "4*e^(-j*p*pi/3*x)"-et kellene helyette írni.
***[[Media:jelek_hf2_140523.pdf | Második házi megoldás]] - 10 pontos
***[[Media:Jelek_HF2_20140525.pdf | Második házi megoldás]] - 10 pontos - Az 5. oldal alján H(e^(j*pi/3)) végeredményében az e kitevője nem j4.0786, hanem -j2.20456.
**Harmadik:
***[[Media:Jelek_HF3_20140525.pdf | Harmadik házi megoldás]] - 9 pontos. A második feladatot nem kellett megcsinálni (2013/14/II.)
***[[Media:jelek_hf3_20140515.zip | Harmadik házi megoldás]] - 10 pontos. A második feladatot nem kellett megcsinálni (2013/14/II.)
}}

== 1. ZH ==
[[Media:reelm_osszefoglalo_zh1_2017.pdf|Elméleti összefoglaló az 1. ZH-hoz]] (Nem teljes/pontos!)

* [[Media:relm_2018_osz_zh1_javitokulcs.pdf|2018. 10. 15. 1. ZH megoldókulcs]]
{{Rejtett|mutatott='''Valszeg elgépelt megoldások javítása'''|szöveg=
* 1. feladat:
** e részben y[k] = [-400/9*(0.8)^k - 400/9*(0.2)^k + 765/9*(0.5)^k]*UnitStep[k]
}}
* 2017.04.06. [[Media:rendszerelmelet_zh1_20170406_megold.pdf | Megoldással ]]
* 2015.11.06 [[Media:jelek-a.jpg | A csoport]] - [[Media:Rendszerelmelet-zh1-2015-11-06-b.jpg | B csoport]] - megoldás nélkül

== 2. ZH ==
[[Media:reelm_osszefoglalo_zh2_2017.pdf|Elméleti összefoglaló az 2. ZH-hoz]] (Nem teljes/pontos!)

* 2015.12.07. [[Media:Rendszerelmelet_zh2_20151207_a.pdf | A csoport]] - [[Media:Rendszerelmelet_zh2_20151207_b.pdf | B csoport]] - megoldás nélkül

== Tippek ==
A hivatalos konzira érdemes elmenni, ZH-n nagyon hasonlóak szoktak lenni a nagyfeladatok.

{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-26T13:13:57Z

Nagy Vilmos: /* Válasz */ 4. gyak, 1. feladat

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-26T13:13:25Z

Nagy Vilmos: /* 4. gyakorlat */ 1. feladat, válasz

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-26T12:54:02Z

Nagy Vilmos: 4. gyakorlat 1. feladat

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-26T12:45:47Z

Nagy Vilmos: /* Saját értékek, Lagrange Mátrixok */ Latex mátrix elrontva

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-26T12:37:41Z

Nagy Vilmos: /* Jelek állapotváltozós leírása */ FI jelek állapotváltozós leírása képletek

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== Bevezetés ==
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

== Rendszerek ábrázolása ==
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

=== Példa ===
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

== Jelek osztályozása ==
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
 (én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k]</math>

=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (''m'', mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó. A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az ''u'', ''y'', etc. vektorokként értelmezendők

=== Idő variancia ===
A ''W'' operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

* Idő variáns rendszereket
* Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]</math>.

=== Lineáris rendszerek ===
Igaz az alábbi összefüggés:

<math>W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}</math>

=== Memória mentes, vagy memóriás ===
'''Def:''' Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a ''t'' ill. ''k'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t)</math> illetve <math>u[k]</math> értékétől függ.

=== Kauzális, vagy akauzális ===
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a <math>t_1</math> ill. <math>k_1</math> pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t), \quad t<t_1</math> illetve <math>u[k], \quad k<k_1</math> értékétől függ.

=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

=== Periodicitás ===
==== Folytonos időben ====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
==== Diszkrét időben ====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

=== Egyéb osztályozás ===
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (''megjósolható'', nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

== Jelek felírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységimpulzus =====
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

===== Példa 1 =====
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

===== Példa 2 =====
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h[k]</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

* <math>y[k] = W\left\{u[k]\right\}</math>
* <math>y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

====== Speciális esetek ======
====== Kauzális rendszer, belépő jel esetén ======
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

<math>y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i]</math>

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

===== Egységimpulzus =====
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math>
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math>

Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:
* <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math>
* <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math>

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h(t)</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:

<math>y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau</math>

A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

== Jelek állapotváltozós leírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Állapotváltozós leírás ====
Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
* <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \cdot u[k]</math>
* <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \cdot u[k]</math>

Ennek így elsőre semmi értelme, de:
* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
* és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.

Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.

Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:

* <math>x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1]</math>
* <math>x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1]</math>
* <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>

==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
Az így felírt rendszer impulzusválasza:

<math>h[k] = d \cdot \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (\underline{c} \cdot \underline{\underline{A}}^{k-1} \cdot \underline{B})</math>

===== Mátrix egyszerű hatványozása =====
Ebből az <math>\underline{\underline{A}}^{k-1}</math> kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).

Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz):
<math>\sum_{i=0}^{k} {\lambda_{i}}^k \cdot \underline{\underline{L_i}}</math>

Ahol az egyes <math>\underline{\underline{L_i}}</math>-k az ''A'' mátrix Lagrange mátrixai, míg a <math>\lambda_{i}</math>-k az ''A'' mátrix sajátértékei.

A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk:
<math>\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0</math>

Azaz:
<math>((A_{11} - \lambda) \cdot (A_{22} - \lambda)) - (A_{12} \cdot A_{21}) = 0</math>

A Lagrange mátrix pedig általánosságban:
<math>\underline{\underline{L_{i}}} = \prod_{p=1}^{N} \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_p \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_i - \lambda_p}</math>
Konkrétabban:
* <math>\underline{\underline{L_{1}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_2 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_1 - \lambda_2}</math>
* <math>\underline{\underline{L_{2}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_1 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_2 - \lambda_1}</math>

Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
Az így felírt rendszer impulzusválasza:

<math>h(t) = d \cdot \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (\underline{c} \cdot e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} \cdot \underline{B})</math>

<math>e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} = \sum_{i=1}^{N} e^{\lambda_i \cdot t} \cdot \underline{\underline{L_{i}}}</math>

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-26T12:33:56Z

Nagy Vilmos: /* Állapotváltozós leírás */ whitespace javítva a latex képletben

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-24T16:47:51Z

Nagy Vilmos: /* 3. feladat */

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-24T16:43:10Z

Nagy Vilmos: /* 3. feladat */ mátrix teszt

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-24T16:41:51Z

Nagy Vilmos: /* 3. feladat */ Mátrix ábrázolás teszt

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-24T16:41:22Z

Nagy Vilmos: /* 2-3. Gyakorlat */

Fájl:Jelek jegyzet vilmosnagy gyak 03 3 jel abra.png

2017-09-24T16:34:35Z

Nagy Vilmos: File uploaded with MsUpload

File uploaded with MsUpload

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-24T16:18:55Z

Nagy Vilmos: /* Diszkrét idejű jelek esetén */ Harmadik előadás anyaga

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== Bevezetés ==
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

== Rendszerek ábrázolása ==
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

=== Példa ===
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

== Jelek osztályozása ==
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
 (én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k]</math>

=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (''m'', mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó. A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az ''u'', ''y'', etc. vektorokként értelmezendők

=== Idő variancia ===
A ''W'' operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

* Idő variáns rendszereket
* Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]</math>.

=== Lineáris rendszerek ===
Igaz az alábbi összefüggés:

<math>W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}</math>

=== Memória mentes, vagy memóriás ===
'''Def:''' Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a ''t'' ill. ''k'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t)</math> illetve <math>u[k]</math> értékétől függ.

=== Kauzális, vagy akauzális ===
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a <math>t_1</math> ill. <math>k_1</math> pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t), \quad t<t_1</math> illetve <math>u[k], \quad k<k_1</math> értékétől függ.

=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

=== Periodicitás ===
==== Folytonos időben ====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
==== Diszkrét időben ====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

=== Egyéb osztályozás ===
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (''megjósolható'', nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

== Jelek felírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységimpulzus =====
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

===== Példa 1 =====
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

===== Példa 2 =====
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h[k]</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

* <math>y[k] = W\left\{u[k]\right\}</math>
* <math>y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

====== Speciális esetek ======
====== Kauzális rendszer, belépő jel esetén ======
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

<math>y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i]</math>

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

===== Egységimpulzus =====
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math>
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math>

Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:
* <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math>
* <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math>

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h(t)</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:

<math>y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau</math>

A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

== Jelek állapotváltozós leírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Állapotváltozós leírás ====
Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
* <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \ cdot u[k]</math>
* <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \ cdot u[k]</math>

Ennek így elsőre semmi értelme, de:
* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
* és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.

Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.

Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:

* <math>x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1]</math>
* <math>x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1]</math>
* <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>

==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
Az így felírt rendszer impulzusválasza:

<math>h[k] = d \cdot \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (\underline{c} \cdot \underline{\underline{A}}^{k-1} \cdot \underline{B})</math>

===== Mátrix egyszerű hatványozása =====
Ebből az <math>\underline{\underline{A}}^{k-1}</math> kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).

Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz):
<math>\sum_{i=0}^{k} {\lambda_{i}}^k \cdot \underline{\underline{L_i}}</math>

Ahol az egyes <math>\underline{\underline{L_i}}</math>-k az ''A'' mátrix Lagrange mátrixai, míg a <math>\lambda_{i}</math>-k az ''A'' mátrix sajátértékei.

A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk:
<math>\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0</math>

Azaz:
<math>((A_{11} - \lambda) \cdot (A_{22} - \lambda)) - (A_{12} \cdot A_{21}) = 0</math>

A Lagrange mátrix pedig általánosságban:
<math>\underline{\underline{L_{i}}} = \prod_{p=1}^{N} \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_p \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_i - \lambda_p}</math>
Konkrétabban:
* <math>\underline{\underline{L_{1}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_2 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_1 - \lambda_2}</math>
* <math>\underline{\underline{L_{2}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_1 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_2 - \lambda_1}</math>

Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-24T15:50:51Z

Nagy Vilmos: /* Jelek állapotváltozós leírása */ DI rendszer Latex teszt

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== Bevezetés ==
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

== Rendszerek ábrázolása ==
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

=== Példa ===
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

== Jelek osztályozása ==
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
 (én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k]</math>

=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (''m'', mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó. A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az ''u'', ''y'', etc. vektorokként értelmezendők

=== Idő variancia ===
A ''W'' operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

* Idő variáns rendszereket
* Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]</math>.

=== Lineáris rendszerek ===
Igaz az alábbi összefüggés:

<math>W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}</math>

=== Memória mentes, vagy memóriás ===
'''Def:''' Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a ''t'' ill. ''k'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t)</math> illetve <math>u[k]</math> értékétől függ.

=== Kauzális, vagy akauzális ===
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a <math>t_1</math> ill. <math>k_1</math> pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t), \quad t<t_1</math> illetve <math>u[k], \quad k<k_1</math> értékétől függ.

=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

=== Periodicitás ===
==== Folytonos időben ====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
==== Diszkrét időben ====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

=== Egyéb osztályozás ===
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (''megjósolható'', nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

== Jelek felírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységimpulzus =====
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

===== Példa 1 =====
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

===== Példa 2 =====
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h[k]</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

* <math>y[k] = W\left\{u[k]\right\}</math>
* <math>y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

====== Speciális esetek ======
====== Kauzális rendszer, belépő jel esetén ======
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

<math>y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i]</math>

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

===== Egységimpulzus =====
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math>
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math>

Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:
* <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math>
* <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math>

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h(t)</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:

<math>y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau</math>

A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

== Jelek állapotváltozós leírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
* <math>\vec{x[k+1]} = \vec{A} \cdot \vec{x[k]} + \vec{B} \ cdot u[k]</math>
* <math>\vec{y[k]} = \vec{C} \cdot \vec{x[k]} + \vec{D} \ cdot u[k]</math>

Ennek így elsőre semmi értelme, de:
* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
* és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.

Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.

Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:

* <math>x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1]</math>
* <math>x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1]</math>
* <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>

Kétszer kettes esetben az ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' vektorok így írhatóak fel:

* <math>A = \begin{amatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22} \\
\end{amatrix}</math>
* <math></math>
* <math></math>
* <math></math>

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-24T15:38:12Z

Nagy Vilmos: /* Jelek felírása */

Vita:Mesterséges intelligencia (régi)

2017-09-14T08:33:37Z

Nagy Vilmos: /* tárgykód változás */

Az elavult jelzőt levettem, a hf rendszer leírását frissítettem. Ha mást is hibásnak vélsz, de nincs időd javítani, írd be ide - [[Szerkesztő:Kiskoza|Koza]] ([[Szerkesztővita:Kiskoza|vita]]) 2013. december 3., 14:11 (UTC)

== tárgykód változás ==
Változott a tárgykódja a tárgynak, lásd: https://www.mit.bme.hu/oktatas/hirek/20170626-kreditszamcsokkenes-miatti-helyzet

Simán átírom az infoboxban, és megvagyunk? --[[Szerkesztő:Nagy Vilmos|Nagy Vilmos]] ([[Szerkesztővita:Nagy Vilmos|vita]]) 2017. szeptember 4., 12:16 (UTC)

: átírtam -- [[Szerkesztő:Nagy Vilmos|Nagy Vilmos]] ([[Szerkesztővita:Nagy Vilmos|vita]]) 2017. szeptember 14., 08:33 (UTC)

Mesterséges intelligencia

2017-09-14T08:32:40Z

Nagy Vilmos: Kreditszám csökkenés, és így tárgyjód változás bevezetve.

{{Tantárgy
|név=Mesterséges intelligencia
|tárgykód=VIMIAC10
|régitárgykód=VIMIAC00
|szak=info
|kredit=3
|félév=5
|kereszt=
|tanszék=MIT
|jelenlét=
|minmunka=
|labor=
|kiszh=
|nagyzh= 1
|hf= 1
|vizsga=
|levlista=
|tárgyhonlap=https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac10
}}

{{Sablon:Új tárgy|Mesterséges intelligencia (régi)}}

A tantárgy célkitűzése a mesterséges intelligencia területének rövid, ám igényes bemutatása. A felvezetés lépései: (1) az intelligens viselkedés számítási modellekkel való kifejezés problémaköre, (2) a mesterséges intelligencia formális és heurisztikus módszereinek elemzése és alkalmazása, (3) a gyakorlati megvalósítások módszerei és problémái.
A tárgy az informatikus hallgatók azokat a képességeit fejleszti, melyek révén képesek lesznek:
* tanulmányozni számítógép újszerű használatát,
* fejleszteni hatékony módszereket számítási problémák megoldására,
* megérteni számítástechnika/-tudomány technológiai / koncepcionális korlátjait
* intellektuálisan megérteni az algoritmus központi szerepét az informatikai rendszerekben.

A tárgy 2017 őszétől újabb változáson ment keresztül, ennek részletei a [https://www.mit.bme.hu/oktatas/hirek/20170626-kreditszamcsokkenes-miatti-helyzet tantárgyi oldalon] olvashatóak.

==Követelmények==

A '''félévközi jegy''' megszerzésének feltételei:
* A '''ZH''' (min. 40%) sikeres teljesítése
* A '''házi feladat''' helyes megoldása és beadása "megfelelt" minősítéssel, legalább 6 pontot kell elérni a 20-ból.
** 2016-ban három házit kellett beadni, 20 pontot kellett elérni a 45-ből

==Segédanyagok==
* [https://docs.google.com/document/d/1Iv4O0vthAugr0eIghOuKkXKTxE-BB72dlL9icwa835k/edit# Oktató által kiadott kérdések kidolgozása (2016)]
* [http://mialmanach.mit.bme.hu/ Mesterséges intelligencia könyv] | [http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0026_mi_4_4/adatok.html epub, pdf formátumok]
* [http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimia313/jegyzet Fóliák]
* [http://www.inf.u-szeged.hu/~szorenyi/MestInt/ szegedi egyetem gyakorlat honlapja]
* [[Média:MI_osszefoglalo.pdf|Összefoglaló pdf‎]]: [[MIOsszefoglalo]] kiegészítve majdnem végig a 2005/06 őszi féléves fóliáik alapján (kisebb hiányok vannak, formázásra szorul)
* Mesterséges Intelligencia könyv fejezeteinek kivonata: [[MestersegesIntelligenciaOsszefoglalo|Összefoglaló]]
* SZTE-ről jó cuccok:
** [http://www.inf.u-szeged.hu/~jelasity/mi1/2010/index.html#2 Mesterséges Intelligencia I.]
** [http://www.inf.u-szeged.hu/~ormandi/index.php?menu=teaching#ai1 gyak anyag]
* 2016-17-es közös feladatmegoldós [https://docs.google.com/document/d/1xhj6zesahmUpfHCwo_pmUgpAcikXVxil_WLGGynp8Uc/edit doksi]

===Hivatalos gyakorló feladatok:===
Ahol kifejezetten a saját példa használatát kérjük (értelemszerűen sem könyvben, sem előadáson nem szerepelt), ott a nem saját példa használata a pontszám levonásával (50%) jár.
* [[Média:Mi_gyak_vegyes.pdf|Vegyes feladatok]]
* [[Média:Mi_gyak_tanulas.pdf|Tanulásos feladatok]]
* [[Média:Mi_gyak_rezolucio.pdf|Rezolúciós feladatok]]

===Keresési algoritmusok===
{{Rejtett
|mutatott=Külön
|szöveg=
*[[Media:MI_2013_Acsillag_Kereses.pdf | A csillag (A*)]]
*[[Media:MI_2013_EgyenletesKoltsegu_Kereses.pdf | Egyenletes Költségű]]
*[[Media:MI_2013_HegyMaszo_Kereses.pdf | Hegymászó]]
*[[Media:MI_2013_IterativMelyulo_Kereses.pdf | Iteratívan Mélyülő]]
*[[Media:MI_2013_Ketiranyu_Kereses.pdf | Kétirányú]]
*[[Media:MI_2013_Melysegi_Kereses.pdf | Mélységi]]
*[[Media:MI_2013_MelysegKorlatos_Kereses.pdf | Mélységkorlátos]]
*[[Media:MI_2013_Moho_Kereses.pdf | Mohó]]
*[[Media:MI_2013_Rekurzivan_Legjobbat_Eloszor_Kereses.pdf | Rekurzívan legjobbat először (RLE)]]
*[[Media:MI_2013_Szelessegi_Kereses.pdf | Szélességi]]
}}
Egybe : [[Media:MI_2013_Keresesi_Algoritmusok_all.pdf | All in One]]

==Házi==

==ZH==

===Régi képzés ZH-k===
*2014
** ZH feladatsorok: [[Media:Mi_zh_20141104_A_4-8.pdf | A csoport (4-8. feladatat)]] | [[Media:Mi_zh_20141104_B.pdf | B csoport]]
** PZH feladatsorok: [[Media:Mi_pzh_20411202_B.pdf | B csoport]]
* 2012
** ZH (megjegyzésekkel) : [[Media:MI_ZH_2012_10_30_AB_megjegyzesek.pdf | AB csoport]]
** PZH (megjegyzésekkel) : [[Media:MI_PZH_2012_11_27_A_megjegyzesek.pdf | A csoport]] | [[Media:MI_PZH_2012_11_27_B_megjegyzesek.pdf | B csoport ]]
** PPZH feladatok : [[Media:MI_PPZH_2012_12_11_A_Feladatok.pdf | A csoport]] | [[Media:MI_PPZH_2012_12_11_B_Feladatok.pdf | B csoport]]

* 2011
** ZH megoldások : [[Media:MI_ZH_2011_AB_Megoldasok.pdf | AB csoport]]

* 2010
** ZH megoldások : [[Media:Mi_zh_2010_a_mo.pdf | A csoport]] | [[Media:Mi_zh_2010_b_mo.pdf | B csoport ]]
** PZH megoldások : [[Media:MI_PZH_2010_11_30_A_megoldasok.pdf | A csoport]] | [[Media:MI_PZH_2010_11_30_B_megoldasok.pdf | B csoport ]]

*2009
** ZH feladatsorok: [[Media:MI_ZH_2009_11_02_A_Feladatok.pdf | A csoport ]] | [[Media:MI_ZH_2009_11_02_B_Feladatok.pdf | B csoport ]] és megoldások: [[Media:MI_ZH_2009_11_02_A_Megoldasok.pdf | A csoport ]] | [[Media:MI_ZH_2009_11_02_B_Megoldasok.pdf | B csoport ]]
** PZH feladatsorok: [[Media:MI_PZH_2009_11_20_A_Feladatok.pdf | A csoport ]] | [[Media:MI_PZH_2009_11_20_B_Feladatok.pdf | B csoport ]] és megoldások: [[Media:MI_PZH_2009_11_20_A_Megoldasok.pdf | A csoport ]] | [[Media:MI_PZH_2009_11_20_B_Megoldasok.pdf | B csoport ]]

==Tippek==

==Verseny==

==Kedvcsináló==
[[MestersegesIntelligenciaKedvcsinalo|Kedvcsináló]]

{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T14:57:06Z

Nagy Vilmos: megjegyzés a hibás képletekről.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T14:55:29Z

Nagy Vilmos: /* Jelek felírása */ LTI folytonos válasz

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== Bevezetés ==
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

== Rendszerek ábrázolása ==
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

=== Példa ===
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

== Jelek osztályozása ==
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
 (én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k]</math>

=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (''m'', mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó. A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az ''u'', ''y'', etc. vektorokként értelmezendők

=== Idő variancia ===
A ''W'' operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

* Idő variáns rendszereket
* Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]</math>.

=== Lineáris rendszerek ===
Igaz az alábbi összefüggés:

<math>W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}</math>

=== Memória mentes, vagy memóriás ===
'''Def:''' Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a ''t'' ill. ''k'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t)</math> illetve <math>u[k]</math> értékétől függ.

=== Kauzális, vagy akauzális ===
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a <math>t_1</math> ill. <math>k_1</math> pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t), \quad t<t_1</math> illetve <math>u[k], \quad k<k_1</math> értékétől függ.

=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

=== Periodicitás ===
==== Folytonos időben ====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
==== Diszkrét időben ====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

=== Egyéb osztályozás ===
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (''megjósolható'', nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

== Jelek felírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységimpulzus =====
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

===== Példa 1 =====
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

===== Példa 2 =====
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h[k]</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

* <math>y[k] = W\left\{u[k]\right\}</math>
* <math>y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}</math>
* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

====== Speciális esetek ======
====== Kauzális rendszer, belépő jel esetén ======
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

<math>y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i]</math>

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

===== Egységimpulzus =====
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math>
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math>

Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:
* <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math>
* <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math>

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h(t)</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:

<math>y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau</math>

A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T14:51:52Z

Nagy Vilmos: /* Egységimpulzus */ összefüggések az egységugrás és az egységimpulzus között

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T14:48:42Z

Nagy Vilmos: /* Egységimpulzus */ tulajdonságokkal kiegészítve

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T14:45:22Z

Nagy Vilmos: Latex képletek fix, dollár jelek eltüntetve.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T14:44:14Z

Nagy Vilmos: /* Konvolúció */ Áttolgodzva, rendesen levezetve a második előadáson elhangzottak szerint.

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== Bevezetés ==
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

== Rendszerek ábrázolása ==
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

=== Példa ===
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

== Jelek osztályozása ==
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
 (én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k]</math>

=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (''m'', mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó. A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az ''u'', ''y'', etc. vektorokként értelmezendők

=== Idő variancia ===
A ''W'' operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

* Idő variáns rendszereket
* Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k] \Rightarrow W$\left\{u[k-L]\right\}$ = y[k-L]</math>.

=== Lineáris rendszerek ===
Igaz az alábbi összefüggés:

<math>W$\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\}$ = c_a \cdot W$\left\{u_a[k]\right\}$ + c_b \cdot W$\left\{u_b[k]\right\}$</math>

=== Memória mentes, vagy memóriás ===
'''Def:''' Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a ''t'' ill. ''k'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t)</math> illetve <math>u[k]</math> értékétől függ.

=== Kauzális, vagy akauzális ===
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a <math>t_1</math> ill. <math>k_1</math> pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t), \quad t<t_1</math> illetve <math>u[k], \quad k<k_1</math> értékétől függ.

=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

=== Periodicitás ===
==== Folytonos időben ====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
==== Diszkrét időben ====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

=== Egyéb osztályozás ===
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (''megjósolható'', nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

== Jelek felírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységimpulzus =====
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

===== Példa 1 =====
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

===== Példa 2 =====
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

==== LTI rendszer válasza ====
===== Nevezetes válaszok =====
* Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h[k]</math>
* Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

===== Konvolúció =====
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

* <math>y[k] = W$\left\{u[k]\right\}$</math>
* <math>y[k] = W$\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}$</math>
* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W$\left\{\delta[k-i]\right\}$</math>
* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

====== Speciális esetek ======
====== Kauzális rendszer, belépő jel esetén ======
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

<math>y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i]</math>

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

===== Egységimpulzus =====
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T12:57:03Z

Nagy Vilmos: /* Kauzális, vagy akauzális */ latex képletek javítva

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== Bevezetés ==
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

== Rendszerek ábrázolása ==
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

=== Példa ===
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

== Jelek osztályozása ==
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
 (én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k]</math>

=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (''m'', mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó. A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az ''u'', ''y'', etc. vektorokként értelmezendők

=== Idő variancia ===
A ''W'' operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

* Idő variáns rendszereket
* Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k] \Rightarrow W$\left\{u[k-L]\right\}$ = y[k-L]</math>.

=== Lineáris rendszerek ===
Igaz az alábbi összefüggés:

<math>W$\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\}$ = c_a \cdot W$\left\{u_a[k]\right\}$ + c_b \cdot W$\left\{u_b[k]\right\}$</math>

=== Memória mentes, vagy memóriás ===
'''Def:''' Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a ''t'' ill. ''k'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t)</math> illetve <math>u[k]</math> értékétől függ.

=== Kauzális, vagy akauzális ===
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a <math>t_1</math> ill. <math>k_1</math> pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t), \quad t<t_1</math> illetve <math>u[k], \quad k<k_1</math> értékétől függ.

=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

=== Periodicitás ===
==== Folytonos időben ====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
==== Diszkrét időben ====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

=== Egyéb osztályozás ===
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (''megjósolható'', nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

== Jelek felírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységimpulzus =====
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

===== Példa 1 =====
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

===== Példa 2 =====
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

==== Konvolúció ====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

===== Egységimpulzus =====
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T12:55:05Z

Nagy Vilmos: /* Jelek osztályozása */ Néhány csoportosítás definiálva.

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== Bevezetés ==
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

== Rendszerek ábrázolása ==
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

=== Példa ===
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

== Jelek osztályozása ==
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
 (én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k]</math>

=== Gerjesztések, Válaszok száma ===
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (''m'', mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó. A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az ''u'', ''y'', etc. vektorokként értelmezendők

=== Idő variancia ===
A ''W'' operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

* Idő variáns rendszereket
* Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W$\left\{u[k]\right\}$ = y[k] \Rightarrow W$\left\{u[k-L]\right\}$ = y[k-L]</math>.

=== Lineáris rendszerek ===
Igaz az alábbi összefüggés:

<math>W$\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\}$ = c_a \cdot W$\left\{u_a[k]\right\}$ + c_b \cdot W$\left\{u_b[k]\right\}$</math>

=== Memória mentes, vagy memóriás ===
'''Def:''' Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a ''t'' ill. ''k'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t)</math> illetve <math>u[k]</math> értékétől függ.

=== Kauzális, vagy akauzális ===
'''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a ''t_1'' ill. ''k_1'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t), t<t_1</math> illetve <math>u[k], k<k_1</math> értékétől függ.

=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

=== Periodicitás ===
==== Folytonos időben ====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
==== Diszkrét időben ====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

=== Egyéb osztályozás ===
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (''megjósolható'', nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

== Jelek felírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységimpulzus =====
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

===== Példa 1 =====
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

===== Példa 2 =====
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

==== Konvolúció ====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

===== Egységimpulzus =====
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-11T12:36:15Z

Nagy Vilmos: Levettem az előadások számozását, mert nem szigorúan aszerint írom a jegyzetet.

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== Bevezetés ==
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

== Rendszerek ábrázolása ==
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

=== Példa ===
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

== Jelek osztályozása ==
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

=== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ===
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

=== Periodicitás ===
==== Folytonos időben ====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
==== Diszkrét időben ====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

=== Egyéb osztályozás ===
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

== Jelek felírása ==
=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységimpulzus =====
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

===== Példa 1 =====
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

===== Példa 2 =====
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

==== Konvolúció ====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

=== Folytonos idejű jelek esetén ===
==== Speciális jelek ====
===== Egységugrás =====
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

===== Egységimpulzus =====
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-06T10:44:15Z

Nagy Vilmos: /* Egyéb osztályozás */ tengely info javítva

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== 1. előadás - Bevezetés ==
=== Bevezetés ===
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

=== Rendszerek ábrázolása ===
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

==== Példa ====
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

=== Jelek osztályozása ===
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

==== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ====
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

==== Periodicitás ====
===== Folytonos időben =====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
===== Diszkrét időben =====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

==== Egyéb osztályozás ====
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''y'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

=== Jelek felírása ===
==== Diszkrét idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységimpulzus ======
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

====== Példa 1 ======
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

====== Példa 2 ======
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

===== Konvolúció =====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

==== Folytonos idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

====== Egységimpulzus ======
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-06T10:43:12Z

Nagy Vilmos: /* Példa */ index javítás

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== 1. előadás - Bevezetés ==
=== Bevezetés ===
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

=== Rendszerek ábrázolása ===
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

==== Példa ====
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_n + b_n</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

=== Jelek osztályozása ===
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

==== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ====
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

==== Periodicitás ====
===== Folytonos időben =====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
===== Diszkrét időben =====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

==== Egyéb osztályozás ====
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''x'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

=== Jelek felírása ===
==== Diszkrét idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységimpulzus ======
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

====== Példa 1 ======
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

====== Példa 2 ======
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

===== Konvolúció =====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

==== Folytonos idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

====== Egységimpulzus ======
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Fordítóprogramok a gyakorlatban

2017-09-05T10:36:01Z

Nagy Vilmos:

{{Tantárgy
| név = Fordítóprogramok a gyakorlatban
| tárgykód = VIAUAV33
| szak =
| kredit = 2
| félév =
| kereszt =
| tanszék = AUT
| jelenlét = nincs
| minmunka =
| labor =
| kiszh =
| nagyzh = 1
| hf =
| vizsga =
| levlista =
| tárgyhonlap = https://www.aut.bme.hu/Course/fordito
}}

Ha érdekel, hogyan készíts saját compilert, vedd fel a tárgyat! Erősen gyakorlatorientáltan, végig laborban mutatjuk be a compiler készítés alapjait sok példával. Ízelítő az eszközökből: ANTLR, XText, Roslyn.

== Követelmények ==

=== Előtanulmányi rend ===
Nincs.

=== A szorgalmi időszakban ===
==== Zárthelyi ====
* A tárgyat félévközi jeggyel zárjuk, ZH az utolsó van.
* A ZH pótlási héten pótolható.

==== Házi feladat ====
Opcionális, egyénileg egyeztetendő. ~+1 jegyet lehet így szerezni.

Fordítóprogramok a gyakorlatban

2017-09-05T10:11:21Z

Nagy Vilmos: wiki oldal létrehozva infoboxszal a tárgynak.

{{Tantárgy
| név = Fordítóprogramok a gyakorlatban
| tárgykód = VIAUAV33
| szak =
| kredit = 2
| félév =
| kereszt =
| tanszék = AUT
| jelenlét =
| minmunka =
| labor =
| kiszh =
| nagyzh =
| hf =
| vizsga =
| levlista =
| tárgyhonlap = https://www.aut.bme.hu/Course/fordito
}}

Szabadon választható tárgyak

2017-09-05T10:10:16Z

Nagy Vilmos: /* Szakmai szabadon választható tárgyak */ + fordítóprogramok a gyakorlatban

A diploma megszerzéséhez Bsc. képzésen minimum 10, míg az Msc. szakokon minimum 6 kreditnyi szabadon választható tárgyat is kell teljesíteni. Ezek két típusra bonthatóak:
*'''Szakmai szabadon választható tárgyak:''' 2-4 kreditet érnek, a kar ezeket ajánlja a szakmai ismeretek mélyítésének céljából. A mindenkori hivatalos lista megtalálható a [https://www.vik.bme.hu/kepzes/alapkepzes/altalanos/530.html kari honlapon]. Ezek nem mindegyike található meg a ''Neptun - Mintaterv tárgyai - Választható'' szűréssel! Jópár közülük csak ''Minden intézményi tárgy - Minden'' szűréssel lelhető fel.
*'''Egyéb szabadon választható tárgyak:''' Az egyetemen oktatott összes többi tantárgy, azaz:
**Az 5 előírton felül teljesített minden kötvál tárgy, vagy olyan kötvál tárgy, ami a felvétel évében nem számított kötválnak.
**Szakirányra kerülés után, egy másik szakirány vagy ágazat tárgyai.
**Egy az egyetemen belüli másik képzés alaptárgya - Természetesen az adott tárgy előtanulmányi rendjének figyelembe vétele mellett.
**Egy másik kar számára ajánlott szabadon választható tárgy.
**A felkészítő tárgyak ([[Bevezető matematika]] és [[Bevezető fizika]]) is beszámíthatóak, amennyiben más szabvál tárgyakból nincs meg a 10 kredit.

Egy tárgy csak akkor számítható be szabválnak, ha a mintatantervben szereplő kötelező, illetve a tantervi követelmények teljesítéséhez már figyelembe vett egyéb tantárgyak együttesen a tárgy tananyagának max. 25%-át tartalmazzák. Ha ez nem teljesül, akkor az adott tárgy felvehető, de nem számítják be szabvál tárgynak.

Amennyiben egy tárgynak még nincs wikilapja, akkor hozz neki létre egyet! Az oldal megszerkesztéséhez használd a következő [[Lord Viktor - Szabvál tárgy sablon|sablont.]] Ezután A megfelelő szekció (szakmai/egyéb) táblázatába értelemszerűen illeszd be az adataival együtt.

__TOC__

==Szakmai szabadon választható tárgyak==

{| class="wikitable sortable" border="1"
|-
! width=60px|Kurzuskód !! width=450px|Tárgynév !! width=50px|Kredit !! width=75px|Tanszék !! width=100px|Aktív?
|-
| VIIIAV08 || [[3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció]] ||align="center"| 4 || IIT || Ősz és Tavasz
|-
| TE12MF43 || [[A femtoszekundumos lézerektől az attofizikáig]] ||align="center"| 2 || TTK-AFT || Ősz
|-
| VIIIJV81 || [[A folyamatirányítás és -tervezés gyakorlati módszertana]] ||align="center"| 4 || IIT || Tavasz
|-
| VIHIJV58 || [[A fizika kultúrtörténete]] ||align="center"| 2 || HIT || Ősz
|-
| VIVEAV01 || [[A jövő energetikája - víziók és valóság]] ||align="center"| 2 || VET || Ősz
|-
| VIIIJV76 || [[A UNIX rendszer felhasználói és fejlesztői felülete]] ||align="center"| 4 || IIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIVEAV07 || [[A villamosság élettani hatásai]] ||align="center"| 4 || VET || Ősz és Tavasz
|-
| VITMJV16 || [[Adatbányászati alkalmazások]] ||align="center"| 3 || TMIT || Tavasz
|-
| VITMAV67 || [[Adatbányászati technológiák]] ||align="center"| 4 || TMIT || Ősz
|-
| VIAUJV34 || [[Adatbázis-kezelő rendszerek]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz
|-
| VITMAV12 || [[Adatbázisok haladóknak]] ||align="center"| 2 || TMIT || Ősz
|-
| VIAUJV59 || [[Adatbázisok szerver oldali programozása]] ||align="center"| 4 || AAIT || Tavasz
|-
| VITMAV08 || [[Adatintenzív alkalmazások technológiái]] ||align="center"| 2 || TMIT || Tavasz
|-
| VITMBV10 || [[Adattárházak tervezése és megvalósítása]] ||align="center"| 4 || TMIT || Nem aktív
|-
| VIAUAV17 || [[Agilis szoftverfejlesztés]] ||align="center"| 2 || AAIT || Ősz
|-
| VITMAV10 || [[Ajánlórendszerek: algoritmusok és alkalmazások]] ||align="center"| 4 || TMIT || Tavasz
|-
| VIAUAV13 || [[Algoritmusok és adatstruktúrák többmagos környezetben]] ||align="center"| 2 || AAIT || Ősz
|-
| VIHIAV10 || [[Algoritmusok és adatszerkezetek hatékony implementálása C nyelven]] ||align="center"| 2 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUAV18 || [[Alkalmazásfejlesztés vékony kliens technológiákkal]] ||align="center"| 2 || AAIT || Tavasz
|-
| VIVEAV56 || [[Alkalmazásorientált eszközök mérnököknek]] ||align="center"| 2 || VET || Tavasz
|-
| VITMAV14 || [[Alkalmazott adatelemzés]] ||align="center"| 4 || TMIT || Ősz
|-
| TE12AF11 || [[Alkalmazott plazmafizika]] ||align="center"| 2 || TTK-AFT || Tavasz
|-
| VIAUAV21 || [[Android alapú szoftverfejlesztés]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHIAV18 || [[Anonimitás és privátszféra-védelem korszerű informatikai szolgáltatásokban]] ||align="center"| 2 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHVAV02 || [[Antennák gyakorlati alkalmazásai]] ||align="center"| 4 || HVT || Ősz és Tavasz
|-
| VIVEAV99 || [[Áramütés elleni védelem]] ||align="center"| 2 || VET || Ősz
|-
| VIMIAV07 || [[ARM Cortex magú mikrovezérlők]] ||align="center"| 4 || MIT || Tavasz
|-
| VIHIAV04 || [[Audio-video tartalom-előállítás]] ||align="center"| 4 || HIT || Tavasz
|-
| VIMIAV09 || [[Autóipari beágyazott rendszerek]] ||align="center"| 4 || MIT || Ősz
|-
| VIVEJV76 || [[Autóvillamosság]] ||align="center"| 4 || VET || Ősz
|-
| VIMIAV15 || [[AUTOSAR alapú autóipari szoftverrendszerek]] ||align="center"| 4 || MIT || Tavasz
|-
| VIEEAV93 || [[Az analóg CMOS áramkörtervezés alapjai]] ||align="center"| 2 || EET || Ősz
|-
| VIHVJV71 || [[Az optikai hálózatok alapjai]] ||align="center"| 4 || HVT || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUAV71 || [[Az új generációs .NET platform]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz
|-
| VITMAV11 || [[Beszédbányászat]] ||align="center"| 2 || TMIT || Ősz és Tavasz
|-
| VITMJV62 || [[Beszédkommunikáció]] ||align="center"| 4 || TMIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHIAV06 || [[Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba]] ||align="center"| 2 || HIT || Tavasz
|-
| VIAUAV69 || [[Bevezetés a mobil szoftverfejlesztésbe]] ||align="center"| 2 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| VITMAV15 || [[‘Big Data’ elemzési eszközök nyílt forráskódú platformokon]] ||align="center"| 2 || TMIT || Ősz
|-
| VIMIAV02 || [['Big Data' elemzési módszerek]] ||align="center"| 2 || MIT || Ősz
|-
| VIMIAV10 || [[Bioinformatika]] ||align="center"| 4 || MIT || Ősz
|-
| VIHIAV11 || [[Biometriai azonosítás számítógépes rendszerekben]] ||align="center"| 2 || HIT || Ősz
|-
| VIMIBV08 || [[Biztonságos programozás]] ||align="center"| 4 || MIT || Nem aktív
|-
| VIVEAV87 || [[Budapesti erőművek]] ||align="center"| 2 || VET || Ősz és Tavasz
|-
| VIEEAV01 || [[C11 és C++11 programozás]] ||align="center"| 4 || EET || Ősz és Tavasz
|-
| VITMAV45 || [[Deep Learning a gyakorlatban Python és LUA alapon]] ||align="center"| 4 || TMIT || Ősz
|-
| VIMIBV01 || [[Digitális jelfeldolgozás a gyakorlatban]] ||align="center"| 4 || MIT || Nem aktív
|-
| VIMIAV04 || [[Digitális szűrők]] ||align="center"| 4 || MIT || Ősz
|-
| VIHIJV47 || [[Dokumentumszerkesztés]] ||align="center"| 2 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIMIAV92 || [[Eclipse alapú technológiák]] ||align="center"| 4 || MIT || Ősz
|-
| VIHVAV00 || [[Elektromágneses hullámterjedés mesterséges nanoszerkezetekben]] ||align="center"| 4 || HVT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHVJV32 || [[Elektromágneses roncsolásmentes anyagvizsgálat]] ||align="center"| 4 || HVT || Tavasz
|-
| VIHVJV62 || [[Elektronikus áramkörök szimulációja]] ||align="center"| 2 || HVT || Ősz és Tavasz
|-
| VIEEAV98 || [[Elektronikus eszközök és alkatrészek]] ||align="center"| 2 || EET || Ősz
|-
| VITMAV19 || [[Ember-robot interfész]] ||align="center"| 2 || TMIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIVEAV78 || [[Energiahatékonyság a gyakorlatban]] ||align="center"| 2 || VET || Ősz
|-
| VITMAV00 || [[Építsünk IP telefont!]] ||align="center"| 4 || TMIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIETJV17 || [[Érzékelők, beavatkozók és megjelenítők]] ||align="center"| 4 || ETT || Nem aktív
|-
| VIAUAV10 || [[Felhasználói felületek ergonómiája]] ||align="center"| 2 || AAIT || Tavasz
|-
| TE92AX48 || [[Dinamikai rendszerek az alkalmazások tükrében]] ||align="center"| 5 || TTK Matematikai Int. ||
|-
| VIAUAV33 || [[Fordítóprogramok a gyakorlatban]] ||align="center"| 2 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| VITMJV79 || [[Fuzzy rendszerek 1]] ||align="center"| 4 || TMIT || Tavasz
|-
| VITMJV69 || [[Fuzzy rendszerek 2]] ||align="center"| 4 || TMIT || Ősz
|-
| VIIIAV00 || [[GPU-k általános célú programozása]] ||align="center"| 4 || IIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUJV21 || [[Grafikai és animációs eszközök]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIIIJV46 || [[Grafikus játékok fejlesztése]] ||align="center"| 4 || IIT || Ősz és Tavasz
|-
| TE925204 || [[Haladó analízis]] ||align="center"| 3 || Analízis|| Tavasz
|-
| VITMJV18 || [[Haladó C++ programozás]] ||align="center"| 4 || TMIT || Ősz
|-
| VIMIAV03 || [[Hálózatba kapcsolt beágyazott rendszerek]] ||align="center"| 4 || MIT || Ősz
|-
| VIHI9368 || [[Hangszerek fizikája]] ||align="center"| 4 || HIT || Tavasz
|-
| VIHIJV69 || [[Hangtechnikai gyakorlat]] ||align="center"| 4 || HIT || Ősz
|-
| VITMAV21 || [[Humán informatika]] ||align="center"| 4 || TMIT || Tavasz
|-
| VITMAV13 || [[Infokommunikáció az intelligens villamos energia (Smart Grid) hálózatokban]] ||align="center"| 4 || TMIT || Tavasz
|-
| VITMJV27 || [[Infokommunikáció a közlekedésben]] ||align="center"| 2 || TMIT || Nem aktív
|-
| VIMIAV65 || [[Információs társadalom]] ||align="center"| 2 || MIT || Tavasz
|-
| VITMJV17 || [[Informatikai projektek menedzselése]] ||align="center"| 4 || TMIT || Nem aktív
|-
| VIIIJV51 || [[Integrált fejlesztés Java platformon]] ||align="center"| 4 || IIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIEEAV05 || [[Intelligens szenzorok]] ||align="center"| 4 || EET || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUAV15 || [[iOS alapú szoftverfejlesztés]] ||align="center"| 4 || AAIT || Tavasz
|-
| VIIIJV52 || [[Ipari irányítástechnika]] ||align="center"| 4 || IIT || Ősz
|-
| VIHIAV07 || [[IPv6 alapú számítógép-hálózatok]] ||align="center"| 4 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIIIAV11 || [[Irányítórendszerek gyors prototípustervezése]] ||align="center"| 4 || IIT || Tavasz
|-
| VIAUJV01 || [[Játékfejlesztés .NET platformon]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz
|-
| VIAUBV18 || [[Java alapú webes keretrendszerek]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHIJV37 || [[Java-technológia]] ||align="center"| 4 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIMIAV13 || [[Jelfeldolgozás FPGA-val]] ||align="center"| 4 || MIT || Tavasz
|-
| VIMIJV18 || [[Jelfeldolgozó processzorok alkalmazása]] ||align="center"| 4 || MIT || Nem aktív
|-
| VIAUJV02 || [[Kapcsolóüzemű tápegységek]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| TE12AX13 || [[Kémia villamosmérnököknek]] ||align="center"| 2 || TTK-AFT || Tavasz
|-
| VIEEBV04 || [[Komplex hardvertervezés 1]] ||align="center"| 4 || EET || Tavasz
|-
| VIEEBV05 || [[Komplex hardvertervezés 2]] ||align="center"| 4 || EET || Ősz
|-
| VIMIAV12 || [[Korszerű autóipari termékek és fejlesztési módszereik]] ||align="center"| 2 || MIT || Tavasz és Ősz
|-
| VIAUJV25 || [[Korszerű operációs rendszerek]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIETJV14 || [[Környezetvédelem az elektronikai technológiában]] ||align="center"| 4 || ETT || Tavasz
|-
| VIHIAV13 || [[Kvantum infokommunikáció és alkalmazásai]] ||align="center"| 2 || HIT || Ősz
|-
| VIVEAV74 || [[Léptetőmotoros hajtások]] ||align="center"| 2 || VET || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUJV60 || [[LINUX alapú hálózatok]] ||align="center"| 4 || AAIT || Tavasz
|-
| VIAUJV57 || [[LINUX programozás]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz
|-
| VIMIAV16 || [[Mérési adatok vizuális elemzése]] ||align="center"| 2 || MIT || Ősz
|-
| VIMIAV00 || [[Mértékegységek és etalonok kultúrtörténete]] ||align="center"| 2 || MIT || Tavasz
|-
| VIHVJV35 || [[Mezőszimuláció végeselem módszerrel]] ||align="center"| 4 || HVT || Ősz
|-
| VIMIJV51 || [[Mikrokontrollerek alkalmazástechnikája]] ||align="center"| 4 || MIT || Tavasz
|-
| VIEEJV55 || [[Monolit integrált áramkörök készítése]] ||align="center"| 2 || EET || Nem aktív
|-
| VIEEAV02 || [[Nagyfrekvenciás digitális rendszerek integrált fejlesztése 1]] ||align="center"| 4 || EET || Ősz
|-
| VIEEAV03 || [[Nagyfrekvenciás digitális rendszerek integrált fejlesztése 2]] ||align="center"| 4 || EET || Tavasz
|-
| VIVEAV00 || [[Nagyvárosok és haditechnika - kritikus infrastruktúrák energiaellátása]] ||align="center"| 2 || VET || Ősz
|-
| VIHVAV65 || [[Nanoelektronikai szimuláció]] ||align="center"| 4 || HVT || Tavasz
|-
| VIEEAV99 || [[Napelemek és megújuló energiaforrások]] ||align="center"| 4 || EET || Ősz és Tavasz
|-
| VIEEBV00 || [[Napelemek laboratórium]] ||align="center"| 2 || EET || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUJV00 || [[Napelemes rendszerek]] ||align="center"| 4 || AUT || Ősz
|-
| VIMIJV07 || [[Neurális hálózatok]] ||align="center"| 4 || MIT || Tavasz
|-
| VITMAV66 || [[Nyílt forráskódú és szabad szoftverek]] ||align="center"| 2 || TMIT || Ősz
|-
| VIEEJV14 || [[Optoelektronika]] ||align="center"| 4 || EET || Ősz
|-
| VIMIAV01 || [[Orvosi készülékek gyártmányfejlesztése]] ||align="center"| 2 || MIT || Ősz
|-
| VITMBV13 || [[Peer-to-peer alkalmazások a gyakorlatban]] ||align="center"| 2 || TMIT || Nem aktív
|-
| VITMJV76 || [[Peer-to-peer hálózatok]] ||align="center"| 4 || TMIT || Ősz és Tavasz
|-
| GT51A004 || [[Prezentáció]] ||align="center"| 3 || GTK-MPT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHIAV05 || [[Programok visszafejtése és védelme]] ||align="center"| 2 || HIT || Ősz
|-
| VIHVJV43 || [[Programozás MS Windows alatt]] ||align="center"| 2 || HVT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHIJV95 || [[Projekt menedzsment]] ||align="center"| 4 || HIT || Ősz
|-
| VIHIAV95 || [[Projektmenedzsment szoftverek a gyakorlatban]] ||align="center"| 4 || HIT || Nem aktív
|-
| VIHIAV14 || [[Számítógép-hálózatok biztonságos üzemeltetése]] ||align="center"| 4 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHIAV96 || [[Számítógép-hálózatok üzemeltetése 1]] ||align="center"| 4 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHIAV97 || [[Számítógép-hálózatok üzemeltetése 2]] ||align="center"| 4 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VITMAV42 || [[Szerver oldali javascript]] ||align="center"| 2 || TMIT || Tavasz
|-
| VIAUJV10 || [[Szoftverfejlesztés .NET platformon]] ||align="center"| 4 || AAIT || Tavasz
|-
| VIAUJV09 || [[Szoftverfejlesztés J2EE platformon]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUAV05 || [[Szórakoztató elektronikai eszközök programozása]] ||align="center"| 2 || AAIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUAV76 || [[Teljesítmény-átalakítók irányítása]] ||align="center"| 4 || AAIT || Tavasz
|-
| VIHIAV08 || [[Térinformációs rendszerek és alkalmazásaik intelligens környezetekben]] ||align="center"| 2 || HIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHVBV06 || [[Űrtechnológia]] ||align="center"| 4 || HVT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHVAV07 || [[Űrtechnológia a gyakorlatban]] ||align="center"| 2 || HVT || Ősz és Tavasz
|-
| VIHVAV03 || [[Űrtechnológia laboratórium]] ||align="center"| 2 || HVT || Ősz és Tavasz
|-
| VIETAV03 || [[Vállalati folyamatok modellezése]] ||align="center"| 2 || ETT || Ősz
|-
| VIVEJV54 || [[VER Mikroprocesszoros védelmek és alállomási irányítástechnika]] ||align="center"| 4 || VET || Tavasz
|-
| VIVEJV47 || [[Villamos autók]] ||align="center"| 4 || VET || Tavasz
|-
| VIVEJV81 || [[Villamos energia és környezetvédelem]] ||align="center"| 4 || VET || Ősz és Tavasz
|-
| VIVEBV12 || [[Villamosenergetikai nagyberuházások - múlt, jelen, jövő]] ||align="center"| 2 || VET || Ősz és Tavasz
|-
| VIVEJV63 || [[Villámvédelem]] ||align="center"| 4 || VET || Ősz és Tavasz
|-
| VIMIAV89 || [[Virtualizációs technológiák és alkalmazásaik]] ||align="center"| 2 || MIT || Nem aktív
|-
| VITMBV17 || [[Webfejlesztés villámgyorsan Ruby on Rails alapokon]] ||align="center"| 2 || TMIT || Ősz és Tavasz
|-
| VIAUJV83 || [[Webportálok fejlesztése]] ||align="center"| 4 || AAIT || Ősz
|-
| VIAUAV04 || [[Windows Phone 7 alapú szoftverfejlesztés]] ||align="center"| 4 || AAIT || <s>Tavasz</s> Nem indul többet
|-
| VIAUAV28 || [[Windows Store alkalmazások fejlesztése]] ||align="center"| 4 || AUT || Ősz és Tavasz
|-
| VIMIJV31 || [[Zenei jelfeldolgozás]] ||align="center"| 4 || MIT || Ősz
|}

==Egyéb szabadon választható tárgyak==

{| class="wikitable sortable" border="1"
|-
! width=60px|Kurzuskód !! width=450px|Tárgynév !! width=50px|Kredit !! width=197px|Kar-Tanszék
|-
| EOVVAV30 || [[A Duna]] || style="text-align:center;"| 2 || EMK - VIT
|-
| GT41V101 || [[Technológia és Társadalom]] (Régi neve: A Gólem: esettanulmányok a modern technika és tudomány történetéből) || style="text-align:center;"| 2 || Filozófia és Tudománytörténet Tanszék
|-
| TE47A004 || [[A nemek pszichológiája]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK - KTT
|-
| GT52A005 || [[A vezetővé válás pszichológiája]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK-ERG
|-
| KOEA8608 || [[Az AutoCad használatának alapjai]] || style="text-align:center;"| 2 || KJK - ALRT
|-
| EPUI0905 || [[Épített környezetünk fotós szemmel]] || style="text-align:center;"| 2 || ÉPK - Urbanisztika
|-
| EOVKAV29 || [[Gyógy- és strandfürdők]] || style="text-align:center;"| 2 || EMK-VKKT
|-
| GT43A001 || [[Kommunikáció]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK - Szociológia
|-
| GT439348 || [[Konfliktus megelőzés-kezelés-közvetítés-tárgyalás]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK - Szociológia
|-
| GT41A002 || [[Kutatásmódszertan]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK - FTT
|-
| GT52A008 || [[Munka- és szervezetpszichológia]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK - EPT
|-
| VESAA006 || [[Szeszkultúra]] || style="text-align:center;"| 2 || VBK - SzAKT
|-
| GT35A020 || [[Találmányok és érdekességek]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK - ÜTI
|-
| GT51A021 || [[Tanulástechnika]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK - MPT
|-
| GT41A028 || [[Tudomány, tudományellenesség, áltudomány]] || style="text-align:center;"| 2 || GTK - FFT
|-
| TE92AX48 || [[Fraktálok, káosz és diszkrét dinamikus rendszerek]] || style="text-align:center;"| 5 || TTK Matematikai Int.

<noinclude>[[Kategória:Valaszthato]]</noinclude>

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T09:05:04Z

Nagy Vilmos: /* 1. Gyakorlat */

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T08:48:21Z

Nagy Vilmos: megjegyzések fejezet a lap elejére

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== 1. előadás - Bevezetés ==
=== Bevezetés ===
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

=== Rendszerek ábrázolása ===
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

==== Példa ====
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_k + b_k</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

=== Jelek osztályozása ===
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

==== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ====
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[t]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>t \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

==== Periodicitás ====
===== Folytonos időben =====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
===== Diszkrét időben =====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

==== Egyéb osztályozás ====
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t>0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''x'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

=== Jelek felírása ===
==== Diszkrét idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységimpulzus ======
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

====== Példa 1 ======
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

====== Példa 2 ======
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

===== Konvolúció =====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

==== Folytonos idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

====== Egységimpulzus ======
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T08:44:51Z

Nagy Vilmos: /* Feladatok */

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T08:43:22Z

Nagy Vilmos: /* Periodicitás vizsgálata */ FI feladatok hozzáadva

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T08:32:34Z

Nagy Vilmos: LaTeX képletek javítva, több egysoros - a többsoros LaTeX képletek nem lettek renderelve.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T08:30:16Z

Nagy Vilmos: Első gyakorlat anyaga nagyrészt felskiccelve.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T08:08:28Z

Nagy Vilmos: Teszt

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T08:00:05Z

Nagy Vilmos: Gyakjegyzet link hozzáadva a bevezetőhöz.

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== 1. előadás - Bevezetés ==
=== Bevezetés ===
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

=== Rendszerek ábrázolása ===
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

==== Példa ====
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_k + b_k</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

=== Jelek osztályozása ===
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

==== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ====
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[t]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>t \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

==== Periodicitás ====
===== Folytonos időben =====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
===== Diszkrét időben =====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

==== Egyéb osztályozás ====
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t>0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''x'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

=== Jelek felírása ===
==== Diszkrét idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységimpulzus ======
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

====== Példa 1 ======
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

====== Példa 2 ======
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

===== Konvolúció =====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

==== Folytonos idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

====== Egységimpulzus ======
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T07:54:28Z

Nagy Vilmos: /* Jelek osztályozása */ periodicitás hozzáadva

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

== 1. előadás - Bevezetés ==
=== Bevezetés ===
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

=== Rendszerek ábrázolása ===
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

==== Példa ====
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_k + b_k</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

=== Jelek osztályozása ===
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

==== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ====
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[t]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>t \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

==== Periodicitás ====
===== Folytonos időben =====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
===== Diszkrét időben =====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

==== Egyéb osztályozás ====
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t>0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''x'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

=== Jelek felírása ===
==== Diszkrét idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységimpulzus ======
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

====== Példa 1 ======
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

====== Példa 2 ======
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

===== Konvolúció =====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

==== Folytonos idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

====== Egységimpulzus ======
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T07:51:56Z

Nagy Vilmos:

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-04T17:46:04Z

Nagy Vilmos: /* Konvolúció */

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-04T17:45:45Z

Nagy Vilmos: /* Konvolúció */

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-04T17:43:00Z

Nagy Vilmos: /* Konvolúció */ Feltétel a válasz szuperpozíciójához

Fájl:Jelek jegyzet vilmosnagy latex.pdf

2017-09-04T16:01:40Z

Nagy Vilmos: Nagy Vilmos uploaded a new version of Fájl:Jelek jegyzet vilmosnagy latex.pdf

A [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)]] oldal PDF verzióban exportálva, amíg nem megy a wiki-n a LaTeX képletek renderelése.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-04T15:58:40Z

Nagy Vilmos: /* Jelek felírása */ formatting

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-04T15:49:48Z

Nagy Vilmos: /* Jelek osztályozása */ formatting

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-04T15:42:26Z

Nagy Vilmos:

Fájl:Jelek jegyzet vilmosnagy latex.pdf

2017-09-04T15:34:23Z

Nagy Vilmos:

A [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)]] oldal PDF verzióban exportálva, amíg nem megy a wiki-n a LaTeX képletek renderelése.