Algoritmuselmélet - Vizsga, 2013.06.06.

2014-06-04T21:42:55Z

Jogaproger: /* 8. Feladat */

{{Vissza|Algoritmuselmélet}}

==2013.06.06. vizsga megoldásai==
===1. Feladat (Van megoldás) ===
Ebben a feladatban a mélységi bejárással kapcsolatos kérdésekre kell válaszolni.
* '''(a)''' Adja meg a keresztél definícióját!
* '''(b)''' A mélységi bejárás során hogyan lehet a mélységi és a befejezési számok alapján felismerni a keresztéleket? ''Vizsgán megjegyzést fűztek hozzá: irányított gráfokra kell gondolni.''
* '''(c)''' Bizonyítsa be, hogy irányítatlan gráf mélységi bejárásánál nincsenek keresztélek!
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=
'''a)''' 
Tekintsük a G irányított gráf egy mélységi bejárását és a kapott T mélységi feszítő erdőt. Ezen bejárás szerint G egy x → y éle keresztél, ha x és y nem leszármazottjai egymásnak.

'''b)''' 
msz - mélységi szám 
bsz - befejezési szám 
Ha <math> (msz[y] < msz[x]) </math> és <math>(bsz[y] > 0) </math>, akkor az x → y egy keresztél. 
[[Fájl:Algel vizsga 2013tavasz Keresztel 1.png]] 
'''c)''' 
A '''b)''' rész alapján könnyen belátható. Ha lenne keresztél, az azt jelentené, hogy van olyan x → y él, amire fennáll, hogy <math> (msz[y] < msz[x]) </math> és <math>(bsz[y] > 0) </math>, vagyis y-ban előbb jártunk, mint x-ben, és y-nak van befejezési száma. Ennél fogva nem lehet keresztél, hiszen ha lenne, akkor y-ból eljuthattunk volna még x-be, mielőtt befejeztük volna. 
'''Másképpen mondva:''' Nem fejezhettük volna be y-t anélkül, hogy ne jártunk volna x-ben. 
[[Fájl:Algel vizsga 2013tavasz Keresztel 2.PNG]] 
}}

===2. Feladat (Van megoldás)===
Milyen műveletek vannak a nyitott címzésű hash-elésnél? Hogyan kell megvalósítani a keresést, ha a nyitott címzésű hashelésnél kvadratikus maradék próbát használunk?

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Kiegészítések a feladat megértéséhez'''</big>
|szöveg=

'''Mi az a nyitott címzésű hash-elés?''' 
lásd: [[Hash_tömb]] 

'''Mi az a kvadratikus maradék próba, nyitott címzésű hash-elésnél?''' 
todo 
}}
'''Nyitott címzésű hash-elés műveletei:''' 
Új elem beszúrása, elem keresése, elem törlése. 
A törlés speciális jelzéssel történik. 

'''Keresés megvalósítása nyitott címzésű hash-elés esetén kvadratikus maradék próbánál:''' 
A kvadratikus maradék próba egy álvéletlen próba, ezért másodlagos csomósodáshoz vezethet. 
Legyen M egy 4k + 3 alakú prímszám, ahol k egy pozitív egész. 
Ekkor a próbasorozat legyen 
<math> 0,1^2,(-1)^2, 2^2,(-2)^2,..,\left ( \frac{M-1}{2} \right )^{2}, -\left ( \frac{M-1}{2} \right )^{2} </math>

}}

===3. Feladat===
Adja meg az UNIÓ-HOLVAN adatszerkezet definícióját! (A fákkal való implementálást nem kell leírnia.) Mutassa meg, hogy mikor és hogyan használjuk az UNIÓ és a HOLVAN műveleteket a Kruskal algoritmusban!

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Kiegészítések a feladat megértéséhez'''</big>
|szöveg=

'''Mi az a Kruskal algoritmus?''' 
todo 
}}
'''UNIÓ-HOLVAN adatszerkezet definíciója: ''' 
todo 

'''Mikor és hogyan használjuk az UNIÓ és a HOLVAN műveleteket a Kruskal algoritmusban:''' 
todo 

}}

===4. Feladat===
Pista bácsi fel akar ugrálni egy n hosszú, fekete illetve fehér fokokból álló csigalépcsőn. Legfeljebb k fokot tud ugrani, de arra vigyáznia kell, hogy páros (>=2) sok foknyi ugrás után páratlan sokat és páratlan sok után mindig páros (>=2) sokat ugorjon. Adjon O(nk) lépésszámú algoritmust, amely megmondja, hogy fel tud-e úgy ugrálni a csigalépcső tetejére, hogy csak egyféle színű lépcsőfokot használ. (A lépcső fokai rendszertelenül vannak színezve, a színezést ismerjük.)
''Vizsgán megjegyzést fűztek hozzá: a talaj és a legteteje nem színes, csak a lépcsők; csak fölfele (előrefele) ugrál, visszafele nem. ''

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

todo

 

}}

===5. Feladat (Van megoldás)===
A hátizsák probléma órán tanult algoritmusát futtattuk egy konkrét inputon, melyben 3 tárgy szerepel. Mi lehetett ez a konkrét input, ha az alábbi táblázat keletkezett?

{| class="wikitable" border="5"
|-
!
! 0
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
! 7
|-
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 10
| 10
| 10
| 10
|-
| 2
| 0
| 0
| 5
| 5
| 10
| 10
| 15
| 15
|-
| 3
| 0
| 0
| 5
| 5
| 13
| 13
| 18
| 18
|}

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

Az egyszerűség kedvéért a súly legyen kg, az érték pedig €.

#Az első sor alapján az 1-es csomag értéke €10, súlya 4kg.
#A második sor alapján a 2-es csomag értéke €5, súlya 2kg.
#A 3. lépésben 2 lehetőségünk van, a 3. csomag értéke vagy 13-5=€8, vagy 13-0=€13.
##€8 nem lehet, mert akkor a súlya 2kg lenne, de akkor a [2,3] cellába 8 lenne, nem 5.
##Így csak a €13 jöhet szóba, súlya pedig 4kg, ami jó megoldás lesz.

{{Rejtett
|mutatott=''Avagy kicsit gépiesebb megoldás:''
|szöveg=
 
Jelölje <math> T[s,cs]</math> a táblázat <math>[s,cs]</math> celláját, továbbá <math> V_3</math> a 3. csomag értékét, <math> S_3</math> pedig a súlyát. 
Tudjuk, hogy <math> T[s,cs]=max\left \{ T[s,cs-1];V_i+T[s-S_i,cs-1] \right \}</math>, ami ebben az esetben: 
<math> T[4,3]=max\left \{ T[4,2];V_3+T[4-S_3,2] \right \} \rightarrow 13=max\left \{ 10;V_3+T[4-S_3,2] \right \}</math>, amiből következik, hogy: 
<math> 13=V_3+T[4-S_3,2] \rightarrow V_3 = 13-T[4-S_3,2]\Rightarrow\Rightarrow S_3=4, V_3=13</math> (Átgondolható, hogy a 3. csomag súlya nem lehet 1,2 vagy 3kg).
}}
Tehát végeredményben a megoldás:
*1-es csomag (€10, 4kg)
*2-es csomag (€5, 2kg)
*3-as csomag (€13, 4kg)

}}

===6. Feladat (Van megoldás)===
Egy irányítatlan, élsúlyozott gráf az alábbi éllistával adott (zárójelben az élsúlyok):

<math>A:B(1), D(3), E(2); B:A(1), C(3), D(y); D:A(3), C(y), E(x); E:A(2), B(1), D(x).</math>
* '''(a)''' Mi lehet x és y értéke, ha tudjuk, hogy az élsúlyok egész számok, és azt is tudjuk, hogy a B csúcsból indított Prim algoritmus az alábbi sorrendben vette be az értékeket: BE, ED, BA, BC. ''Vizsgán megjegyzést fűztek hozzá: az élsúlyok pozitív egész számok, a pozitív szót kifelejtették véletlenül.''
* '''(b)''' Mely éleket és milyen sorrendben választja ki a Kruskal algoritmus? (Ha több megoldás is van, akkor az összeset adja meg!)
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=
[[File:Algel vizsga 2013tavasz V2 6.png]]

'''a)''' Prim algoritmus - Ugyebár úgy dolgozik, hogy az aktuális fához a vele szomszédos élek közül a legkisebb súlyút veszi be. Prim: BE → ED → BA → BC
# A fához hozzáadjuk a BE élt.
# Most az ED élt választottuk. Ez alapján x értéke csak 1 lehet, így <math>x = 1</math>. (Feladatból kihagyták, hogy pozitív egészekről van szó, amúgy <math>x \le 1</math> lehetne.)
# Most az AB élt adjuk hozzá, ez alapján <math>y \ge 1</math>.
# Most a BC élt adjuk hozzá, ez alapján <math>y \ge 3</math>, így végül <math>y \ge 3</math>.

'''b)''' Kruskal algoritmus - Éleket nagyság szerint sorrendbe rakjuk, és növekvő sorrendben felvesszük a fához az éleket, vigyázva, hogy ne csináljunk kört.

1 súlyú - AB, BE, ED

2 súlyú - AE

3 súlyú - BC, AD, EC (és DC, ha <math>y = 3</math>)

Az összes megoldás:

#Az 1 súlyú éleket <math>3! = 6</math> féleképpen veheti fel az algoritmus (nem lehet belőlük kört csinálni, így itt nincsen para).
#Utána megpróbálná felvenni az AE élt, de azzal egy kört kapna, így nem veszi fel. Az AD éllel szintén így járna (~ezeket kéne pirosra színezni, ha olyan lenne a feladat).
#Maradtak a BC, EC és DC oldalak.
##Ha <math>y = 3</math>, akkor ezeket szintén 6 féleképpen veheti fel, tehát összesen 36 féleképpen futhat az algoritmus.
##Ha <math>y \ge 3</math>, akkor a DC oldal kiesik, a maradék 2 élt 2 féleképpen veheti fel, így 12 féleképpen futhat az algoritmus.}}

===7. Feladat (Van megoldás)===
Létezik-e olyan X eldöntési probléma, amire X<big>∉</big>NP és X<big>≺</big>SAT egyszerre fennáll?

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

*'''Tétel:''' Ha X ≺ Y és Y ∈ NP,akkor X ∈ NP
*'''Tétel:''' A SAT probléma NP teljes, tehát része NP-nek.
*A fentiek alapján, mivel X<big>∉</big>NP, a kérdéses X probléma nem létezhet.

}}

===8. Feladat===
P-ben van vagy NP-teljes az alábbi eldöntési probléma: 
*'''Input:''' irányítatlan G gráf 
*'''Kérdés:''' Igaz-e, hogy G-ben vagy van Hamilton-út vagy G 3 színnel színezhető? 

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=
Legyen az eldöntési probléma neve A 
G ∈ A akkor, ha G∈3SZÍN vagy G∈H 
Adjunk 3SZÍN < A Karp redukciót, ekkor mivel a 3SZÍN probléma NP-teljes az A is NP-teljes lesz. 

G' legyen az a gráf, amelyet úgy kapunk, hogy G-t kiegészítünk egy 3 csúcsból álló körrel. Mivel G'-ben biztosan nincs Hamilton-út ( Nem összefüggő ), ezért G' ∈ A akkor és csakis akkor, ha G ∈ 3SZÍN
}}

[[Kategória:Infoalap]]

VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Algoritmuselmélet - Vizsga, 2013.06.06.