VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Szerkesztő:Hegyi Zsolt Gábor

2016-05-20T13:22:23Z

Hegyi Zsolt Gábor: /* Wiki szerkesztői pályázathoz */

== Wiki szerkesztői pályázathoz ==

- Saját BSz1 jegyzet [http://vik.wiki/Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_I.#Vizsga belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek forráskódja]

- Saját BSz2 jegyzet [http://vik.wiki/index.php?title=Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_II.#Kidolgozott_t.C3.A9telek belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek forráskódja]

- Anal2 magic LaTeX (lentebb)

= Anal2 magicjegyzet LaTeX-esitve =
== Fontos ==
Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte.
A jegyzet elolvasása a gyakorlást NEM helyettesíti.
Amennyiben hibát találsz ebben az összefoglalóban, akkor kérlek, hogy jelezd az egyik szerkesztőnek vagy javítsd ki a hibát.
Deriválttábla természetesen nem árt.

== Alapok ==
=== Azonosságok, amiket jó, ha tudsz ===
<math>sin^2(x) + cos^2(x) = 1</math> 
<math>cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1</math> 
<math>sin(2x) = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x)</math> 
<math>sin(x + y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x + y) = cos(x) \cdot cos(y) - sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sinh(a+b) = sinh(a) \cdot cosh(b) + cosh(a) \cdot sinh(b)</math> // sincos-cossin (h) 
<math>cosh(a+b) = cosh(a) \cdot cosh(b) + sinh(a) \cdot sinh(b)</math> // coscos-sinsin (h) 
<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)} = 1</math> // Analízis 1.-ből 
<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x} = 1</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{x->0} ( f(x) - f(x_{0}) ) / (x - x_{0})</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x->0} \frac{( f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) )}{\Delta x}</math> 
<math>cosh(x) = \frac{( e^{x} + e^{-x} )}{2}</math> 
<math>sinh(x) = \frac{( e^{x} - e^{-x} )}{2}</math> 
 

=== Deriválás ===
<math>f'(c \cdot x) = c \cdot f'(x)</math> // konstanssal szorzás 
<math>(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)</math> // összeadás 
<math>(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> // szorzás 
<math>(f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) )}{g^{2}(x)}</math> // osztás 
<math>f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math> // összetett függvény 
<math>(f^{-1})'(x) = \frac{1}{( f'( f^{-1}(x) ) )}</math> // inverz függvény 
 
Érintő egyenes egyenlete: <math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)</math> 
 
=== Integrálás ===
<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math> 
<math>\int f( fi(x) ) \cdot fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C</math> 
<math>\int f^{a}(x) \cdot f'(x) dx = \frac{( f(x)^{a + 1} )}{(a + 1)} + C</math> // a != -1 
<math>\int e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + C</math> 
<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln| f(x) | + C</math> 
<math>\int f' \cdot g dx = f \cdot g - \int f\cdot g'</math> // parciális integrálás 
<math>\int (a \cdot x + b) dx = \frac{F(a \cdot x + b)}{a} + C</math> // a != 0 
 
'''Helyettesítéses integrál:''' 
<math>\int f(x) dx</math> // Ez egy bonyolult integrál 
<math>u = f(x)</math> // Ez lesz a helyettesítés 
<math>du = f'(x)</math> // Lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
<math>\int \frac{u}{f'(x)} du</math> = kijön valami --> visszahelyettesítesz 
 
'''Parciális törtekre bontással való integrálás''' 
'''WIP''' 
 

== Differenciálegyenletek (DE) ==
=== Elsőrendű DE-k ===
=== Szeparábilis DE-k ===
<math>y'(x) = g(y) \cdot f(x)</math> // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) 
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0 
<math>g(y) = 0</math> 
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldása lesz a differenciálegyenletnek! 
 
<math>\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx</math> 
Ebből kijön, hogy: <math>y = K \cdot h(x)</math> // itt a <math>K = e^{C}</math> ; C az integrálás során keletkezik 
Néha nem ilyen alakban kérik, de azt jelezni szokták. 
=== Lineáris DE-k ===
<math>y'(x) + g(x) \cdot y = f(x) </math>// ilyen alakban kell keresni 
<math>y'(x) + g(x) \cdot y = 0 </math>// homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható 
<math>y = K \cdot h(x) </math> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is 
<math>K(x) = \int f(x) / h(x) dx</math> 
//inhomogén általános megoldása 
<math>y_{ia} = K \cdot h(x) + K(x) \cdot h(x)</math> // homogén + inhomogén partikuláris megoldás 
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: <math>K = valami</math> 
K-t visszahelyettesíted <math>y^{ia}</math>-ba --> megkapod: <math>y^{konkret}</math> 
 
=== DE helyettesítéssel ===
'''Példán keresztül bemutatva:''' 
<math>y' = \frac{1}{(x + y)}</math> 
Ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni, így helyettesítést kell használni 
Simán meg szokták adni, hogy mivel kell, de ha nem, akkor a lehetséges helyettesítések: 
<math>u = x + y</math> 
<math>u = y / x</math> 
 
Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát: 
<math>u = x + y</math> 
kifejezzük y-t: 
<math>y = u - x</math> 
lederiváljuk: 
<math>y' = u' - 1</math> 
Tehát mostmár minden változó u, x+y megvan, behelyettesítünk: 
<math>u' - 1 = \frac{1}{u}</math> 
kicsit rendezzük: 
<math>u' = 1 + \frac{1}{u} = (u + 1) / u</math> 
Ez tehat szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni. 
Megnézzük a 0-ra vonatkozó megoldást: 
<math>g(u) = \frac{u+1}{u} = 0</math> 
<math>u = -1</math> 
Tehát visszahelyettesítve: <math>y = -1 - x</math> egy megoldása lesz a DE-nek. 
Tovább haladunk a megoldással: 
<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int 1 dx</math> 
A második fele: <math>x + C</math> 
Az első fele: 
<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int \frac{(u + 1 - 1)}{(u + 1)} du = \int 1 - ( \frac{1}{(u + 1)} ) du = u - ln| u + 1 | + C</math> 
 
Ezekből: 
<math>u - ln| u + 1 | = x + C</math>--> visszahelyettesítünk 
<math>x + y - ln| x + y + 1 | = x + c</math> 
 
=== Magasabbrendű DE-k ===
=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
Megoldás: <math>C \cdot e^{\lambda\cdot x}</math> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is mellé, hogy ne legyen egyszerű. 
'''Példa:''' 
<math>y^{(3)} + 2 \cdot y^{(2)} + y' = 0</math> 
<math>\lambda ^{3} + 2 \cdot \lambda ^{2} + \lambda = 0</math> 
<math>\lambda \cdot ( \lambda ^{2} + 2 \cdot \lambda + 1 ) = 0</math> // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
<math>\lambda \cdot ( \lambda + 1 )^{2} = 0</math> 
első feléből <math>\lambda ^{1} = 0</math> 
második feléből <math>\lambda ^{2} = -1</math> 
DE 3 megoldás kell!!! 
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk még x-el beszorzott tagokat 
 
<math>y^{h} = C_1 \cdot e^{0 \cdot x} + C_2 \cdot e^{-1 \cdot x} + C_3 \cdot x \cdot e^{-1 \cdot x}</math> 
 
'''Példa 2:''' 
<math>y^{(3)} + 4 \cdot y^{(2)} + 13 \cdot y' = 0</math> 
<math>\lambda ^{3} + 4 \cdot \lambda ^{2} + 13 \cdot \lambda = 0</math> // kiemelsz \lambda -et 
<math>\lambda ( \lambda ^{2} + 4 \cdot \lambda + 13 ) = 0</math> 
<math>\lambda ( (\lambda + 2)^{2} + 9 ) = 0</math> 
elso felebol <math>\lambda ^{1} = 0</math> 
masodik felebol: 
<math>-9 = (\lambda + 2)^{2}<</math> br />
<math>-9^{1/2} = \lambda + 2</math> 
<math>-9^{1/2} - 2 = \lambda </math> 
<math>3\cdot i - 2 = \lambda </math> //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
<math>-3\cdot i - 2 = \lambda </math> 
 
<math>y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot cos(3 \cdot x) + C3 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot sin(3 \cdot x)</math> 
Tehát a valós rész lesz a <math>\lambda</math> , a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x} 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy \lambda ^{1} = 5 
\lambda ^{2} = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(\lambda - 5) \cdot (\lambda + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
\lambda ^{2} + 3 \cdot \lambda - 5 \cdot \lambda - 15 = 0 
\lambda ^{2} - 2 \cdot \lambda - 15 = 0 
y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0 
y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{\lambda \cdot x} -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) 
b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) 
// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0 
a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, B^{i} ismeretlenek 
f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x} 
f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0} 
f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is! 
f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x) 
\lambda ^{2} - 5 \cdot \lambda + 6 = 0 
\lambda ^{1} = 2 
\lambda ^{2} = 3 
y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} 
y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat y^{ip} \cdot = x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 \cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x) 
-5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x) 
1 \cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A 
cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = e^{y + 2} - x 
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y^{(2)}-at kell megnezni: 
y^{(2)} > 0 --> lokalis minimum 
y^{(2)} < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2) 
ebbol: 
q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2} 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku 
q^{1} = 1 
q^{2} = 3 
ebbol:
f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n} 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k+1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1} 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|a^{n}|^{1/n} vagy | (a^{n} + 1) / a^{n} | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x^{2} van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x^{2} (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x^{2} <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt
\cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0
\cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0
\cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} )
\cdot a^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot b^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
\cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
\cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
\cdot ki kell integralni a fuggvenyt
\cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
\cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok 
f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) + f(x^{0},y^{0}) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f '^{x} = ....... = 0 
f '^{y} = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p^{1}(..,..) 
p^{2}(..,..) 
p^{3}(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)^{2} = ... 
 
4) 
f ''^{xx}(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
\cdot amikor az alakzat egy kor
\cdot amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
\int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz 
A tartomany alakja: 
\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
\cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, \int f(z) ds = 0
\cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
\cdot ha z0 a korben van --> \int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0)
\cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
\int ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 \cdot i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat \int f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
\int cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4) 
sqrt(z^{2}) = -4 
z^{1} = 2 \cdot i 
z^{2} = -2 \cdot i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt \int f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} + z^{2} esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi ) 
z = r \cdot cos( b ) 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r^{2} \cdot sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
\int\int (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ? 
T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
\int\int r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} ) 
Ilyenkor az integralt \int\int 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R^{2} 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
\int\int\int r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2} 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
/z = x - i \cdot y // konjugalt 
|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|^{2} = z \cdot /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i} 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i} 
 
'''Hatvanyozas:''' 
z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u^{(2)}xx = v^{(2)}yx 
u^{(2)}yy = -v^{(2)}xy 
u^{(2)}xy = v^{(2)}yy 
u^{(2)}yx = -v^{(2)}xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u^{(2)}xx + u^{(2)}yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f^{(2)}xx f^{(2)}xy| 
|f^{(2)}yx f^{(2)}yy| 
|det| > 0 
Ha f^{(2)}xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f^{(2)}xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Szerkesztő:Hegyi Zsolt Gábor

2016-05-20T13:21:45Z

Hegyi Zsolt Gábor:

== Wiki szerkesztői pályázathoz ==

- Lentebb található content

- Saját BSz1 jegyzet [http://vik.wiki/Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_I.#Vizsga belinkelve] és [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek forráskódja]

- Saját BSz2 jegyzet [http://vik.wiki/index.php?title=Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_II.#Kidolgozott_t.C3.A9telek belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek forráskódja]

- Anal2 magic LaTeX (lentebb)

= Anal2 magicjegyzet LaTeX-esitve =
== Fontos ==
Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte.
A jegyzet elolvasása a gyakorlást NEM helyettesíti.
Amennyiben hibát találsz ebben az összefoglalóban, akkor kérlek, hogy jelezd az egyik szerkesztőnek vagy javítsd ki a hibát.
Deriválttábla természetesen nem árt.

== Alapok ==
=== Azonosságok, amiket jó, ha tudsz ===
<math>sin^2(x) + cos^2(x) = 1</math> 
<math>cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1</math> 
<math>sin(2x) = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x)</math> 
<math>sin(x + y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x + y) = cos(x) \cdot cos(y) - sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sinh(a+b) = sinh(a) \cdot cosh(b) + cosh(a) \cdot sinh(b)</math> // sincos-cossin (h) 
<math>cosh(a+b) = cosh(a) \cdot cosh(b) + sinh(a) \cdot sinh(b)</math> // coscos-sinsin (h) 
<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)} = 1</math> // Analízis 1.-ből 
<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x} = 1</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{x->0} ( f(x) - f(x_{0}) ) / (x - x_{0})</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x->0} \frac{( f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) )}{\Delta x}</math> 
<math>cosh(x) = \frac{( e^{x} + e^{-x} )}{2}</math> 
<math>sinh(x) = \frac{( e^{x} - e^{-x} )}{2}</math> 
 

=== Deriválás ===
<math>f'(c \cdot x) = c \cdot f'(x)</math> // konstanssal szorzás 
<math>(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)</math> // összeadás 
<math>(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> // szorzás 
<math>(f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) )}{g^{2}(x)}</math> // osztás 
<math>f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math> // összetett függvény 
<math>(f^{-1})'(x) = \frac{1}{( f'( f^{-1}(x) ) )}</math> // inverz függvény 
 
Érintő egyenes egyenlete: <math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)</math> 
 
=== Integrálás ===
<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math> 
<math>\int f( fi(x) ) \cdot fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C</math> 
<math>\int f^{a}(x) \cdot f'(x) dx = \frac{( f(x)^{a + 1} )}{(a + 1)} + C</math> // a != -1 
<math>\int e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + C</math> 
<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln| f(x) | + C</math> 
<math>\int f' \cdot g dx = f \cdot g - \int f\cdot g'</math> // parciális integrálás 
<math>\int (a \cdot x + b) dx = \frac{F(a \cdot x + b)}{a} + C</math> // a != 0 
 
'''Helyettesítéses integrál:''' 
<math>\int f(x) dx</math> // Ez egy bonyolult integrál 
<math>u = f(x)</math> // Ez lesz a helyettesítés 
<math>du = f'(x)</math> // Lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
<math>\int \frac{u}{f'(x)} du</math> = kijön valami --> visszahelyettesítesz 
 
'''Parciális törtekre bontással való integrálás''' 
'''WIP''' 
 

== Differenciálegyenletek (DE) ==
=== Elsőrendű DE-k ===
=== Szeparábilis DE-k ===
<math>y'(x) = g(y) \cdot f(x)</math> // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) 
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0 
<math>g(y) = 0</math> 
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldása lesz a differenciálegyenletnek! 
 
<math>\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx</math> 
Ebből kijön, hogy: <math>y = K \cdot h(x)</math> // itt a <math>K = e^{C}</math> ; C az integrálás során keletkezik 
Néha nem ilyen alakban kérik, de azt jelezni szokták. 
=== Lineáris DE-k ===
<math>y'(x) + g(x) \cdot y = f(x) </math>// ilyen alakban kell keresni 
<math>y'(x) + g(x) \cdot y = 0 </math>// homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható 
<math>y = K \cdot h(x) </math> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is 
<math>K(x) = \int f(x) / h(x) dx</math> 
//inhomogén általános megoldása 
<math>y_{ia} = K \cdot h(x) + K(x) \cdot h(x)</math> // homogén + inhomogén partikuláris megoldás 
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: <math>K = valami</math> 
K-t visszahelyettesíted <math>y^{ia}</math>-ba --> megkapod: <math>y^{konkret}</math> 
 
=== DE helyettesítéssel ===
'''Példán keresztül bemutatva:''' 
<math>y' = \frac{1}{(x + y)}</math> 
Ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni, így helyettesítést kell használni 
Simán meg szokták adni, hogy mivel kell, de ha nem, akkor a lehetséges helyettesítések: 
<math>u = x + y</math> 
<math>u = y / x</math> 
 
Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát: 
<math>u = x + y</math> 
kifejezzük y-t: 
<math>y = u - x</math> 
lederiváljuk: 
<math>y' = u' - 1</math> 
Tehát mostmár minden változó u, x+y megvan, behelyettesítünk: 
<math>u' - 1 = \frac{1}{u}</math> 
kicsit rendezzük: 
<math>u' = 1 + \frac{1}{u} = (u + 1) / u</math> 
Ez tehat szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni. 
Megnézzük a 0-ra vonatkozó megoldást: 
<math>g(u) = \frac{u+1}{u} = 0</math> 
<math>u = -1</math> 
Tehát visszahelyettesítve: <math>y = -1 - x</math> egy megoldása lesz a DE-nek. 
Tovább haladunk a megoldással: 
<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int 1 dx</math> 
A második fele: <math>x + C</math> 
Az első fele: 
<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int \frac{(u + 1 - 1)}{(u + 1)} du = \int 1 - ( \frac{1}{(u + 1)} ) du = u - ln| u + 1 | + C</math> 
 
Ezekből: 
<math>u - ln| u + 1 | = x + C</math>--> visszahelyettesítünk 
<math>x + y - ln| x + y + 1 | = x + c</math> 
 
=== Magasabbrendű DE-k ===
=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
Megoldás: <math>C \cdot e^{\lambda\cdot x}</math> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is mellé, hogy ne legyen egyszerű. 
'''Példa:''' 
<math>y^{(3)} + 2 \cdot y^{(2)} + y' = 0</math> 
<math>\lambda ^{3} + 2 \cdot \lambda ^{2} + \lambda = 0</math> 
<math>\lambda \cdot ( \lambda ^{2} + 2 \cdot \lambda + 1 ) = 0</math> // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
<math>\lambda \cdot ( \lambda + 1 )^{2} = 0</math> 
első feléből <math>\lambda ^{1} = 0</math> 
második feléből <math>\lambda ^{2} = -1</math> 
DE 3 megoldás kell!!! 
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk még x-el beszorzott tagokat 
 
<math>y^{h} = C_1 \cdot e^{0 \cdot x} + C_2 \cdot e^{-1 \cdot x} + C_3 \cdot x \cdot e^{-1 \cdot x}</math> 
 
'''Példa 2:''' 
<math>y^{(3)} + 4 \cdot y^{(2)} + 13 \cdot y' = 0</math> 
<math>\lambda ^{3} + 4 \cdot \lambda ^{2} + 13 \cdot \lambda = 0</math> // kiemelsz \lambda -et 
<math>\lambda ( \lambda ^{2} + 4 \cdot \lambda + 13 ) = 0</math> 
<math>\lambda ( (\lambda + 2)^{2} + 9 ) = 0</math> 
elso felebol <math>\lambda ^{1} = 0</math> 
masodik felebol: 
<math>-9 = (\lambda + 2)^{2}<</math> br />
<math>-9^{1/2} = \lambda + 2</math> 
<math>-9^{1/2} - 2 = \lambda </math> 
<math>3\cdot i - 2 = \lambda </math> //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
<math>-3\cdot i - 2 = \lambda </math> 
 
<math>y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot cos(3 \cdot x) + C3 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot sin(3 \cdot x)</math> 
Tehát a valós rész lesz a <math>\lambda</math> , a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x} 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy \lambda ^{1} = 5 
\lambda ^{2} = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(\lambda - 5) \cdot (\lambda + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
\lambda ^{2} + 3 \cdot \lambda - 5 \cdot \lambda - 15 = 0 
\lambda ^{2} - 2 \cdot \lambda - 15 = 0 
y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0 
y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{\lambda \cdot x} -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) 
b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) 
// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0 
a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, B^{i} ismeretlenek 
f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x} 
f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0} 
f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is! 
f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x) 
\lambda ^{2} - 5 \cdot \lambda + 6 = 0 
\lambda ^{1} = 2 
\lambda ^{2} = 3 
y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} 
y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat y^{ip} \cdot = x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 \cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x) 
-5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x) 
1 \cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A 
cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = e^{y + 2} - x 
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y^{(2)}-at kell megnezni: 
y^{(2)} > 0 --> lokalis minimum 
y^{(2)} < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2) 
ebbol: 
q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2} 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku 
q^{1} = 1 
q^{2} = 3 
ebbol:
f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n} 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k+1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1} 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|a^{n}|^{1/n} vagy | (a^{n} + 1) / a^{n} | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x^{2} van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x^{2} (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x^{2} <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt
\cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0
\cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0
\cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} )
\cdot a^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot b^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
\cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
\cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
\cdot ki kell integralni a fuggvenyt
\cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
\cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok 
f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) + f(x^{0},y^{0}) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f '^{x} = ....... = 0 
f '^{y} = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p^{1}(..,..) 
p^{2}(..,..) 
p^{3}(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)^{2} = ... 
 
4) 
f ''^{xx}(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
\cdot amikor az alakzat egy kor
\cdot amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
\int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz 
A tartomany alakja: 
\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
\cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, \int f(z) ds = 0
\cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
\cdot ha z0 a korben van --> \int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0)
\cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
\int ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 \cdot i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat \int f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
\int cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4) 
sqrt(z^{2}) = -4 
z^{1} = 2 \cdot i 
z^{2} = -2 \cdot i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt \int f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} + z^{2} esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi ) 
z = r \cdot cos( b ) 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r^{2} \cdot sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
\int\int (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ? 
T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
\int\int r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} ) 
Ilyenkor az integralt \int\int 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R^{2} 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
\int\int\int r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2} 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
/z = x - i \cdot y // konjugalt 
|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|^{2} = z \cdot /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i} 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i} 
 
'''Hatvanyozas:''' 
z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u^{(2)}xx = v^{(2)}yx 
u^{(2)}yy = -v^{(2)}xy 
u^{(2)}xy = v^{(2)}yy 
u^{(2)}yx = -v^{(2)}xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u^{(2)}xx + u^{(2)}yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f^{(2)}xx f^{(2)}xy| 
|f^{(2)}yx f^{(2)}yy| 
|det| > 0 
Ha f^{(2)}xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f^{(2)}xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Szerkesztő:Hegyi Zsolt Gábor

2016-05-20T13:17:25Z

Hegyi Zsolt Gábor:

== Wiki szerkesztői pályázathoz ==

- Lentebb található content
- Saját BSz1 jegyzet [http://vik.wiki/Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_I.#Vizsga belinkelve] és [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek forráskódja]
- Saját BSz2 jegyzet [http://vik.wiki/index.php?title=Bevezet%C3%A9s_a_sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1selm%C3%A9letbe_II.#Kidolgozott_t.C3.A9telek belinkelve] és a [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek forráskódja]

----------------------------

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte.
A jegyzet elolvasása a gyakorlást NEM helyettesíti.
Amennyiben hibát találsz ebben az összefoglalóban, akkor kérlek, hogy jelezd az egyik szerkesztőnek vagy javítsd ki a hibát.
Deriválttábla természetesen nem árt.

== Alapok ==
=== Azonosságok, amiket jó, ha tudsz ===
<math>sin^2(x) + cos^2(x) = 1</math> 
<math>cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1</math> 
<math>sin(2x) = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x)</math> 
<math>sin(x + y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x + y) = cos(x) \cdot cos(y) - sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sinh(a+b) = sinh(a) \cdot cosh(b) + cosh(a) \cdot sinh(b)</math> // sincos-cossin (h) 
<math>cosh(a+b) = cosh(a) \cdot cosh(b) + sinh(a) \cdot sinh(b)</math> // coscos-sinsin (h) 
<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)} = 1</math> // Analízis 1.-ből 
<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x} = 1</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{x->0} ( f(x) - f(x_{0}) ) / (x - x_{0})</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x->0} \frac{( f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) )}{\Delta x}</math> 
<math>cosh(x) = \frac{( e^{x} + e^{-x} )}{2}</math> 
<math>sinh(x) = \frac{( e^{x} - e^{-x} )}{2}</math> 
 

=== Deriválás ===
<math>f'(c \cdot x) = c \cdot f'(x)</math> // konstanssal szorzás 
<math>(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)</math> // összeadás 
<math>(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> // szorzás 
<math>(f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) )}{g^{2}(x)}</math> // osztás 
<math>f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math> // összetett függvény 
<math>(f^{-1})'(x) = \frac{1}{( f'( f^{-1}(x) ) )}</math> // inverz függvény 
 
Érintő egyenes egyenlete: <math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)</math> 
 
=== Integrálás ===
<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math> 
<math>\int f( fi(x) ) \cdot fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C</math> 
<math>\int f^{a}(x) \cdot f'(x) dx = \frac{( f(x)^{a + 1} )}{(a + 1)} + C</math> // a != -1 
<math>\int e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + C</math> 
<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln| f(x) | + C</math> 
<math>\int f' \cdot g dx = f \cdot g - \int f\cdot g'</math> // parciális integrálás 
<math>\int (a \cdot x + b) dx = \frac{F(a \cdot x + b)}{a} + C</math> // a != 0 
 
'''Helyettesítéses integrál:''' 
<math>\int f(x) dx</math> // Ez egy bonyolult integrál 
<math>u = f(x)</math> // Ez lesz a helyettesítés 
<math>du = f'(x)</math> // Lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
<math>\int \frac{u}{f'(x)} du</math> = kijön valami --> visszahelyettesítesz 
 
'''Parciális törtekre bontással való integrálás''' 
'''WIP''' 
 

== Differenciálegyenletek (DE) ==
=== Elsőrendű DE-k ===
=== Szeparábilis DE-k ===
<math>y'(x) = g(y) \cdot f(x)</math> // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) 
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0 
<math>g(y) = 0</math> 
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldása lesz a differenciálegyenletnek! 
 
<math>\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx</math> 
Ebből kijön, hogy: <math>y = K \cdot h(x)</math> // itt a <math>K = e^{C}</math> ; C az integrálás során keletkezik 
Néha nem ilyen alakban kérik, de azt jelezni szokták. 
=== Lineáris DE-k ===
<math>y'(x) + g(x) \cdot y = f(x) </math>// ilyen alakban kell keresni 
<math>y'(x) + g(x) \cdot y = 0 </math>// homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható 
<math>y = K \cdot h(x) </math> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is 
<math>K(x) = \int f(x) / h(x) dx</math> 
//inhomogén általános megoldása 
<math>y_{ia} = K \cdot h(x) + K(x) \cdot h(x)</math> // homogén + inhomogén partikuláris megoldás 
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: <math>K = valami</math> 
K-t visszahelyettesíted <math>y^{ia}</math>-ba --> megkapod: <math>y^{konkret}</math> 
 
=== DE helyettesítéssel ===
'''Példán keresztül bemutatva:''' 
<math>y' = \frac{1}{(x + y)}</math> 
Ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni, így helyettesítést kell használni 
Simán meg szokták adni, hogy mivel kell, de ha nem, akkor a lehetséges helyettesítések: 
<math>u = x + y</math> 
<math>u = y / x</math> 
 
Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát: 
<math>u = x + y</math> 
kifejezzük y-t: 
<math>y = u - x</math> 
lederiváljuk: 
<math>y' = u' - 1</math> 
Tehát mostmár minden változó u, x+y megvan, behelyettesítünk: 
<math>u' - 1 = \frac{1}{u}</math> 
kicsit rendezzük: 
<math>u' = 1 + \frac{1}{u} = (u + 1) / u</math> 
Ez tehat szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni. 
Megnézzük a 0-ra vonatkozó megoldást: 
<math>g(u) = \frac{u+1}{u} = 0</math> 
<math>u = -1</math> 
Tehát visszahelyettesítve: <math>y = -1 - x</math> egy megoldása lesz a DE-nek. 
Tovább haladunk a megoldással: 
<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int 1 dx</math> 
A második fele: <math>x + C</math> 
Az első fele: 
<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int \frac{(u + 1 - 1)}{(u + 1)} du = \int 1 - ( \frac{1}{(u + 1)} ) du = u - ln| u + 1 | + C</math> 
 
Ezekből: 
<math>u - ln| u + 1 | = x + C</math>--> visszahelyettesítünk 
<math>x + y - ln| x + y + 1 | = x + c</math> 
 
=== Magasabbrendű DE-k ===
=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
Megoldás: <math>C \cdot e^{\lambda\cdot x}</math> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is mellé, hogy ne legyen egyszerű. 
'''Példa:''' 
<math>y^{(3)} + 2 \cdot y^{(2)} + y' = 0</math> 
<math>\lambda ^{3} + 2 \cdot \lambda ^{2} + \lambda = 0</math> 
<math>\lambda \cdot ( \lambda ^{2} + 2 \cdot \lambda + 1 ) = 0</math> // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
<math>\lambda \cdot ( \lambda + 1 )^{2} = 0</math> 
első feléből <math>\lambda ^{1} = 0</math> 
második feléből <math>\lambda ^{2} = -1</math> 
DE 3 megoldás kell!!! 
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk még x-el beszorzott tagokat 
 
<math>y^{h} = C_1 \cdot e^{0 \cdot x} + C_2 \cdot e^{-1 \cdot x} + C_3 \cdot x \cdot e^{-1 \cdot x}</math> 
 
'''Példa 2:''' 
<math>y^{(3)} + 4 \cdot y^{(2)} + 13 \cdot y' = 0</math> 
<math>\lambda ^{3} + 4 \cdot \lambda ^{2} + 13 \cdot \lambda = 0</math> // kiemelsz \lambda -et 
<math>\lambda ( \lambda ^{2} + 4 \cdot \lambda + 13 ) = 0</math> 
<math>\lambda ( (\lambda + 2)^{2} + 9 ) = 0</math> 
elso felebol <math>\lambda ^{1} = 0</math> 
masodik felebol: 
<math>-9 = (\lambda + 2)^{2}<</math> br />
<math>-9^{1/2} = \lambda + 2</math> 
<math>-9^{1/2} - 2 = \lambda </math> 
<math>3\cdot i - 2 = \lambda </math> //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
<math>-3\cdot i - 2 = \lambda </math> 
 
<math>y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot cos(3 \cdot x) + C3 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot sin(3 \cdot x)</math> 
Tehát a valós rész lesz a <math>\lambda</math> , a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x} 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy \lambda ^{1} = 5 
\lambda ^{2} = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(\lambda - 5) \cdot (\lambda + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
\lambda ^{2} + 3 \cdot \lambda - 5 \cdot \lambda - 15 = 0 
\lambda ^{2} - 2 \cdot \lambda - 15 = 0 
y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0 
y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{\lambda \cdot x} -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) 
b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) 
// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0 
a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, B^{i} ismeretlenek 
f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x} 
f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0} 
f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is! 
f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x) 
\lambda ^{2} - 5 \cdot \lambda + 6 = 0 
\lambda ^{1} = 2 
\lambda ^{2} = 3 
y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} 
y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat y^{ip} \cdot = x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 \cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x) 
-5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x) 
1 \cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A 
cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = e^{y + 2} - x 
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y^{(2)}-at kell megnezni: 
y^{(2)} > 0 --> lokalis minimum 
y^{(2)} < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2) 
ebbol: 
q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2} 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku 
q^{1} = 1 
q^{2} = 3 
ebbol:
f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n} 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k+1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1} 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|a^{n}|^{1/n} vagy | (a^{n} + 1) / a^{n} | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x^{2} van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x^{2} (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x^{2} <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt
\cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0
\cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0
\cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} )
\cdot a^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot b^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
\cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
\cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
\cdot ki kell integralni a fuggvenyt
\cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
\cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok 
f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) + f(x^{0},y^{0}) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f '^{x} = ....... = 0 
f '^{y} = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p^{1}(..,..) 
p^{2}(..,..) 
p^{3}(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)^{2} = ... 
 
4) 
f ''^{xx}(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
\cdot amikor az alakzat egy kor
\cdot amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
\int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz 
A tartomany alakja: 
\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
\cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, \int f(z) ds = 0
\cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
\cdot ha z0 a korben van --> \int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0)
\cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
\int ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 \cdot i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat \int f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
\int cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4) 
sqrt(z^{2}) = -4 
z^{1} = 2 \cdot i 
z^{2} = -2 \cdot i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt \int f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} + z^{2} esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi ) 
z = r \cdot cos( b ) 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r^{2} \cdot sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
\int\int (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ? 
T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
\int\int r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} ) 
Ilyenkor az integralt \int\int 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R^{2} 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
\int\int\int r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2} 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
/z = x - i \cdot y // konjugalt 
|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|^{2} = z \cdot /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i} 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i} 
 
'''Hatvanyozas:''' 
z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u^{(2)}xx = v^{(2)}yx 
u^{(2)}yy = -v^{(2)}xy 
u^{(2)}xy = v^{(2)}yy 
u^{(2)}yx = -v^{(2)}xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u^{(2)}xx + u^{(2)}yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f^{(2)}xx f^{(2)}xy| 
|f^{(2)}yx f^{(2)}yy| 
|det| > 0 
Ha f^{(2)}xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f^{(2)}xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Bevezetés a számításelméletbe I.

2016-05-20T13:16:13Z

Hegyi Zsolt Gábor: Vizsga szekcio - hianyzo header-ek berakasa

{{Tantárgy
|nev=Bevezetés a számításelméletbe 1.
|tárgykód=VISZAA00
|régitárgykód=VISZA103
|szak=info
|kredit=4
|felev=1
|tanszék= SZIT
|kereszt=van
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db
|hf=nincs
|vizsga=szóbeli
|tad=https://portal.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VISZAA00/
|targyhonlap=http://cs.bme.hu/bsz1/
|levlista=bsz1{{kukac}}sch.bme.hu }}

==Követelmények==
===Előtanulmányi rend===
Nincs.

===A szorgalmi időszakban===
*Az '''aláírás''' feltételei:
**Az '''előadások''' legalább 70%-án való részvétel (csak a gólyáknak). ''[https://www.vik.bme.hu/kepzes/alapkepzes/altalanos/500.html Bővebben...]''
**A '''gyakorlatok''' legalább 70%-án való részvétel.
**Két '''ZH''' átlaga legalább 40%. Külön-külön legalább 30%.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A két ZH-ból csak az egyik pótolható, egyszer félév közben, egyszer a pótlási héten (különeljárási díj fejében). Ha egyik ZH sem sikerül elsőre, bukod a tárgyat.
*'''Elővizsga:''' nincs

===A vizsgaidőszakban===
*'''Vizsga:''' szóbeli. Kapsz egy témakört, azt 45 perced van kidolgozni, majd előadni azt az egyik vizsgáztatónak. A felelet után a vizsgáztató belekérdezhet a többi témakörbe, ezekre a kérdésekre is tudni kell válaszolni. A ketteshez minden tételt és definíciót ki kell tudni mondani és tudni kell értelmezni. A jobb jegyhez már a témakörödben lévő tételeket tudni kell bizonyítani is, a bizonyított tételek száma és nehézsége alakítja a vizsgajegyet kettes és ötös között.

===Félévvégi jegy===
*A jegybe (J) a ZH-k (ZHx) és a vizsga (V) eredménye egyaránt beleszámít a következő módon:
**<math>J= 0,4*\frac{ZH_1+ZH_2}{2}+0,6*V</math>
*A tárgy teljesítéséhez a vizsgának is sikerülnie kell, nem elég a jó ZH-eredmény!

==Segédanyagok==
[http://cs.bme.hu/bsz1/jegyzet/bsz1_jegyzet.pdf Szeszlér Dávid-féle BSz1 jegyzet (új)] A tárgyhonlap a tárgyat az új tanrend szerint hallgatóknak ezt a jegyzetet javasolja, mivel ez illeszkedik a megújult tematikához. Gyakran frissül, érdemes mindig a tárgyhonlapról letölteni.

[[Media:NESZ.pdf|Nagy Egyesített Szuperjegyzet]] 2013-as jegyzet, a tanszéki honlap szerint elavulttá teszi a külön BSz1, BSz2 és Számtud jegyzeteket.

[[Media:Fleiner-jegyzet.pdf|Fleiner jegyzet]] 2007-ben előadásra írt jegyzet

[[Media:Bsz_fgy_2013_1_0.pdf | Szeszlér-Wiener BSZ I. feladatgyűjtemény]]

Freud Róbert - Lineáris algebra (Kiadó kérésére eltávolítva)

[[Media:Bsz1_E.Cs_jegyzet.pdf|Elekes Csabi órai jegyzete]] kézzel írott

[[Media:Bsz1_jegyzet_KrivanB.pdf|Kriván Bálint jegyzete]]

[[Media:bsz1_jegyzet_2010_gyakorlatfeladatok_es_megoldasok.pdf|2010-es gyakorlatfeladatok és megoldások]]

[http://www.furthermaths.org.uk/student_area/files/Googletalk.ppt Google PageRank számítása mátrix műveletekkel] - egy érdekes gyakorlati példa, a ppt-hez tartozó feladatlappal: [http://www.furthermaths.org.uk/student_area/files/Googleworksheet.pdf]
===Videó===

[http://coding.sch.bme.hu:8080/egyeb/20111123_bszkonzi.f4v Szöllősi Ferenc 2. zh-ra konzija 2011.11.23]

Hivatalos konzultáció volt, VLC player lejátszóval hiba nélkül fut.

==1. ZH==
*2007
** [[Media:Bsz1_ZH1_20071024.jpeg|2007-10-24]] megoldás nélkül
*2009
** [[Media:Bsz1_zh_2009osz_osszes.pdf|2009 összes zh]] megoldás nélkül
* 2010
** [[Media:Bsz1_zh1_20100325_megoldassal.pdf|2010-03-25]] megoldással
** [[Media:Bsz1_pzh_20100506_megoldással.pdf|2010-05-06 pótZh]] megoldási útmutató (mindkét pót)
** [[Media:Bsz1_zh1_20101021_megoldással.pdf|2010-10-21]] megoldással
*2011
** [[Media:Bsz1_PZH_20110517.jpg|2011-05-17 ppZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_zh1_20111020.pdf|2011-10-20]] megoldással
*2013
** [[Media:BSZ1_ZH1_20130321_megoldassal.pdf|2013-03-21, tavasz]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH1_20130516_megoldassal.pdf|2013-05-16, tavasz PZH]] megoldással
** [[Media:BSZ1_ZH_20131014_megoldassal.pdf|2013-10-24]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH1_20131209_megoldassal.pdf|2013-12-09 PZH]] megoldással
*2014
** [[Media:Bsz1_pzh1_2014_05_12.jpg|2014-05-12, tavasz PZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_ppzh1_2014_05_23.jpg|2014-05-24, tavasz PPZH]] megoldás nélkül
** [[:File:bsz1_zh1_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz]] megoldással
** [[:File:bsz1_pzh_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz PZH]] megoldással

További Zh-k letölthetőek a [http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh] oldalról

==2. ZH==

*2007
** [[Media:Bsz1_ZH2_20071128.jpeg|2007-11-28]] megoldás nélkül
*2009
** [[Media:Bsz1_zh_2009osz_osszes.pdf|2009 összes zh]] megoldás nélkül
*2010
** [[Media:Bsz1_zh2_20100422_megoldással.pdf|2010-04-22]] megoldással
** [[Media:Bsz1_pzh_20100506_megoldással.pdf|2010-05-06 pótZh]] megoldási útmutató (mindkét pót)
** [[Media:Bsz1_zh2_20101125_megoldassal.pdf|2010-11-25]] megoldással
** [[Média:BSZ1 ppzh2 2010osz megoldokulcs.PDF|2010 ősz pótpótZH]] megoldással
*2011
** [[Media:Bsz1_zh2_20111124_megoldassal.pdf|2011-11-24]] megoldással
*2013
** [[Media:BSZ1_ZH2_20130425_megoldassal.pdf|2013-04-25, tavasz]] megoldással
**[[Media:BSZ1_PZH2_20130516_megoldassal.pdf|2013-05-16, tavasz PZH]] megoldással
** [[Media:BSZ1_ZH2_20131128_megoldassal.pdf|2013-11-28]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH2_20131209_megoldassal.pdf|2013-12-09 PZH]] megoldással
*2014
** [[Media:Bsz1_pzh2_2014_05_12.jpg|2014-05-12, tavasz PZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_ppzh2_2014_05_23.jpg|2014-05-23, tavasz PPZH]] megoldás nélkül
** [[:File:bsz1_zh2_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz]] megoldással
** [[:File:bsz1_pzh_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz PZH]] megoldással

További Zh-k letölthetőek a [http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh] oldalról

==Vizsga==

Vizsgán egy tételt kell papíron kidolgozni (kockával dobsz, hogy melyiket). A vizsgáztató ezt elolvassa, ha kissé hiányos, feltesz pár kiegészítő kérdést, utána néhány másik tételbe belekérdez. A tárgyat érteni is kell, mert megoldathat nagyon egyszerű feladatokat, ami csak arra megy rá, hogy érted-e a fogalmat.

===Tételsorok===
* [[Media:bsz1tetelek2013osz.pdf|2013/14/1 tételsor]]
* [[:File:bsz1_vizsga_2015osz_tetelsor.pdf|2015/2016/1 tételsor]]

===Kidolgozott tételek===
* [[Media:Bsz1_vizsga_20082009osz_tetelkidolgozas.pdf|Kézzel írott (2008/2009)]]
* [[Media:Bsz1_vizsga_tételkidolgozás.pdf|Kézzel írott]]
* [[Media:BSZ1_P.N._kidolgozott_tetelsor_20140110.pdf|Pap Nóra kidolgozott tételsora a 2013/14/1-es vizsgákra]] kézzel írott
* [[Media:BSZ1_deli_kidolgozott_tetelsor_2014_jan.pdf|Demeter Deli Kristóf kidolgozott tételsora a 2013/14/1-es vizsgákra]] kézzel írott ([https://drive.google.com/file/d/0B94wsRZevzmjdVE1T0ZIaFl4bnc/edit?usp=sharing jobb minőségben Google Drive-on])
* [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek Hegyi Zsolt és még sok valued contributor kidolgozott tételsora 2014/2015/1-es vizsgára] ([[:File:bsz1_vizsga_2015osz_kidolgozott_Hegyi_Zsolt.pdf|nem javított PDF itt, helyességére nincs garancia]]) [[Media:Bsz1_tetelsor_2015_osz_kindle.pdf|(ugyanez, csak Kindle-re optimalizálva)]]

==Tippek==
Gyakveznek tudom ajánlani: Richlik Györgyöt, Szatmári Zoltánt, Szeszlér Dávidot és Csákány Ritát.
Közülük mindegyikük óráján voltam, és nagyon korrekten és kimondottan élvezhetően tartották a gyakorlatot, és mindent elmondanak úgy hogy megértsd. Nekem személyes kedvencem Csákány Rita, aki a gyak előtt leadja a gyakhoz tartozó elméletet, ami nagyon sokat tud segíteni a zh-ra készülésben, mert csak a lényeg van benne. Ha aktív vagy nála akkor könnyebben ad pontot zh reklamálásnál. by Fityusz

Zh-ra érdemes többet készülni, korábbi zh-kat átnézni, mert akadnak típusfeladatok amiket csak rá kell "húzni" egy tételre. Vagyis ezek általában könnyen megoldhatóak, a többi feladathoz viszont nagyon kell tudni a tételeket.

Vizsgára tudni kell minden tételt, mert mindenbe belekérdezhetnek. Egy tételt kell teljesen kidolgozni, majd a többiből kérdezgetnek.

==Hasznos linkek==

[http://www.cs.bme.hu/~zoli/bszfc/ Bsz fan club] Németh Zoltán, volt gyakorlatvezető honlapja

[http://cs.bme.hu/~petamas/gauss.jar Gauss-elimináció java alkalmazás] szerző: Peregi Tamás (tanuláshoz, gyakorláshoz és ellenőrzéshez egyaránt kiváló)

==Kedvcsináló==

Ez egy bevezető tárgy, aminek a tudásait a későbbiekben nagyon jól tudjuk alkalmazni, például a mátrixműveletek fontosak lesznek a titkosítási és hibavédelmi algoritmusokhoz, koordinátageometria fontos a modellezési feladatoknál.

Számítógépes-grafika tárgynál is hasznos az itt szerzett tudás, főleg a komplex szám és mátrix rész.
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak}}

Bevezetés a számításelméletbe I.

2016-04-26T21:22:13Z

Hegyi Zsolt Gábor: BSz1 tételsorom Kindle-optimalizált változatának hozzáadása.

{{Tantárgy
|nev=Bevezetés a számításelméletbe 1.
|tárgykód=VISZAA00
|régitárgykód=VISZA103
|szak=info
|kredit=4
|felev=1
|tanszék= SZIT
|kereszt=van
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db
|hf=nincs
|vizsga=szóbeli
|tad=https://portal.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VISZAA00/
|targyhonlap=http://cs.bme.hu/bsz1/
|levlista=bsz1{{kukac}}sch.bme.hu }}

==Követelmények==
===Előtanulmányi rend===
Nincs.

===A szorgalmi időszakban===
*Az '''aláírás''' feltételei:
**Az '''előadások''' legalább 70%-án való részvétel (csak a gólyáknak). ''[https://www.vik.bme.hu/kepzes/alapkepzes/altalanos/500.html Bővebben...]''
**A '''gyakorlatok''' legalább 70%-án való részvétel.
**Két '''ZH''' átlaga legalább 40%. Külön-külön legalább 30%.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A két ZH-ból csak az egyik pótolható, egyszer félév közben, egyszer a pótlási héten (különeljárási díj fejében). Ha egyik ZH sem sikerül elsőre, bukod a tárgyat.
*'''Elővizsga:''' nincs

===A vizsgaidőszakban===
*'''Vizsga:''' szóbeli. Kapsz egy témakört, azt 45 perced van kidolgozni, majd előadni azt az egyik vizsgáztatónak. A felelet után a vizsgáztató belekérdezhet a többi témakörbe, ezekre a kérdésekre is tudni kell válaszolni. A ketteshez minden tételt és definíciót ki kell tudni mondani és tudni kell értelmezni. A jobb jegyhez már a témakörödben lévő tételeket tudni kell bizonyítani is, a bizonyított tételek száma és nehézsége alakítja a vizsgajegyet kettes és ötös között.

===Félévvégi jegy===
*A jegybe (J) a ZH-k (ZHx) és a vizsga (V) eredménye egyaránt beleszámít a következő módon:
**<math>J= 0,4*\frac{ZH_1+ZH_2}{2}+0,6*V</math>
*A tárgy teljesítéséhez a vizsgának is sikerülnie kell, nem elég a jó ZH-eredmény!

==Segédanyagok==
[http://cs.bme.hu/bsz1/jegyzet/bsz1_jegyzet.pdf Szeszlér Dávid-féle BSz1 jegyzet (új)] A tárgyhonlap a tárgyat az új tanrend szerint hallgatóknak ezt a jegyzetet javasolja, mivel ez illeszkedik a megújult tematikához. Gyakran frissül, érdemes mindig a tárgyhonlapról letölteni.

[[Media:NESZ.pdf|Nagy Egyesített Szuperjegyzet]] 2013-as jegyzet, a tanszéki honlap szerint elavulttá teszi a külön BSz1, BSz2 és Számtud jegyzeteket.

[[Media:Fleiner-jegyzet.pdf|Fleiner jegyzet]] 2007-ben előadásra írt jegyzet

[[Media:Bsz_fgy_2013_1_0.pdf | Szeszlér-Wiener BSZ I. feladatgyűjtemény]]

Freud Róbert - Lineáris algebra (Kiadó kérésére eltávolítva)

[[Media:Bsz1_E.Cs_jegyzet.pdf|Elekes Csabi órai jegyzete]] kézzel írott

[[Media:Bsz1_jegyzet_KrivanB.pdf|Kriván Bálint jegyzete]]

[[Media:bsz1_jegyzet_2010_gyakorlatfeladatok_es_megoldasok.pdf|2010-es gyakorlatfeladatok és megoldások]]

[http://www.furthermaths.org.uk/student_area/files/Googletalk.ppt Google PageRank számítása mátrix műveletekkel] - egy érdekes gyakorlati példa, a ppt-hez tartozó feladatlappal: [http://www.furthermaths.org.uk/student_area/files/Googleworksheet.pdf]
===Videó===

[http://coding.sch.bme.hu:8080/egyeb/20111123_bszkonzi.f4v Szöllősi Ferenc 2. zh-ra konzija 2011.11.23]

Hivatalos konzultáció volt, VLC player lejátszóval hiba nélkül fut.

==1. ZH==
*2007
** [[Media:Bsz1_ZH1_20071024.jpeg|2007-10-24]] megoldás nélkül
*2009
** [[Media:Bsz1_zh_2009osz_osszes.pdf|2009 összes zh]] megoldás nélkül
* 2010
** [[Media:Bsz1_zh1_20100325_megoldassal.pdf|2010-03-25]] megoldással
** [[Media:Bsz1_pzh_20100506_megoldással.pdf|2010-05-06 pótZh]] megoldási útmutató (mindkét pót)
** [[Media:Bsz1_zh1_20101021_megoldással.pdf|2010-10-21]] megoldással
*2011
** [[Media:Bsz1_PZH_20110517.jpg|2011-05-17 ppZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_zh1_20111020.pdf|2011-10-20]] megoldással
*2013
** [[Media:BSZ1_ZH1_20130321_megoldassal.pdf|2013-03-21, tavasz]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH1_20130516_megoldassal.pdf|2013-05-16, tavasz PZH]] megoldással
** [[Media:BSZ1_ZH_20131014_megoldassal.pdf|2013-10-24]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH1_20131209_megoldassal.pdf|2013-12-09 PZH]] megoldással
*2014
** [[Media:Bsz1_pzh1_2014_05_12.jpg|2014-05-12, tavasz PZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_ppzh1_2014_05_23.jpg|2014-05-24, tavasz PPZH]] megoldás nélkül
** [[:File:bsz1_zh1_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz]] megoldással
** [[:File:bsz1_pzh_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz PZH]] megoldással

További Zh-k letölthetőek a [http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh] oldalról

==2. ZH==

*2007
** [[Media:Bsz1_ZH2_20071128.jpeg|2007-11-28]] megoldás nélkül
*2009
** [[Media:Bsz1_zh_2009osz_osszes.pdf|2009 összes zh]] megoldás nélkül
*2010
** [[Media:Bsz1_zh2_20100422_megoldással.pdf|2010-04-22]] megoldással
** [[Media:Bsz1_pzh_20100506_megoldással.pdf|2010-05-06 pótZh]] megoldási útmutató (mindkét pót)
** [[Media:Bsz1_zh2_20101125_megoldassal.pdf|2010-11-25]] megoldással
** [[Média:BSZ1 ppzh2 2010osz megoldokulcs.PDF|2010 ősz pótpótZH]] megoldással
*2011
** [[Media:Bsz1_zh2_20111124_megoldassal.pdf|2011-11-24]] megoldással
*2013
** [[Media:BSZ1_ZH2_20130425_megoldassal.pdf|2013-04-25, tavasz]] megoldással
**[[Media:BSZ1_PZH2_20130516_megoldassal.pdf|2013-05-16, tavasz PZH]] megoldással
** [[Media:BSZ1_ZH2_20131128_megoldassal.pdf|2013-11-28]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH2_20131209_megoldassal.pdf|2013-12-09 PZH]] megoldással
*2014
** [[Media:Bsz1_pzh2_2014_05_12.jpg|2014-05-12, tavasz PZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_ppzh2_2014_05_23.jpg|2014-05-23, tavasz PPZH]] megoldás nélkül
** [[:File:bsz1_zh2_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz]] megoldással
** [[:File:bsz1_pzh_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz PZH]] megoldással

További Zh-k letölthetőek a [http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh] oldalról

==Vizsga==

Vizsgán egy tételt kell papíron kidolgozni (kockával dobsz, hogy melyiket). A vizsgáztató ezt elolvassa, ha kissé hiányos, feltesz pár kiegészítő kérdést, utána néhány másik tételbe belekérdez. A tárgyat érteni is kell, mert megoldathat nagyon egyszerű feladatokat, ami csak arra megy rá, hogy érted-e a fogalmat.

Tételsorok:
* [[Media:bsz1tetelek2013osz.pdf|2013/14/1 tételsor]]
* [[:File:bsz1_vizsga_2015osz_tetelsor.pdf|2015/2016/1 tételsor]]

Kidolgozott tételek:
* [[Media:Bsz1_vizsga_20082009osz_tetelkidolgozas.pdf|Kézzel írott (2008/2009)]]
* [[Media:Bsz1_vizsga_tételkidolgozás.pdf|Kézzel írott]]
* [[Media:BSZ1_P.N._kidolgozott_tetelsor_20140110.pdf|Pap Nóra kidolgozott tételsora a 2013/14/1-es vizsgákra]] kézzel írott
* [[Media:BSZ1_deli_kidolgozott_tetelsor_2014_jan.pdf|Demeter Deli Kristóf kidolgozott tételsora a 2013/14/1-es vizsgákra]] kézzel írott ([https://drive.google.com/file/d/0B94wsRZevzmjdVE1T0ZIaFl4bnc/edit?usp=sharing jobb minőségben Google Drive-on])
* [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek Hegyi Zsolt és még sok valued contributor kidolgozott tételsora 2014/2015/1-es vizsgára] ([[:File:bsz1_vizsga_2015osz_kidolgozott_Hegyi_Zsolt.pdf|nem javított PDF itt, helyességére nincs garancia]]) [[Media:Bsz1_tetelsor_2015_osz_kindle.pdf|(ugyanez, csak Kindle-re optimalizálva)]]

==Tippek==
Gyakveznek tudom ajánlani: Richlik Györgyöt, Szatmári Zoltánt, Szeszlér Dávidot és Csákány Ritát.
Közülük mindegyikük óráján voltam, és nagyon korrekten és kimondottan élvezhetően tartották a gyakorlatot, és mindent elmondanak úgy hogy megértsd. Nekem személyes kedvencem Csákány Rita, aki a gyak előtt leadja a gyakhoz tartozó elméletet, ami nagyon sokat tud segíteni a zh-ra készülésben, mert csak a lényeg van benne. Ha aktív vagy nála akkor könnyebben ad pontot zh reklamálásnál. by Fityusz

Zh-ra érdemes többet készülni, korábbi zh-kat átnézni, mert akadnak típusfeladatok amiket csak rá kell "húzni" egy tételre. Vagyis ezek általában könnyen megoldhatóak, a többi feladathoz viszont nagyon kell tudni a tételeket.

Vizsgára tudni kell minden tételt, mert mindenbe belekérdezhetnek. Egy tételt kell teljesen kidolgozni, majd a többiből kérdezgetnek.

==Hasznos linkek==

[http://www.cs.bme.hu/~zoli/bszfc/ Bsz fan club] Németh Zoltán, volt gyakorlatvezető honlapja

[http://cs.bme.hu/~petamas/gauss.jar Gauss-elimináció java alkalmazás] szerző: Peregi Tamás (tanuláshoz, gyakorláshoz és ellenőrzéshez egyaránt kiváló)

==Kedvcsináló==

Ez egy bevezető tárgy, aminek a tudásait a későbbiekben nagyon jól tudjuk alkalmazni, például a mátrixműveletek fontosak lesznek a titkosítási és hibavédelmi algoritmusokhoz, koordinátageometria fontos a modellezési feladatoknál.

Számítógépes-grafika tárgynál is hasznos az itt szerzett tudás, főleg a komplex szám és mátrix rész.
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak}}

Fájl:Bsz1 tetelsor 2015 osz kindle.pdf

2016-04-26T21:20:32Z

Hegyi Zsolt Gábor: Hegyi Zsolt BSz1 tételsora, Kindle optimalizált változat.

Hegyi Zsolt BSz1 tételsora, Kindle optimalizált változat.

Fájl:Bsz1 vizsga 2015osz kidolgozott Hegyi Zsolt.pdf

2016-04-26T21:19:21Z

Hegyi Zsolt Gábor: Hegyi Zsolt Gábor uploaded a new version of Fájl:Bsz1 vizsga 2015osz kidolgozott Hegyi Zsolt.pdf

Bevezetés a számításelméletbe II.

2016-04-26T21:15:29Z

Hegyi Zsolt Gábor: Saját BSz2 tételsorom felrakása és belinkelése.

{{Tantárgy
|nev=Bevezetés a számításelméletbe 2.
|tárgykód=VISZAA01
|régitárgykód=VISZA110
|szak=info
|kredit=4
|felev=2
|kereszt=van
|tanszék= SZIT
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db
|hf=nincs
|vizsga=szóbeli
|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VISZAA01
|targyhonlap=http://www.cs.bme.hu/bsz2/
|levlista=bsz2{{kukac}}sch.bme.hu }}

==Követelmények==
===Előtanulmányi rend===
[[Bevezetés a számításelméletbe I.|Bevezetés a számításelméletbe 1.]] tárgyból aláírás megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez.

===A szorgalmi időszakban===
*Az '''aláírás''' feltételei:
**Két '''ZH''' egyenként min. 30% megírása.
**Két '''ZH''' min. 40% átlaggal való teljesítése.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A két ZH-ból csak az egyik pótolható, egyszer félév közben, egyszer a pótlási héten (különeljárási díj fejében). Ha egyik ZH sem sikerül elsőre, bukod a tárgyat.
*'''Elővizsga:''' nincs

===A vizsgaidőszakban===
*'''Vizsga:''' szóbeli. Kapsz egy témakört, azt 45 perced van kidolgozni, majd előadni azt az egyik vizsgáztatónak. A felelet után a vizsgáztató belekérdezhet a többi témakörbe, ezekre a kérdésekre is tudni kell válaszolni. A ketteshez minden tételt és definíciót ki kell tudni mondani és tudni kell értelmezni. A jobb jegyhez már a témakörödben lévő tételeket tudni kell bizonyítani is, a bizonyított tételek száma és nehézsége alakítja a vizsgajegyet kettes és ötös között.

===Félévvégi jegy===
*A jegybe (J) a ZH-k (ZHx) és a vizsga (V) eredménye egyaránt beleszámít a következő módon:
**<math>J= 0,4*\frac{ZH_1+ZH_2}{2}+0,6*V</math>
*A tárgy teljesítéséhez a vizsgának is sikerülnie kell, nem elég a jó ZH-eredmény!

== Oktató videók ==
* [http://easymath.hu/index.php/tananyag/bme/bevezetes-a-szamitaselmeletbe-2 Elmélet és gyakorló feladatok - Papp Márton] - A megújult BSZ2 (VISZAA01) tételsorát követő, zh- és vizsgafelkészülést segítő oktató videók. A vizsgára szükséges fogalmak, tételek és algoritmusok, részletes magyarázattal és példákkal. A ZH-n szereplő anyagrészekhez gyakorló példák, megoldással és részletes magyarázattal. Kérdések a videókkal kapcsolatban: szamtudkorrep@gmail.com '''''(FIZETŐS!)'''''

== Jegyzetek ==
* Az új tanrend szerint hallgatóknak az alábbi jegyzetek használata javasolt:
** Katona-Recski-Szabó: A számítástudomány alapjai [http://www.interkonyv.hu/konyvek/?isbn=978-963-9664-19-7 PDF] [http://www.typotex.hu/book/216/recski_andras_a_szamitastudomany_alapjai könyv]
** [http://www.typotex.hu/latex/recski.pdf Friedl-Recski-Simonyi: Gráfelméleti feladatok]
** [http://cs.bme.hu/bsz2/bfs.pdf Szeszlér Dávid jegyzete a BFS algoritmusról]
** [http://cs.bme.hu/bsz2/dfs.pdf Szeszlér Dávid jegyzete a DFS algoritmusról] 

* [http://www.cs.bme.hu/~fleiner/jegyzet/NESZ.pdf Fleiner Tamás: Nagy, egyesített szuperjegyzet (NESZ)]
** [[Media:bsz2_jegyzet_2012tavasz_by.fleiner.tamas.pdf|Fleiner jegyzet]]
* [[Media:bsz2_jegyzet.zhra_2009osz_by.szollosi.pdf|Szöllősi Ferenc konzi - ZH-tippek]]
* [[Media:bsz2_jegyzet.zhkra_2012osz_by.turibarnabas.PDF|Összefoglaló az 1-2. ZH-ra (Turi Barnabás, 2012. ősz)]]
* [[Media:bSz2_tetelek_osszefogl.pdf|Tételek röviden]]

===Kézzel írt előadásjegyzetek===

* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel_2009.PDF|2009-es, kézzel írott jegyzet]]
* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel_2008tavasz_by.elekes.csaba.pdf|2008. tavasz (Wiener Gábor előadása) - by Elekes Csaba]]
* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel3.PDF|2006-os, kézzel írott jegyzet]]
* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel_2003tavasz_szeszler.pdf|2003 tavasz (Szeszlér Dávid előadása)]]
* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel.PDF|Jegyzet1 (kézzel írott)]]
* [[Media:BSz2_jegyzetkezzel2.pdf|Jegyzet2 (kézzel írott)]]

===Anyag 1. ZH-ig===

* [[Media:bsz2_definiciok.zh1ig.jpg|Definíciók (1 oldal)]]
* [[Media:bsz2_tetelek.zh1ig.jpg|Tételek (1 oldal)]]
* [[Media:bsz2_tetelek.zh1ig_2006.pdf|2006. Tételek az 1. ZH-ig]]
* [[Media:bsz2_tetelek.zh1ig_1999tavasz.pdf|1999. tavasz - by Binzberger Viktor]]

===Bizonyítások===

* [[Media:bsz2_biz_chvataltetele.pdf|Chvátal tétele]]
* [[Media:bsz2_biz_perfektgraftetel.pdf|Lovász gyenge perfekt gráf tétele + másik Lovász-tétel: α(G') · ω(G')≥|V(G')|]]
* [[Media:bsz2_biz_posaore.pdf|Pósa-tétel -> Ore-tétel]]
* [[Media:bsz2_biz_wilsontetel.pdf|Wilson-tétel]]

== Gyakorlatok ==

===Feladatok===

* [https://igyak.sch.bme.hu/uploads/3/downloads/bsz2_mester_2013_osz.pdf Mester (régi ZH-k és gyakok, Sebők Márton, 2013 ősz)] - megoldással, hibákat jelezzétek [[Szerkesztő:Sm|nekem]] ([https://igyak.sch.bme.hu/uploads/2/downloads/bsz2_mester_2013.pdf 2013 tavaszi változat], [https://igyak.sch.bme.hu/uploads/1/downloads/bsz2_mester.pdf 2012 őszi változat])
* [[Media:bsz2_feladatok_hajdany.pdf|Hajdany]]
* [[Media:bsz2_feladatok+mo_csimajudit78.docx|Csima Judit]] - megoldással
* [[Media:bsz2_feladatok+mo_karman.JPG|Kármán]] - megoldással

===Gyakorlatfeladatok===
* [[Media:Fleiner.zip|Emeltszintű gyakorlati feladatosorok, elméleti összefoglalókkal (Fleiner összeállításai) ]](2015 tavasz)
* [https://igyak.sch.bme.hu/uploads/3/downloads/bsz2_sebok_2013_osz.pdf Gyakfeladatok (Sebők Márton, 2013 ősz)] - megoldással, hibákat jelezzétek [[Szerkesztő:Sm|nekem]] ([https://igyak.sch.bme.hu/uploads/2/downloads/bsz2_sebok_2013.pdf 2013 tavaszi változat], [https://igyak.sch.bme.hu/uploads/1/downloads/bsz2_sebok.pdf 2012 őszi változat])
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok+mo_2012osz_tothgeza+fogarasdani.pdf|Gyakfeladatok (Tóth Géza & Fogaras Dani, 2012 ősz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok+mo_2009_by.kissg.pdf|Gyakfeladatok (kissg, 2009)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok+mo_2007tavasz_tothagi.pdf|Gyakfeladatok (Tóth Ági, 2007 tavasz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok+mo_2002tavasz_marxdaniel.docx|Gyakfeladatok (Marx Dániel, 2002 tavasz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok_1999osz.pdf|Gyakfeladatok (1999 ősz)]]
* [[Media:bsz2_gyak0-5.feladatok+mo.docx|0-5. gyak]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak1+mo_tothgeza.doc|1. gyak (Tóth Géza)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak8.feladatok+mo_fogaras.dani.docx|8.gyak (Fogaras Dani)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak_emelt_01_2002tavasz.pdf|1. emelt gyak (2002 tavasz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak_emelt_02.pdf|2. emelt gyak (2002 tavasz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak_emelt_03.pdf|3. emelt gyak (2002 tavasz)]] - megoldással

== 1. ZH ==
===ZH===
* [[Media:bsz2zh15oszjav1.pdf|2015 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2015tavasz_pontozas.pdf|2015 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2014osz_megold.pdf|2014 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2014tavasz_javito.pdf|2014 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2013osz_megold.pdf|2013 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2013tavasz_megold.pdf|2013 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2012ősz(megold).pdf|2012 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2012tavasz(megold).pdf|2012 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2011tavasz(megold).pdf|2011 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2011osz(megold).pdf|2011 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2010tavasz(megold).pdf|2010 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2009osz.pdf|2009 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2008osz.pdf|2008 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2008.pdf|2008]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2007.10.29.jpg|2007 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2007.03.30(megold).pdf|2007 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2006tavasz_megold.pdf|2006 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2005.gif|2005]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2004.03.25.pdf|2004 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2003.03.27.pdf|2003 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2002.10.21.jpg|2002 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2001.03.29.pdf|2001 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 1999osz.png|1999 ősz]]

===pótZH===
* [[Media:Bsz2_pzh1_2015osz_megold.pdf|2015 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_pzh1_2014osz_megold.pdf|2014 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1p_2014tavasz_megold.pdf|2014 tavasz]] - megoldással
* [[Media:BSZ2_PZH1_20131211_megold.pdf‎|2013 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2013tavasz(megold).pdf|2013 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2012tavasz(megold).pdf|2012 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2011osz(megold).pdf|2011 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2011tavasz(megold).pdf|2011 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2010tavasz.JPG|2010 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2007(megold).pdf|2007]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2007tavasz(megold).pdf|2007 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_pzh1_2006tavasz_megold.pdf|2006 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2003.05.13.pdf|2003]]
* [[Media:Bsz2 pzh1 1999.12.16.pdf|1999]]

== 2. ZH ==
===ZH===
* [[Media:bsz2_zh2_2015osz_megold.pdf|2015 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh2_2015tavasz_megold.pdf|2015 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh2_2014osz_megold.pdf|2014 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh2_2014tavasz_megold.pdf|2014 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 bsz2zh2013osz_2.pdf|2013 osz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2013tavasz(megold).pdf|2013 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2012osz(megold).pdf|2012 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2012tavasz(megold).pdf|2012 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2011osz(megold).pdf|2011 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2011tavasz(megold).pdf|2011 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2010osz(megold).pdf|2010 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2010tavasz.JPG|2010 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2007.11.26.pdf|2007 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2007.04.26(megold).pdf|2007 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2006osz.pdf|2006 ősz]]
* [[Media:Bsz2_zh2_2006tavasz_megold.pdf|2006 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2005.gif|2005]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2004.04.29.jpg|2004 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2003.04.30.pdf|2003 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2002.12.02.pdf|2002 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2001.12.05.pdf|2001 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2001.05.03.pdf|2001 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 1999osz.png|1999 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 1999.jpg|1999]]

===pótZH===
* [[Media:Bsz2_pzh2_2015osz_megold.pdf|2015 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_pzh2_2014osz_megold.pdf|2014 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh2p_2014tavasz_megold.pdf|2014]] - tavasz
* [[Média:BSZ2_PZH2_20131211_megold.pdf‎|2013 ősz]] - megoldással
* [[Média:Bsz2_pzh2_2013tavasz(megold).pdf|2013 tavasz]] - megoldással
* [[Média:Bsz2_pzh2_2012osz(megold).pdf|2012 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2012tavasz(megold).pdf|2012 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2011osz(megold).pdf|2011 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2011tavasz(megold).pdf|2011 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2010tavasz.JPG|2010 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 pzh2 2007.12.03.pdf|2007 ősz]]
* [[Media:Bsz2_pzh2_2006tavasz_megold.pdf|2006 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2005.12.17.jpg|2005 ősz]]
* [[Media:Bsz2 pzh2 2004.05.10.gif|2004 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 pzh2 2003.05.15.pdf|2003 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 pzh2 2001.12.05.pdf|2001 ősz]]

===ZH és pótZH együtt===

* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 megoldassal 2009tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2009 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2+ppzh1-2 2007-8tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 & ppzh1-2 2007-2008 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 pzh1-2 2008.pdf|pzh1-2 2008]]
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 2007tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2007 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 2006tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2006 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 2005tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2005 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 2004tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2004 tavasz]]

== Vizsga ==

===Tételsorok===

* [[Media:Bsz2_tetelsor_2013osz.pdf|2013 ősz]]
* [[Media:bsz2_tetelsor_2010osz.pdf|2010 ősz]]
* [[Media:bsz2_tetelsor_2005osz.pdf|2005 ősz]]
* [[Media:bsz2_tetelsor_2004tavasz.pdf|2004 tavasz]]
* [[Media:bsz2_tetelsor_1999tavasz.pdf|1999 tavasz]]

===Kidolgozott tételek===
* [https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek 2015 tavaszi tételsor kidolgozás (Hegyi Zsolt és sok valued contributor)] [[Media:Bsz2_tetelsor_2015_tavasz.pdf|(lefordított, de nem feltétlenül up-to-date tételsor itt)]] [[Media:Bsz2_tetelsor_2015_tavasz_kindle.pdf|(ugyanez, csak Kindle-re optimalizálva)]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2015osz.pdf|2015 őszi tételsor kidolgozása]]
* [[Media:bsz2_vizsga_2014tavasz_tetelsor.pdf|2014 tavaszi tételsor kidolgozása]]
* [[Media:Bsz2_vizsga_2013-14_osz_tetelkidolgozas_(HP).pdf|2013/14. őszi félév vizsga-tételsorának kidolgozása (Haraszin Péter)]] (a [[Media:Bsz2_tetelsor_2013osz.pdf|tételsor]])
** [[Media:Bsz2_vizsga_2013-14_osz_tetelkidolgozas_(HP).docx|ITT A SZERKESZTHETŐ változat docx-kiterjesztéssel!]] (Word 2013-mal formázva) - ha hibát találtok, kérlek, javítsátok! (Ez a változat arra is jó, ha testre szeretnétek szabni a formázást.) --[[Szerkesztő:Harapeti|Haraszin Péter]] ([[Szerkesztővita:Harapeti|vita]]) 2014. január 21., 14:20 (UTC)
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2012tavasz.pdf|2012 tavaszi félév tételei kidolgozva - bizonyítások nélkül]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2011tavasz_by.HP.pdf|2011 tavaszi félév tételei kidolgozva (Haraszin Péter)]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2010osz_by.HP.pdf|2010 őszi félév tételei kidolgozva (Haraszin Péter)]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2009tavasz.pdf|2009 tavaszi félév tételei kidolgozva (Vőneki Balázs)]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas1-10_2009_by.v.b.doc|2009 1-10.tétel - by vb]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2008tavasz_by.sp.pdf|2008 tavasz - by sp]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2008tavasz.doc|2008 tavasz]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2006tavasz.pdf|2006 tavasz - nagyon rövid]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2006osz(biznelkul).doc|2006 ősz - bizonyítások nélkül]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2005tavasz.pdf|2005 tavasz]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2004.pdf|2004]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas.doc|Kidolgozott tételek 1]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas2.pdf|Kidolgozott tételek 2]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas3.PDF|Kidolgozott tételek 3]]

===Régi írásbeli vizsgák===
(ilyen most már nincs, de gyakorló feladatnak tökéletesek)

* [[Media:Bsz2 vizsga 2001.06.13.pdf|2001_1]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 2001.05.30.pdf|2001_2]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 2001.05.24.pdf|2001_3]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 2000.06.06.pdf|2000_1]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 2000.05.25.pdf|2000_2]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1998.gif|1998_1]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1998_2.gif|1998_2]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1998_3.gif|1998_3]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1998_4.gif|1998_4]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1997.gif|1997_1]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1997_2.gif|1997_2]]

== Tippek ==

ZH: Csak feladatok, de érdemes megtanulni a tételeket (bizonyítás nélkül): előfordul, hogy fogalmad sincs hogy kezdj neki egy példának, ilyenkor könnyebb végig gondolni az adott témánál tanult 5-10 tételt, és már biztos el tudsz indulni:) + végtelen feladatmegoldó rutin se árt.
 
Vizsga: szóbeli. Dobsz (kockával) egy tételt, 45 perced van kidolgozni.
Ezután van, hogy nincs várakozó vizsgáztató a teremben csak ahogy beér, kihívja a következő embert a sorban és már megy is el vele. Ilyenkor nem lehet mivel ügyeskedni, kb. sejteni fogod, hogy kit kaphatsz és felkészülsz rá mentálisan.
Ha pedig valamiért ácsorog ott egy kettő akkor oda lehet menni, hogy te szeretnél akkor menni vizsgázni. Ehhez javasolt az első sorban ülni, hiszen ha hátulról jössz, lehet hogy valaki fürgébb nálad, vagy azt mondják ülj vissza. Ha sikerül, ilyenkor azt kapod aki a legközelebb áll a kijárathoz eddigi tapasztalataim szerint. Harmadik esetben jelentkezel, hogy kész vagy és szólítsanak leghamarabb. Ez akkor jó, ha tudod ki fog jönni. Viszont az a baj, hogy láttam olyat aki így került volna olyanhoz, aki szigorúbb, ő ezt egy "Még eszembe jutott valami, mégsem akarok jönni" kijelentéssel megúszta. Ha gáz van, alkalmazzuk.
Bármit húzol, bele fognak kérdezni minimum a tételek felébe; ez tény, nem legenda. Minimum szint (értsd: 2es) az összes definíció és tétel pontos kimondása. Jobb jegyért bizonyítások, alkalmazás (esetleg könnyebb példákon) - ezek előadáson sokkal könnyebben megérthetők, mint jegyzetből.
Tanulás közben, ha korábbi tételkidolgozásokat nézegetsz: figyelj arra, hogy nem biztos hogy ua., szoktak változtatni.
 
--[[Szerkesztő:Dana428|Anna]] 2013.01.15.

{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak}}

Fájl:Bsz2 tetelsor 2015 tavasz kindle.pdf

2016-04-26T21:13:59Z

Hegyi Zsolt Gábor: Hegyi Zsolt BSz2 tételsora (Kindle változat)

Hegyi Zsolt BSz2 tételsora (Kindle változat)

Fájl:Bsz2 tetelsor 2015 tavasz.pdf

2016-04-26T21:05:51Z

Hegyi Zsolt Gábor: Hegyi Zsolt BSz2 tételsora. Forrás: https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek

Hegyi Zsolt BSz2 tételsora.

Forrás: https://github.com/bme-vik/Bsz2-tetelek

Bevezetés a számításelméletbe I.

2016-01-27T10:33:04Z

Hegyi Zsolt Gábor: Tételsor warning

{{Tantárgy
|nev=Bevezetés a számításelméletbe 1.
|tárgykód=VISZAA00
|régitárgykód=VISZA103
|szak=info
|kredit=4
|felev=1
|tanszék= SZIT
|kereszt=van
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db
|hf=nincs
|vizsga=szóbeli
|tad=https://portal.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VISZAA00/
|targyhonlap=http://cs.bme.hu/bsz1/
|levlista=bsz1{{kukac}}sch.bme.hu }}

==Követelmények==
===Előtanulmányi rend===
Nincs.

===A szorgalmi időszakban===
*Az '''aláírás''' feltételei:
**Az '''előadások''' legalább 70%-án való részvétel (csak a gólyáknak). ''[https://www.vik.bme.hu/kepzes/alapkepzes/altalanos/500.html Bővebben...]''
**A '''gyakorlatok''' legalább 70%-án való részvétel.
**Két '''ZH''' átlaga legalább 40%. Külön-külön legalább 30%.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A két ZH-ból csak az egyik pótolható, egyszer félév közben, egyszer a pótlási héten (különeljárási díj fejében). Ha egyik ZH sem sikerül elsőre, bukod a tárgyat.
*'''Elővizsga:''' nincs

===A vizsgaidőszakban===
*'''Vizsga:''' szóbeli. Kapsz egy témakört, azt 45 perced van kidolgozni, majd előadni azt az egyik vizsgáztatónak. A felelet után a vizsgáztató belekérdezhet a többi témakörbe, ezekre a kérdésekre is tudni kell válaszolni. A ketteshez minden tételt és definíciót ki kell tudni mondani és tudni kell értelmezni. A jobb jegyhez már a témakörödben lévő tételeket tudni kell bizonyítani is, a bizonyított tételek száma és nehézsége alakítja a vizsgajegyet kettes és ötös között.

===Félévvégi jegy===
*A jegybe (J) a ZH-k (ZHx) és a vizsga (V) eredménye egyaránt beleszámít a következő módon:
**<math>J= 0,4*\frac{ZH_1+ZH_2}{2}+0,6*V</math>
*A tárgy teljesítéséhez a vizsgának is sikerülnie kell, nem elég a jó ZH-eredmény!

==Segédanyagok==
[http://cs.bme.hu/bsz1/jegyzet/bsz1_jegyzet.pdf Szeszlér Dávid-féle BSz1 jegyzet (új)] A tárgyhonlap a tárgyat az új tanrend szerint hallgatóknak ezt a jegyzetet javasolja, mivel ez illeszkedik a megújult tematikához. Gyakran frissül, érdemes mindig a tárgyhonlapról letölteni.

[[Media:NESZ.pdf|Nagy Egyesített Szuperjegyzet]] 2013-as jegyzet, a tanszéki honlap szerint elavulttá teszi a külön BSz1, BSz2 és Számtud jegyzeteket.

[[Media:Fleiner-jegyzet.pdf|Fleiner jegyzet]] 2007-ben előadásra írt jegyzet

[[Media:Bsz_fgy_2013_1_0.pdf | Szeszlér-Wiener BSZ I. feladatgyűjtemény]]

Freud Róbert - Lineáris algebra (Kiadó kérésére eltávolítva)

[[Media:Bsz1_E.Cs_jegyzet.pdf|Elekes Csabi órai jegyzete]] kézzel írott

[[Media:Bsz1_jegyzet_KrivanB.pdf|Kriván Bálint jegyzete]]

[[Media:bsz1_jegyzet_2010_gyakorlatfeladatok_es_megoldasok.pdf|2010-es gyakorlatfeladatok és megoldások]]

[http://www.furthermaths.org.uk/student_area/files/Googletalk.ppt Google PageRank számítása mátrix műveletekkel] - egy érdekes gyakorlati példa, a ppt-hez tartozó feladatlappal: [http://www.furthermaths.org.uk/student_area/files/Googleworksheet.pdf]
===Videó===

[http://coding.sch.bme.hu:8080/egyeb/20111123_bszkonzi.f4v Szöllősi Ferenc 2. zh-ra konzija 2011.11.23]

Hivatalos konzultáció volt, VLC player lejátszóval hiba nélkül fut.

==1. ZH==
*2007
** [[Media:Bsz1_ZH1_20071024.jpeg|2007-10-24]] megoldás nélkül
*2009
** [[Media:Bsz1_zh_2009osz_osszes.pdf|2009 összes zh]] megoldás nélkül
* 2010
** [[Media:Bsz1_zh1_20100325_megoldassal.pdf|2010-03-25]] megoldással
** [[Media:Bsz1_pzh_20100506_megoldással.pdf|2010-05-06 pótZh]] megoldási útmutató (mindkét pót)
** [[Media:Bsz1_zh1_20101021_megoldással.pdf|2010-10-21]] megoldással
*2011
** [[Media:Bsz1_PZH_20110517.jpg|2011-05-17 ppZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_zh1_20111020.pdf|2011-10-20]] megoldással
*2013
** [[Media:BSZ1_ZH1_20130321_megoldassal.pdf|2013-03-21, tavasz]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH1_20130516_megoldassal.pdf|2013-05-16, tavasz PZH]] megoldással
** [[Media:BSZ1_ZH_20131014_megoldassal.pdf|2013-10-24]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH1_20131209_megoldassal.pdf|2013-12-09 PZH]] megoldással
*2014
** [[Media:Bsz1_pzh1_2014_05_12.jpg|2014-05-12, tavasz PZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_ppzh1_2014_05_23.jpg|2014-05-24, tavasz PPZH]] megoldás nélkül
** [[:File:bsz1_zh1_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz]] megoldással
** [[:File:bsz1_pzh_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz PZH]] megoldással

További Zh-k letölthetőek a [http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh] oldalról

==2. ZH==

*2007
** [[Media:Bsz1_ZH2_20071128.jpeg|2007-11-28]] megoldás nélkül
*2009
** [[Media:Bsz1_zh_2009osz_osszes.pdf|2009 összes zh]] megoldás nélkül
*2010
** [[Media:Bsz1_zh2_20100422_megoldással.pdf|2010-04-22]] megoldással
** [[Media:Bsz1_pzh_20100506_megoldással.pdf|2010-05-06 pótZh]] megoldási útmutató (mindkét pót)
** [[Media:Bsz1_zh2_20101125_megoldassal.pdf|2010-11-25]] megoldással
** [[Média:BSZ1 ppzh2 2010osz megoldokulcs.PDF|2010 ősz pótpótZH]] megoldással
*2011
** [[Media:Bsz1_zh2_20111124_megoldassal.pdf|2011-11-24]] megoldással
*2013
** [[Media:BSZ1_ZH2_20130425_megoldassal.pdf|2013-04-25, tavasz]] megoldással
**[[Media:BSZ1_PZH2_20130516_megoldassal.pdf|2013-05-16, tavasz PZH]] megoldással
** [[Media:BSZ1_ZH2_20131128_megoldassal.pdf|2013-11-28]] megoldással
** [[Media:BSZ1_PZH2_20131209_megoldassal.pdf|2013-12-09 PZH]] megoldással
*2014
** [[Media:Bsz1_pzh2_2014_05_12.jpg|2014-05-12, tavasz PZH]] megoldás nélkül
** [[Media:Bsz1_ppzh2_2014_05_23.jpg|2014-05-23, tavasz PPZH]] megoldás nélkül
** [[:File:bsz1_zh2_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz]] megoldással
** [[:File:bsz1_pzh_2015osz_megoldassal.pdf|2015 ősz PZH]] megoldással

További Zh-k letölthetőek a [http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh http://cs.bme.hu/bsz1/#korabbizh] oldalról

==Vizsga==

Vizsgán egy tételt kell papíron kidolgozni (kockával dobsz, hogy melyiket). A vizsgáztató ezt elolvassa, ha kissé hiányos, feltesz pár kiegészítő kérdést, utána néhány másik tételbe belekérdez. A tárgyat érteni is kell, mert megoldathat nagyon egyszerű feladatokat, ami csak arra megy rá, hogy érted-e a fogalmat.

Tételsorok:
* [[Media:bsz1tetelek2013osz.pdf|2013/14/1 tételsor]]
* [[:File:bsz1_vizsga_2015osz_tetelsor.pdf|2015/2016/1 tételsor]]

Kidolgozott tételek:
* [[Media:Bsz1_vizsga_20082009osz_tetelkidolgozas.pdf|Kézzel írott (2008/2009)]]
* [[Media:Bsz1_vizsga_tételkidolgozás.pdf|Kézzel írott]]
* [[Media:BSZ1_P.N._kidolgozott_tetelsor_20140110.pdf|Pap Nóra kidolgozott tételsora a 2013/14/1-es vizsgákra]] kézzel írott
* [[Media:BSZ1_deli_kidolgozott_tetelsor_2014_jan.pdf|Demeter Deli Kristóf kidolgozott tételsora a 2013/14/1-es vizsgákra]] kézzel írott ([https://drive.google.com/file/d/0B94wsRZevzmjdVE1T0ZIaFl4bnc/edit?usp=sharing jobb minőségben Google Drive-on])
* [https://github.com/bme-vik/Bsz1-tetelek Hegyi Zsolt és még sok valued contributor kidolgozott tételsora 2014/2015/1-es vizsgára] ([[:File:bsz1_vizsga_2015osz_kidolgozott_Hegyi_Zsolt.pdf|nem javított PDF itt, helyességére nincs garancia]])

==Tippek==
Gyakveznek tudom ajánlani: Richlik Györgyöt, Szatmári Zoltánt, Szeszlér Dávidot és Csákány Ritát.
Közülük mindegyikük óráján voltam, és nagyon korrekten és kimondottan élvezhetően tartották a gyakorlatot, és mindent elmondanak úgy hogy megértsd. Nekem személyes kedvencem Csákány Rita, aki a gyak előtt leadja a gyakhoz tartozó elméletet, ami nagyon sokat tud segíteni a zh-ra készülésben, mert csak a lényeg van benne. Ha aktív vagy nála akkor könnyebben ad pontot zh reklamálásnál. by Fityusz

Zh-ra érdemes többet készülni, korábbi zh-kat átnézni, mert akadnak típusfeladatok amiket csak rá kell "húzni" egy tételre. Vagyis ezek általában könnyen megoldhatóak, a többi feladathoz viszont nagyon kell tudni a tételeket.

Vizsgára tudni kell minden tételt, mert mindenbe belekérdezhetnek. Egy tételt kell teljesen kidolgozni, majd a többiből kérdezgetnek.

==Hasznos linkek==

[http://www.cs.bme.hu/~zoli/bszfc/ Bsz fan club] Németh Zoltán, volt gyakorlatvezető honlapja

[http://cs.bme.hu/~petamas/gauss.jar Gauss-elimináció java alkalmazás] szerző: Peregi Tamás (tanuláshoz, gyakorláshoz és ellenőrzéshez egyaránt kiváló)

==Kedvcsináló==

Ez egy bevezető tárgy, aminek a tudásait a későbbiekben nagyon jól tudjuk alkalmazni, például a mátrixműveletek fontosak lesznek a titkosítási és hibavédelmi algoritmusokhoz, koordinátageometria fontos a modellezési feladatoknál.

Számítógépes-grafika tárgynál is hasznos az itt szerzett tudás, főleg a komplex szám és mátrix rész.
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak}}

Szerkesztő:Hegyi Zsolt Gábor

2015-06-18T09:59:28Z

Hegyi Zsolt Gábor: blah 1

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte.
A jegyzet elolvasása a gyakorlást NEM helyettesíti.
Amennyiben hibát találsz ebben az összefoglalóban, akkor kérlek, hogy jelezd az egyik szerkesztőnek vagy javítsd ki a hibát.
Deriválttábla természetesen nem árt.

== Alapok ==
=== Azonosságok, amiket jó, ha tudsz ===
<math>sin^2(x) + cos^2(x) = 1</math> 
<math>cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1</math> 
<math>sin(2x) = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x)</math> 
<math>sin(x + y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x + y) = cos(x) \cdot cos(y) - sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sinh(a+b) = sinh(a) \cdot cosh(b) + cosh(a) \cdot sinh(b)</math> // sincos-cossin (h) 
<math>cosh(a+b) = cosh(a) \cdot cosh(b) + sinh(a) \cdot sinh(b)</math> // coscos-sinsin (h) 
<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)} = 1</math> // Analízis 1.-ből 
<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x} = 1</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{x->0} ( f(x) - f(x_{0}) ) / (x - x_{0})</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x->0} \frac{( f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) )}{\Delta x}</math> 
<math>cosh(x) = \frac{( e^{x} + e^{-x} )}{2}</math> 
<math>sinh(x) = \frac{( e^{x} - e^{-x} )}{2}</math> 
 

=== Deriválás ===
<math>f'(c \cdot x) = c \cdot f'(x)</math> // konstanssal szorzás 
<math>(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)</math> // összeadás 
<math>(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> // szorzás 
<math>(f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) )}{g^{2}(x)}</math> // osztás 
<math>f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math> // összetett függvény 
<math>(f^{-1})'(x) = \frac{1}{( f'( f^{-1}(x) ) )}</math> // inverz függvény 
 
Érintő egyenes egyenlete: <math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)</math> 
 
=== Integrálás ===
<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math> 
<math>\int f( fi(x) ) \cdot fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C</math> 
<math>\int f^{a}(x) \cdot f'(x) dx = \frac{( f(x)^{a + 1} )}{(a + 1)} + C</math> // a != -1 
<math>\int e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + C</math> 
<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln| f(x) | + C</math> 
<math>\int f' \cdot g dx = f \cdot g - \int f\cdot g'</math> // parciális integrálás 
<math>\int (a \cdot x + b) dx = \frac{F(a \cdot x + b)}{a} + C</math> // a != 0 
 
'''Helyettesítéses integrál:''' 
<math>\int f(x) dx</math> // Ez egy bonyolult integrál 
<math>u = f(x)</math> // Ez lesz a helyettesítés 
<math>du = f'(x)</math> // Lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
<math>\int \frac{u}{f'(x)} du</math> = kijön valami --> visszahelyettesítesz 
 
'''Parciális törtekre bontással való integrálás''' 
'''WIP''' 
 

== Differenciálegyenletek (DE) ==
=== Elsőrendű DE-k ===
=== Szeparábilis DE-k ===
<math>y'(x) = g(y) \cdot f(x)</math> // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) 
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0 
<math>g(y) = 0</math> 
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldása lesz a differenciálegyenletnek! 
 
<math>\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx</math> 
Ebből kijön, hogy: <math>y = K \cdot h(x)</math> // itt a <math>K = e^{C}</math> ; C az integrálás során keletkezik 
Néha nem ilyen alakban kérik, de azt jelezni szokták. 
=== Lineáris DE-k ===
<math>y'(x) + g(x) \cdot y = f(x) </math>// ilyen alakban kell keresni 
<math>y'(x) + g(x) \cdot y = 0 </math>// homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható 
<math>y = K \cdot h(x) </math> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is 
<math>K(x) = \int f(x) / h(x) dx</math> 
//inhomogén általános megoldása 
<math>y_{ia} = K \cdot h(x) + K(x) \cdot h(x)</math> // homogén + inhomogén partikuláris megoldás 
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: <math>K = valami</math> 
K-t visszahelyettesíted <math>y^{ia}</math>-ba --> megkapod: <math>y^{konkret}</math> 
 
=== DE helyettesítéssel ===
'''Példán keresztül bemutatva:''' 
<math>y' = \frac{1}{(x + y)}</math> 
Ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni, így helyettesítést kell használni 
Simán meg szokták adni, hogy mivel kell, de ha nem, akkor a lehetséges helyettesítések: 
<math>u = x + y</math> 
<math>u = y / x</math> 
 
Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát: 
<math>u = x + y</math> 
kifejezzük y-t: 
<math>y = u - x</math> 
lederiváljuk: 
<math>y' = u' - 1</math> 
Tehát mostmár minden változó u, x+y megvan, behelyettesítünk: 
<math>u' - 1 = \frac{1}{u}</math> 
kicsit rendezzük: 
<math>u' = 1 + \frac{1}{u} = (u + 1) / u</math> 
Ez tehat szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni. 
Megnézzük a 0-ra vonatkozó megoldást: 
<math>g(u) = \frac{u+1}{u} = 0</math> 
<math>u = -1</math> 
Tehát visszahelyettesítve: <math>y = -1 - x</math> egy megoldása lesz a DE-nek. 
Tovább haladunk a megoldással: 
<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int 1 dx</math> 
A második fele: <math>x + C</math> 
Az első fele: 
<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int \frac{(u + 1 - 1)}{(u + 1)} du = \int 1 - ( \frac{1}{(u + 1)} ) du = u - ln| u + 1 | + C</math> 
 
Ezekből: 
<math>u - ln| u + 1 | = x + C</math>--> visszahelyettesítünk 
<math>x + y - ln| x + y + 1 | = x + c</math> 
 
=== Magasabbrendű DE-k ===
=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
Megoldás: <math>C \cdot e^{\lambda\cdot x}</math> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is mellé, hogy ne legyen egyszerű. 
'''Példa:''' 
<math>y^{(3)} + 2 \cdot y^{(2)} + y' = 0</math> 
<math>\lambda ^{3} + 2 \cdot \lambda ^{2} + \lambda = 0</math> 
<math>\lambda \cdot ( \lambda ^{2} + 2 \cdot \lambda + 1 ) = 0</math> // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
<math>\lambda \cdot ( \lambda + 1 )^{2} = 0</math> 
első feléből <math>\lambda ^{1} = 0</math> 
második feléből <math>\lambda ^{2} = -1</math> 
DE 3 megoldás kell!!! 
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk még x-el beszorzott tagokat 
 
<math>y^{h} = C_1 \cdot e^{0 \cdot x} + C_2 \cdot e^{-1 \cdot x} + C_3 \cdot x \cdot e^{-1 \cdot x}</math> 
 
'''Példa 2:''' 
<math>y^{(3)} + 4 \cdot y^{(2)} + 13 \cdot y' = 0</math> 
<math>\lambda ^{3} + 4 \cdot \lambda ^{2} + 13 \cdot \lambda = 0</math> // kiemelsz \lambda -et 
<math>\lambda ( \lambda ^{2} + 4 \cdot \lambda + 13 ) = 0</math> 
<math>\lambda ( (\lambda + 2)^{2} + 9 ) = 0</math> 
elso felebol <math>\lambda ^{1} = 0</math> 
masodik felebol: 
<math>-9 = (\lambda + 2)^{2}<</math> br />
<math>-9^{1/2} = \lambda + 2</math> 
<math>-9^{1/2} - 2 = \lambda </math> 
<math>3\cdot i - 2 = \lambda </math> //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
<math>-3\cdot i - 2 = \lambda </math> 
 
<math>y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot cos(3 \cdot x) + C3 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot sin(3 \cdot x)</math> 
Tehát a valós rész lesz a <math>\lambda</math> , a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x} 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy \lambda ^{1} = 5 
\lambda ^{2} = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(\lambda - 5) \cdot (\lambda + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
\lambda ^{2} + 3 \cdot \lambda - 5 \cdot \lambda - 15 = 0 
\lambda ^{2} - 2 \cdot \lambda - 15 = 0 
y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0 
y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{\lambda \cdot x} -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) 
b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) 
// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0 
a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, B^{i} ismeretlenek 
f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x} 
f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0} 
f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is! 
f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x) 
\lambda ^{2} - 5 \cdot \lambda + 6 = 0 
\lambda ^{1} = 2 
\lambda ^{2} = 3 
y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} 
y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat y^{ip} \cdot = x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 \cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x) 
-5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x) 
1 \cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A 
cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = e^{y + 2} - x 
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y^{(2)}-at kell megnezni: 
y^{(2)} > 0 --> lokalis minimum 
y^{(2)} < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2) 
ebbol: 
q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2} 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku 
q^{1} = 1 
q^{2} = 3 
ebbol:
f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n} 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k+1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1} 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|a^{n}|^{1/n} vagy | (a^{n} + 1) / a^{n} | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x^{2} van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x^{2} (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x^{2} <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt
\cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0
\cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0
\cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} )
\cdot a^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot b^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
\cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
\cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
\cdot ki kell integralni a fuggvenyt
\cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
\cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok 
f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) + f(x^{0},y^{0}) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f '^{x} = ....... = 0 
f '^{y} = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p^{1}(..,..) 
p^{2}(..,..) 
p^{3}(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)^{2} = ... 
 
4) 
f ''^{xx}(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
\cdot amikor az alakzat egy kor
\cdot amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
\int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz 
A tartomany alakja: 
\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
\cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, \int f(z) ds = 0
\cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
\cdot ha z0 a korben van --> \int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0)
\cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
\int ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 \cdot i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat \int f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
\int cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4) 
sqrt(z^{2}) = -4 
z^{1} = 2 \cdot i 
z^{2} = -2 \cdot i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt \int f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} + z^{2} esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi ) 
z = r \cdot cos( b ) 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r^{2} \cdot sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
\int\int (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ? 
T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
\int\int r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} ) 
Ilyenkor az integralt \int\int 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R^{2} 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
\int\int\int r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2} 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
/z = x - i \cdot y // konjugalt 
|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|^{2} = z \cdot /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i} 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i} 
 
'''Hatvanyozas:''' 
z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u^{(2)}xx = v^{(2)}yx 
u^{(2)}yy = -v^{(2)}xy 
u^{(2)}xy = v^{(2)}yy 
u^{(2)}yx = -v^{(2)}xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u^{(2)}xx + u^{(2)}yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f^{(2)}xx f^{(2)}xy| 
|f^{(2)}yx f^{(2)}yy| 
|det| > 0 
Ha f^{(2)}xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f^{(2)}xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Szerkesztő:Hegyi Zsolt Gábor

2015-06-18T08:50:55Z

Hegyi Zsolt Gábor: start

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte.
A jegyzet elolvasása a gyakorlást NEM helyettesíti.
Amennyiben hibát találsz ebben az összefoglalóban, akkor kérlek, hogy jelezd az egyik szerkesztőnek vagy javítsd ki a hibát.
Deriválttábla természetesen nem árt.

== Alapok ==
=== Azonosságok, amiket jó, ha tudsz ===
<math>sin^2(x) + cos^2(x) = 1</math> 
<math>cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1</math> 
<math>sin(2x) = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x)</math> 
<math>sin(x + y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>cos(x + y) = cos(x) \cdot cos(y) - sin(x) \cdot sin(y)</math> 
<math>sinh(a+b) = sinh(a) \cdot cosh(b) + cosh(a) \cdot sinh(b)</math> // sincos-cossin (h) 
<math>cosh(a+b) = cosh(a) \cdot cosh(b) + sinh(a) \cdot sinh(b)</math> // coscos-sinsin (h) 
<math>\lim_{x->0} \frac{x}{sin(x)} = 1</math> // Analízis 1.-ből 
<math>\lim_{x->0} \frac{sin(x)}{x} = 1</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{x->0} ( f(x) - f(x_{0}) ) / (x - x_{0})</math> 
<math>f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x->0} \frac{( f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) )}{\Delta x}</math> 
<math>cosh(x) = \frac{( e^{x} + e^{-x} )}{2}</math> 
<math>sinh(x) = \frac{( e^{x} - e^{-x} )}{2}</math> 
 

=== Derivalas ===
<math>f'(c \cdot x) = c \cdot f'(x)</math> // konstanssal szorzás 
<math>(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)</math> // összeadás 
<math>(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> // szorzás 
<math>(f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) )}{g^{2}(x)}</math> // osztás 
<math>f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math> // összetett függvény 
<math>(f^{-1})'(x) = \frac{1}{( f'( f^{-1}(x) ) )}</math> // inverz függvény 
 
Érintő egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) \cdot (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) \cdot fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ f^{a}(x) \cdot f'(x) dx = ( f(x)^{a + 1} ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' \cdot g dx = f \cdot g - ʃ f\cdotg' // parcialis integralas 
ʃ (a \cdot x + b) dx = F(a \cdot x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) \cdot f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K \cdot h(x) // itt a K = e^{C} ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) \cdot y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) \cdot y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K \cdot h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
y^{ia} = K \cdot h(x) + K(x) \cdot h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited y^{ia}-ba --> megkapod: y^{konkret} 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C \cdot e^{ʎ\cdotx} alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y^{(3)} + 2 \cdot y^{(2)} + y' = 0 
ʎ^{3} + 2 \cdot ʎ^{2} + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ \cdot ( ʎ^{2} + 2 \cdot ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ \cdot ( ʎ + 1 )^{2} = 0 
elso felebol ʎ^{1} = 0 
masodik felebol ʎ^{2} = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-1 \cdot x} + C3 \cdot x \cdot e^{-1 \cdot x} 
 
'''Pelda2:''' 
y^{(3)} + 4 \cdot y^{(2)} + 13 \cdot y' = 0 
ʎ^{3} + 4 \cdot ʎ^{2} + 13 \cdot ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ^{2} + 4 \cdot ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)^{2} + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ^{1} = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)^{2} 
-9^{1/2} = ʎ + 2 
-9^{1/2} - 2 = ʎ 
3\cdoti - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3\cdoti - 2 = ʎ 
 
y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot cos(3 \cdot x) + C3 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot sin(3 \cdot x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x} 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ^{1} = 5 
ʎ^{2} = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) \cdot (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ^{2} + 3 \cdot ʎ - 5 \cdot ʎ - 15 = 0 
ʎ^{2} - 2 \cdot ʎ - 15 = 0 
y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0 
y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{ʎ\cdotx} -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) 
b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) 
// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0 
a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, B^{i} ismeretlenek 
f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x} 
f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0} 
f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is! 
f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x) 
ʎ^{2} - 5 \cdot ʎ + 6 = 0 
ʎ^{1} = 2 
ʎ^{2} = 3 
y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} 
y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat y^{ip} \cdot= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 \cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x) 
-5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x) 
1 \cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A 
cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = e^{y + 2} - x 
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y^{(2)}-at kell megnezni: 
y^{(2)} > 0 --> lokalis minimum 
y^{(2)} < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2) 
ebbol: 
q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2} 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku 
q^{1} = 1 
q^{2} = 3 
ebbol:
f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n} 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k+1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1} 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|a^{n}|^{1/n} vagy | (a^{n} + 1) / a^{n} | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x^{2} van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x^{2} (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x^{2} <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt
\cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0
\cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0
\cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} )
\cdot a^{k} = 1 / pi \cdot ʃ^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot b^{k} = 1 / pi \cdot ʃ^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
\cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
\cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
\cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
\cdot ki kell integralni a fuggvenyt
\cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
\cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok 
f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) + f(x^{0},y^{0}) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f '^{x} = ....... = 0 
f '^{y} = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p^{1}(..,..) 
p^{2}(..,..) 
p^{3}(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)^{2} = ... 
 
4) 
f ''^{xx}(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
\cdot amikor az alakzat egy kor
\cdot amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz 
A tartomany alakja: 
\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
\cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
\cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
\cdot ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0)
\cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 \cdot i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4) 
sqrt(z^{2}) = -4 
z^{1} = 2 \cdot i 
z^{2} = -2 \cdot i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} + z^{2} esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi ) 
z = r \cdot cos( b ) 
r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) 
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r^{2} \cdot sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ? 
T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi ) 
y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R^{2} 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2} 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x^{2} + y^{2} ) 
/z = x - i \cdot y // konjugalt 
|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|^{2} = z \cdot /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i} 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i} 
 
'''Hatvanyozas:''' 
z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u^{(2)}xx = v^{(2)}yx 
u^{(2)}yy = -v^{(2)}xy 
u^{(2)}xy = v^{(2)}yy 
u^{(2)}yx = -v^{(2)}xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u^{(2)}xx + u^{(2)}yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f^{(2)}xx f^{(2)}xy| 
|f^{(2)}yx f^{(2)}yy| 
|det| > 0 
Ha f^{(2)}xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f^{(2)}xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Bevezetés a számításelméletbe II.

2015-05-21T15:04:17Z

Hegyi Zsolt Gábor: Apró figyelmeztetés (a wiki nem a reklám helye, btw)

{{Tantárgy
|nev=Bevezetés a számításelméletbe 2.
|targykod=VISZAA01
|regitargykod=VISZA110
|szak=info
|kredit=4
|felev=2
|kereszt=van
|tanszék= SZIT
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db
|hf=nincs
|vizsga=szóbeli
|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VISZAA01
|targyhonlap=http://www.cs.bme.hu/bsz2/
|levlista=bsz2{{kukac}}sch.bme.hu }}

==Követelmények==
===Előtanulmányi rend===
[[Bevezetés a számításelméletbe I.|Bevezetés a számításelméletbe 1.]] tárgyból aláírás megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez.

===A szorgalmi időszakban===
*Az '''aláírás''' feltételei:
**Két '''ZH''' sikeres (egyenként min. 40%) megírása.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A két ZH-ból csak az egyik pótolható, egyszer félév közben, egyszer a pótlási héten (különeljárási díj fejében). Ha egyik ZH sem sikerül elsőre, bukod a tárgyat.
*'''Elővizsga:''' nincs

===A vizsgaidőszakban===
*'''Vizsga:''' szóbeli. Kapsz egy témakört, azt 45 perced van kidolgozni, majd előadni azt az egyik vizsgáztatónak. A felelet után a vizsgáztató belekérdezhet a többi témakörbe, ezekre a kérdésekre is tudni kell válaszolni. A ketteshez minden tételt és definíciót ki kell tudni mondani és tudni kell értelmezni. A jobb jegyhez már a témakörödben lévő tételeket tudni kell bizonyítani is, a bizonyított tételek száma és nehézsége alakítja a vizsgajegyet kettes és ötös között.

===Félévvégi jegy===
*A jegybe (J) a ZH-k (ZHx) és a vizsga (V) eredménye egyaránt beleszámít a következő módon:
**<math>J= 0,4*\frac{ZH_1+ZH_2}{2}+0,6*V</math>
*A tárgy teljesítéséhez a vizsgának is sikerülnie kell, nem elég a jó ZH-eredmény!

== Jegyzetek ==
* Az új tanrend szerint hallgatóknak az alábbi jegyzetek használata javasolt:
** Katona-Recski-Szabó: A számítástudomány alapjai [http://www.interkonyv.hu/konyvek/?isbn=978-963-9664-19-7 PDF] [http://www.typotex.hu/book/216/recski_andras_a_szamitastudomany_alapjai könyv]
** [http://www.typotex.hu/latex/recski.pdf Friedl-Recski-Simonyi: Gráfelméleti feladatok]
** [http://cs.bme.hu/bsz2/bfs.pdf Szeszlér Dávid jegyzete a BFS algoritmusról]
** [http://cs.bme.hu/bsz2/dfs.pdf Szeszlér Dávid jegyzete a DFS algoritmusról] 

* [http://www.cs.bme.hu/~fleiner/jegyzet/NESZ.pdf Fleiner Tamás: Nagy, egyesített szuperjegyzet (NESZ)]
** [[Media:bsz2_jegyzet_2012tavasz_by.fleiner.tamas.pdf|Fleiner jegyzet]]
* [[Media:bsz2_jegyzet.zhra_2009osz_by.szollosi.pdf|Szöllősi Ferenc konzi - ZH-tippek]]
* [[Media:bsz2_jegyzet.zhkra_2012osz_by.turibarnabas.PDF|Összefoglaló az 1-2. ZH-ra (Turi Barnabás, 2012. ősz)]]
* [[Media:bSz2_tetelek_osszefogl.pdf|Tételek röviden]]

===Kézzel írt előadásjegyzetek===

* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel_2009.PDF|2009-es, kézzel írott jegyzet]]
* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel_2008tavasz_by.elekes.csaba.pdf|2008. tavasz (Wiener Gábor előadása) - by Elekes Csaba]]
* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel3.PDF|2006-os, kézzel írott jegyzet]]
* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel_2003tavasz_szeszler.pdf|2003 tavasz (Szeszlér Dávid előadása)]]
* [[Media:bsz2_jegyzetkezzel.PDF|Jegyzet1 (kézzel írott)]]
* [[Media:BSz2_jegyzetkezzel2.pdf|Jegyzet2 (kézzel írott)]]

===Anyag 1. ZH-ig===

* [[Media:bsz2_definiciok.zh1ig.jpg|Definíciók (1 oldal)]]
* [[Media:bsz2_tetelek.zh1ig.jpg|Tételek (1 oldal)]]
* [[Media:bsz2_tetelek.zh1ig_2006.pdf|2006. Tételek az 1. ZH-ig]]
* [[Media:bsz2_tetelek.zh1ig_1999tavasz.pdf|1999. tavasz - by Binzberger Viktor]]

===Bizonyítások===

* [[Media:bsz2_biz_chvataltetele.pdf|Chvátal tétele]]
* [[Media:bsz2_biz_perfektgraftetel.pdf|Lovász gyenge perfekt gráf tétele + másik Lovász-tétel: α(G') · ω(G')≥|V(G')|]]
* [[Media:bsz2_biz_posaore.pdf|Pósa-tétel -> Ore-tétel]]
* [[Media:bsz2_biz_wilsontetel.pdf|Wilson-tétel]]

== Gyakorlatok ==

===Feladatok===

* [https://igyak.sch.bme.hu/uploads/3/downloads/bsz2_mester_2013_osz.pdf Mester (régi ZH-k és gyakok, Sebők Márton, 2013 ősz)] - megoldással, hibákat jelezzétek [[Szerkesztő:Sm|nekem]] ([https://igyak.sch.bme.hu/uploads/2/downloads/bsz2_mester_2013.pdf 2013 tavaszi változat], [https://igyak.sch.bme.hu/uploads/1/downloads/bsz2_mester.pdf 2012 őszi változat])
* [[Media:bsz2_feladatok_hajdany.pdf|Hajdany]]
* [[Media:bsz2_feladatok+mo_csimajudit78.docx|Csima Judit]] - megoldással
* [[Media:bsz2_feladatok+mo_karman.JPG|Kármán]] - megoldással

===Gyakorlatfeladatok===

* [https://igyak.sch.bme.hu/uploads/3/downloads/bsz2_sebok_2013_osz.pdf Gyakfeladatok (Sebők Márton, 2013 ősz)] - megoldással, hibákat jelezzétek [[Szerkesztő:Sm|nekem]] ([https://igyak.sch.bme.hu/uploads/2/downloads/bsz2_sebok_2013.pdf 2013 tavaszi változat], [https://igyak.sch.bme.hu/uploads/1/downloads/bsz2_sebok.pdf 2012 őszi változat])
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok+mo_2012osz_tothgeza+fogarasdani.pdf|Gyakfeladatok (Tóth Géza & Fogaras Dani, 2012 ősz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok+mo_2009_by.kissg.pdf|Gyakfeladatok (kissg, 2009)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok+mo_2007tavasz_tothagi.pdf|Gyakfeladatok (Tóth Ági, 2007 tavasz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok+mo_2002tavasz_marxdaniel.docx|Gyakfeladatok (Marx Dániel, 2002 tavasz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyakfeladatok_1999osz.pdf|Gyakfeladatok (1999 ősz)]]
* [[Media:bsz2_gyak0-5.feladatok+mo.docx|0-5. gyak]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak1+mo_tothgeza.doc|1. gyak (Tóth Géza)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak8.feladatok+mo_fogaras.dani.docx|8.gyak (Fogaras Dani)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak_emelt_01_2002tavasz.pdf|1. emelt gyak (2002 tavasz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak_emelt_02.pdf|2. emelt gyak (2002 tavasz)]] - megoldással
* [[Media:bsz2_gyak_emelt_03.pdf|3. emelt gyak (2002 tavasz)]] - megoldással

== 1. ZH ==
===ZH===
* [[:File:Bsz2_zh1_2015tavasz_pontozas.pdf|2015 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2014osz_megold.pdf|2014 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2014tavasz_javito.pdf|2014 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2013osz_megold.pdf|2013 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2013tavasz_megold.pdf|2013 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2012ősz(megold).pdf|2012 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2012tavasz(megold).pdf|2012 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2011tavasz(megold).pdf|2011 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2011osz(megold).pdf|2011 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2010tavasz(megold).pdf|2010 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2009osz.pdf|2009 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2008osz.pdf|2008 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2008.pdf|2008]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2007.10.29.jpg|2007 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2007.03.30(megold).pdf|2007 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1_2006tavasz_megold.pdf|2006 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1 2005.gif|2005]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2004.03.25.pdf|2004 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2003.03.27.pdf|2003 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2002.10.21.jpg|2002 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 2001.03.29.pdf|2001 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1 1999osz.png|1999 ősz]]

===pótZH===
* [[Media:Bsz2_pzh1_2014osz_megold.pdf|2014 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh1p_2014tavasz_megold.pdf|2014 tavasz]] - megoldással
* [[Media:BSZ2_PZH1_20131211_megold.pdf‎|2013 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2013tavasz(megold).pdf|2013 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2012tavasz(megold).pdf|2012 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2011osz(megold).pdf|2011 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2011tavasz(megold).pdf|2011 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2010tavasz.JPG|2010 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2007(megold).pdf|2007]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2007tavasz(megold).pdf|2007 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_pzh1_2006tavasz_megold.pdf|2006 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh1 2003.05.13.pdf|2003]]
* [[Media:Bsz2 pzh1 1999.12.16.pdf|1999]]

== 2. ZH ==
===ZH===
* [[Media:Bsz2_zh2_2015tavasz_megold.pdf|2015 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh2_2014osz_megold.pdf|2014 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh2_2014tavasz_megold.pdf|2014 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 bsz2zh2013osz_2.pdf|2013 osz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2013tavasz(megold).pdf|2013 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2012osz(megold).pdf|2012 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2012tavasz(megold).pdf|2012 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2011osz(megold).pdf|2011 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2011tavasz(megold).pdf|2011 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2010osz(megold).pdf|2010 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2010tavasz.JPG|2010 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2007.11.26.pdf|2007 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2007.04.26(megold).pdf|2007 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2006osz.pdf|2006 ősz]]
* [[Media:Bsz2_zh2_2006tavasz_megold.pdf|2006 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh2 2005.gif|2005]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2004.04.29.jpg|2004 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2003.04.30.pdf|2003 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2002.12.02.pdf|2002 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2001.12.05.pdf|2001 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 2001.05.03.pdf|2001 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 1999osz.png|1999 ősz]]
* [[Media:Bsz2 zh2 1999.jpg|1999]]

===pótZH===
* [[Media:Bsz2_pzh2_2014osz_megold.pdf|2014 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2_zh2p_2014tavasz_megold.pdf|2014]] - tavasz
* [[Média:BSZ2_PZH2_20131211_megold.pdf‎|2013 ősz]] - megoldással
* [[Média:Bsz2_pzh2_2013tavasz(megold).pdf|2013 tavasz]] - megoldással
* [[Média:Bsz2_pzh2_2012osz(megold).pdf|2012 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2012tavasz(megold).pdf|2012 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2011osz(megold).pdf|2011 ősz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2011tavasz(megold).pdf|2011 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2010tavasz.JPG|2010 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 pzh2 2007.12.03.pdf|2007 ősz]]
* [[Media:Bsz2_pzh2_2006tavasz_megold.pdf|2006 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 pzh2 2005.12.17.jpg|2005 ősz]]
* [[Media:Bsz2 pzh2 2004.05.10.gif|2004 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 pzh2 2003.05.15.pdf|2003 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 pzh2 2001.12.05.pdf|2001 ősz]]

===ZH és pótZH együtt===

* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 megoldassal 2009tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2009 tavasz]] - megoldással
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2+ppzh1-2 2007-8tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 & ppzh1-2 2007-2008 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 pzh1-2 2008.pdf|pzh1-2 2008]]
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 2007tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2007 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 2006tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2006 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 2005tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2005 tavasz]]
* [[Media:Bsz2 zh1-2+pzh1-2 2004tavasz.pdf|zh1-2 & pzh1-2 2004 tavasz]]

== Vizsga ==

===Tételsorok===

* [[Media:Bsz2_tetelsor_2013osz.pdf|2013 ősz]]
* [[Media:bsz2_tetelsor_2010osz.pdf|2010 ősz]]
* [[Media:bsz2_tetelsor_2005osz.pdf|2005 ősz]]
* [[Media:bsz2_tetelsor_2004tavasz.pdf|2004 tavasz]]
* [[Media:bsz2_tetelsor_1999tavasz.pdf|1999 tavasz]]

===Kidolgozott tételek===
* '''(FIZETŐS!)''' [http://easymath.hu/index.php/tananyag/bme/bevezetes-a-szamitaselmeletbe-2 2015 tavasz: Oktató videók a tételsorhoz - Papp Márton] - A megújult BSZ2 (VISZAA01) tételsorát követő, vizsgafelkészülést segítő oktató videók. Minden fogalom, tétel és algoritmus, amit a vizsgára tudni kell, részletes magyarázattal és példákkal
* [[Media:bsz2_vizsga_2014tavasz_tetelsor.pdf|2014 tavaszi tételsor kidolgozása]]
* [[Media:Bsz2_vizsga_2013-14_osz_tetelkidolgozas_(HP).pdf|2013/14. őszi félév vizsga-tételsorának kidolgozása (Haraszin Péter)]] (a [[Media:Bsz2_tetelsor_2013osz.pdf|tételsor]])
** [[Media:Bsz2_vizsga_2013-14_osz_tetelkidolgozas_(HP).docx|ITT A SZERKESZTHETŐ változat docx-kiterjesztéssel!]] (Word 2013-mal formázva) - ha hibát találtok, kérlek, javítsátok! (Ez a változat arra is jó, ha testre szeretnétek szabni a formázást.) --[[Szerkesztő:Harapeti|Haraszin Péter]] ([[Szerkesztővita:Harapeti|vita]]) 2014. január 21., 14:20 (UTC)
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2012tavasz.pdf|2012 tavaszi félév tételei kidolgozva - bizonyítások nélkül]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2011tavasz_by.HP.pdf|2011 tavaszi félév tételei kidolgozva (Haraszin Péter)]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2010osz_by.HP.pdf|2010 őszi félév tételei kidolgozva (Haraszin Péter)]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2009tavasz.pdf|2009 tavaszi félév tételei kidolgozva (Vőneki Balázs)]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas1-10_2009_by.v.b.doc|2009 1-10.tétel - by vb]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2008tavasz_by.sp.pdf|2008 tavasz - by sp]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2008tavasz.doc|2008 tavasz]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2006tavasz.pdf|2006 tavasz - nagyon rövid]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2006osz(biznelkul).doc|2006 ősz - bizonyítások nélkül]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2005tavasz.pdf|2005 tavasz]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas_2004.pdf|2004]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas.doc|Kidolgozott tételek 1]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas2.pdf|Kidolgozott tételek 2]]
* [[Media:bsz2_tetelkidolgozas3.PDF|Kidolgozott tételek 3]]

===Régi írásbeli vizsgák===
(ilyen most már nincs, de gyakorló feladatnak tökéletesek)

* [[Media:Bsz2 vizsga 2001.06.13.pdf|2001_1]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 2001.05.30.pdf|2001_2]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 2001.05.24.pdf|2001_3]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 2000.06.06.pdf|2000_1]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 2000.05.25.pdf|2000_2]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1998.gif|1998_1]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1998_2.gif|1998_2]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1998_3.gif|1998_3]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1998_4.gif|1998_4]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1997.gif|1997_1]]
* [[Media:Bsz2 vizsga 1997_2.gif|1997_2]]

== Tippek ==

ZH: Csak feladatok, de érdemes megtanulni a tételeket (bizonyítás nélkül): előfordul, hogy fogalmad sincs hogy kezdj neki egy példának, ilyenkor könnyebb végig gondolni az adott témánál tanult 5-10 tételt, és már biztos el tudsz indulni:) + végtelen feladatmegoldó rutin se árt.
 
Vizsga: szóbeli. Dobsz (kockával) egy tételt, 45 perced van kidolgozni.
Ezután van, hogy nincs várakozó vizsgáztató a teremben csak ahogy beér, kihívja a következő embert a sorban és már megy is el vele. Ilyenkor nem lehet mivel ügyeskedni, kb. sejteni fogod, hogy kit kaphatsz és felkészülsz rá mentálisan.
Ha pedig valamiért ácsorog ott egy kettő akkor oda lehet menni, hogy te szeretnél akkor menni vizsgázni. Ehhez javasolt az első sorban ülni, hiszen ha hátulról jössz, lehet hogy valaki fürgébb nálad, vagy azt mondják ülj vissza. Ha sikerül, ilyenkor azt kapod aki a legközelebb áll a kijárathoz eddigi tapasztalataim szerint. Harmadik esetben jelentkezel, hogy kész vagy és szólítsanak leghamarabb. Ez akkor jó, ha tudod ki fog jönni. Viszont az a baj, hogy láttam olyat aki így került volna olyanhoz, aki szigorúbb, ő ezt egy "Még eszembe jutott valami, mégsem akarok jönni" kijelentéssel megúszta. Ha gáz van, alkalmazzuk.
Bármit húzol, bele fognak kérdezni minimum a tételek felébe; ez tény, nem legenda. Minimum szint (értsd: 2es) az összes definíció és tétel pontos kimondása. Jobb jegyért bizonyítások, alkalmazás (esetleg könnyebb példákon) - ezek előadáson sokkal könnyebben megérthetők, mint jegyzetből.
Tanulás közben, ha korábbi tételkidolgozásokat nézegetsz: figyelj arra, hogy nem biztos hogy ua., szoktak változtatni.
 
--[[Szerkesztő:Dana428|Anna]] 2013.01.15.

{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak}}

Analízis II.

2015-05-10T00:50:36Z

Hegyi Zsolt Gábor: /* 2. zárthelyi */ 2015 tavaszi zárthelyik felrakása

{{Tantárgy
|nev=Analízis 2 informatikusoknak
|targykod=TE90AX22
|regitargykod=TE90AX05
|szak=info
|kredit=6 (régi: 7)
|felev=2
|kereszt=van
|tanszék= TTK Analízis Tanszék
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db
|hf= nincs
|vizsga=írásbeli (régi) / nincs (új)
|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90AX22/
|targyhonlap=http://www.math.bme.hu/~tasnadi/merninf_anal_2/
|levlista=anal2{{kukac}}sch.bme.hu }}

A tárgy témája '''differenciálegyenletek, lineáris rekurzió, sorok, többváltozós függvények, Fourier-analízis'''. Az egyik legfontosabb tárgy a második félévben. A legtöbb kreditet éri, tehát sokat húz az ösztöndíjátlagon is.

'''A tárgy tematikája a 2014/2015/2 félévtől részben megváltozott, a számonkérések (vizsgakurzust kivéve) a régi és új tanrend szerint hallgatók számára is ez alapján történnek.''' Különbség csupán a követelményrendszerben van, a régi kurzust felvevőknek a tárgy vizsgával, az új kurzust felvevőknek pedig félévközi jeggyel zárul, aminek megszerzése után [[Analízis_szigorlat_informatikusoknak|szigorlatot]] kell tenni.

==Követelmények==

=== Előtanulmányi rend ===
[[Analízis I.|Analízis 1.]] tárgyból kredit megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez.

=== A szorgalmi időszakban ===
*Az '''aláírás''' feltételei:
**A '''gyakorlatok''' legalább 70%-án való részvétel.
**'''Két ZH''' sikeres (egyenként min. 30%, ill. összesen min. 40%) megírása.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A két ZH-ból csak az egyik pótolható, egyszer félév közben, egyszer a pótlási héten (különeljárási díj fejében). Ha egyik ZH sem sikerül elsőre, bukod a tárgyat.
*'''Elővizsga''': nincs.
*''[http://math.bme.hu/~tasnadi/merninf_anal_1/al%C3%A1%C3%ADr%C3%A1s%20felt%C3%A9telei.pdf Bővebben...]''

===A vizsgaidőszakban ===
*'''Vizsga''': írásbeli. A sikeres vizsgához min. 40% kell. A stílusa a ZH-kéhoz hasonló, viszont nagyobb súllyal szerepel benne a 2. ZH után vett anyag. A feladatsorban ezek a *-al jelölt feladatok, melyekből külön 40%-ot is el kell érni a sikeres vizsgához.
*Előfeltétele: az aláírás megléte.

===Félévvégi jegy===
*A jegyet az összpontszám (A) alapján kapod, melybe régi képzésen lévőknek az 1. és 2. ZH (ZHx) és a vizsga (V) eredménye, az új képzésen lévőknek pedig a két ZH eredményének átlaga számít bele a következő módon:
** Régi: <math>A=0,5*\frac{ZH_1 + ZH_2}{2}+0,5*V</math>
** Új: <math>A=\frac{ZH_1 + ZH_2}{2}</math>
*Régi képzésen lévőknek a tárgy teljesítéséhez a vizsgának is sikerülnie kell, nem elég a jó ZH-eredmény!
*Ponthatárok:
:{| class="wikitable" align="center"
|-
! A !! Jegy
|-
|0 - 39 || 1
|-
|40 - 54 || 2
|-
|55 - 64 || 3
|-
|65 - 79 || 4
|-
|80 - 100 || 5
|}

*Tételsor: [http://www.math.bme.hu/~konya/anal2/egyeb/an208t.pdf tárgyhonlap] [[Media:anal2_jegyzet_2008_telelsor.pdf |(VIK Wiki mirror)]]

==Tematika==

#Differenciálegyenletek:
#*szétválasztható változójú,
#*lineáris elsőrendű,
#*magasabb rendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek
#Lineáris rekurzió
#Numerikus sorok és függvénysorok:
#*Numerikus sorok konvergencia kritériumai
#*Hatványsorok
#*Taylor sor
#Többváltozós függvények:
#*Határérték, folytonosság
#*Differenciálhatóság, irány menti derivált, láncszabály
#*Magasabb rendű parciális deriváltak és differenciálok
#*Szélsőérték
#*Kettős és hármasintegrál kiszámítása.
#*Integrál transzformáció, Jacobi mátrix
#Fourier-analízis
#*Fourier-sorok
#*Fourier-transzformáció

== Segédanyagok ==

===Hivatalos egyetemi jegyzetek===

*[[Media:anal2_jegyzet_2011_konya_linearis_rekurzio.pdf |Kónya Ilona: Lineáris Rekurzió]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2006_fibonacci_rekurziv_egyenlotlensegek.pdf |Gyakorló feladatok (Fibonacci sorozat és rekurzív egyenlőtlenségek)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_fritz_konya_tobbvaltozos_fuggvenyek.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Többváltozós függvények''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_tobbes_integralok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Többes integrálok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_differencialegyenletek.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Differenciálegyenletek''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_fritz_konya_fuggvenysorozatok_fuggvenysorok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Függvénysorozatok, függvénysorok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_fuggvenysorok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Függvénysorok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_frizt_konya_komplex_fuggvenytan.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Komplex függvénytan''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2002_fritz_konya_komplex_fuggvenytan_feladatok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Komplex függvénytan feladatok''']] + [[Media:anal2_jegyzet_2005_komplex_feladatok_megoldasa.pdf |néhány feladat megoldása]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2000_fritz_konya_feladatgyujtemeny.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Feladatgyűjtemény''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2010_konya_gyakorlatok.pdf |Kónya Ilona: Gyakorlatok (2010)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2009_tavasz_gyakorlatok.pdf |Gyakorlatokon bemutatott feladatok (2009)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_tasnadi_diffegy_fizikai_problemak.pdf |Tasnádi Tamás: Néhány fizikai probléma (differenciálegyenletek alkalmazása a gyakorlatban)]]

===Egyéb jegyzetek===

*[[Media:anal2_jegyzet_2008_elekes_csaba_elmelet.pdf |Elekes Csaba előadásjegyzete]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_elekes_csaba_gyakorlat.pdf |Elekes Csaba gyakorlatjegyzete]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_kristof_a_matematika_analízis_elemei_II.pdf |Kristóf János: A matematikai analízis elemei II]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_kristof_a_matematika_analízis_elemei_III.pdf |Kristóf János: A matematikai analízis elemei III]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_kalkulus_II.pdf |Lajkó Károly: Kalkulus II.]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_kalkulus_II_peldatar.pdf |Lajkó Károly: Kalkulus II. Példatár]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_differencialegyenletek.pdf |Lajkó Károly: Differenciálegyenletek]]
*[[Media:anal1_2009_mezei-faragó-simon_bev_anal.pdf | Mezei István, Faragó István, Simon Péter: Bevezetés az analízisbe]]

===Összefoglalók===

*[[Media:anal2_jegyzet_2012_varyanna_osszefoglalo.pdf |Váry Anna: Összefoglaló (2012)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_kidolgozott_tetelek.pdf |Kidolgozott tételek (2008)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_osszefoglalo.pdf |Összefoglaló(2008)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2001_taylorpolinom.doc |Taylor-polinom összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_galik_differencialegyenletek.pdf |Galik Zsófia: Differenciálegyenletek]]
*[[Media:Anal2_jegyzet_diffegyenlet_masodrendu.pdf | Másodrendű differenciálegyenletek]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_iranymenti derivalt.jpg |Iránymenti derivált összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_tobbvaltozos_fuggvenyek_abrazolasa.pdf |Többváltozós függvények ábrázolása]]
*[[Media:Matek3 Komplexösszefoglaló.pdf |Visontay Péter: Komplex függvénytan összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_komplex_fuggvenytan.pdf |Komplex függvénytan gyakorlatjegyzet]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2010_fuggvenytranszformaciok.pdf |Függvénytranszformációk]]
*[[Media:anal1_derivalttablazat.png | '''Deriválttáblázat''']]
*[[anal2-magic |Analizis 2 magic jegyzet]]

=== Sablonok ===

*[[Media:anal2_vizsgasablon_2012.docx | Vizsga/Zárthelyi sablon]]

==Számonkérések==

=== 1. zárthelyi ===

*2014/2015
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20141020.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh1_20141020_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh1_20141107.pdf | pótZH]]
**tavaszi félév
***[[:File:Anal2_zh1a_20150312.pdf | ZH (A)]] + [[:File:Anal2_zh1a_20150312_megold.pdf | megoldás]]
***[[:File:Anal2_zh1b_20150312.pdf | ZH (B)]] + [[:File:Anal2_zh1b_20150312_megold.pdf | megoldás]]
***[[:File:Anal2_pzh1a_20150323.pdf | pZH (A)]] + [[:File:Anal2_pzh1a_20150323_megold.pdf | megoldás]]
***[[:File:Anal2_pzh1b_20150323.pdf | pZH (B)]] + [[:File:Anal2_pzh1b_20150323_megold.pdf | megoldás]]

*2013/2014
**őszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20131021_megoldas.pdf | ZH megoldással]] (hivatalos megoldókulcs nem került ki, a mellékelt megoldás egy 90%-os zh letisztázott verziója, benne a zh-n szereplő javításokkal!)
***[[Media:anal2_zh1_20131008.pdf | pótZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20140313_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:Anal2_zh1_20140313_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1_20140313_B.pdf | ZH (B)]] + [[Media:Anal2_zh1_20140313_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1p_20140327.pdf | pótZH ]] + [[Media:Anal2_zh1p_20140327_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1pp_20140520.pdf | pótpótZH ]] + [[Media:Anal2_zh1pp_20140520_megoldas(1).pdf | megoldás]]

*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20121015.pdf | ZH]] + [[Media:Anal2_zh1_20121015_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1p_20121027.pdf | pótZH]] + [[Media:Anal2_zh1p_20121027_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1pp_20121210.pdf | pótpótZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20130314_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:Anal2_zh1_20130314_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1_20130314_B.pdf | ZH (B)]] + [[Media:Anal2_zh1_20130314_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1p_20130328_B_megoldassal.pdf | pótZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_ppzh1.pdf | pótpótZH (A)]] + [[Media:anal2_ppzh1_megold.pdf | megoldás]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1p_20111105_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20120308_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1_20120308_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20120322_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20101013_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20101029_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20110310_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20110324_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20091005_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20091014_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1pp_20091217.pdf | pótpótZH]] + [[Media:anal2_zh1pp_20091217_megoldas.pdf |megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20100311_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:anal2_zh1_20100311_A_megoldas.pdf |megoldás]]
***[[Media:anal2_zh1_20100311_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20100401_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

{{Rejtett
|mutatott=Korábbiak
|szöveg=
*2008/2009
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20090316_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20090327_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2007/2008
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20080319_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2006/2007
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20070322_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20070504_B_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2005/2006
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20060316_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20050317_A.gif | ZH (A)]]
***[[Media:anal2_zh1_20050317_B_megoldassal.pdf |ZH (B) megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20040311_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20040505.jpg | pótZH megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20030313_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1_20030313_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]

*2001/2012
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20020314_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20010307_A.pdf | ZH]]

*1997/1998
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_19980319.pdf | ZH]]
***[[Media:anal2_zh1p_19980515.pdf | pótZH]]

*1996/1997
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1p_19970521.pdf | pótZH]]
}}

=== 2. zárthelyi ===

*2014/2015
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20141119.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh2_20141119_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2p_20141203.pdf | pótZh]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh2_20150416_A.pdf | ZH(A)]] + [[Media:Anal2_zh2_20150416_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh2_20150416_B.pdf | ZH(B)]] + [[Media:Anal2_zh2_20150416_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_pzh2_20150427_A.pdf | pZH(A)]] + [[Media:Anal2_pzh2_20150427_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_pzh2_20150427_B.pdf | pZH(B)]] + [[Media:Anal2_pzh2_20150427_B_megoldas.pdf | megoldás]]
*2013/2014
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20131020_reszmegold.pdf | ZH részleges megoldással]]
***[[Media:anal2_pzh2_20131209.pdf | pótZH]] + [[Media:anal2_pzh2_20131209_megoldas.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh2_20140417_A.pdf | ZH(A)]] + [[Media:Anal2_zh2_20140417_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh2_20140417_B.pdf | ZH(B)]] + [[Media:Anal2_zh2_20140417_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh2p_20140508_A.pdf | pótZH(A)]] + [[Media:Anal2_zh2p_20140508_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh2p_20140508_B.pdf | pótZH(B)]] (megoldást lásd az A variánsnál)
***[[Media:Anal2_zh2pp_20140520.pdf | pótpótZH]] + [[Media:Anal2_zh2pp_20140520_megoldas.pdf | megoldás]]

*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20121119.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh2_20121119_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2p_20121130.pdf | pótZH]] + [[Media:anal2_zh2p_20121130_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20121210.pdf | pótpótZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20130425.pdf | ZH(A)]] + [[Media:anal2_zh2_20120425_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_pzh2.pdf | pótZH(A)]] + [[Media:anal2_pzh2_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_ppzh2.pdf | pótpótZH(A)]] + [[Media:anal2_ppzh2_megold.pdf | megoldás]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20111117_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20111201_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20120412_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20120412_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20120503_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20101110_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20101122_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20101213_megoldassal.pdf | pótpótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20110414_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20110505_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20091109_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20091123_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20091217.pdf | pótpótZH]] + [[Media:anal2_zh2pp_20091217_megoldas.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20100415_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:anal2_zh2_20100415_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2_20100415_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20100429_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2008/2009
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20081121_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20081205_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

{{Rejtett
|mutatott=Korábbiak
|szöveg=
*2007/2008
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20080416_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2006/2007
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2pp_20061219.jpg | pótpótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20070419_AB.pdf | ZH (A-B)]]
***[[Media:anal2_zh2_20070419_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20070504_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2005/2006
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20060420_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20060420_C_megoldassal.pdf | ZH (C) megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20050421_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20040415_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20040505_A.jpg | pótZH (A)]]
***[[Media:anal2_zh2p_200405_B_megoldassal.pdf | pótZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20040603.jpg | pótpótZH megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20030417_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20030605_megoldassal.pdf | pótpótZH megoldással]]

*2001/2002
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20020418_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20020418_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20010419_B.pdf | ZH]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20010509_A.jpg | pótpótZH]]

*1997/1998
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_19980423.pdf | ZH]]
}}

=== Vizsga ===

*2014/2015
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20141222.pdf | december 22.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20150109.pdf | január 9.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20150116.pdf | január 16.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20150123.pdf | január 23.]]
*2013/2014
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20131221.pdf | december 21.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140106.pdf | január 6.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140113.pdf | január 13.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140120.pdf | január 20.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20140529.pdf | Május 29.]] + [[Media:anal2_vizsga_20140529_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140605.pdf | Június 5.]] + [[Media:anal2_vizsga_20140605_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140612.pdf | Június 12.]] + [[Media:anal2_vizsga_20140612_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140619.pdf | Június 19.]] + [[Media:anal2_vizsga_20140619_megoldas.pdf | megoldás]]

*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20121227.pdf | December 27.]] + [[Media:anal2_vizsga_20121227_megoldas_1B.pdf | 1B feladat megoldása]]
***[[Media:anal2_vizsga_20130107.pdf | Január 7.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20130114.pdf | Január 14.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20120529_megoldassal.pdf | Május 29. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120606A_megoldassal.pdf | Június 6. megoldással (A)]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120613A.pdf | Június 13. (A)]] + [[Media:anal2_vizsga_20120613_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120620A_megoldassal.pdf | Június 20. megoldással (A)]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20111219_megoldassal.pdf | December 19. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120102_megoldassal.pdf | Január 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120109_megoldassal.pdf | Január 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120116_megoldassal.pdf | Január 16. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20120524_megoldassal.pdf | Május 24. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120531_megoldassal.pdf | Május 31. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120607_megoldassal.pdf | Június 7. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120614_megoldassal.pdf | Június 14. megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20110103_megoldassal.pdf | Január 3. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110110_megoldassal.pdf | Január 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110117_megoldassal.pdf | Január 17. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20110526_megoldassal.pdf | Május 26. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110602_megoldassal.pdf | Június 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110609_megoldassal.pdf | Június 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110616_megoldassal.pdf | Június 16. megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20100104.pdf | Január 4.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100104_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100111.pdf | Január 11.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100111_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100118.pdf | Január 18.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100118_megoldas.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20100527_megoldassal.pdf | Május 27. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100603_megoldassal.pdf | Június 3. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100610_B_megoldassal.pdf | Június 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100617_megoldassal.pdf | Június 17. megoldással]]

{{Rejtett
|mutatott=Korábbiak
|szöveg=
*2008/2009
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20090107_megoldassal.pdf | Január 7. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090114_megoldassal.pdf | Január 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090128_megoldassal.doc | December 28. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20090528_B_megoldassal.pdf | Május 28. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090604_megoldassal.pdf | Június 4. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090611_megoldassal.pdf | Június 11. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090618_megoldassal.pdf | Június 18. megoldással]]

*2007/2008
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20080109.jpg | Január 9.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080123.jpg | Január 23.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20080529_A_megoldassal.pdf | Május 29. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080605_megoldassal.pdf | Június 5. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080612_megoldassal_silany.pdf | Június 12. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080619.jpeg | Június 19.]]

*2006/2007
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20070103.jpg | Január 3.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070110_megoldassal.pdf | Január 10. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20070531_A.pdf | Május 31. A]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070531_B.gif | Május 31. B]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070607_B.jpg | Június 7.]] + [[Media:anal2_vizsga_20070607_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070614_A_megoldassal.pdf | Június 14. A megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070614_B_megoldassal.pdf | Június 14. B megoldással]]

*2005/2006
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20060102.jpg | Január 2.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060119.pdf | Január 19.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20060601_AB_megoldassal.pdf | Június 1. AB megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060601_C_megoldassal.pdf | Június 1. C megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060608_B_megoldassal.pdf | Június 8. B megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060608_C_megoldassal.pdf | Június 8. C megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060615_megoldassal.pdf | Június 15 megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20050526_megoldassal.pdf | Május 26. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20050609_megoldassal.pdf | Június 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20050623_megoldassal.pdf | Június 23. megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20040520_megoldassal.pdf | Május 20. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040603.jpg | Június 3.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040610_megoldassal.pdf | Június 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040617_megoldassal.pdf | Június 17. megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20030522_megoldassal.pdf | Május 22. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030605_megoldassal.pdf | Június 5. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030612_megoldassal.pdf | Júnis 12. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030619_megoldassal.pdf | Júnis 19. megoldással]]

*2001/2002
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20020606_megoldassal.pdf | Június 6. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20020620.pdf | Június 20.]] + [[Media:anal2_vizsga_20020620_megoldassal.pdf | megoldás]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20010518_A_I.pdf | Május 18. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010518_A_II.pdf | Május 18. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_A_I.pdf | Június 7. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_A_II.pdf | Június 7. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_B_II.pdf | Június 7. B II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010614_A_II.pdf | Június 14. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010614_B_II.pdf | Június 14. B II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_A_I.pdf | Június 18. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_A_II.pdf | Június 18. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_B_I.pdf | Június 18. B I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_B_II.pdf | Június 18. B II.]]

*1999/2000
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20000524_B.pdf | Május 24.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000606_B.pdf | Június 6.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000613_B.pdf | Június 13.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000619_A.pdf | Június 19.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000620_B.pdf | Június 20.]]
}}

==Idegennyelvű kurzusok==



=== Angol ''(Course in English)'' ===

[[Media:anal2_jegyzet_2002_angol_laurent.pdf | Laurent series]]

=== Német ===

''A német nyelvű képzéshez kapcsolódó anyagokat keresd a [http://nemet.sch.bme.hu/ Német Seite]-on.''

== Tippek ==

*A hivatalos jegyzetből érdemes az elméletet elsajátítani, a legtöbb helyen részletes és érthető.
*A felkészüléshez elengedhetetlen, hogy gyakorlottan oldjunk meg feladatokat. Feladatokat megoldással a gyakorlati jegyzetben találunk, de érdemes a régebbi ZH-kat, vizsgákat is átnézni. (Figyeljünk, hogy a dolgozatok tematikája évről-évre változik.)
*Amennyiben az aktuális szabályzat engedi, ne feledjétek elvinni a számonkérésekre a [[Media:Anal1_derivalttablazat.png |deriválttáblázatot]].

== Verseny ==

*[http://verseny.vik.hk/versenyek/olvas/6?v=Matematika BME Matematika Verseny]

== Kapcsolódó tárgyak ==
*Előkövetelmény
**[[Analízis I.]]
*Közvetlenül ráépül
**[[Jelek és rendszerek]]
*Érdeklődőknek
**[[A többváltozós analízis mérnöki alkalmazásai]] tárgyat párhuzamosan ajánlott felvenni.
**A [[Haladó Analízis]] tárgyat az [[Analízis II.]] elvégzése után érdemes felvenni.
**[[A differenciálegyenletek és a vektoranalízis mérnöki alkalmazásai 1]] tárgyat az [[Analízis II.]] elvégzése után érdemes felvenni.
*Hasonló tematikájú villanyos tárgyak
**[[Matematika A2a - Vektorfüggvények]]
**[[Matematika A3 villamosmérnököknek]]

== Ajánlott oldalak ==
*'''Előadók oldalai:'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~tasnadi/ Tasnádi Tamás]'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~reffyj/ Réffy Júlia]'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~pataki/ Pataki Gergely]'''
**''[http://www.math.bme.hu/~mweiner/anal2/ Weiner Mihály keresztfélév]''
**''[http://www.math.bme.hu/~konya/anal2/ Kónya Ilona archív]''
*Jegyzetek, segédanyagok:
**[http://www.mateking.hu/ Matematika érthetően - egy egészen új statisztika és a matek tanulás]
**[http://wps.aw.com/aw_thomas_calculus_11/29/7661/1961403.cw/content/index.html Calculus Resources for Students ''(Thomas' Calculus)'']
**[http://www.cs.elte.hu/~krja/ Kristóf János jegyzetei]
**[http://www.math.unideb.hu/~lajko/ Lajkó Károly jegyzetei]
**[http://www.trillia.com/products.html Mathematical Analysis by Elias Zakon]
*Segédprogramok:
**'''[http://www.wolframalpha.com/ WolframAplha - függvények ábrázolása, deriválása, integrálása, határérték-számolás, stb.]'''
**[http://www.wolfram.com/ Wolfram Research - a Mathematica alkalmazás fejlesztője]
*Konzultációs oldalak:
**'''[http://konzi.vik.hk/ Villanykari Konzi Site]'''
**[http://www.math.bme.hu/~mmm/ Matematika Konzultációs Központ]

== Kedvcsináló ==

{{Idézet|idézet="Ki találta ki ezt a feladatot? Biztos válófélben van, otthagyták a gyerekei, utálják a szomszédai, a felesége, meg mindenki. De lehet, hogy a javító, mert ezt úgysem tudja senki megoldani, és már ki is van javítva a feladat."|forrás=Kónya Ilona}}

{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak}}

Fájl:Anal2 pzh2 20150427 B megoldas.pdf

2015-05-10T00:49:20Z

Hegyi Zsolt Gábor: Analízis II. - 2015 tavasz - 2. pótZH, béta variáns megoldás

Analízis II. - 2015 tavasz - 2. pótZH, béta variáns megoldás

Fájl:Anal2 pzh2 20150427 B.pdf

2015-05-10T00:49:02Z

Hegyi Zsolt Gábor: Analízis II. - 2015 tavasz - 2. pótZH, béta variáns

Analízis II. - 2015 tavasz - 2. pótZH, béta variáns

Fájl:Anal2 pzh2 20150427 A megoldas.pdf

2015-05-10T00:48:33Z

Hegyi Zsolt Gábor: Analízis II. - 2015 tavasz - 2. pótZH, alfa variáns megoldás

Analízis II. - 2015 tavasz - 2. pótZH, alfa variáns megoldás

Fájl:Anal2 pzh2 20150427 A.pdf

2015-05-10T00:47:54Z

Hegyi Zsolt Gábor: Analízis II. - 2015 tavasz - 2. pótZH, alfa variáns

Analízis II. - 2015 tavasz - 2. pótZH, alfa variáns

Fájl:Anal2 zh2 20150416 B megoldas.pdf

2015-05-10T00:46:36Z

Hegyi Zsolt Gábor: Analízis II. - 2015 tavasz - 2. ZH, béta variáns megoldás

Analízis II. - 2015 tavasz - 2. ZH, béta variáns megoldás

Fájl:Anal2 zh2 20150416 B.pdf

2015-05-10T00:46:07Z

Hegyi Zsolt Gábor: Analízis II. - 2015 tavasz - 2. ZH, béta variáns

Analízis II. - 2015 tavasz - 2. ZH, béta variáns

Fájl:Anal2 zh2 20150416 A megoldas.pdf

2015-05-10T00:44:59Z

Hegyi Zsolt Gábor: Analízis II. - 2015 tavasz - 2. ZH, alfa variáns megoldás

Analízis II. - 2015 tavasz - 2. ZH, alfa variáns megoldás

Fájl:Anal2 zh2 20150416 A.pdf

2015-05-10T00:43:35Z

Hegyi Zsolt Gábor: Analízis II. - 2015 tavasz - 2. ZH, alfa variáns

Analízis II. - 2015 tavasz - 2. ZH, alfa variáns

Mérnök leszek

2015-05-10T00:37:00Z

Hegyi Zsolt Gábor: Második ZH anyagával kiegészítve

{{Tantárgy
|nev=Mérnök leszek
|targykod=GT52A400
|szak=info/villany
|kredit=2
|tanszék=GTK EPT
|felev=1 (mindkét szak)
|kereszt=?
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db
|vizsga=nincs
|hf=nincs
|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/GT52A400
|tárgyhonlap = http://moodle.appi.bme.hu/}}

A '''Mérnök leszek''' egy szemléletformáló tárgy, melynek célja az elsőévesek beilleszkedésének segítése, a hallgatói kultúra fejlesztése. A hallgatói szocializáció folyamatának elősegítése, alkalmazkodás az egyetemi követelményekhez. A tanulással és a teljesítménnyel kapcsolatos viselkedésmódok, és a tudás prezentációjának tartalmi és formai fejlesztése.

Főbb témakörök:
* Belépés az egyetemre
* A tanulás új világa
* Tudás reprezentációja
* A mérnöki karrier kezdete

== Követelmények ==

*'''Jelenlét:''' Az előadások 70%-án kötelező részt venni!
*'''ZH:''' Két ZH van, mindegyik pótolható, a legalább elégséges félévközi jegy megszerzésének feltétele a jelenléti követelményeken túl mindkét ZH sikeres (legalább 40%-os) teljesítése.
*'''Félévközi jegy:''' A két ZH százalékos átlagának alapján

40-59% : elégséges (2)
60-69% : közepes (3)
70-79% : jó (4)
80-100%: jeles (5)

A zárthelyik során az előadásokon bemutatásra kerülő prezentációk anyagát, valamint az előadásokon elhangzó egyéb tartalmakat kérik számon.

== Előadások témái ==
# Bevezetés
# Az egyetem története
# Az egyetemi viselkedés etikája
# A tanulás új világa
# A tanulás folyamatának mérnöki megközelítése
# A tanulás empirikus vizsgálatainak feldolgozása
# Teljesítmény és személyiség
# A tudás reprezentálása I.
# A tudás reprezentálása II.
# A mérnöki karrier I.
# A mérnöki karrier II.
# A mérnöki karrier III.

== Jegyzetek ==
[[:Media:mérnökleszek_jegyzet_2014_ősz.docx |Gedai Bence jegyzete]] - Nem ellenőrzött!

== Első ZH ==

Durván belekérdeztek a BME történelmébe is, ráadásul az egyébként könnyű kérdések is sokszor hiányosan voltak feltéve, bele kell érteni, mit szeretnének kérdezni.

== Második ZH ==

Halovány igéretet kaptam, hogy a Zh előtt kapunk egy mintaZh-t, hogy legalább el tudjuk képzelni, milyen anyagrészek tudását várják el - [[Szerkesztő:Kozaróczy Zsolt|Kozaróczy Zsolt]] ([[Szerkesztővita:Kozaróczy Zsolt|vita]])

A meghívott előadók előadásai tartalmából sokat kérdeztek, valamint tanulástechnikával kapcsolatos dolgokról. - [[Szerkesztő:Hegyi_Zsolt_Gábor|vista]]

==Tippek==

{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak 2014}}
{{Lábléc_-_Villamosmérnök_alapszak 2014}}

Schönherz Qpa

2014-10-12T17:43:08Z

Hegyi Zsolt Gábor: 2014-es kupagyőztes és új gólyacsapatok

A Schönherz Kupa a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem (BME) Villamosmérnöki és Informatikai Karának (VIK) kari napok rendezvénye. Írásmód: Schönherz Qpa vagy röviden SCH QPA.

==Történelem==

[[1972]] októberében a budavári Schönherz Zoltán Kollégium tízéves fennállását ünnepelte. A kollégium vezetése és évfolyamai erre az alkalomra egyhetes ünnepségsorozatot rendeztek. Az utolsó nap délutánjára és estéjére zárórendezvényként az akkori III. E+M. évfolyam egy vidám vetélkedőt álmodott meg. Így született meg a Schönherz (vándor) Kupa gondolata.

Az első Kupa feladatai között logikai és lexikális villámkérdések, KRESZ-teszt, interjúkészítés, zenei és kulturális feladatok, sportversenyek szerepeltek. A Kupa utolsó feladataként minél több lányt kellett hívni a főváros egyetemi kollégiumaiból. A legtöbb hölgyet felvonultató évfolyamnak alapították az első Schönherz Kupa rendezői a Casanova Díjat. A rendezvény "központja" a [[vari_kollegium|vári kollégium]] dísztermében volt, de jó néhány feladat helyszínének Budapest egyéb pontjait tűzték ki.

A Schönherz Kupa alapító okirata szerint a mindenkori győztes jogosult rendezni a következő évi Qpát. Ha a győztes csapat ötödéves, tehát végzős, abban az esetben a második helyezett. (Mivel a kredit rendszer bevezetése óta ([[1993]]) az évfolyamok összemosódnak, ezért ez utóbbi szabályt már csak akkor alkalmazzák, ha a pontszám szerinti győztes - bármilyen okból - nem vállalja a következő évi Qpa megrendezését.)

Az egyestés vetélkedő azóta az ország egyik legnagyobb kollégiumi, kari vetélkedőjévé nőtte ki magát. A neve az 1990-es években Kupáról Qpára változott.

==Kupa védők==

{| class="wikitable"
! ÉV
! CSAPAT
! ÉV
! CSAPAT
! ÉV
! CSAPAT
! ÉV
! CSAPAT
! ÉV
! CSAPAT
|-
| 1972 || I. E+M || 1981 || III. H+M || 1990 || B&H || 1999 || MI || 2008 || [[Schiman|Schimán]]
|-
| 1973 || IV. E+M || 1982 || V. HMTE || 1991 || Pereputy || 2000 || Nem kéne || 2009 || [[TaVIKacsa|taVIKacsa]]
|-
| 1974 || III. E+M || 1983 || <s>IIII</s> || 1992 || USF || 2001 || ЧЕРНОЗЁМ || 2010 || [[LopoSCHokk|LopóSCHoKK]]
|-
| 1975 || II. E+M || 1984 || III. E || 1993 || Pereputy || 2002 || Netuddmi || 2011 || [[Buksi,_Apa_kiszökött!|Buksi, Apa kiszökött!]]
|-
| 1976 || V. E+M || 1985 || II. E || 1994 || We 'kings || 2003 || 10G || 2012 || [[Mellekhatasch|Mellékhatásch]]
|-
| 1977 || III. H+M || 1986 || V. E || 1995 || SCHEXBEERS || 2004 || KPMMF-VMISZK || 2013 || [[UZCSÁP5]]
|-
| 1978 || II. H+M || 1987 || II. M || 1996 || We 'kings || 2005 || 7. Abszint || 2014 || Big Fluffy Bears
|-
| 1979 || V. THEM || 1988 || <math>\sum_{K=I}^{IV} K</math>μ || 1997 || We 'kings || 2006 || [[Hipppi|hiPPPi]] || 2015 ||
|-
| 1980 || IV. H+M || 1989 || IV. M || 1998 || Tehénke Alapítvány™ || 2007 || [[Amt|AZÉ ez már Mindennek a Teteje]] || 2016 ||
|}

==Kupák és egyéb díjak==

* Schönherz Kupa – űrtartalma 1,1 liter, a győztes csapat őrzi egy évig.
* Elschönherz Kupa – a legmagasabb pontszámot elért elsős csapat díja.
* Casanova Kupa – a Casanova Bálra a legtöbb hölgyet felvonultató csapat kapja.
* Epszilon Kupa – a második helyezett csapat jutalma, ha az első és a második helyezett pontszáma között 2,5%-nál kisebb különbség van.
* Fairplay Kupa – a legsportszerűbben kupázó csapat kapja a Fairplay Kupát, a kupázó csapatok és a rendezőség szavazatai alapján.
* Bőrönd – a Kupa legszínesebb egyéniségének járó díj, egy valódi bőrönd, amelybe minden tulajdonosa valamilyen rá, vagy a csapatára jellemző tárgyat helyez el. Nem kerül minden évben kiosztásra.
* Schörherz Kupa – a "10-es sörváltó" feladat győztesének díja, űrtartalma fél liter.
* Schönherz Kuka – a legszimpatikusabban kupázó csapat kapja a rendezők és a Kuka előző évi tulajdonosainak szavazatai alapján.
* Külschönherz Kupa – a legmagasabb pontszámot elért nem BME-VIK-es csapat díja.
* Gumicum Kupa - aki legalább háromszor egymás után második helyet ér el, köteles új kupát alapítani, viszont kap 99 liter bort.

==Legendás feladatok==
===Mátrix óriáskijelző===

[[2003]]-ban a rendezvénynek otthont adó Schönherz Zoltán kollégiumot egy 16x13 pixeles óriáskijelzőként használhatták a versengő csapatok. Az animációkat, illetve a valósidőben vezérelt tetris játékot az épület ablakainak kivilágításával és elsötétítésével valósították meg. [[2005]]-ben az animációk lejátszása mellett lehetővé vált szinkronizált zenelejátszás is, a [[2008]]-as fejlesztések eredményeképpen pedig az animációkat már egy harmadik, a lámpák nagyon gyors villogtatásával elért harmadik árnyalatot is felhasználva készíthették el a csapatok. [[2010]]-ben szponzori támogatások segítségével az óriáskijelző 27000 LED segítségével színessé változott.

A Mátrixot hagyományosan a Lágymányosi híd budai hídfőjének oldaláról érdemes nézni, mivel a hangosítást is oda szokta telepíteni az ezért felelős [[ac|AC kör]].

== Qpacsapatok ==

===2014-ben kezdett gólyacsapatok===

* [[Schörb!nó]]
* [[Schodrás]]
* [[RettegeTT NYaligátor]]
* [[Gumikornis]]
* [[MiQláSCH]]

===2013-ban kezdett gólyacsapatok===
* [[Maghasadásch|MaghasadáSCH]] 8. szint
* [[Schikamlós seregélyek]] 17. szint
* [[KorszerűsíteTT Nyílás]] TTNY
* [[Qpánvágott Kacsák]] 6. szint
* [[Sapkásch]] 10. szint

===2012-ben kezdett gólyacsapatok===

* [[Likeabosch|Like a BOSCH]] 16. szint
* [[KanáliSCH]] 6. szint
* [[Pakschihapsi]] 7. szint
* [[DroidTerror]] 10. szint
* [[ÁthalloTTNYögés]] TTNY

===2011-ben kezdett gólyacsapatok===

* [[TrivialiSCH|Triviálisch]] 18. szint
* [[Schoretes|Schörétes]] 6. szint
* [[Qvik]] 7. szint
* [[FilaSCHokk|FiláSCHokk]] 8. szint
* [[KotoTTNYakkendo|kötöTTNYakkendő]] TTNY

===2010-ben kezdett gólyacsapatok===

* [[Az ilyeneket lelöVIK]]
* [[brittnyi_szpirsz|BriTTNYi Szpírsz]] TTNY
* [[Lego|L'ego]] 11. szint
* [[Faintosch]] 9. szint
* [[RatBull]] 15. szint
* [[SCHWAR7ENEGRO]] 7. szint

===2009-ben kezdett gólyacsapatok===

* [[tatSCHkofej|tatSCHkófej]] 9. szint
* [[Budget]] 17. szint
* [[LapaTTNYel|LapáTTNYél]] TTNY
* [[LopoSCHokk|LopóSCHokk]] 7. szint
* [[6almaschock]] 6. szint

===2008-ban kezdett gólyacsapatok===

* [[AranySzocske|Aranyszöcske]] 11. szint
* [[DarkoPolo|Darkopolo]] 8. szint - TepschiMax, később [[Buksi]]
* [[FeherJe|Fehérje]] 9. szint
* [[FokaFalka|Fókafalka]] 10. szint
* [[IkSz|I.K.Sz.]] - [[CockTail]] - [[QDropTable|';DROP TABLE *; --]]

===2007-ben kezdett gólyacsapatok: a Termós év===

* [[EtilAlakulat|Etil Alakulat]]
* [[SchizZo|Schizzo]] - később [[Buksi]] egyik fele
* [[TermoKusch|Termókus]]
* [[FAQutya]]

===2006-ban kezdett gólyacsapatok===

* [[17orgazmus|17. orgazmus]] - később [[XVIIOKlan|XVII. O'Klán]]
* [[taVIKacsa|taVIKacsa]]
* [[K3|<math>K{^3}</math>]] - később [[SPQR|S.P.Q.R.]]
* [[Schirashowk|Schíráshowk]]
* [[ErotikusMaflacs|Erotikus Maflacs]]

===További csapatok===



* [[920]]
* [[irc|#IngyenRibanC]]
* [[amt|AzÉ ez Már mindennek a Teteje]]
* [[bASCII]]
* [[buksi|Buksi, Apa kiszökött!]]
* [[QCsapatnév|Darkside]]
* [[detoxi_maxi|Detoxi Maxi]]
* [[invaders|INVADERS!]]
* [[mi|MI]]
* [[hipppi|hiPPPi]]
* [[mellekhatasch|Mellékhatásch]]
* [[QPottyosLambda|Pöttyös Lambda]]
* [[Quppa|Quppa]]
* [[SchRANDom]]
* [[schvajc|Schvájc]]
* [[schiman|Schimán]]
* [[sunherz|Sünherz]]
* [[UPS|UPS]]
* [[kortelikor|Körtelikör]]
* [[tekek|TEKEK]]
* [[TheB-Team|The B-Team]]

===Külsős csapatok===



* [[kin_allstars|Kin AllStars]]

==Külső hivatkozások==

* http://qpa.sch.bme.hu
* [http://web.archive.org/web/*/http://qpa.sch.bme.hu régi qpahonlapok]
* [http://hu.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%B6nherz_kupa Wikipédia szócikk a Schönherz Qpáról]
* [http://oriaskijelzo.hu Óriáskijelző a Schönherz kollégium falán]
* [http://www.youtube.com/watch?v=hFqnDjyDI9o "Csernozjom Tourist" animáció az óriáskijelzőn]
* [http://abcnews.go.com/Video/playerIndex?id=2318825 Az ABC News hírcsatorna híradása az óriáskijelzőről]

[[Category:Sch]]