VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T13:58:41Z

Holub Csongor: /* Egyéb osztályozás */

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== 1. előadás - Bevezetés ==
=== Bevezetés ===
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

=== Rendszerek ábrázolása ===
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

==== Példa ====
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_k + b_k</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

=== Jelek osztályozása ===
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

==== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ====
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

==== Periodicitás ====
===== Folytonos időben =====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
===== Diszkrét időben =====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

==== Egyéb osztályozás ====
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''x'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

=== Jelek felírása ===
==== Diszkrét idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységimpulzus ======
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

====== Példa 1 ======
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

====== Példa 2 ======
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

===== Konvolúció =====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

==== Folytonos idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

====== Egységimpulzus ======
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.

Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

2017-09-05T13:57:28Z

Holub Csongor: /* Folytonos / Diszkrét idejű jelek */

'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a [[Rendszerelmélet]] lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]

== Megjegyzések magamnak ==
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

== 1. előadás - Bevezetés ==
=== Bevezetés ===
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
* Híd deformációja a terhelés függvényében
* Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
* stb.

=== Rendszerek ábrázolása ===
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

''(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

==== Példa ====
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x1'', ''x2'', ''x3'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x1'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel):
* <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math>
* <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math>
* <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math>
* <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math>

''(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)''

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
* <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra
* <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re
* <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re
(vegyük észre, hogy <math>a_k + b_k</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

{| class="wikitable"
|-
! Év (k) !! Elsőévesek !! Másodévesek !! Harmadévesek !! Végzők
|-
| 1 || 500 || 0 || 0 || 0
|-
| 2 || 650 || 325 || 0 || 0
|-
| 3 || 695 || 520 || 211 || 0
|-
| 4 || 709 || 608 || 401 || 137
|-
| 5 || 713 || 643 || 515 || 260
|-
| 5 || 714 || 656 || 572 || 335
|}

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

=== Jelek osztályozása ===
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

==== Folytonos / Diszkrét idejű jelek ====
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

==== Periodicitás ====
===== Folytonos időben =====
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.
===== Diszkrét időben =====
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

==== Egyéb osztályozás ====
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű) ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t>0</math> esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, ''x''-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
* páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az ''x'' tengelyre szimmetrikus)
* páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus)

'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

=== Jelek felírása ===
==== Diszkrét idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységimpulzus ======
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
 '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

====== Példa 1 ======
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>
''(szerk.: ezt ellenőrizd le!)''

====== Példa 2 ======
Vegyük a következő jelet:

<math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>.

Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

<math>x[k]=x[k]</math>

DE!

===== Konvolúció =====
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.
 '''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math>:

<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math>

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok),
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt,
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

==== Folytonos idejű jelek esetén ====
===== Speciális jelek =====
====== Egységugrás ======
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

====== Egységimpulzus ======
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen:

<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math>

Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math>

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához.