Anal2-magic

2014-05-24T16:31:44Z

Iamwindy: /* Gombikoordinatak */

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni.

BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ).

Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik.

Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P

A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul

Derivalttabla, szamologep nem art :P

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y) 
sin(x ‒ y) = sin(x) * cos(y) ‒ cos(x) * sin(y) 
cos(x ‒ y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y) 
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) ‒ sin(x) * sin(y) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f 'x = ....... = 0 
f 'y = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p1(..,..) 
p2(..,..) 
p3(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)2 = ... 
 
4) 
f ''xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
z = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Anal2-magic