Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria

2015-04-15T18:00:20Z

Nagy Bálint Máté: /* Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét! */

{{Vissza|Számítógépes látórendszerek}}
== Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét! ==

Lineáris egyenletrendszer: <math>\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}</math>, ahol <math>\underline{\underline{A}} \in \mathbb{R}^{m \times n} ; \underline{x} \in \mathbb{R}^n ; \underline{b} \in \mathbb{R}^m</math>

<math>\underline{\underline{A}}</math> az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.

Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja: <math>\underline{a_1} x_1 + \underline{a_2} x_2 + ... + \underline{a_n} x_n = \underline{b}</math>

A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha <math> \underline{b} </math> előáll az <math> \underline{\underline{A}} </math> mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van <math> \underline{\underline{A}} </math> oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden <math> \underline{b} \in \mathbb{R}^m </math> vektorra megoldható, ha <math> \mathcal{O}(\underline{\underline{A}}) = \mathbb{R}^m </math>.

=== LS módszer ===

Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg.

Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely <math> \underline{b} \in \mathbb{R}^m </math> vektor előáll

<math> \underline{b} = \underline{o} + \underline{n}, \ \ \underline{o} \in \mathcal{O} (\underline{\underline{A}}), \ \ \underline{n} \in \mathcal{N}(\underline{\underline{A}}^T)</math>

formában. Ekkor

<math>
\underline{\underline{A}} \ \underline{x} = \underline{o}
</math>

<math>
\underline{\underline{A}}^T \ \underline{b} = \underline{\underline{A}}^T \ \underline{o} + \underline{\underline{A}}^T \ \underline{n} = \underline{\underline{A}}^T \underline{o} = \underline{\underline{A}}^T ( \underline{\underline{A}} \ \underline{x} )
</math>

<math>
\underline{\hat{x}} = (\underline{\underline{A}}^T \ \underline{\underline{A}})^{-1} \ \underline{\underline{A}}^T \ \underline{b}
</math>

<math> \underline{\hat{x}} </math> a megoldás legjobb közelítése.

== Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt? ==
== Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok? ==

=== Projektív transzformáció ===
<math>T_{proj} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33}\end{bmatrix}</math>

=== Affin transzformáció ===
Megőrzi az ideális pontokat.

<math>T_{aff} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}</math>

=== Hasonlósági transzformáció ===
* Nincs irányfüggő skálázás
* Nincs nyírás

<math>T_{simi} = \begin{bmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) & t_{13} \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}</math>

=== Euklideszi transzformáció ===
Nincs skálázás

<math>T_{eucl} = \begin{bmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) & t_{13} \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & t_{23} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>

=== Transzformációk és megőrzött tulajdonságok ===
{|
| '''Geometriák''':
| '''Euklideszi'''
| '''Hasonlósági'''
| '''Affin'''
| '''Projektív'''
|-
| '''Transzformációk'''
|-
| Eltolás
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|-
| Forgatás
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|-
| Uniform skálázás
|align="center"| X
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|-
| Nem uniform skálázás
|align="center"| X
|align="center"| X
|align="center"| I
|align="center"| I
|-
| Nyírás
|align="center"| X
|align="center"| X
|align="center"| I
|align="center"| I
|-
| Perspektív vetítés
|align="center"| X
|align="center"| X
|align="center"| X
|align="center"| I
|-
| '''Invariáns jellemzők'''
|-
| Hossz
|align="center"| I
|align="center"| X
|align="center"| X
|align="center"| X
|-
| Szög
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| X
|align="center"| X
|-
| Hosszak aránya
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| X
|align="center"| X
|-
| Párhuzamosság
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| X
|-
| Egybeesés
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|-
| Keresztarány
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|align="center"| I
|}

== Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont? ==
Pontok leírása a projektív síkon

Euklideszi koordináták → Projektív:
<math>(x, y) \rightarrow (x, y, 1)</math>

Tulajdonságok:

<math>( X ,Y ,W ) = (kX , kY , kW )</math>

<math>k \neq 0 \rightarrow \not\exists (0,0,0)</math>

Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak <math>\mathbb{R}^3</math>-ban. '''A homogén koordináták skála invariánsak.'''

=== Ideális pont ===
Homogén koordináták → Euklideszi:
<math>(X, Y, W) \rightarrow (X/W, Y/W)</math>

Az ideális pont <math>(X, Y, 0)</math> alakú. ''Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.''

Az ideális pont egyfajta ''irányított végtelen'', melynek '''minden koordinátája véges'''.

== Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont? ==

Vetítés a projektív térből a projektív síkra: <math>P_3 \rightarrow P_2</math>

=== Egyenlet ===

<math>\begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & t_{24} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & t_{34}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\ W\end{bmatrix}</math>

=== Eltűnő pont ===
Párhuzamos <math>P_3</math>-beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.

<math>\begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & t_{24} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & t_{34}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\ 0\end{bmatrix}</math>

A <math>P_3</math>-beli ideális pont képe <math>P_2</math>-ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!
* Csak, ha (X,Y,Z) merőleges <math>(t_{31}, t_{32}, t_{33})</math>-ra
* Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!

VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria