<?xml version="1.0"?>
<feed xmlns="http://www.w3.org/2005/Atom" xml:lang="hu">
	<id>https://vik.wiki/api.php?action=feedcontributions&amp;feedformat=atom&amp;user=Csala+Tam%C3%A1s</id>
	<title>VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]</title>
	<link rel="self" type="application/atom+xml" href="https://vik.wiki/api.php?action=feedcontributions&amp;feedformat=atom&amp;user=Csala+Tam%C3%A1s"/>
	<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/Speci%C3%A1lis:Szerkeszt%C5%91_k%C3%B6zrem%C5%B1k%C3%B6d%C3%A9sei/Csala_Tam%C3%A1s"/>
	<updated>2026-04-04T19:15:34Z</updated>
	<subtitle>Felhasználó közreműködései</subtitle>
	<generator>MediaWiki 1.43.6</generator>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=M%C3%A9rn%C3%B6ki_menedzsment&amp;diff=191851</id>
		<title>Mérnöki menedzsment</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=M%C3%A9rn%C3%B6ki_menedzsment&amp;diff=191851"/>
		<updated>2017-05-16T10:46:23Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Mérnöki menedzsment&lt;br /&gt;
| tárgykód = VITMMB03&lt;br /&gt;
| szak = msc villany és infó&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2, 4&lt;br /&gt;
| kereszt = van (ősszel magyarul, tavasszal angolul indul a tárgy)&lt;br /&gt;
| tanszék = TMIT&lt;br /&gt;
| jelenlét = &lt;br /&gt;
| minmunka = &lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 1 db&lt;br /&gt;
| hf =&lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tad = https://portal.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VITMMB03&lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://qosip.tmit.bme.hu/foswiki/bin/view/VITMM112&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Segédanyagok==&lt;br /&gt;
*[[Media:Mernokimenedzsment_jegyzet_2011osz.pdf | 2011.ősz előadásjegyzet]]&lt;br /&gt;
*Összefoglaló 2010 [[Media:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2010.pdf | pdf]] [[Media:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2010.docx | docx]]&lt;br /&gt;
*Számonkérések kidolgozása 2011.12.20-ig (néhány kérdés hiányzik) [[Media:Mernokimenedzsment_kidolgozas_2011.pdf | pdf]] [[Media:Mernokimenedzsment_kidolgozas_2011.docx | docx]]&lt;br /&gt;
*2014-es kidolgozás: [[:File:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2014.pdf| pdf]] [[:File:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2014.docx| docx]]&lt;br /&gt;
==ZH==&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi mintazh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
#Ismertesse, hogy mit értünk mérnöki menedzsmenten, mint diszciplínán! A szakterület innovációjának menedzsmentje beletartozik-e? Miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata (cégfilozófia), tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Egy műszaki termék éves eladási száma 40 ezer. Egyik termékfejlesztő egy új terméket tervez a meglevő termék lecserélésére, azonban ennek az eladási száma bizonytalan (világpiactól függ). Ha a világpiac kedvezően alakul (melynek esélye 20%), akkor az éves eladási szám 100 ezer lesz; kedvezőtlen esetben pedig 20 ezer lesz. Csupán az eladások szempontjából mi lesz a cégvezetőség döntése arról, hogy bevezessék-e az új terméket vagy maradjon-e a régi? Válaszát indokolja! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk elektronikus hírközlésen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelentenek a SWOT egyes betűi (magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a DSS és GDSS között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a WBS a projekteknél? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyik az a tudásfajta, amelyik nem megfogható, hanem az egyén személyes tudását tartalmazza? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse, hogy mit értünk mérnöki menedzsmenten, mint diszciplínán! A szakterület innovációjának menedzsmentje beletartozik-e? Miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját, mit mutat meg a stratégiai térkép? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció komplex modelljét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szakmai kompetencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés három dimenziója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a DSS és GDSS között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit ad meg a vezetői hatalom három forrása együttesen és metszetében? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a tudástranszfer sűrűségén? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Lehet-e cég feltaláló? Indokolja a választ! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit és változási trendjeiket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata (cégfilozófia), tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ICT egyes korszakait egy-egy jellemzőjükkel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Pareto módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Egy vállalatnál el kell dönteni, hogy a bevételből az egyes részlegek mekkora összeget kapjanak. Milyen ennek a döntésnek a döntési logikája? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépések jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Vállalatoknál kinek a feladata a tudás kodifikációjának tervezése és irányítása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a szabadalmi helyzet, ha valakinek munkaköréhez tartozik, hogy új dolgokat kutasson és hozzon létre? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az egyéni és szervezeti szakmai kompetencia összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a SWOT módszert, célját, komponenseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Innovációs és Technológiai Intézet (EIT) alapításának célját és indokait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EU szóhasználata magyarul és angolul a távközlés fogalmára? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? Soroljon fel legalább négyet! (Gartner felmérés) (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Létezik-e mindig kritikus út a projektek ütemezésénél? Ha igen, hogyan lehet ezt belátni? Ha nem, akkor mutasson ellenpéldát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyik a két alapvető tudásmenedzsment megközelítés? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen innovációs intézmények működnek a BME-n? Soroljon fel legalább hármat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Bono hat gondolkodó kalap módszerét! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert döntési logikákat! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Melyek az innovatív vállalat tulajdonságai, főbb típusai? (3 pont) &lt;br /&gt;
# Melyek a munkahelyi sikeresség legfőbb elemei (USA felmérés)? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Nem kritikus úton lévő tevékenység tD időt csúszik egy projektben. Mennyit fog csúszni az egész projekt, ha: &lt;br /&gt;
#* tD kisebb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? &lt;br /&gt;
#* tD nagyobb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Hogyan hívják azt a szervezetekre jellemző tudást, mely független azoktól, akik létrehozták és szervezeti stabilitása van? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mely szervezet adja ki a Magyar Innovációs Nagydíjat, milyen vállalatnak ítélik oda? (1 pont) &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.04. zh pótlás&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia definícióját, beleértve öt fő attribútumát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásháromszöget! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs értéklánc integrációjának legalább négy korlátját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumának legalább négy tematikus területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégiaalkotási lépéseket! (Az a - e megfelelő sorrendjének megadásával)&lt;br /&gt;
#*a) SWOT analízis b) jövőkép c) üzleti stratégia d) stratégiai állásfoglalás e) funkcionális stratégia (1 pont)&lt;br /&gt;
#Miket tartalmaz a projekt alapító dokumentum? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen információforrásokból lehet felépíteni egy technológiai elemzést? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői tevékenység összetevőit, a vezetők 7 sapkáját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mutasson egy példát egy olyan többszempontú döntési problémára, amely kiválasztásos típusú döntési logikával rendelkezik! Ismertesse, hogy milyen módszerrel és hogyan oldaná ezt meg! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációs menedzser feladatait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a sikeresség 2x2 komponense, adja meg betűrövidítésüket is! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a projektmenedzsment alkalmazásának legalább négy területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az adaptív vállalati kultúra célja, és mi Ön szerint a két legfontosabb ismérve? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit véd a forma mintaoltalom? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi zh b csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Bono hat gondolkodó kalap módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Critical Path Method lényegét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a természetes stratégiák, és mi szerint rendezzük őket? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt-diagram? Mik a hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a vezetői döntés hatékony megvalósításának feltétele? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a Delphi módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az ügyvezetés három dimenzióját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció komplex modelljét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a PEST/STEP módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy csoportos döntéstámogatási módszert! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az emberi és a beágyazott tudás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a találmány és a szabadalom között? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse az ügyvezetés legalább hat jellegzetességét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BME-n folyó innovációs tevékenységet! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ICT egyes korszakait egy-egy jellemzőjükkel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az IT menedzserek alapvető üzleti prioritásai közül, és fejtsen ki közülük legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a játékelméletben használatos nyeregpontot! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a termékfejlesztés lehetséges céljait, eredményeit és típusait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi és minek a része a horizontális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A diplomamunka melyik projekt fajtába sorolható? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek az innováció információforrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk franchise-on? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a játékelméletben a tiszta és a kevert stratégia között? Az előző definíción túl mennyiben lesz más a játék &amp;quot;megoldása&amp;quot; (azaz melyiknél mit értünk a játék megoldása alatt)? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a termék életciklus menedzselésének legalább két szakaszát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Miért van plusz költség vonzata egy projekt határidőből való kicsúszásának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Jellemezze az adaptív vállalati kultúrát legalább 4 ismérvével! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a bevételnövelés módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk használati mintaoltalmon? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# List at least four mandatory business priorities of IT managers and give details about two of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the saddle point applied in game theory! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the aims and types of product development! (3 points)&lt;br /&gt;
# What is the basis of convergence of telecoms, IT and media? (1 point)&lt;br /&gt;
# What and whose part is horizontal strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# What kind of project type is the final project at a university? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the sources of managerial power? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the information sources of innovation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by franchise? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezésével, és részletezze az egyes rétegeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a játékelméletben a Nash-féle egyensúlypontot! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a hype-görbe módszertant! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a vertikális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A kooperatív játékelméletben hol érhető tetten a versengés és hol (kik között figyelhető meg) kooperáció? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit ad meg a vezetői hatalom három forrása együttesen és metszetében? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a sztárok termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse a vezetői tevékenység hét összetevőjét (hét sapkáját)! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hasonlítsa össze a tudásmenedzsment tantárgyunkban megismert kodifikációs és perszonalizációs megközelítéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert árképzési formákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer lépéseit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a munkatárs támogatása és irányítása szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a termék életciklus időbeli fázisait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk franchise-on? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői készségeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a projektmenedzsmentben megismert WBS? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az egyéni kompetencia összetevőit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a döglött kutyák termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a védjegy? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a stratégia megvalósításának piramisát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásátvitel lehetséges útjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a fogyasztó árérzékenységén? Hogyan jellemezzük? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? A hat közül soroljon fel legalább négyet (a tantárgyban ismertetett Gartner felmérés alapján)! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a stratégia megalapozottságán? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt diagram? Mik az előnyei és hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a szervezeti kultúra dimenzióit Hofstede szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a portfólió elemzés BCG módszerét, adja meg célját, rajzolja fel a BCG mátrixot, abban helyezze el legalább a fejős tehenet! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői hatalom forrásait, összefüggésüket és szerepüket a döntések hatékony megvalósításában! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik, és mik a lényeges elemei egy termék piaci bevezetésének? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a munkahelyi sikeresség legfőbb elemei (a tantárgyban ismertetett USA felmérés alapján)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert stratégiai módszereket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a CPM hálótervezési technikában kritikus úton? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk akvizíción a vállalatok kapcsolataiban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kereslet-orientált árképzésen? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a cégstratégia? Tömören ismertesse az összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# A vezetőknek fontos feladataik vannak munkatársaik menedzselésében. Ismertessen e feladatok közül legalább hármat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és fejtsen ki legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés lényege tömören? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk erőforrás simításon? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Adja meg a szakmai kompetencia három összetevőjét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hogy hívják azt a szervezetekre jellemző tudást, mely független azoktól, akik létrehozták és szervezeti stabilitása van? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Adjon meg legalább két piaci szegmentáció típust piac-termék diagramjával együtt! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh C csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy üzleti alapstratégiát a versenyelőny típusa szerinti osztályozásból! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a projektmenedzsment költségterv készítésének módjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Imsertesse a tudásháromszöget! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol találkozott a SWOT betűszóval a tantárgy tananyagában? Mit jelentenek egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk tudástérképen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi zh A csoport angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# List at least four mandatory business priorities of IT managers and give details about two of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the Gantt-diagram time planning technique! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the methods to increase revenue! (3 points)&lt;br /&gt;
# What do we mean by synergy? (1 point)&lt;br /&gt;
# Draw the layers of the strategic pyramid in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# The duration of a job is 1 month in optimistic case, 5 months in pessimistic case and most likely 1,5 month. What is the expected duration of the job in case of PERT projectmanagement method? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 steps of corporate transformation in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 basic types of innovation with examples! (1 point)&lt;br /&gt;
# When is a price non-elastic? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi zh B csoport angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain at least 6 characteristics of management! (3 points)&lt;br /&gt;
# The most common nmistake in network planning in projectmanagement is that we do not realize that some activities can be executed in a paralel way (eg. activities A and B are drawn in chain instead of in paralel). Why is this mistake a problem? Can it happen that after the network planning when we are doing the resource planning the network of the activities has to be modified? If yes, why? If not, why not? (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 phases of the product development in logical order and explain in details at least 2 of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# What does the limited rationality of management mean? (1 point)&lt;br /&gt;
# Which questions should be answered by the mission of the company? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the sources of managerial power? (1 point)&lt;br /&gt;
# Which step means the breakthrough in the transformation of companies? Why? (1 point)&lt;br /&gt;
# Give the open innovation chain model! (1 point)&lt;br /&gt;
# What dows the geographical indication mean in intellectual property rights? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi pótzh angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details Edward de Bono&#039;s six thinking caps method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the managerial styles classified according to the classical types! (3 points)&lt;br /&gt;
# Give detailed description of product pricing and price calculation methods! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 mandatory business priorities of the IT/ICT professionals, managers! (1 point)&lt;br /&gt;
# What are measured along the axes of the BCG portfolio matrix? Where is the cash cow in the matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least four managerial situations! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by tacit type of knowledge? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the elements of the knowledge triangle! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by franchise? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Porter féle öt-erős ágazati versenyanalízis modellt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Imertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értunk a CPM hálótervezési technikában kritikus tevékenységen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az üzleti alapstratégiák versenyelőny típusa szerinti osztályozását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 ellentétpárt a növekvő illetve hanyatló vállalkozásokra vonatkozóan! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Nemzeti Innovációs Hivatal tevékenységét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk egy feladat delegálásán? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Kinek szól egy vállalkozás küldetése? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ön egy kis cégnél mérnöki tevékenységet folytat, ahol összesen 8 mérnök dolgozik (Önnel együtt). Egy féléves projektnél a projektterv alapján a 17. héten 11 mérnökre lenne egyszerre szüksége. Hogyan tudná áthidalni ezt a problémát? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vállalati életciklus fázist egy-egy jellemzőjével, a fázisok logikai sorrendjében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kodifikáción a tudásmenedzsmentben? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen innovációs intézmények működnek a BME-n? Soroljon fel legalább hármat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh C csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata, tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezeti kultúráról a tantárgyban tanultakat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel Vogelauer munkastílus elemzésében szereplő legalább 2 vizsgált tulajdonságpárt! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi jellemező a fókuszált költségminimáló stratégiára (terjedelem, differenciáltság, orientáció, tipikus előfordulás)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Nem kritikus úton lévő tevékenység tD időt csúszik egy projektben. Mennyit fog csúszni az egész projekt, ha:&lt;br /&gt;
#* a) tD kisebb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő?&lt;br /&gt;
#* b) tD nagyobb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk akvizíción a vállalatok kapcsolataiban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy a munkatárs támogatása és irányítása szerinti vezetési stílust! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Tudásátvitel lehetséges útjai közül melyik az, ami a kollégiumi tanulószobákban zajlik, amikor felsőbb évesek átadják tapasztalataikat az alsóbb évfolyamosoknak? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert döntési logikákat! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2017. tavasz zh angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details Vogelauers&#039;s work-style analysis! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 project documents and give details of at least 2! (3 points) &lt;br /&gt;
# Give detailed description of price calculation methods in product pricing! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 mandatory business priorities of the IT/ICT professionals, managers! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by robustness of the corporate strategy! (1 point)&lt;br /&gt;
# Which step means the breakthrough in the transformation of companies? Why? (1 point)&lt;br /&gt;
# Explain in details one of the classifcal types of the managerial styles! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by knowledge mapping? (1 point)&lt;br /&gt;
# What does the &amp;quot;cash cow&amp;quot; life phase mean in the BCG matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Vizsga==&lt;br /&gt;
* Lásd még: [[Mérnöki menedzsment - vizsgakérdések témakörönként szétválogatva]]&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010.12.14.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Egy webfejlesztő cég 2 design-t (D1 és D2) készít egy informatikai honlaphoz. A cég érdeke, hogy a honlap látogatottság minél nagyobb legyen (ugyanis az a bevétellel egyenesen arányos). A látogatottságot egy külső tényező is befolyásolja: két nagy informatikai cég fuzionálása megtörténik-e vagy sem. Ebben a kockázatos döntési pontban még nem lehet tudni, hogy létrejön-e a fúzió, de azt lehet tudni, hogy a fúzió 75%-os valószínűséggel megtörténik. D1-es design a fúzió esetén 400 ezer, fúzió nélküli esetben 100 ezer látogatót vonz. D2-es design a fúzió esetén 200 ezer, fúzió nélküli esetben 400 ezer látogatót vonz. Melyik design-t érdemes alkalmazni az informatikai honlaphoz és miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációk elfogadási folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabályozás eszközrendszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EIT, és mi a célja? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a sikeres vezetői team összeállításának kulcsa? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi árujelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a szabályozó hatóságok tevékenységi körei? Az alábbiak közül melyik(ek) a kakukktojás(ok)? (1 pont)&lt;br /&gt;
#* Szabályalkotás, jogszabály alkotás, jogszabály előkészítés, szabályalkotás, törvényhozás. &lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a másodlagos spektrum kereskedelem haszonbérleti formája? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010.12.21.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs értékláncot, korlátait és integrációját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az MTA tudománypolitikáját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a frekvenciagazdálkodás nemzetközi szabályozási rendszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az Európai Innovációs és Technológiai Intézetnek (EIT) hol van a székhelye, mikor alakult (+-1év), és milyen formában foglalkozik ICT témákkal? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Van-e valaki egy vállalkozás ügyvezetője, vezérigazgatója, első számú operatív vezetője fölött? Ha van, ki az? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a vállalkozás alapítói kelepce? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit véd a forma mintaoltalom? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ex-ante és ex-post szabályozás között mi a különbség? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióhullámon a frekvenciagazdálkodásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.04.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia definícióját, beleértve öt fő attribútumát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az informatikai biztonság összetevőit, biztonsági technikáit, mechanizmusait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs értéklánc integrációjának legalább négy korlátját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumainak legalább négy tematikus területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Miket tartalmaz a projekt alapító dokumentum? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen információforrásokból lehet felépíteni egy technológiai elemzést! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mivel és mikor kezdődött, illetve mi a legutóbbi három fejezete a távközlés liberalizációnak az EU-ban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A rádióhullámok mely kategóriáját szabályozza a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.11.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a vállalati stratégia? Tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Tervezze meg az ábrán megadott mérnöki feladat ütemtervét, azaz töltse ki a hiányzó részeket (jelmagyarázat az ábra jobb felső sarkában látható)! Adja meg a kritikus utat is! (3 pont)&lt;br /&gt;
#* ábra: [[File:Mernokimenedzsment_vizsga_20110111.jpg]]&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés legalább négy jellegzetességét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelentenek a SWOT egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Gyógyszerek esetében hány évig védhető a hatóanyag szabadalommal? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a digitális átállás, és mikor van a határnapja az Európai Unióban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a rádiószabályozás engedélyezési módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezeti célok sikeres megvalósításának összetevőit, összefüggésüket és a menedzsment team kívánatos képességét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban ismertetett döntési logikákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az NGN-t és referencia architektúra síkjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés három dimenziója! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek igazak az alábbi állítások közül? (indoklás nélkül) (1 pont)&lt;br /&gt;
#* Az üzleti szegmens több piaci szegmensből állhat.&lt;br /&gt;
#* Piaci szegmens meghatározott ügyfélkör és termékkör metszete.&lt;br /&gt;
#* Az üzleti szegmens homogén üzleti stratégiájú piaci szegmensek együttese.&lt;br /&gt;
# Tudásátvitel lehetséges útjai közül melyik az, ami a wiki oldalakon (pl.: Sch wiki) zajlik, amikor a felsőbb évesek leírják tapasztalataikat az alsóbb évfolyamosoknak? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ex-ante és ex-post szabályozás között mi a különbség? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit törekszik megakadályozni a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.12.15.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját, mit mutat meg a stratégiai térkép? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az infokommunikáció szabályozástól való elvárásokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az Európai Unió szóhasználata magyarul és angolul a távközlés fogalomra? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek az innovációt ösztönző tényezők? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az ex-ante és ex-post szabályozás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mely két fő területre terjednek ki a frekvenciagazdálkodás feladatai? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.12.20.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Vogelauer munkastílus elemzési módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabályozás eszközeit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1p) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel Edward de Bono legalább 4 gondolkodó kalapjának színét és a hozzátartozó megközelítéseket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a WBS a projekteknél? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok átalakításának alábbi lépéseit helyezze sorrendbe! (1 pont)&lt;br /&gt;
#* A változás halaszthatatlanságának érzékeltetése &lt;br /&gt;
#* Vezetési struktúra jövőképhez igazítása &lt;br /&gt;
#* A változtatás jövőképének kommunikálása &lt;br /&gt;
#* Eredmények megszilárdítása, további változások elérése &lt;br /&gt;
#* Gyors sikerek elérése &lt;br /&gt;
# Ismertesse a nyílt innovációs láncot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.06.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit és változási trendjeiket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert projektirányítási módszertanokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Unió 2002-es elektronikus hírközlés szabályozási csomagját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés legalább 4 jellegzetességét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az infokommunikáció fejlődésének időszakait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióinterferencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata, tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a projektmenedzsment költségterv készítésének 2 módját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik a szolgáltatók piaci együttműködésének szabályozása az infokommunikációban? (3 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumainak legalább 4 tematikus területét! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezésével! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet a vállalatok átalakításának tipikus hibáiból! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudás megszerzésének legalább 4 módját! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mi az ársapka szabályozás lényege? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Milyen típusú árverések elméletének és eljárásának kidolgozásáért nyert 1994-ben Harsányi János magyar származású tudós közgazdasági Nobel díjat? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.20.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia általános definícióját, beleértve öt fő jellemzőjét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetővé válás folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EIT, és mi a célja? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel Vogelauer munkastílus elemzésében szereplő legalább 4 vizsgált tulajdonságot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk erőforrás simításon? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kodifikáción? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A rádióhullámok mely kategóriáját szabályozza a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.05.24.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Miért van szükség stratégiára? Fejtse ki néhány mondattal! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a Gantt-diagram időtervezési technikát! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse az infokommunikációban alkalmazott árszabályozást! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Az alábbi állítások növekvő (N) vagy hanyatló (H) vállalatra érvényesek? (1 pont) &lt;br /&gt;
#* A vállalatvezetőség irányítja a szervezetet. N vagy H? &lt;br /&gt;
#* Minden tilos, kivéve, amit engedélyeznek. N vagy H? &lt;br /&gt;
# Soroljon fel az innovációs menedzser feladataiból legalább négyet! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Nemzeti Média és Hírközlési Hatóság legalább 4 feladatát! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a rádiószabályozás engedélyezési módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013.12.19.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a cégstratégia? Tömören ismertesse az összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Rövid magyarázattal mutassa meg, hogy mennyiben különbözik a nemkooperatív mátrixjáték és a bimátrixjáték megoldása! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a termékfejlesztés folyamatának legalább négy elemét logikai sorrendben, és részletezzen közülük legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol találkozott a SWOT betűszóval a tantárgy tananyagában? Mit jelentenek egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mikor rugalmatlan egy termék ára? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie a Nemzetközi Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.03.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Porter-féle öt-erős ágazati versenyanalízis modellt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Leggyakoribb hiba a projektek hálótervezésénél, hogy nem veszik észre azt, hogy bizonyos tevékenységek párhuzamosíthatók. Pl. A-t és B-t egymás után rajzolják, amikor egyszerre is végre lehetne hajtani. Miért gond ez a jellegű hiba? A hálótervezés után erőforrás tervezésnél előfordulhat-e, hogy módosítani kell a tevékenység hálót? Ha igen: miért? Ha nem: miért nem? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a jelentős piaci erő (JPE) fogalmát és elemzésének folyamatát az infokommunikáció szabályozásában! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon legalább négyet a vezető tevékenység összetevői (a vezetők 7 sapkája) közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a projektháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a zárt innovációs láncot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vásárlók értékének elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie az európai rádiószabályozás követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.10.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az üzleti alapstratégiák versenyelőny típusa szerinti osztályozását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Egy kooperációs játékban mikor elérhető és mikor elfogadható egy adott koalíció számára egy x=(x1, ... , xn) kifizetés-vektor? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a hype-görbe módszertant! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés három dimenzióját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Porter-féle öt-erős ágazati modell elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy tevékenységek közötti kapcsolattípust a projektmenedzsmentben! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az emberi és a beágyazott tudás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-ante szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.17.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia általános definícióját, beleértve öt fő jellemzőjét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Diplomamunka elkészítésével kapcsolatban soroljon fel minimum 3 kritikus és 3 nem kritikus sikerkritériumot és indokolja választását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a digitális konvergencia fázisait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket: a., SWOT, b., jövőkép, c., üzleti stratégia, d., stratégiai állásfoglalás, e., funkcionális stratégia (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet a vállalatok átalakításának tipikus hibáiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a BCG mátrix termék életfázisait és jelentésüket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az engedélymentesség és a regisztráció között a rádiószabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.24.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse a vezetői tevékenység hét összetevőjét (7 sapka)! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Gantt-diagram időtervezési technikát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a bevételnövelés módjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetésben a korlátozott racionalitás? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezéssel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetői készséget! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a találmány és a szabadalom között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit és hogyan mér a Herfindahl-Hirschmann index? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.06.06. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the steps of the Balanced Scorecard (BSC) method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the hype cycle method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the international regulation system of frequency management! (3 points)&lt;br /&gt;
# Where did you meet the SWOT acronym in the subject and what do its letters mean? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the genecric business strategies according to the type of the competitive advantage! (1 point)&lt;br /&gt;
# Explain in details one of the classical types of the managerial styles! (1 point)&lt;br /&gt;
# What does the &amp;quot;cash cows&amp;quot; life phase mean int the BCG matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by ex post regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by significant market power (SMP) in the infocommunications regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.06.13. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the steps of CPM! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain the procedure and the elements of preparing a business plan! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the procedure of market entry in infocommunications! (3 points)&lt;br /&gt;
# What and whose part is vertical strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the decision theory paradoxes learnt in the subject! (1 point)&lt;br /&gt;
# List the managerial styles according to the classical classification! (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the information sources of innovation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by ex ante regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
# Where should the mandatory requirements of the Radio Regulations be fulfilled? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.12.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik a szolgáltatók piaci együttműködésének szabályozása az infokommunikációban? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezéssel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen K+F+I forrásokat ismer (hazai, EU-s)? Soroljon fel legalább négyet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel, hogy az infokommunikáció fejlődésének egyes időszakaiban milyen volt a tipikus ágazati szabályozás! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióinterferencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.07.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a CPM projektmenedzsment időtervezési technika lépéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szakmai kompetenciáról a tantárgyban tanultakat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Részletezze a piaci mechanizmus korlátait, hiányosságait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket! (Az a-e betűk megfelelő sorrendjének megadásával) a) SWOT analízis, b) jövőkép, c) üzleti stratégia, d) stratégiai állásfoglalás, e) funkcionális stratégia. (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert árképzési formákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a rádióinterferencia? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.14.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Milyen következménye lehet annak, ha egy projekt nem készül el határidőre? A vállalat szempontjából rövid és hosszú távon miért fontos a projekt lezárása? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetés pilléreit, a ,,6 Dimenziót&amp;quot;! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? A 6 közül soroljon fel legalább 4-et (a tantárgyban ismertetett Gartner felmérés alapján)! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Porter-féle öt-erős ágazati modell elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a védjegy? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-post szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.21.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Miért van szükség stratégiára? Fejtse ki néhány kulcsszóval és gondolattal! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BME-n folyó innovációs tevékenységeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabadalom fogalmát és jellemzőit, a szabadalmi bejelentés és fenntartás körülményeit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább 4 stratégiai tervezési lépést! (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a BCG-mátrix termék életfázisait és jelentésüket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit és hogyan mér a Herfindahl-Hirschmann index? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.28.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Vogelauer munkastílus elemzési módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# A kodifikáció ismertetése nélkül mutassa be, hogy mi a kodifikációs tudásmenedzsment célja a vállalatoknál, és milyen módon tudják ezt elérni! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit tud a franchise-ról? Fejtse ki részletesen! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az egyéni kompetencia összetevőit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mik a jogi eszközei a frekvenciagazdálkodás magyar nemzeti szabályozásának? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.06.03.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásteremtés és konverzió körfolyamatát, és adjon legalább egy-egy példát az egyes fázisokra! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan lehet rövidíteni a projektmenedzsmentben megismert kritikus utat? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert árképzési formákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie a Nemzeti Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.12.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül, és fejtsen ki legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a horizontális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt-diagram? Mik az előnyei és hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az engedélymentesség és a regisztráció között a rádiószabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.01.06.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mi a CPM? Ismertesse lépéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációk elfogadási folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a szabadalom és a használati mintaoltalom, és mi a hasonlóság és a különbség közöttük? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes logikai sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket (Az a-e megfelelő sorrendjének megadásával): a) SWOT analízis b) jövőkép c) üzleti stratégia d) stratégiai állásfoglalás e) funkcionális stratégia. (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy klasszikus osztályozás szerinti vezetési stílust! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a döglött kutyák termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Időben hogyan változik a szektor specifikus, a verseny- és a biztonságszabályozás? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Egy ország területén hol kell teljesülnie a Nemzetközi Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.01.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegek megfelelő sorrendű megnevezésével, és részletezze az egyes rétegek tartalmát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szakmai vezetői készségeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vásárlók értékének meghatározását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a klasszikus osztályzás szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk piacszegmentáláson? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikációs szabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.06.03. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the AHP multi-criteria decision model! (3 points)&lt;br /&gt;
# Compare the codification and personalisation approaches of knowledge management! (3 points)&lt;br /&gt;
# How does the regulation of cooperation among service providers happen in infocommunications? (3 points)&lt;br /&gt;
# What is and whose part is vertical strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the Gantt-diagram? What are its advantages and disadvantages? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 features of managerial culture! (1 point)&lt;br /&gt;
# What does the &amp;quot;cash cow&amp;quot; life phase mean in the BCG matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# What and how measures the Herfindahl-Hirschmann index? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the lower and upper frequency limites of frequency management? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.12.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megtanult döntési logikákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BCG mátrix elemeit a forgalom, a fajlagos költség, a profit és a vevők szempontjából (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel, hogy az infokommunikáció fejlődésének egyes időszakaiban milyen volt a tipikus ágazati szabályozás (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2017.01.04.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Írjon le egy - a tantárgy keretében megismert - döntési paradoxont! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Innovációs és Technológiai Intézet (EIT) alapításának célját, indokait és felépítését! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Részletezze a piaci mechanizmus (és a verseny) korlátait és hiányosságait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a vertikális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a projektmenedzsmentben megismert WBS? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Jellemezze az adaptív vállalati kultúrát legalább 4 ismérvével! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a kérdőjelek termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-ante szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a rádióinterferencia? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2017.05.16. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Draw the strategic pyramid with its layers in proper order and give details to the layers! (3 points)&lt;br /&gt;
# A trasportation company plans to replace its vehicles. The vehicles are selected from the choice by the MAUT method according to: fuel consumpion, price, length of the period of guarantee, payload. Assign the following utility functions to the above viewpoints (one utility function can be assigned to several viewpoints): u1=2x+5, u2=100-3x, u3=(x-15)^2+5, u4=100-(x-15)^2? Give the reasons of your assignment! What is missing to complete the calculation by the MAUT method? (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the procedure of market entry (authorization) in infocommunications according to the EU regulation! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 6 typical stakeholders in relation of a company! (1 point)&lt;br /&gt;
# Put into proper order the following steps of strategic planning: a) SWOT analysis, b) vision, c) business strategy, d) strategic posture, e) functional strategy. (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 project documents mentioned in the subject! (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 steps of corporate transformation in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by personalisation in knowledge management? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the difference between the license-free method and the registration among the licensing methods in frequency management? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc_-_Villamosmérnök_mesterszak}}&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=M%C3%A9rn%C3%B6ki_menedzsment&amp;diff=191850</id>
		<title>Mérnöki menedzsment</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=M%C3%A9rn%C3%B6ki_menedzsment&amp;diff=191850"/>
		<updated>2017-05-16T10:45:53Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* ZH */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Mérnöki menedzsment&lt;br /&gt;
| tárgykód = VITMMB03&lt;br /&gt;
| szak = msc villany és infó&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2, 4&lt;br /&gt;
| kereszt = van (ősszel magyarul, tavasszal angolul indul a tárgy)&lt;br /&gt;
| tanszék = TMIT&lt;br /&gt;
| jelenlét = &lt;br /&gt;
| minmunka = &lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 1 db&lt;br /&gt;
| hf =&lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tad = https://portal.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VITMMB03&lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://qosip.tmit.bme.hu/foswiki/bin/view/VITMM112&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Segédanyagok==&lt;br /&gt;
*[[Media:Mernokimenedzsment_jegyzet_2011osz.pdf | 2011.ősz előadásjegyzet]]&lt;br /&gt;
*Összefoglaló 2010 [[Media:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2010.pdf | pdf]] [[Media:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2010.docx | docx]]&lt;br /&gt;
*Számonkérések kidolgozása 2011.12.20-ig (néhány kérdés hiányzik) [[Media:Mernokimenedzsment_kidolgozas_2011.pdf | pdf]] [[Media:Mernokimenedzsment_kidolgozas_2011.docx | docx]]&lt;br /&gt;
*2014-es kidolgozás: [[:File:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2014.pdf| pdf]] [[:File:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2014.docx| docx]]&lt;br /&gt;
==ZH==&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi mintazh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
#Ismertesse, hogy mit értünk mérnöki menedzsmenten, mint diszciplínán! A szakterület innovációjának menedzsmentje beletartozik-e? Miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata (cégfilozófia), tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Egy műszaki termék éves eladási száma 40 ezer. Egyik termékfejlesztő egy új terméket tervez a meglevő termék lecserélésére, azonban ennek az eladási száma bizonytalan (világpiactól függ). Ha a világpiac kedvezően alakul (melynek esélye 20%), akkor az éves eladási szám 100 ezer lesz; kedvezőtlen esetben pedig 20 ezer lesz. Csupán az eladások szempontjából mi lesz a cégvezetőség döntése arról, hogy bevezessék-e az új terméket vagy maradjon-e a régi? Válaszát indokolja! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk elektronikus hírközlésen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelentenek a SWOT egyes betűi (magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a DSS és GDSS között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a WBS a projekteknél? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyik az a tudásfajta, amelyik nem megfogható, hanem az egyén személyes tudását tartalmazza? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse, hogy mit értünk mérnöki menedzsmenten, mint diszciplínán! A szakterület innovációjának menedzsmentje beletartozik-e? Miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját, mit mutat meg a stratégiai térkép? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció komplex modelljét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szakmai kompetencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés három dimenziója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a DSS és GDSS között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit ad meg a vezetői hatalom három forrása együttesen és metszetében? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a tudástranszfer sűrűségén? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Lehet-e cég feltaláló? Indokolja a választ! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit és változási trendjeiket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata (cégfilozófia), tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ICT egyes korszakait egy-egy jellemzőjükkel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Pareto módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Egy vállalatnál el kell dönteni, hogy a bevételből az egyes részlegek mekkora összeget kapjanak. Milyen ennek a döntésnek a döntési logikája? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépések jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Vállalatoknál kinek a feladata a tudás kodifikációjának tervezése és irányítása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a szabadalmi helyzet, ha valakinek munkaköréhez tartozik, hogy új dolgokat kutasson és hozzon létre? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az egyéni és szervezeti szakmai kompetencia összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a SWOT módszert, célját, komponenseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Innovációs és Technológiai Intézet (EIT) alapításának célját és indokait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EU szóhasználata magyarul és angolul a távközlés fogalmára? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? Soroljon fel legalább négyet! (Gartner felmérés) (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Létezik-e mindig kritikus út a projektek ütemezésénél? Ha igen, hogyan lehet ezt belátni? Ha nem, akkor mutasson ellenpéldát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyik a két alapvető tudásmenedzsment megközelítés? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen innovációs intézmények működnek a BME-n? Soroljon fel legalább hármat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Bono hat gondolkodó kalap módszerét! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert döntési logikákat! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Melyek az innovatív vállalat tulajdonságai, főbb típusai? (3 pont) &lt;br /&gt;
# Melyek a munkahelyi sikeresség legfőbb elemei (USA felmérés)? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Nem kritikus úton lévő tevékenység tD időt csúszik egy projektben. Mennyit fog csúszni az egész projekt, ha: &lt;br /&gt;
#* tD kisebb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? &lt;br /&gt;
#* tD nagyobb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Hogyan hívják azt a szervezetekre jellemző tudást, mely független azoktól, akik létrehozták és szervezeti stabilitása van? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mely szervezet adja ki a Magyar Innovációs Nagydíjat, milyen vállalatnak ítélik oda? (1 pont) &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.04. zh pótlás&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia definícióját, beleértve öt fő attribútumát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásháromszöget! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs értéklánc integrációjának legalább négy korlátját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumának legalább négy tematikus területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégiaalkotási lépéseket! (Az a - e megfelelő sorrendjének megadásával)&lt;br /&gt;
#*a) SWOT analízis b) jövőkép c) üzleti stratégia d) stratégiai állásfoglalás e) funkcionális stratégia (1 pont)&lt;br /&gt;
#Miket tartalmaz a projekt alapító dokumentum? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen információforrásokból lehet felépíteni egy technológiai elemzést? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői tevékenység összetevőit, a vezetők 7 sapkáját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mutasson egy példát egy olyan többszempontú döntési problémára, amely kiválasztásos típusú döntési logikával rendelkezik! Ismertesse, hogy milyen módszerrel és hogyan oldaná ezt meg! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációs menedzser feladatait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a sikeresség 2x2 komponense, adja meg betűrövidítésüket is! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a projektmenedzsment alkalmazásának legalább négy területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az adaptív vállalati kultúra célja, és mi Ön szerint a két legfontosabb ismérve? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit véd a forma mintaoltalom? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi zh b csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Bono hat gondolkodó kalap módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Critical Path Method lényegét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a természetes stratégiák, és mi szerint rendezzük őket? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt-diagram? Mik a hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a vezetői döntés hatékony megvalósításának feltétele? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a Delphi módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az ügyvezetés három dimenzióját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció komplex modelljét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a PEST/STEP módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy csoportos döntéstámogatási módszert! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az emberi és a beágyazott tudás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a találmány és a szabadalom között? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse az ügyvezetés legalább hat jellegzetességét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BME-n folyó innovációs tevékenységet! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ICT egyes korszakait egy-egy jellemzőjükkel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az IT menedzserek alapvető üzleti prioritásai közül, és fejtsen ki közülük legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a játékelméletben használatos nyeregpontot! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a termékfejlesztés lehetséges céljait, eredményeit és típusait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi és minek a része a horizontális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A diplomamunka melyik projekt fajtába sorolható? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek az innováció információforrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk franchise-on? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a játékelméletben a tiszta és a kevert stratégia között? Az előző definíción túl mennyiben lesz más a játék &amp;quot;megoldása&amp;quot; (azaz melyiknél mit értünk a játék megoldása alatt)? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a termék életciklus menedzselésének legalább két szakaszát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Miért van plusz költség vonzata egy projekt határidőből való kicsúszásának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Jellemezze az adaptív vállalati kultúrát legalább 4 ismérvével! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a bevételnövelés módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk használati mintaoltalmon? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# List at least four mandatory business priorities of IT managers and give details about two of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the saddle point applied in game theory! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the aims and types of product development! (3 points)&lt;br /&gt;
# What is the basis of convergence of telecoms, IT and media? (1 point)&lt;br /&gt;
# What and whose part is horizontal strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# What kind of project type is the final project at a university? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the sources of managerial power? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the information sources of innovation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by franchise? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezésével, és részletezze az egyes rétegeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a játékelméletben a Nash-féle egyensúlypontot! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a hype-görbe módszertant! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a vertikális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A kooperatív játékelméletben hol érhető tetten a versengés és hol (kik között figyelhető meg) kooperáció? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit ad meg a vezetői hatalom három forrása együttesen és metszetében? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a sztárok termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse a vezetői tevékenység hét összetevőjét (hét sapkáját)! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hasonlítsa össze a tudásmenedzsment tantárgyunkban megismert kodifikációs és perszonalizációs megközelítéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert árképzési formákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer lépéseit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a munkatárs támogatása és irányítása szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a termék életciklus időbeli fázisait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk franchise-on? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői készségeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a projektmenedzsmentben megismert WBS? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az egyéni kompetencia összetevőit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a döglött kutyák termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a védjegy? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a stratégia megvalósításának piramisát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásátvitel lehetséges útjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a fogyasztó árérzékenységén? Hogyan jellemezzük? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? A hat közül soroljon fel legalább négyet (a tantárgyban ismertetett Gartner felmérés alapján)! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a stratégia megalapozottságán? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt diagram? Mik az előnyei és hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a szervezeti kultúra dimenzióit Hofstede szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a portfólió elemzés BCG módszerét, adja meg célját, rajzolja fel a BCG mátrixot, abban helyezze el legalább a fejős tehenet! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői hatalom forrásait, összefüggésüket és szerepüket a döntések hatékony megvalósításában! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik, és mik a lényeges elemei egy termék piaci bevezetésének? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a munkahelyi sikeresség legfőbb elemei (a tantárgyban ismertetett USA felmérés alapján)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert stratégiai módszereket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a CPM hálótervezési technikában kritikus úton? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk akvizíción a vállalatok kapcsolataiban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kereslet-orientált árképzésen? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a cégstratégia? Tömören ismertesse az összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# A vezetőknek fontos feladataik vannak munkatársaik menedzselésében. Ismertessen e feladatok közül legalább hármat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és fejtsen ki legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés lényege tömören? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk erőforrás simításon? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Adja meg a szakmai kompetencia három összetevőjét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hogy hívják azt a szervezetekre jellemző tudást, mely független azoktól, akik létrehozták és szervezeti stabilitása van? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Adjon meg legalább két piaci szegmentáció típust piac-termék diagramjával együtt! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh C csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy üzleti alapstratégiát a versenyelőny típusa szerinti osztályozásból! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a projektmenedzsment költségterv készítésének módjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Imsertesse a tudásháromszöget! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol találkozott a SWOT betűszóval a tantárgy tananyagában? Mit jelentenek egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk tudástérképen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi zh A csoport angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# List at least four mandatory business priorities of IT managers and give details about two of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the Gantt-diagram time planning technique! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the methods to increase revenue! (3 points)&lt;br /&gt;
# What do we mean by synergy? (1 point)&lt;br /&gt;
# Draw the layers of the strategic pyramid in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# The duration of a job is 1 month in optimistic case, 5 months in pessimistic case and most likely 1,5 month. What is the expected duration of the job in case of PERT projectmanagement method? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 steps of corporate transformation in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 basic types of innovation with examples! (1 point)&lt;br /&gt;
# When is a price non-elastic? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi zh B csoport angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain at least 6 characteristics of management! (3 points)&lt;br /&gt;
# The most common nmistake in network planning in projectmanagement is that we do not realize that some activities can be executed in a paralel way (eg. activities A and B are drawn in chain instead of in paralel). Why is this mistake a problem? Can it happen that after the network planning when we are doing the resource planning the network of the activities has to be modified? If yes, why? If not, why not? (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 phases of the product development in logical order and explain in details at least 2 of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# What does the limited rationality of management mean? (1 point)&lt;br /&gt;
# Which questions should be answered by the mission of the company? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the sources of managerial power? (1 point)&lt;br /&gt;
# Which step means the breakthrough in the transformation of companies? Why? (1 point)&lt;br /&gt;
# Give the open innovation chain model! (1 point)&lt;br /&gt;
# What dows the geographical indication mean in intellectual property rights? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi pótzh angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details Edward de Bono&#039;s six thinking caps method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the managerial styles classified according to the classical types! (3 points)&lt;br /&gt;
# Give detailed description of product pricing and price calculation methods! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 mandatory business priorities of the IT/ICT professionals, managers! (1 point)&lt;br /&gt;
# What are measured along the axes of the BCG portfolio matrix? Where is the cash cow in the matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least four managerial situations! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by tacit type of knowledge? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the elements of the knowledge triangle! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by franchise? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Porter féle öt-erős ágazati versenyanalízis modellt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Imertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értunk a CPM hálótervezési technikában kritikus tevékenységen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az üzleti alapstratégiák versenyelőny típusa szerinti osztályozását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 ellentétpárt a növekvő illetve hanyatló vállalkozásokra vonatkozóan! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Nemzeti Innovációs Hivatal tevékenységét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk egy feladat delegálásán? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Kinek szól egy vállalkozás küldetése? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ön egy kis cégnél mérnöki tevékenységet folytat, ahol összesen 8 mérnök dolgozik (Önnel együtt). Egy féléves projektnél a projektterv alapján a 17. héten 11 mérnökre lenne egyszerre szüksége. Hogyan tudná áthidalni ezt a problémát? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vállalati életciklus fázist egy-egy jellemzőjével, a fázisok logikai sorrendjében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kodifikáción a tudásmenedzsmentben? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen innovációs intézmények működnek a BME-n? Soroljon fel legalább hármat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh C csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata, tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezeti kultúráról a tantárgyban tanultakat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel Vogelauer munkastílus elemzésében szereplő legalább 2 vizsgált tulajdonságpárt! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi jellemező a fókuszált költségminimáló stratégiára (terjedelem, differenciáltság, orientáció, tipikus előfordulás)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Nem kritikus úton lévő tevékenység tD időt csúszik egy projektben. Mennyit fog csúszni az egész projekt, ha:&lt;br /&gt;
#* a) tD kisebb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő?&lt;br /&gt;
#* b) tD nagyobb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk akvizíción a vállalatok kapcsolataiban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy a munkatárs támogatása és irányítása szerinti vezetési stílust! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Tudásátvitel lehetséges útjai közül melyik az, ami a kollégiumi tanulószobákban zajlik, amikor felsőbb évesek átadják tapasztalataikat az alsóbb évfolyamosoknak? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert döntési logikákat! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2017. tavasz zh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details Vogelauers&#039;s work-style analysis! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 project documents and give details of at least 2! (3 points) &lt;br /&gt;
# Give detailed description of price calculation methods in product pricing! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 mandatory business priorities of the IT/ICT professionals, managers! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by robustness of the corporate strategy! (1 point)&lt;br /&gt;
# Which step means the breakthrough in the transformation of companies? Why? (1 point)&lt;br /&gt;
# Explain in details one of the classifcal types of the managerial styles! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by knowledge mapping? (1 point)&lt;br /&gt;
# What does the &amp;quot;cash cow&amp;quot; life phase mean in the BCG matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Vizsga==&lt;br /&gt;
* Lásd még: [[Mérnöki menedzsment - vizsgakérdések témakörönként szétválogatva]]&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010.12.14.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Egy webfejlesztő cég 2 design-t (D1 és D2) készít egy informatikai honlaphoz. A cég érdeke, hogy a honlap látogatottság minél nagyobb legyen (ugyanis az a bevétellel egyenesen arányos). A látogatottságot egy külső tényező is befolyásolja: két nagy informatikai cég fuzionálása megtörténik-e vagy sem. Ebben a kockázatos döntési pontban még nem lehet tudni, hogy létrejön-e a fúzió, de azt lehet tudni, hogy a fúzió 75%-os valószínűséggel megtörténik. D1-es design a fúzió esetén 400 ezer, fúzió nélküli esetben 100 ezer látogatót vonz. D2-es design a fúzió esetén 200 ezer, fúzió nélküli esetben 400 ezer látogatót vonz. Melyik design-t érdemes alkalmazni az informatikai honlaphoz és miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációk elfogadási folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabályozás eszközrendszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EIT, és mi a célja? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a sikeres vezetői team összeállításának kulcsa? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi árujelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a szabályozó hatóságok tevékenységi körei? Az alábbiak közül melyik(ek) a kakukktojás(ok)? (1 pont)&lt;br /&gt;
#* Szabályalkotás, jogszabály alkotás, jogszabály előkészítés, szabályalkotás, törvényhozás. &lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a másodlagos spektrum kereskedelem haszonbérleti formája? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010.12.21.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs értékláncot, korlátait és integrációját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az MTA tudománypolitikáját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a frekvenciagazdálkodás nemzetközi szabályozási rendszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az Európai Innovációs és Technológiai Intézetnek (EIT) hol van a székhelye, mikor alakult (+-1év), és milyen formában foglalkozik ICT témákkal? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Van-e valaki egy vállalkozás ügyvezetője, vezérigazgatója, első számú operatív vezetője fölött? Ha van, ki az? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a vállalkozás alapítói kelepce? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit véd a forma mintaoltalom? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ex-ante és ex-post szabályozás között mi a különbség? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióhullámon a frekvenciagazdálkodásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.04.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia definícióját, beleértve öt fő attribútumát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az informatikai biztonság összetevőit, biztonsági technikáit, mechanizmusait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs értéklánc integrációjának legalább négy korlátját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumainak legalább négy tematikus területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Miket tartalmaz a projekt alapító dokumentum? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen információforrásokból lehet felépíteni egy technológiai elemzést! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mivel és mikor kezdődött, illetve mi a legutóbbi három fejezete a távközlés liberalizációnak az EU-ban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A rádióhullámok mely kategóriáját szabályozza a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.11.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a vállalati stratégia? Tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Tervezze meg az ábrán megadott mérnöki feladat ütemtervét, azaz töltse ki a hiányzó részeket (jelmagyarázat az ábra jobb felső sarkában látható)! Adja meg a kritikus utat is! (3 pont)&lt;br /&gt;
#* ábra: [[File:Mernokimenedzsment_vizsga_20110111.jpg]]&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés legalább négy jellegzetességét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelentenek a SWOT egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Gyógyszerek esetében hány évig védhető a hatóanyag szabadalommal? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a digitális átállás, és mikor van a határnapja az Európai Unióban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a rádiószabályozás engedélyezési módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezeti célok sikeres megvalósításának összetevőit, összefüggésüket és a menedzsment team kívánatos képességét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban ismertetett döntési logikákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az NGN-t és referencia architektúra síkjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés három dimenziója! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek igazak az alábbi állítások közül? (indoklás nélkül) (1 pont)&lt;br /&gt;
#* Az üzleti szegmens több piaci szegmensből állhat.&lt;br /&gt;
#* Piaci szegmens meghatározott ügyfélkör és termékkör metszete.&lt;br /&gt;
#* Az üzleti szegmens homogén üzleti stratégiájú piaci szegmensek együttese.&lt;br /&gt;
# Tudásátvitel lehetséges útjai közül melyik az, ami a wiki oldalakon (pl.: Sch wiki) zajlik, amikor a felsőbb évesek leírják tapasztalataikat az alsóbb évfolyamosoknak? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ex-ante és ex-post szabályozás között mi a különbség? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit törekszik megakadályozni a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.12.15.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját, mit mutat meg a stratégiai térkép? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az infokommunikáció szabályozástól való elvárásokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az Európai Unió szóhasználata magyarul és angolul a távközlés fogalomra? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek az innovációt ösztönző tényezők? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az ex-ante és ex-post szabályozás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mely két fő területre terjednek ki a frekvenciagazdálkodás feladatai? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.12.20.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Vogelauer munkastílus elemzési módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabályozás eszközeit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1p) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel Edward de Bono legalább 4 gondolkodó kalapjának színét és a hozzátartozó megközelítéseket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a WBS a projekteknél? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok átalakításának alábbi lépéseit helyezze sorrendbe! (1 pont)&lt;br /&gt;
#* A változás halaszthatatlanságának érzékeltetése &lt;br /&gt;
#* Vezetési struktúra jövőképhez igazítása &lt;br /&gt;
#* A változtatás jövőképének kommunikálása &lt;br /&gt;
#* Eredmények megszilárdítása, további változások elérése &lt;br /&gt;
#* Gyors sikerek elérése &lt;br /&gt;
# Ismertesse a nyílt innovációs láncot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.06.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit és változási trendjeiket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert projektirányítási módszertanokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Unió 2002-es elektronikus hírközlés szabályozási csomagját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés legalább 4 jellegzetességét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az infokommunikáció fejlődésének időszakait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióinterferencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata, tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a projektmenedzsment költségterv készítésének 2 módját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik a szolgáltatók piaci együttműködésének szabályozása az infokommunikációban? (3 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumainak legalább 4 tematikus területét! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezésével! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet a vállalatok átalakításának tipikus hibáiból! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudás megszerzésének legalább 4 módját! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mi az ársapka szabályozás lényege? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Milyen típusú árverések elméletének és eljárásának kidolgozásáért nyert 1994-ben Harsányi János magyar származású tudós közgazdasági Nobel díjat? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.20.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia általános definícióját, beleértve öt fő jellemzőjét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetővé válás folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EIT, és mi a célja? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel Vogelauer munkastílus elemzésében szereplő legalább 4 vizsgált tulajdonságot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk erőforrás simításon? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kodifikáción? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A rádióhullámok mely kategóriáját szabályozza a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.05.24.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Miért van szükség stratégiára? Fejtse ki néhány mondattal! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a Gantt-diagram időtervezési technikát! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse az infokommunikációban alkalmazott árszabályozást! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Az alábbi állítások növekvő (N) vagy hanyatló (H) vállalatra érvényesek? (1 pont) &lt;br /&gt;
#* A vállalatvezetőség irányítja a szervezetet. N vagy H? &lt;br /&gt;
#* Minden tilos, kivéve, amit engedélyeznek. N vagy H? &lt;br /&gt;
# Soroljon fel az innovációs menedzser feladataiból legalább négyet! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Nemzeti Média és Hírközlési Hatóság legalább 4 feladatát! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a rádiószabályozás engedélyezési módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013.12.19.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a cégstratégia? Tömören ismertesse az összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Rövid magyarázattal mutassa meg, hogy mennyiben különbözik a nemkooperatív mátrixjáték és a bimátrixjáték megoldása! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a termékfejlesztés folyamatának legalább négy elemét logikai sorrendben, és részletezzen közülük legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol találkozott a SWOT betűszóval a tantárgy tananyagában? Mit jelentenek egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mikor rugalmatlan egy termék ára? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie a Nemzetközi Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.03.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Porter-féle öt-erős ágazati versenyanalízis modellt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Leggyakoribb hiba a projektek hálótervezésénél, hogy nem veszik észre azt, hogy bizonyos tevékenységek párhuzamosíthatók. Pl. A-t és B-t egymás után rajzolják, amikor egyszerre is végre lehetne hajtani. Miért gond ez a jellegű hiba? A hálótervezés után erőforrás tervezésnél előfordulhat-e, hogy módosítani kell a tevékenység hálót? Ha igen: miért? Ha nem: miért nem? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a jelentős piaci erő (JPE) fogalmát és elemzésének folyamatát az infokommunikáció szabályozásában! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon legalább négyet a vezető tevékenység összetevői (a vezetők 7 sapkája) közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a projektháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a zárt innovációs láncot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vásárlók értékének elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie az európai rádiószabályozás követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.10.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az üzleti alapstratégiák versenyelőny típusa szerinti osztályozását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Egy kooperációs játékban mikor elérhető és mikor elfogadható egy adott koalíció számára egy x=(x1, ... , xn) kifizetés-vektor? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a hype-görbe módszertant! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés három dimenzióját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Porter-féle öt-erős ágazati modell elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy tevékenységek közötti kapcsolattípust a projektmenedzsmentben! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az emberi és a beágyazott tudás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-ante szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.17.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia általános definícióját, beleértve öt fő jellemzőjét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Diplomamunka elkészítésével kapcsolatban soroljon fel minimum 3 kritikus és 3 nem kritikus sikerkritériumot és indokolja választását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a digitális konvergencia fázisait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket: a., SWOT, b., jövőkép, c., üzleti stratégia, d., stratégiai állásfoglalás, e., funkcionális stratégia (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet a vállalatok átalakításának tipikus hibáiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a BCG mátrix termék életfázisait és jelentésüket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az engedélymentesség és a regisztráció között a rádiószabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.24.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse a vezetői tevékenység hét összetevőjét (7 sapka)! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Gantt-diagram időtervezési technikát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a bevételnövelés módjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetésben a korlátozott racionalitás? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezéssel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetői készséget! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a találmány és a szabadalom között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit és hogyan mér a Herfindahl-Hirschmann index? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.06.06. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the steps of the Balanced Scorecard (BSC) method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the hype cycle method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the international regulation system of frequency management! (3 points)&lt;br /&gt;
# Where did you meet the SWOT acronym in the subject and what do its letters mean? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the genecric business strategies according to the type of the competitive advantage! (1 point)&lt;br /&gt;
# Explain in details one of the classical types of the managerial styles! (1 point)&lt;br /&gt;
# What does the &amp;quot;cash cows&amp;quot; life phase mean int the BCG matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by ex post regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by significant market power (SMP) in the infocommunications regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.06.13. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the steps of CPM! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain the procedure and the elements of preparing a business plan! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the procedure of market entry in infocommunications! (3 points)&lt;br /&gt;
# What and whose part is vertical strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the decision theory paradoxes learnt in the subject! (1 point)&lt;br /&gt;
# List the managerial styles according to the classical classification! (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the information sources of innovation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by ex ante regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
# Where should the mandatory requirements of the Radio Regulations be fulfilled? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.12.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik a szolgáltatók piaci együttműködésének szabályozása az infokommunikációban? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezéssel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen K+F+I forrásokat ismer (hazai, EU-s)? Soroljon fel legalább négyet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel, hogy az infokommunikáció fejlődésének egyes időszakaiban milyen volt a tipikus ágazati szabályozás! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióinterferencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.07.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a CPM projektmenedzsment időtervezési technika lépéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szakmai kompetenciáról a tantárgyban tanultakat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Részletezze a piaci mechanizmus korlátait, hiányosságait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket! (Az a-e betűk megfelelő sorrendjének megadásával) a) SWOT analízis, b) jövőkép, c) üzleti stratégia, d) stratégiai állásfoglalás, e) funkcionális stratégia. (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert árképzési formákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a rádióinterferencia? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.14.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Milyen következménye lehet annak, ha egy projekt nem készül el határidőre? A vállalat szempontjából rövid és hosszú távon miért fontos a projekt lezárása? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetés pilléreit, a ,,6 Dimenziót&amp;quot;! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? A 6 közül soroljon fel legalább 4-et (a tantárgyban ismertetett Gartner felmérés alapján)! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Porter-féle öt-erős ágazati modell elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a védjegy? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-post szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.21.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Miért van szükség stratégiára? Fejtse ki néhány kulcsszóval és gondolattal! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BME-n folyó innovációs tevékenységeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabadalom fogalmát és jellemzőit, a szabadalmi bejelentés és fenntartás körülményeit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább 4 stratégiai tervezési lépést! (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a BCG-mátrix termék életfázisait és jelentésüket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit és hogyan mér a Herfindahl-Hirschmann index? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.28.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Vogelauer munkastílus elemzési módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# A kodifikáció ismertetése nélkül mutassa be, hogy mi a kodifikációs tudásmenedzsment célja a vállalatoknál, és milyen módon tudják ezt elérni! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit tud a franchise-ról? Fejtse ki részletesen! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az egyéni kompetencia összetevőit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mik a jogi eszközei a frekvenciagazdálkodás magyar nemzeti szabályozásának? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.06.03.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásteremtés és konverzió körfolyamatát, és adjon legalább egy-egy példát az egyes fázisokra! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan lehet rövidíteni a projektmenedzsmentben megismert kritikus utat? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert árképzési formákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie a Nemzeti Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.12.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül, és fejtsen ki legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a horizontális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt-diagram? Mik az előnyei és hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az engedélymentesség és a regisztráció között a rádiószabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.01.06.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mi a CPM? Ismertesse lépéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációk elfogadási folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a szabadalom és a használati mintaoltalom, és mi a hasonlóság és a különbség közöttük? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes logikai sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket (Az a-e megfelelő sorrendjének megadásával): a) SWOT analízis b) jövőkép c) üzleti stratégia d) stratégiai állásfoglalás e) funkcionális stratégia. (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy klasszikus osztályozás szerinti vezetési stílust! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a döglött kutyák termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Időben hogyan változik a szektor specifikus, a verseny- és a biztonságszabályozás? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Egy ország területén hol kell teljesülnie a Nemzetközi Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.01.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegek megfelelő sorrendű megnevezésével, és részletezze az egyes rétegek tartalmát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szakmai vezetői készségeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vásárlók értékének meghatározását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a klasszikus osztályzás szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk piacszegmentáláson? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikációs szabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.06.03. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the AHP multi-criteria decision model! (3 points)&lt;br /&gt;
# Compare the codification and personalisation approaches of knowledge management! (3 points)&lt;br /&gt;
# How does the regulation of cooperation among service providers happen in infocommunications? (3 points)&lt;br /&gt;
# What is and whose part is vertical strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the Gantt-diagram? What are its advantages and disadvantages? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 features of managerial culture! (1 point)&lt;br /&gt;
# What does the &amp;quot;cash cow&amp;quot; life phase mean in the BCG matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# What and how measures the Herfindahl-Hirschmann index? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the lower and upper frequency limites of frequency management? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.12.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megtanult döntési logikákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BCG mátrix elemeit a forgalom, a fajlagos költség, a profit és a vevők szempontjából (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel, hogy az infokommunikáció fejlődésének egyes időszakaiban milyen volt a tipikus ágazati szabályozás (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2017.01.04.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Írjon le egy - a tantárgy keretében megismert - döntési paradoxont! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Innovációs és Technológiai Intézet (EIT) alapításának célját, indokait és felépítését! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Részletezze a piaci mechanizmus (és a verseny) korlátait és hiányosságait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a vertikális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a projektmenedzsmentben megismert WBS? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Jellemezze az adaptív vállalati kultúrát legalább 4 ismérvével! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a kérdőjelek termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-ante szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a rádióinterferencia? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2017.05.16. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Draw the strategic pyramid with its layers in proper order and give details to the layers! (3 points)&lt;br /&gt;
# A trasportation company plans to replace its vehicles. The vehicles are selected from the choice by the MAUT method according to: fuel consumpion, price, length of the period of guarantee, payload. Assign the following utility functions to the above viewpoints (one utility function can be assigned to several viewpoints): u1=2x+5, u2=100-3x, u3=(x-15)^2+5, u4=100-(x-15)^2? Give the reasons of your assignment! What is missing to complete the calculation by the MAUT method? (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the procedure of market entry (authorization) in infocommunications according to the EU regulation! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 6 typical stakeholders in relation of a company! (1 point)&lt;br /&gt;
# Put into proper order the following steps of strategic planning: a) SWOT analysis, b) vision, c) business strategy, d) strategic posture, e) functional strategy. (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 project documents mentioned in the subject! (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 steps of corporate transformation in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by personalisation in knowledge management? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the difference between the license-free method and the registration among the licensing methods in frequency management? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc_-_Villamosmérnök_mesterszak}}&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=M%C3%A9rn%C3%B6ki_menedzsment&amp;diff=191849</id>
		<title>Mérnöki menedzsment</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=M%C3%A9rn%C3%B6ki_menedzsment&amp;diff=191849"/>
		<updated>2017-05-16T10:29:08Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: 2017.05.16. angol vizsga&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Mérnöki menedzsment&lt;br /&gt;
| tárgykód = VITMMB03&lt;br /&gt;
| szak = msc villany és infó&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2, 4&lt;br /&gt;
| kereszt = van (ősszel magyarul, tavasszal angolul indul a tárgy)&lt;br /&gt;
| tanszék = TMIT&lt;br /&gt;
| jelenlét = &lt;br /&gt;
| minmunka = &lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 1 db&lt;br /&gt;
| hf =&lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tad = https://portal.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VITMMB03&lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://qosip.tmit.bme.hu/foswiki/bin/view/VITMM112&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Segédanyagok==&lt;br /&gt;
*[[Media:Mernokimenedzsment_jegyzet_2011osz.pdf | 2011.ősz előadásjegyzet]]&lt;br /&gt;
*Összefoglaló 2010 [[Media:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2010.pdf | pdf]] [[Media:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2010.docx | docx]]&lt;br /&gt;
*Számonkérések kidolgozása 2011.12.20-ig (néhány kérdés hiányzik) [[Media:Mernokimenedzsment_kidolgozas_2011.pdf | pdf]] [[Media:Mernokimenedzsment_kidolgozas_2011.docx | docx]]&lt;br /&gt;
*2014-es kidolgozás: [[:File:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2014.pdf| pdf]] [[:File:Mernokimenedzsment_osszefoglalo_2014.docx| docx]]&lt;br /&gt;
==ZH==&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi mintazh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
#Ismertesse, hogy mit értünk mérnöki menedzsmenten, mint diszciplínán! A szakterület innovációjának menedzsmentje beletartozik-e? Miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata (cégfilozófia), tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Egy műszaki termék éves eladási száma 40 ezer. Egyik termékfejlesztő egy új terméket tervez a meglevő termék lecserélésére, azonban ennek az eladási száma bizonytalan (világpiactól függ). Ha a világpiac kedvezően alakul (melynek esélye 20%), akkor az éves eladási szám 100 ezer lesz; kedvezőtlen esetben pedig 20 ezer lesz. Csupán az eladások szempontjából mi lesz a cégvezetőség döntése arról, hogy bevezessék-e az új terméket vagy maradjon-e a régi? Válaszát indokolja! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk elektronikus hírközlésen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelentenek a SWOT egyes betűi (magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a DSS és GDSS között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a WBS a projekteknél? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyik az a tudásfajta, amelyik nem megfogható, hanem az egyén személyes tudását tartalmazza? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse, hogy mit értünk mérnöki menedzsmenten, mint diszciplínán! A szakterület innovációjának menedzsmentje beletartozik-e? Miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját, mit mutat meg a stratégiai térkép? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció komplex modelljét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szakmai kompetencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés három dimenziója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a DSS és GDSS között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit ad meg a vezetői hatalom három forrása együttesen és metszetében? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a tudástranszfer sűrűségén? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Lehet-e cég feltaláló? Indokolja a választ! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit és változási trendjeiket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata (cégfilozófia), tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ICT egyes korszakait egy-egy jellemzőjükkel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Pareto módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Egy vállalatnál el kell dönteni, hogy a bevételből az egyes részlegek mekkora összeget kapjanak. Milyen ennek a döntésnek a döntési logikája? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépések jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Vállalatoknál kinek a feladata a tudás kodifikációjának tervezése és irányítása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a szabadalmi helyzet, ha valakinek munkaköréhez tartozik, hogy új dolgokat kutasson és hozzon létre? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az egyéni és szervezeti szakmai kompetencia összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a SWOT módszert, célját, komponenseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Innovációs és Technológiai Intézet (EIT) alapításának célját és indokait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EU szóhasználata magyarul és angolul a távközlés fogalmára? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? Soroljon fel legalább négyet! (Gartner felmérés) (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Létezik-e mindig kritikus út a projektek ütemezésénél? Ha igen, hogyan lehet ezt belátni? Ha nem, akkor mutasson ellenpéldát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyik a két alapvető tudásmenedzsment megközelítés? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen innovációs intézmények működnek a BME-n? Soroljon fel legalább hármat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010. őszi pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Bono hat gondolkodó kalap módszerét! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert döntési logikákat! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Melyek az innovatív vállalat tulajdonságai, főbb típusai? (3 pont) &lt;br /&gt;
# Melyek a munkahelyi sikeresség legfőbb elemei (USA felmérés)? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Nem kritikus úton lévő tevékenység tD időt csúszik egy projektben. Mennyit fog csúszni az egész projekt, ha: &lt;br /&gt;
#* tD kisebb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? &lt;br /&gt;
#* tD nagyobb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Hogyan hívják azt a szervezetekre jellemző tudást, mely független azoktól, akik létrehozták és szervezeti stabilitása van? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mely szervezet adja ki a Magyar Innovációs Nagydíjat, milyen vállalatnak ítélik oda? (1 pont) &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.04. zh pótlás&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia definícióját, beleértve öt fő attribútumát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásháromszöget! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs értéklánc integrációjának legalább négy korlátját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumának legalább négy tematikus területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégiaalkotási lépéseket! (Az a - e megfelelő sorrendjének megadásával)&lt;br /&gt;
#*a) SWOT analízis b) jövőkép c) üzleti stratégia d) stratégiai állásfoglalás e) funkcionális stratégia (1 pont)&lt;br /&gt;
#Miket tartalmaz a projekt alapító dokumentum? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen információforrásokból lehet felépíteni egy technológiai elemzést? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői tevékenység összetevőit, a vezetők 7 sapkáját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mutasson egy példát egy olyan többszempontú döntési problémára, amely kiválasztásos típusú döntési logikával rendelkezik! Ismertesse, hogy milyen módszerrel és hogyan oldaná ezt meg! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációs menedzser feladatait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a sikeresség 2x2 komponense, adja meg betűrövidítésüket is! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a projektmenedzsment alkalmazásának legalább négy területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az adaptív vállalati kultúra célja, és mi Ön szerint a két legfontosabb ismérve? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit véd a forma mintaoltalom? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi zh b csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Bono hat gondolkodó kalap módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Critical Path Method lényegét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a természetes stratégiák, és mi szerint rendezzük őket? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt-diagram? Mik a hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a vezetői döntés hatékony megvalósításának feltétele? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a Delphi módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az ügyvezetés három dimenzióját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció komplex modelljét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a PEST/STEP módszer? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy csoportos döntéstámogatási módszert! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az emberi és a beágyazott tudás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a találmány és a szabadalom között? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011. őszi pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse az ügyvezetés legalább hat jellegzetességét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BME-n folyó innovációs tevékenységet! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ICT egyes korszakait egy-egy jellemzőjükkel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az IT menedzserek alapvető üzleti prioritásai közül, és fejtsen ki közülük legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a játékelméletben használatos nyeregpontot! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a termékfejlesztés lehetséges céljait, eredményeit és típusait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi és minek a része a horizontális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A diplomamunka melyik projekt fajtába sorolható? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek az innováció információforrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk franchise-on? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a játékelméletben a tiszta és a kevert stratégia között? Az előző definíción túl mennyiben lesz más a játék &amp;quot;megoldása&amp;quot; (azaz melyiknél mit értünk a játék megoldása alatt)? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a termék életciklus menedzselésének legalább két szakaszát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Miért van plusz költség vonzata egy projekt határidőből való kicsúszásának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Jellemezze az adaptív vállalati kultúrát legalább 4 ismérvével! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a bevételnövelés módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk használati mintaoltalmon? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi zh angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# List at least four mandatory business priorities of IT managers and give details about two of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the saddle point applied in game theory! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the aims and types of product development! (3 points)&lt;br /&gt;
# What is the basis of convergence of telecoms, IT and media? (1 point)&lt;br /&gt;
# What and whose part is horizontal strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# What kind of project type is the final project at a university? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the sources of managerial power? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the information sources of innovation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by franchise? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezésével, és részletezze az egyes rétegeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a játékelméletben a Nash-féle egyensúlypontot! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a hype-görbe módszertant! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a vertikális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A kooperatív játékelméletben hol érhető tetten a versengés és hol (kik között figyelhető meg) kooperáció? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit ad meg a vezetői hatalom három forrása együttesen és metszetében? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a sztárok termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse a vezetői tevékenység hét összetevőjét (hét sapkáját)! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hasonlítsa össze a tudásmenedzsment tantárgyunkban megismert kodifikációs és perszonalizációs megközelítéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert árképzési formákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer lépéseit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a munkatárs támogatása és irányítása szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a termék életciklus időbeli fázisait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk franchise-on? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői készségeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a projektmenedzsmentben megismert WBS? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az egyéni kompetencia összetevőit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a döglött kutyák termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a védjegy? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014. őszi pótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a stratégia megvalósításának piramisát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásátvitel lehetséges útjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a fogyasztó árérzékenységén? Hogyan jellemezzük? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? A hat közül soroljon fel legalább négyet (a tantárgyban ismertetett Gartner felmérés alapján)! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a stratégia megalapozottságán? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt diagram? Mik az előnyei és hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a szervezeti kultúra dimenzióit Hofstede szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a portfólió elemzés BCG módszerét, adja meg célját, rajzolja fel a BCG mátrixot, abban helyezze el legalább a fejős tehenet! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetői hatalom forrásait, összefüggésüket és szerepüket a döntések hatékony megvalósításában! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik, és mik a lényeges elemei egy termék piaci bevezetésének? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a munkahelyi sikeresség legfőbb elemei (a tantárgyban ismertetett USA felmérés alapján)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert stratégiai módszereket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk a CPM hálótervezési technikában kritikus úton? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk akvizíción a vállalatok kapcsolataiban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kereslet-orientált árképzésen? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a cégstratégia? Tömören ismertesse az összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# A vezetőknek fontos feladataik vannak munkatársaik menedzselésében. Ismertessen e feladatok közül legalább hármat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és fejtsen ki legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés lényege tömören? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk erőforrás simításon? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Adja meg a szakmai kompetencia három összetevőjét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hogy hívják azt a szervezetekre jellemző tudást, mely független azoktól, akik létrehozták és szervezeti stabilitása van? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Adjon meg legalább két piaci szegmentáció típust piac-termék diagramjával együtt! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015. őszi zh C csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy üzleti alapstratégiát a versenyelőny típusa szerinti osztályozásból! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a projektmenedzsment költségterv készítésének módjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Imsertesse a tudásháromszöget! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol találkozott a SWOT betűszóval a tantárgy tananyagában? Mit jelentenek egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk tudástérképen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi zh A csoport angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# List at least four mandatory business priorities of IT managers and give details about two of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the Gantt-diagram time planning technique! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the methods to increase revenue! (3 points)&lt;br /&gt;
# What do we mean by synergy? (1 point)&lt;br /&gt;
# Draw the layers of the strategic pyramid in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# The duration of a job is 1 month in optimistic case, 5 months in pessimistic case and most likely 1,5 month. What is the expected duration of the job in case of PERT projectmanagement method? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 steps of corporate transformation in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 basic types of innovation with examples! (1 point)&lt;br /&gt;
# When is a price non-elastic? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi zh B csoport angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain at least 6 characteristics of management! (3 points)&lt;br /&gt;
# The most common nmistake in network planning in projectmanagement is that we do not realize that some activities can be executed in a paralel way (eg. activities A and B are drawn in chain instead of in paralel). Why is this mistake a problem? Can it happen that after the network planning when we are doing the resource planning the network of the activities has to be modified? If yes, why? If not, why not? (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 phases of the product development in logical order and explain in details at least 2 of them! (3 points)&lt;br /&gt;
# What does the limited rationality of management mean? (1 point)&lt;br /&gt;
# Which questions should be answered by the mission of the company? (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the sources of managerial power? (1 point)&lt;br /&gt;
# Which step means the breakthrough in the transformation of companies? Why? (1 point)&lt;br /&gt;
# Give the open innovation chain model! (1 point)&lt;br /&gt;
# What dows the geographical indication mean in intellectual property rights? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. tavaszi pótzh angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details Edward de Bono&#039;s six thinking caps method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the managerial styles classified according to the classical types! (3 points)&lt;br /&gt;
# Give detailed description of product pricing and price calculation methods! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 4 mandatory business priorities of the IT/ICT professionals, managers! (1 point)&lt;br /&gt;
# What are measured along the axes of the BCG portfolio matrix? Where is the cash cow in the matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least four managerial situations! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by tacit type of knowledge? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the elements of the knowledge triangle! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by franchise? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh A csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Porter féle öt-erős ágazati versenyanalízis modellt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Imertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innováció fogalmát és alapeseteit az Oslo kézikönyv szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értunk a CPM hálótervezési technikában kritikus tevékenységen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh B csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az üzleti alapstratégiák versenyelőny típusa szerinti osztályozását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 ellentétpárt a növekvő illetve hanyatló vállalkozásokra vonatkozóan! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Nemzeti Innovációs Hivatal tevékenységét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk egy feladat delegálásán? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Kinek szól egy vállalkozás küldetése? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ön egy kis cégnél mérnöki tevékenységet folytat, ahol összesen 8 mérnök dolgozik (Önnel együtt). Egy féléves projektnél a projektterv alapján a 17. héten 11 mérnökre lenne egyszerre szüksége. Hogyan tudná áthidalni ezt a problémát? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vállalati életciklus fázist egy-egy jellemzőjével, a fázisok logikai sorrendjében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kodifikáción a tudásmenedzsmentben? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen innovációs intézmények működnek a BME-n? Soroljon fel legalább hármat! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz zh C csoport&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata, tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a MAUT döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezeti kultúráról a tantárgyban tanultakat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel Vogelauer munkastílus elemzésében szereplő legalább 2 vizsgált tulajdonságpárt! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi jellemező a fókuszált költségminimáló stratégiára (terjedelem, differenciáltság, orientáció, tipikus előfordulás)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Nem kritikus úton lévő tevékenység tD időt csúszik egy projektben. Mennyit fog csúszni az egész projekt, ha:&lt;br /&gt;
#* a) tD kisebb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő?&lt;br /&gt;
#* b) tD nagyobb, mint a tevékenységhez tartozó tartalékidő? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk akvizíción a vállalatok kapcsolataiban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy a munkatárs támogatása és irányítása szerinti vezetési stílust! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Tudásátvitel lehetséges útjai közül melyik az, ami a kollégiumi tanulószobákban zajlik, amikor felsőbb évesek átadják tapasztalataikat az alsóbb évfolyamosoknak? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016. ősz pótpótzh&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert döntési logikákat! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Vizsga==&lt;br /&gt;
* Lásd még: [[Mérnöki menedzsment - vizsgakérdések témakörönként szétválogatva]]&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010.12.14.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Egy webfejlesztő cég 2 design-t (D1 és D2) készít egy informatikai honlaphoz. A cég érdeke, hogy a honlap látogatottság minél nagyobb legyen (ugyanis az a bevétellel egyenesen arányos). A látogatottságot egy külső tényező is befolyásolja: két nagy informatikai cég fuzionálása megtörténik-e vagy sem. Ebben a kockázatos döntési pontban még nem lehet tudni, hogy létrejön-e a fúzió, de azt lehet tudni, hogy a fúzió 75%-os valószínűséggel megtörténik. D1-es design a fúzió esetén 400 ezer, fúzió nélküli esetben 100 ezer látogatót vonz. D2-es design a fúzió esetén 200 ezer, fúzió nélküli esetben 400 ezer látogatót vonz. Melyik design-t érdemes alkalmazni az informatikai honlaphoz és miért? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációk elfogadási folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabályozás eszközrendszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EIT, és mi a célja? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a sikeres vezetői team összeállításának kulcsa? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi árujelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a szabályozó hatóságok tevékenységi körei? Az alábbiak közül melyik(ek) a kakukktojás(ok)? (1 pont)&lt;br /&gt;
#* Szabályalkotás, jogszabály alkotás, jogszabály előkészítés, szabályalkotás, törvényhozás. &lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a másodlagos spektrum kereskedelem haszonbérleti formája? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2010.12.21.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs értékláncot, korlátait és integrációját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az MTA tudománypolitikáját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a frekvenciagazdálkodás nemzetközi szabályozási rendszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az Európai Innovációs és Technológiai Intézetnek (EIT) hol van a székhelye, mikor alakult (+-1év), és milyen formában foglalkozik ICT témákkal? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Van-e valaki egy vállalkozás ügyvezetője, vezérigazgatója, első számú operatív vezetője fölött? Ha van, ki az? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a vállalkozás alapítói kelepce? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit véd a forma mintaoltalom? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ex-ante és ex-post szabályozás között mi a különbség? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióhullámon a frekvenciagazdálkodásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.04.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia definícióját, beleértve öt fő attribútumát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az informatikai biztonság összetevőit, biztonsági technikáit, mechanizmusait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs értéklánc integrációjának legalább négy korlátját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumainak legalább négy tematikus területét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Miket tartalmaz a projekt alapító dokumentum? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen információforrásokból lehet felépíteni egy technológiai elemzést! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mivel és mikor kezdődött, illetve mi a legutóbbi három fejezete a távközlés liberalizációnak az EU-ban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A rádióhullámok mely kategóriáját szabályozza a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.11.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a vállalati stratégia? Tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Tervezze meg az ábrán megadott mérnöki feladat ütemtervét, azaz töltse ki a hiányzó részeket (jelmagyarázat az ábra jobb felső sarkában látható)! Adja meg a kritikus utat is! (3 pont)&lt;br /&gt;
#* ábra: [[File:Mernokimenedzsment_vizsga_20110111.jpg]]&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az alapja a távközlés, az informatika és a média konvergenciájának? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés legalább négy jellegzetességét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelentenek a SWOT egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Gyógyszerek esetében hány évig védhető a hatóanyag szabadalommal? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a digitális átállás, és mikor van a határnapja az Európai Unióban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a rádiószabályozás engedélyezési módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.01.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezeti célok sikeres megvalósításának összetevőit, összefüggésüket és a menedzsment team kívánatos képességét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban ismertetett döntési logikákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az NGN-t és referencia architektúra síkjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az ügyvezetés három dimenziója! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek igazak az alábbi állítások közül? (indoklás nélkül) (1 pont)&lt;br /&gt;
#* Az üzleti szegmens több piaci szegmensből állhat.&lt;br /&gt;
#* Piaci szegmens meghatározott ügyfélkör és termékkör metszete.&lt;br /&gt;
#* Az üzleti szegmens homogén üzleti stratégiájú piaci szegmensek együttese.&lt;br /&gt;
# Tudásátvitel lehetséges útjai közül melyik az, ami a wiki oldalakon (pl.: Sch wiki) zajlik, amikor a felsőbb évesek leírják tapasztalataikat az alsóbb évfolyamosoknak? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Az ex-ante és ex-post szabályozás között mi a különbség? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit törekszik megakadályozni a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.12.15.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Balanced Scorecard (BSC) módszer négy szempontját, mit mutat meg a stratégiai térkép? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az infokommunikáció szabályozástól való elvárásokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az Európai Unió szóhasználata magyarul és angolul a távközlés fogalomra? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a főtt béka effektus mondanivalója? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek az innovációt ösztönző tényezők? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az ex-ante és ex-post szabályozás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mely két fő területre terjednek ki a frekvenciagazdálkodás feladatai? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2011.12.20.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Vogelauer munkastílus elemzési módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabályozás eszközeit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1p) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel Edward de Bono legalább 4 gondolkodó kalapjának színét és a hozzátartozó megközelítéseket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a WBS a projekteknél? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok átalakításának alábbi lépéseit helyezze sorrendbe! (1 pont)&lt;br /&gt;
#* A változás halaszthatatlanságának érzékeltetése &lt;br /&gt;
#* Vezetési struktúra jövőképhez igazítása &lt;br /&gt;
#* A változtatás jövőképének kommunikálása &lt;br /&gt;
#* Eredmények megszilárdítása, további változások elérése &lt;br /&gt;
#* Gyors sikerek elérése &lt;br /&gt;
# Ismertesse a nyílt innovációs láncot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.06.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az információs társadalom intelligens infrastruktúrájának rétegeit és változási trendjeiket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert projektirányítási módszertanokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Unió 2002-es elektronikus hírközlés szabályozási csomagját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés legalább 4 jellegzetességét! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az infokommunikáció fejlődésének időszakait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióinterferencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába egy vállalati jövőkép bővebb változata, tömören ismertesse az összetevőket! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a projektmenedzsment költségterv készítésének 2 módját! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik a szolgáltatók piaci együttműködésének szabályozása az infokommunikációban? (3 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel az EIT ICT laboratóriumainak legalább 4 tematikus területét! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezésével! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet a vállalatok átalakításának tipikus hibáiból! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudás megszerzésének legalább 4 módját! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mi az ársapka szabályozás lényege? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Milyen típusú árverések elméletének és eljárásának kidolgozásáért nyert 1994-ben Harsányi János magyar származású tudós közgazdasági Nobel díjat? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.01.20.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia általános definícióját, beleértve öt fő jellemzőjét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetővé válás folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az EIT, és mi a célja? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel Vogelauer munkastílus elemzésében szereplő legalább 4 vizsgált tulajdonságot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk erőforrás simításon? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk kodifikáción? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# A rádióhullámok mely kategóriáját szabályozza a frekvenciagazdálkodás? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2012.05.24.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Miért van szükség stratégiára? Fejtse ki néhány mondattal! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse a Gantt-diagram időtervezési technikát! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Ismertesse az infokommunikációban alkalmazott árszabályozást! (3 pont) &lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont) &lt;br /&gt;
# Az alábbi állítások növekvő (N) vagy hanyatló (H) vállalatra érvényesek? (1 pont) &lt;br /&gt;
#* A vállalatvezetőség irányítja a szervezetet. N vagy H? &lt;br /&gt;
#* Minden tilos, kivéve, amit engedélyeznek. N vagy H? &lt;br /&gt;
# Soroljon fel az innovációs menedzser feladataiból legalább négyet! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Nemzeti Média és Hírközlési Hatóság legalább 4 feladatát! (1 pont) &lt;br /&gt;
# Sorolja fel a rádiószabályozás engedélyezési módjait! (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2013.12.19.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mit foglal magába a cégstratégia? Tömören ismertesse az összetevőit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Rövid magyarázattal mutassa meg, hogy mennyiben különbözik a nemkooperatív mátrixjáték és a bimátrixjáték megoldása! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a termékfejlesztés folyamatának legalább négy elemét logikai sorrendben, és részletezzen közülük legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol találkozott a SWOT betűszóval a tantárgy tananyagában? Mit jelentenek egyes betűi (angolul és magyarul)? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mikor rugalmatlan egy termék ára? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie a Nemzetközi Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.03.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Porter-féle öt-erős ágazati versenyanalízis modellt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Leggyakoribb hiba a projektek hálótervezésénél, hogy nem veszik észre azt, hogy bizonyos tevékenységek párhuzamosíthatók. Pl. A-t és B-t egymás után rajzolják, amikor egyszerre is végre lehetne hajtani. Miért gond ez a jellegű hiba? A hálótervezés után erőforrás tervezésnél előfordulhat-e, hogy módosítani kell a tevékenység hálót? Ha igen: miért? Ha nem: miért nem? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a jelentős piaci erő (JPE) fogalmát és elemzésének folyamatát az infokommunikáció szabályozásában! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon legalább négyet a vezető tevékenység összetevői (a vezetők 7 sapkája) közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a projektháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a zárt innovációs láncot! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vásárlók értékének elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie az európai rádiószabályozás követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.10.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az üzleti alapstratégiák versenyelőny típusa szerinti osztályozását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Egy kooperációs játékban mikor elérhető és mikor elfogadható egy adott koalíció számára egy x=(x1, ... , xn) kifizetés-vektor? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a hype-görbe módszertant! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az ügyvezetés három dimenzióját! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Porter-féle öt-erős ágazati modell elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négy tevékenységek közötti kapcsolattípust a projektmenedzsmentben! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az emberi és a beágyazott tudás között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-ante szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.17.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Adja meg a stratégia általános definícióját, beleértve öt fő jellemzőjét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Diplomamunka elkészítésével kapcsolatban soroljon fel minimum 3 kritikus és 3 nem kritikus sikerkritériumot és indokolja választását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a digitális konvergencia fázisait! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket: a., SWOT, b., jövőkép, c., üzleti stratégia, d., stratégiai állásfoglalás, e., funkcionális stratégia (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet a vállalatok átalakításának tipikus hibáiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a BCG mátrix termék életfázisait és jelentésüket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az engedélymentesség és a regisztráció között a rádiószabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.01.24.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Tömören ismertesse a vezetői tevékenység hét összetevőjét (7 sapka)! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a Gantt-diagram időtervezési technikát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a bevételnövelés módjait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetésben a korlátozott racionalitás? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezéssel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetői készséget! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség a találmány és a szabadalom között? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit és hogyan mér a Herfindahl-Hirschmann index? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.06.06. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the steps of the Balanced Scorecard (BSC) method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the hype cycle method! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the international regulation system of frequency management! (3 points)&lt;br /&gt;
# Where did you meet the SWOT acronym in the subject and what do its letters mean? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the genecric business strategies according to the type of the competitive advantage! (1 point)&lt;br /&gt;
# Explain in details one of the classical types of the managerial styles! (1 point)&lt;br /&gt;
# What does the &amp;quot;cash cows&amp;quot; life phase mean int the BCG matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by ex post regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by significant market power (SMP) in the infocommunications regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.06.13. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the steps of CPM! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain the procedure and the elements of preparing a business plan! (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the procedure of market entry in infocommunications! (3 points)&lt;br /&gt;
# What and whose part is vertical strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# List the decision theory paradoxes learnt in the subject! (1 point)&lt;br /&gt;
# List the managerial styles according to the classical classification! (1 point)&lt;br /&gt;
# What are the information sources of innovation? (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by ex ante regulation? (1 point)&lt;br /&gt;
# Where should the mandatory requirements of the Radio Regulations be fulfilled? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2014.12.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a PERT projektmenedzsment időtervezési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan történik a szolgáltatók piaci együttműködésének szabályozása az infokommunikációban? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegeinek megfelelő sorrendű megnevezéssel! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi van a BCG portfólió mátrix két tengelyén? Hol helyezkedik el a mátrixban a &amp;quot;fejős tehén&amp;quot;? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Milyen K+F+I forrásokat ismer (hazai, EU-s)? Soroljon fel legalább négyet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel, hogy az infokommunikáció fejlődésének egyes időszakaiban milyen volt a tipikus ágazati szabályozás! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk rádióinterferencián? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.07.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a CPM projektmenedzsment időtervezési technika lépéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szakmai kompetenciáról a tantárgyban tanultakat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Részletezze a piaci mechanizmus korlátait, hiányosságait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket! (Az a-e betűk megfelelő sorrendjének megadásával) a) SWOT analízis, b) jövőkép, c) üzleti stratégia, d) stratégiai állásfoglalás, e) funkcionális stratégia. (1 pont)&lt;br /&gt;
# Melyek a vezetői hatalom forrásai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert árképzési formákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a rádióinterferencia? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.14.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Milyen következménye lehet annak, ha egy projekt nem készül el határidőre? A vállalat szempontjából rövid és hosszú távon miért fontos a projekt lezárása? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vezetés pilléreit, a ,,6 Dimenziót&amp;quot;! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Az ICT menedzserek kötelező üzleti prioritásai mire vonatkoznak? A 6 közül soroljon fel legalább 4-et (a tantárgyban ismertetett Gartner felmérés alapján)! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a Porter-féle öt-erős ágazati modell elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a védjegy? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-post szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.21.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Miért van szükség stratégiára? Fejtse ki néhány kulcsszóval és gondolattal! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BME-n folyó innovációs tevékenységeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szabadalom fogalmát és jellemzőit, a szabadalmi bejelentés és fenntartás körülményeit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés korlátozott racionalitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább 4 stratégiai tervezési lépést! (1 pont)&lt;br /&gt;
# A vállalatok transzformációjában, átalakításában melyik lépés jelenti az áttörést, a &amp;quot;visszafordíthatatlanságot&amp;quot;? Miért? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk tacit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a BCG-mátrix termék életfázisait és jelentésüket! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit és hogyan mér a Herfindahl-Hirschmann index? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.01.28.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse Vogelauer munkastílus elemzési módszerét! (3 pont)&lt;br /&gt;
# A kodifikáció ismertetése nélkül mutassa be, hogy mi a kodifikációs tudásmenedzsment célja a vállalatoknál, és milyen módon tudják ezt elérni! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit tud a franchise-ról? Fejtse ki részletesen! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent az ügyvezetés dualitása? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a természetes versenystratégiákat a BCG mátrix alapján! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel az egyéni kompetencia összetevőit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a tudáskonverzió körfolyamatát, és nevezze meg elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mik a jogi eszközei a frekvenciagazdálkodás magyar nemzeti szabályozásának? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.06.03.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tudásteremtés és konverzió körfolyamatát, és adjon legalább egy-egy példát az egyes fázisokra! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk üzleti szegmensen? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hogyan lehet rövidíteni a projektmenedzsmentben megismert kritikus utat? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a klasszikus osztályozás szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert árképzési formákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikáció szabályozásában? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Hol kell teljesülnie a Nemzeti Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2015.12.18.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse az AHP döntési módszert! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül, és fejtsen ki legalább kettőt! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a piacra lépés szabályozását (engedélyezést) az infokommunikációban! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a horizontális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a Gantt-diagram? Mik az előnyei és hátrányai? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit nevezünk explicit tudásnak? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció alapesetei közül, és adjon mindegyikre egy-egy példát! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a földrajzi eredetjelző? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a különbség az engedélymentesség és a regisztráció között a rádiószabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.01.06.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Mi a CPM? Ismertesse lépéseit! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az innovációk elfogadási folyamatát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a szabadalom és a használati mintaoltalom, és mi a hasonlóság és a különbség közöttük? (3 pont)&lt;br /&gt;
# Állítsa helyes logikai sorrendbe az alábbi stratégia-alkotási lépéseket (Az a-e megfelelő sorrendjének megadásával): a) SWOT analízis b) jövőkép c) üzleti stratégia d) stratégiai állásfoglalás e) funkcionális stratégia. (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 vezetési helyzetet! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertessen egy klasszikus osztályozás szerinti vezetési stílust! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a döglött kutyák termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Időben hogyan változik a szektor specifikus, a verseny- és a biztonságszabályozás? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Egy ország területén hol kell teljesülnie a Nemzetközi Rádiószabályzat követelményeinek? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.01.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ábrázolja a stratégiai piramist az egyes rétegek megfelelő sorrendű megnevezésével, és részletezze az egyes rétegek tartalmát! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szakmai vezetői készségeket! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a vásárlók értékének meghatározását! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk szinergián? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a vezetési stílusokat a klasszikus osztályzás szerint! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tudásháromszög elemeit! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk piacszegmentáláson? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a technológiai semlegesség elve az infokommunikációs szabályozásban? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.06.03. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Explain in details the AHP multi-criteria decision model! (3 points)&lt;br /&gt;
# Compare the codification and personalisation approaches of knowledge management! (3 points)&lt;br /&gt;
# How does the regulation of cooperation among service providers happen in infocommunications? (3 points)&lt;br /&gt;
# What is and whose part is vertical strategy? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the Gantt-diagram? What are its advantages and disadvantages? (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 features of managerial culture! (1 point)&lt;br /&gt;
# What does the &amp;quot;cash cow&amp;quot; life phase mean in the BCG matrix? (1 point)&lt;br /&gt;
# What and how measures the Herfindahl-Hirschmann index? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the lower and upper frequency limites of frequency management? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2016.12.13.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Ismertesse a szervezetek vezetésének értelmezését, céljait, feladatait és erőforrásait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a tantárgyban megtanult döntési logikákat! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse a BCG mátrix elemeit a forgalom, a fajlagos költség, a profit és a vevők szempontjából (3 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább 4 tipikus érdekcsoportot egy vállalat piaci környezetében (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a versenyelőny típusa szerinti alapstratégiákat (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel logikai sorrendben legalább négyet a vállalatok átalakításának lépései közül (1 pont)&lt;br /&gt;
# Soroljon fel legalább négyet az innováció globális feladataiból? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel a tantárgyban megismert vásárlói magatartás típusokat! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Sorolja fel, hogy az infokommunikáció fejlődésének egyes időszakaiban milyen volt a tipikus ágazati szabályozás (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2017.01.04.&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Írjon le egy - a tantárgy keretében megismert - döntési paradoxont! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Ismertesse az Európai Innovációs és Technológiai Intézet (EIT) alapításának célját, indokait és felépítését! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Részletezze a piaci mechanizmus (és a verseny) korlátait és hiányosságait! (3 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az, és minek a része a vertikális stratégia? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi az a projektmenedzsmentben megismert WBS? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Jellemezze az adaptív vállalati kultúrát legalább 4 ismérvével! (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit jelent a kérdőjelek termék életfázis a BCG mátrixban? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mit értünk ex-ante szabályozáson? (1 pont)&lt;br /&gt;
# Mi a rádióinterferencia? (1 pont)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Rejtett | mutatott=&#039;&#039;&#039;2017.05.16. angol&#039;&#039;&#039; | szöveg=&lt;br /&gt;
# Draw the strategic pyramid with its layers in proper order and give details to the layers! (3 points)&lt;br /&gt;
# A trasportation company plans to replace its vehicles. The vehicles are selected from the choice by the MAUT method according to: fuel consumpion, price, length of the period of guarantee, payload. Assign the following utility functions to the above viewpoints (one utility function can be assigned to several viewpoints): u1=2x+5, u2=100-3x, u3=(x-15)^2+5, u4=100-(x-15)^2? Give the reasons of your assignment! What is missing to complete the calculation by the MAUT method? (3 points)&lt;br /&gt;
# Explain in details the procedure of market entry (authorization) in infocommunications according to the EU regulation! (3 points)&lt;br /&gt;
# List at least 6 typical stakeholders in relation of a company! (1 point)&lt;br /&gt;
# Put into proper order the following steps of strategic planning: a) SWOT analysis, b) vision, c) business strategy, d) strategic posture, e) functional strategy. (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 project documents mentioned in the subject! (1 point)&lt;br /&gt;
# List at least 4 steps of corporate transformation in logical order! (1 point)&lt;br /&gt;
# What do we mean by personalisation in knowledge management? (1 point)&lt;br /&gt;
# What is the difference between the license-free method and the registration among the licensing methods in frequency management? (1 point)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc_-_Villamosmérnök_mesterszak}}&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Line%C3%A1ris_id%C5%91invari%C3%A1ns_rendszerek_%C3%A9s_k%C3%A9palkot%C3%A1s_metrik%C3%A1i&amp;diff=190954</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Lineáris időinvariáns rendszerek és képalkotás metrikái</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Line%C3%A1ris_id%C5%91invari%C3%A1ns_rendszerek_%C3%A9s_k%C3%A9palkot%C3%A1s_metrik%C3%A1i&amp;diff=190954"/>
		<updated>2016-12-29T14:53:02Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: Új oldal, tartalma: „Az Orvosi képdiagnosztika tárgy egyik témaköre.  == Jegyzetek == * [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf K…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Képalkotás modellezése, metrikái diák 2016]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a h(t) súlyfüggvényű LTI rendszer s(t) gerjesztő jelre adott válasza (és a válaszfüggvény spektruma)? Mi az LTI rendszerek identifikációja során a feladat és ennek megvalósítása milyen módszerekkel lehetséges (adjon 3 példát az identifikáció megvalalósítására, az egyes példák esetén térjen ki az adott módszer realizálhatóságára is)? &lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit definiál egy képalkotó rendszer esetén a Point Spread Function (PSF) és a Modulation Transfer Function (MTF), ezek milyen kapcsolatban állnak a képalkotó rendszer súlyfüggvényével, illetve átviteli függvényével. Formálisan ismertesse az általános képalkotás (3D objektumból 2D projekcióba képző) megfigyelési modelljét (interpretálja a modell tagjainak a jelentését)!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Lineáris, eltolás invariáns képalkotó rendszerek esetén definiálja az effektív felbontás fogalmát! Hogyan mérhető a rendszer súlyfüggvényének (PSF) ismeretében? Adjon példát foton fluxusának mérésén alapuló képalkotó rendszerek (pl. konvencionális fényképezőgép, röntgen detektor, stb.) esetén az effektív felbontás meghatározására (milyen fantomokkal / vizsgálóábrákkal történik a mérés)! Mi az effektív felbontáson, mint metrikán alapuló minősítés legjelentősebb hiányossága?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Definiálja a jel/zaj viszony (SNR) fogalmát (általános jelfeldolgozási szemszögből). Képek esetén mi az SNR definíciója? Definiálja a kontraszt/ zaj arányt (CNR) és részletesen fejtse ki, hogy képek esetén hogyan számítandó. Alkalmazható-e a CNR nemlineáris rendszerek minősítésére (válaszát indoklással támassza alá)?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen valószínűségi folyamattal modellezhető a foton sugárzás folyamata. Definiálja az inherens zaj fogalmát. Ideális detektor által rögzített kép jel / zaj aránya (SNR) hogyan viszonyul a felületét érő sugárzás jel / zaj arányához (SNR), és mi a pontos értéke, ha a detektor egy érzékelőelemébe átlagosan Q foton csapódik?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Definiálja a zaj teljesítmény spektrum (NPS), a normalizált zaj teljesítmény spektrum (NNPS), illetve a zaj ekvivalens kvantum (NEQ) fogalmát mind saját szavával, mind formálisan! Ezen mérőszámok szerinti összehasonlításnál milyen megkötéssel kell élnünk a vizsgálósugárzás dózisára (fotonjainak számára)? Mi a Detektált kvantum hatékonyság (DQE) formális definíciója és interpretációja (ez utóbbit elég szövegesen megadni)?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190933</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190933"/>
		<updated>2016-12-22T17:28:51Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Témakörök és ellenőrzőkérdéseik kidolgozása (folyamatban) */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Vizuális informatika szakirány]] kötelező tárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Orvosi képdiagnosztika&lt;br /&gt;
| tárgykód = VIMIMA04&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék = MIT&lt;br /&gt;
| jelenlét =&lt;br /&gt;
| minmunka =&lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 1 db&lt;br /&gt;
| hf = 5 db&lt;br /&gt;
| vizsga = szóbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* Előadásdiák a [http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04/jegyzet tárgyhonlapon].&lt;br /&gt;
* [[Media:orvosi_ellenorzo_kerdesek_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor a zárthelyihez (2016)]]&lt;br /&gt;
* [[Media:orvosi_ellenorzo_valaszok_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor kidolgozása (2016)]] (egy nappal a ZH előtt tették közzé a kérdéssort, a kidolgozásban biztosan vannak hibák, nem teljes válaszok)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Témakörök és ellenőrzőkérdéseik kidolgozása (folyamatban) ==&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képalkotó_diagnosztikai_eljárások|Képalkotó diagnosztikai eljárások]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Digitális_képek_alkotása_és_tárolása|Digitális képek alkotása és tárolása]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Lineáris_időinvariáns_rendszerek_és_képalkotás_metrikái|Lineáris időinvariáns rendszerek és képalkotás metrikái (TODO)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Fourier_analízis|Fourier analízis (TODO)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Inverz_probléma|Inverz probléma (TODO)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képjavítás_előfeldolgozás| Képjavítás, előfeldolgozás (TODO)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képszegmentálás|Képszegmentálás (TODO)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-ACM_Snake|ACM Snake (TODO)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Regisztrációs_eljárások|Regisztrációs eljárások (TODO)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Rekonstruciós_eljárások|Rekonstruciós eljárások (TODO)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Diagnosztika_módszerei|Diagnosztika módszerei (TODO)]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190932</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Digitális képek alkotása és tárolása</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190932"/>
		<updated>2016-12-22T17:28:01Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Digitális képek alkotása és tárolása diák 2016]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Megjegyzés ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Viszonylag egyszerű, magolós témakör. A dia párszori elolvasása valószínűleg elég a számonkérések teljesítéséhez. Az ide kapcsolódó vizsgatételben (2016 őszi félév) a fényről és a hangról, mint fizikai jelenségekről, illetve a fényérzékelő eszközök működéséről kell beszélni.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a fény kettős természete (hullámmozgás és kvantumelméleti megközelítés). A fénynek, mint elektromágneses sugárzásnak milyen tulajdonságait ismeri? Mitől függ egy foton energiája? Ez mit befolyásol orvosi képalkotás során?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
* Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a fényérzékelés folyamatát! Hogyan működnek a félvezetők? Mit jelentenek az alábbi fogalmak: vegyértéksáv, vezetési sáv, tiltott sáv, lyuk, elektron, N típus, P típusú félvezető? Hogyan épülnek fel és hogyan működnek a fényérzékeny MOS kapacitások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan épülnek fel és hogy működnek a CCD érzékelők? Mit nevezünk szcintillációnak és mikor van rá szükség? Hogyan működnek és hogyan épülnek fel a látható fotonoknál nagyobb energiájú fotonokra (pl. uv, röntgen, gamma sugarak) érzékeny detektorok?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan működik a Graphics Interchange Format alapú képtárolás? Ismertesse a Portable Network Graphics formátum során alkalmazott tömörítési eljárás főbb lépéseit!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
*** 1. fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
*** 2. fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a Joint Photographic Experts Group formátum tömörítő eljárásának főbb lépéseit. Milyen melléktermékeket okozhat ez a fajta tömörítő eljárás?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Több réteg, csatornák, átlátszóság, 16 bites képek&lt;br /&gt;
* Veszteséges és veszteségmentes tömörítés&lt;br /&gt;
*# Színtér trafó&lt;br /&gt;
*#* RGB -&amp;gt; Y&#039;CrCB konverzió (Y&#039; fényerő gamma korrekció után, Cr: vörös árnyalat, Cb: kék árnyalat)&lt;br /&gt;
*# Színcsatornák alul-mintavételezése&lt;br /&gt;
*#* Cb, Cr alulmintavételezése (Y&#039;-ra érzékenyebb a szemünk)&lt;br /&gt;
*# 8 × 8 méretű blokkok kialakítása&lt;br /&gt;
*#* A kép szélén extrapolál&lt;br /&gt;
*# Diszkrét Koszinusz Transzformáció&lt;br /&gt;
*#* Minden blokkra külön&lt;br /&gt;
*#* Transzformáció előtt 0 középpontúvá skálázza az intenzitásokat&lt;br /&gt;
*#* &amp;lt;math&amp;gt;f(u,v) = \alpha (u, v) \cdot \cos \left[ \frac{(2x+1)u \cdot \pi}{16} \right] \cdot \cos \left[ \frac{(2y+1)v \cdot \pi}{16} \right]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*#* Emberi látás nagyobb mértékben diszkriminálja a DCT bázis függvényeit, mint a Fourier trafóét.&lt;br /&gt;
*# Kvantálás&lt;br /&gt;
*#* &amp;lt;math&amp;gt;B_{(i,j)} = round \left( \frac{DCT\left\{I_{(i,j)}\right\}}{Q} \right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*#* Q (a tömörítés hatásfoka) állítható&lt;br /&gt;
*# Kódolás&lt;br /&gt;
*#* Együtthatókat cikk-cakk trajektória mentén sorosítja&lt;br /&gt;
*#* Futáshossz + Huffman kódolás&lt;br /&gt;
* Veszteséges JPEG artifaktumai&lt;br /&gt;
** Ringing effektus: meredek átmenetű alulmintavételezés&lt;br /&gt;
** Blokkosodás: blokkonkénti tömörítés miatt, Q amiplitúdójának növekedésével egyre látványosabb&lt;br /&gt;
** Elszíneződés: Cr, Cb alulmintavételezése&lt;br /&gt;
** Elmosás: Nagy Q esetén&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a DICOM szabvány képtárolásának főbb jellemzőit, valamint a szabvány általánosabb jellegét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
* A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190931</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Digitális képek alkotása és tárolása</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190931"/>
		<updated>2016-12-22T17:27:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Digitális képek alkotása és tárolása diák 2016]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Megjegyzés ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Viszonylag egyszerű, magolós témakör. A diák párszori elolvasása valószínűleg elég a számonkérések teljesítéséhez. Az ide kapcsolódó vizsgatételben (2016 őszi félév) a fényről és a hangról, mint fizikai jelenségekről, illetve a fényérzékelő eszközök működéséről kell beszélni.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a fény kettős természete (hullámmozgás és kvantumelméleti megközelítés). A fénynek, mint elektromágneses sugárzásnak milyen tulajdonságait ismeri? Mitől függ egy foton energiája? Ez mit befolyásol orvosi képalkotás során?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
* Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a fényérzékelés folyamatát! Hogyan működnek a félvezetők? Mit jelentenek az alábbi fogalmak: vegyértéksáv, vezetési sáv, tiltott sáv, lyuk, elektron, N típus, P típusú félvezető? Hogyan épülnek fel és hogyan működnek a fényérzékeny MOS kapacitások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan épülnek fel és hogy működnek a CCD érzékelők? Mit nevezünk szcintillációnak és mikor van rá szükség? Hogyan működnek és hogyan épülnek fel a látható fotonoknál nagyobb energiájú fotonokra (pl. uv, röntgen, gamma sugarak) érzékeny detektorok?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan működik a Graphics Interchange Format alapú képtárolás? Ismertesse a Portable Network Graphics formátum során alkalmazott tömörítési eljárás főbb lépéseit!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
*** 1. fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
*** 2. fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a Joint Photographic Experts Group formátum tömörítő eljárásának főbb lépéseit. Milyen melléktermékeket okozhat ez a fajta tömörítő eljárás?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Több réteg, csatornák, átlátszóság, 16 bites képek&lt;br /&gt;
* Veszteséges és veszteségmentes tömörítés&lt;br /&gt;
*# Színtér trafó&lt;br /&gt;
*#* RGB -&amp;gt; Y&#039;CrCB konverzió (Y&#039; fényerő gamma korrekció után, Cr: vörös árnyalat, Cb: kék árnyalat)&lt;br /&gt;
*# Színcsatornák alul-mintavételezése&lt;br /&gt;
*#* Cb, Cr alulmintavételezése (Y&#039;-ra érzékenyebb a szemünk)&lt;br /&gt;
*# 8 × 8 méretű blokkok kialakítása&lt;br /&gt;
*#* A kép szélén extrapolál&lt;br /&gt;
*# Diszkrét Koszinusz Transzformáció&lt;br /&gt;
*#* Minden blokkra külön&lt;br /&gt;
*#* Transzformáció előtt 0 középpontúvá skálázza az intenzitásokat&lt;br /&gt;
*#* &amp;lt;math&amp;gt;f(u,v) = \alpha (u, v) \cdot \cos \left[ \frac{(2x+1)u \cdot \pi}{16} \right] \cdot \cos \left[ \frac{(2y+1)v \cdot \pi}{16} \right]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*#* Emberi látás nagyobb mértékben diszkriminálja a DCT bázis függvényeit, mint a Fourier trafóét.&lt;br /&gt;
*# Kvantálás&lt;br /&gt;
*#* &amp;lt;math&amp;gt;B_{(i,j)} = round \left( \frac{DCT\left\{I_{(i,j)}\right\}}{Q} \right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*#* Q (a tömörítés hatásfoka) állítható&lt;br /&gt;
*# Kódolás&lt;br /&gt;
*#* Együtthatókat cikk-cakk trajektória mentén sorosítja&lt;br /&gt;
*#* Futáshossz + Huffman kódolás&lt;br /&gt;
* Veszteséges JPEG artifaktumai&lt;br /&gt;
** Ringing effektus: meredek átmenetű alulmintavételezés&lt;br /&gt;
** Blokkosodás: blokkonkénti tömörítés miatt, Q amiplitúdójának növekedésével egyre látványosabb&lt;br /&gt;
** Elszíneződés: Cr, Cb alulmintavételezése&lt;br /&gt;
** Elmosás: Nagy Q esetén&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a DICOM szabvány képtárolásának főbb jellemzőit, valamint a szabvány általánosabb jellegét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
* A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-K%C3%A9palkot%C3%B3_diagnosztikai_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190930</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Képalkotó diagnosztikai eljárások</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-K%C3%A9palkot%C3%B3_diagnosztikai_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190930"/>
		<updated>2016-12-22T17:22:04Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orvosi%20kepdiagnosztika_bevezetes_ea.pdf Bevezetés diák 2016].&lt;br /&gt;
* [https://prezi.com/xp0e6krsgvyh/orvosikepdiagnosztika-eloadas-x-ray/ Röntgen diák 2016]&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orvosi%20kepdiagnosztika_MRI_attekintes_3ea.pdf MRI diák 2016]&lt;br /&gt;
* [http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011_0001_524_Radiologia/ch01.html Kedvcsináló, a tárgy anyaga orvosi szemszögből]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Megjegyzés ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ennek a témakörnek a diái viszonylag könnyen érthetőek, ehhez nem írtam összefoglalót. A diák két-háromszori végigolvasása javasolt a felkészüléshez, többre valószínűleg nincs szükség. Az ehhez a témakörhöz tartozó vizsga tétel (a 2016 őszi félévben) nagyrészt arról szól, hogy ismertesd a röntgen és MRI képalkotó rendszerek felépítését, hogyan működik egy röntgen cső, mi a szerepe a kollimátornak, stb... &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Két képlet van összesen, amit tudni kell, a Beer-Lambert törvény és a Larmor egyenlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A Larmor frekvenciával kapcsolatban egy apró megjegyzés: senkit se tévesszen meg, hogy a képletben omega szerepel. Az nem szögsebesség. Az egy frekvencia.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely&lt;br /&gt;
* Transzmissziós&lt;br /&gt;
* Indukciós&lt;br /&gt;
* Emissziós&lt;br /&gt;
alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes diagnosztikai eljárások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Transzmisszió: a test belső struktúrájának felderítése (röntgen, CT, angiográfia, …)&lt;br /&gt;
* Indukció: a test szerkezetének leképezése (MRI)&lt;br /&gt;
* Emisszió: funkcionális működés vizsgálata (PET, szcintigráfia, …)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adjon meg tipikus értékeket a képdiagnosztikai eljárások alapját képező képekről: képtartománybeli (területi) felbontás, intenzitás felbontás. Mekkora területnek felel meg egy pixel egy tipikus mammográfiás felvételen, egy mellkas röntgenfelvételen, egy mellkas CT-n és MRI-nél?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[Ez szerintem nem valószinű, hogy lesz vizsgán. Ha tudod a választ erre a kérdésre, azért nyugodtan írd ide.]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen frekvenciatartományba eső jellel végzik a mammográfiás, a CT vizsgálatokat és milyen energiájú fotonokkal végzik a vizsgálatot?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[Ez szerintem nem valószinű, hogy lesz vizsgán. Ha tudod a választ erre a kérdésre, azért nyugodtan írd ide.]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Két különböző frekvenciájú röntgen fotonnal pásztázzák az emberi szövetet. Ennek az az értelme, hogy az alacsonyabb frekvenciájú (energiájú) fotonokat a test szövete jobban elnyeli, és minél sűrűbb a szövet, annál nagyobb a változás. A két eltérőjű energiájú felvétel kombinálásából létre lehet hozni egy csak a csontokat, vagy egy csak a lágyszöveteket mutató képet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A megvalósítása tipikusan vagy két sugárforrás és két egymás mögött elhelyezett detektor, vagy egy detektorral a két felvétel egymás után elkészítése.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adja meg a Beer-Lambert törvény összefüggését és értelmezze az összefüggést!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;I_{(x0,y0)}=\int\limits^{Emax}_{Emin} I_0(E) exp\left\{- \int\limits_{P(x0,y0)} \mu(E,x) dx \right\} dE&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;I_0(E)&amp;lt;/math&amp;gt;: röntgencsövet elhagyó energiájú fotonok intenzitása (üres térfogat esetén a detektor által érzékelt fotonok száma)&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;P(x,y)&amp;lt;/math&amp;gt;: pontszerű sugárforrást a detektor koordinátájú pontjával összekötő szakasza a 3d térnek&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\mu(E,x)&amp;lt;/math&amp;gt;: a vizsgált térfogat koordinátájú pontjának lineáris csillapítási együtthatója energián&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan definiálják a HU (Hounsfield unit)-ot és milyen képalkotó diagnosztikai eljárásnál alkalmazzák?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[Ez szerintem nem valószinű, hogy lesz vizsgán. Ha tudod a választ erre a kérdésre, azért nyugodtan írd ide.]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk sugárkeményedésnek és mi a fizikai oka a jelenségnek. Milyen hatása van a sugárkeményedésnek a röntgen képalkotásra? Milyen módszerekkel lehet e hatást kompenzálni, csökkenteni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
A sugárkeményedés jelensége, hogy a vizsgált anyag az alacsony energiájú sugarakat szinte teljesen el tudja nyelni, míg a nagyobb energiájúakat nem (azért hívják sugárkeményedésnek, mert a nyagyobb energiájú, &amp;quot;keményebb&amp;quot; sugarak maradnak meg). Ez azt okozza, hogy egy homogén anyag röngtenképén az anyagban belefe haladva egyre csökken az intenzitás, ami alapján arra következtetnénk, hogy az anyag nem homogén. A hardveres megoldás, hogy egy szűrővel (pl 3 mm rézlap) a forrásból eltávolítjuk az alacsony enerigájú sugarakat. A szoftveres megoldás, meg hogy utófeldolgozásban kijavítjuk a sugárkeményedés által okozott artifaktokat.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk foto-elektromos kölcsönhatásnak? Mitől függ, hogy egy adott anyag, és egy adott foton között végbemegy-e ez a kölcsönhatás, vagy nem?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Egy foton egy belső elektronhéjon lévő elektront kiüt. Ez akkor meg csak végbe, ha az e- kötési energiája, és a foton energiája közel megegyezik. Ennek hatására egy magasabb sávon elhelyezkedő e- elfoglalja az alacsonyabb szinten lévő, kilökött e- helyét, az energiatöbbletét pedig egy foton kisugárzásval adja le. Egy fotodiódában a kilökött e- egy másik atom vezetési sávján megkötődik, negatív töltést okozva, míg a vegyérték sávban egy lyuk jön létre, pozitív töltést okozva.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan biztosítható, hogy egy MRI felvételnél a pozíció és a szövetek szerinti szelektivitás? Írja le röviden a szeletvastagság és a szeletpozíció meghatározásának az elvét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Pozíció szerinti szelektivitás biztosítása: az alap mágneses mező a pozíció függvényében változzon (általában lineáris profil szerint változtatják). A szeletvastagság / szeletpozíció meghatározásának elvét nekem a diákból nem sikerült megérteni.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk Larmor egyenletnek és milyen szerepe van az MRI képalkotásnál?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
A Larmor egyenlet a precesszáló mozgás frekvenciáját adja meg a mágneses tér erősségének függvényében: &amp;lt;math&amp;gt;\omega = \gamma B&amp;lt;/math&amp;gt;, ahol az &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; a precesszáló mozgás frekvenciája, a &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt; az anyagra jellemző gyromágneses állandó, a B pedig a mágneses mező erőssége. Az MRI ettől a frekvenciától függő időállandók megmérésén alapul.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190912</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Digitális képek alkotása és tárolása</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190912"/>
		<updated>2016-12-20T21:32:12Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Ellenőzrő kérdések (2016) */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Digitális képek alkotása és tárolása]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Jelforrások&lt;br /&gt;
* Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
** Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
*** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
*** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
** Rötgen foton (CT, Röntgen, Tomo): 10 keV / 100 pm - 100 keV / 10 pm  &lt;br /&gt;
** Gamma foton (PET): ~1 MeV / ~1 pm&lt;br /&gt;
* Hang: Rugalmas közeg mechanikai rezgése&lt;br /&gt;
** Pl:Ultrahang&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Zajok:&lt;br /&gt;
* Fotonok inherens zaja: E{x} = Q esetén var{X} = sqrt(Q).&lt;br /&gt;
* Analóg erősítő zaja&lt;br /&gt;
* A/D kvantálási zaj&lt;br /&gt;
* Szcintilláció zaja&lt;br /&gt;
* Fényérzékeny MOS kondenzátor hibái:&lt;br /&gt;
** Sötét áram&lt;br /&gt;
** Előző felvétel beégése&lt;br /&gt;
** Kiolvasási zaj&lt;br /&gt;
** Halott pixel / forró pixel&lt;br /&gt;
** Szisztematikus zaj&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LZW:&lt;br /&gt;
# Szótárat inicializálunk minden lehetséges pixel intenzitással&lt;br /&gt;
# Kikeressük a kódolni kívánt sorozat azon leghosszabb eddig még nem kódolt prefixét (W), mely már szerepel a szótárba (k kóddal)&lt;br /&gt;
# Hozzátoldjuk a tömörített kép végéhez k-t, majd bővítjük a szótárat [W|a]-val, ahol a a tömörítendő bitfolyam W utáni első eleme.&lt;br /&gt;
# GOTO 2.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Kép formátumok:&lt;br /&gt;
* BMP: Az összes képpont fénnyessége, opcionális LZW&lt;br /&gt;
* TIF &lt;br /&gt;
** Többféle színábrázolás, rétegek, átlátszóság&lt;br /&gt;
** LZW / (Huffman) Futáshossz / JPEG kódolás&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
**# fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
**# fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
* JPEG&lt;br /&gt;
** Több réteg, csatornák, átlátszóság, 16 bites képek&lt;br /&gt;
** Veszteséges és veszteségmentes tömörítés&lt;br /&gt;
**# Színtér trafó&lt;br /&gt;
**#* RGB -&amp;gt; Y&#039;CrCB konverzió (Y&#039; fényerő gamma korrekció után, Cr: vörös árnyalat, Cb: kék árnyalat)&lt;br /&gt;
**# Színcsatornák alul-mintavételezése&lt;br /&gt;
**#* Cb, Cr alulmintavételezése (Y&#039;-ra érzékenyebb a szemünk)&lt;br /&gt;
**# 8 × 8 méretű blokkok kialakítása&lt;br /&gt;
**#* A kép szélén extrapolál&lt;br /&gt;
**# Diszkrét Koszinusz Transzformáció&lt;br /&gt;
**#* Minden blokkra külön&lt;br /&gt;
**#* Transzformáció előtt 0 középpontúvá skálázza az intenzitásokat&lt;br /&gt;
**#* &amp;lt;math&amp;gt;f(u,v) = \alpha (u, v) \cdot \cos \left[ \frac{(2x+1)u \cdot \pi}{16} \right] \cdot \cos \left[ \frac{(2y+1)v \cdot \pi}{16} \right]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
**#* Emberi látás nagyobb mértékben diszkriminálja a DCT bázis függvényeit, mint a Fourier trafóét.&lt;br /&gt;
**# Kvantálás&lt;br /&gt;
**#* &amp;lt;math&amp;gt;B_{(i,j)} = round \left( \frac{DCT\left\{I_{(i,j)}\right\}}{Q} \right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
**#* Q (a tömörítés hatásfoka) állítható&lt;br /&gt;
**# Kódolás&lt;br /&gt;
**#* Együtthatókat cikk-cakk trajektória mentén sorosítja&lt;br /&gt;
**#* Futáshossz + Huffman kódolás&lt;br /&gt;
** Veszteséges JPEG artifaktumai&lt;br /&gt;
*** Ringing effektus: meredek átmenetű alulmintavételezés&lt;br /&gt;
*** Blokkosodás: blokkonkénti tömörítés miatt, Q amiplitúdójának növekedésével egyre látványosabb&lt;br /&gt;
*** Elszíneződés: Cr, Cb alulmintavételezése&lt;br /&gt;
*** Elmosás: Nagy Q esetén&lt;br /&gt;
* DCM&lt;br /&gt;
** XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
** A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a fény kettős természete (hullámmozgás és kvantumelméleti megközelítés). A fénynek, mint elektromágneses sugárzásnak milyen tulajdonságait ismeri? Mitől függ egy foton energiája? Ez mit befolyásol orvosi képalkotás során?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
* Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a fényérzékelés folyamatát! Hogyan működnek a félvezetők? Mit jelentenek az alábbi fogalmak: vegyértéksáv, vezetési sáv, tiltott sáv, lyuk, elektron, N típus, P típusú félvezető? Hogyan épülnek fel és hogyan működnek a fényérzékeny MOS kapacitások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan épülnek fel és hogy működnek a CCD érzékelők? Mit nevezünk szcintillációnak és mikor van rá szükség? Hogyan működnek és hogyan épülnek fel a látható fotonoknál nagyobb energiájú fotonokra (pl. uv, röntgen, gamma sugarak) érzékeny detektorok?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan működik a Graphics Interchange Format alapú képtárolás? Ismertesse a Portable Network Graphics formátum során alkalmazott tömörítési eljárás főbb lépéseit!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
*** 1. fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
*** 2. fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a Joint Photographic Experts Group formátum tömörítő eljárásának főbb lépéseit. Milyen melléktermékeket okozhat ez a fajta tömörítő eljárás?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Több réteg, csatornák, átlátszóság, 16 bites képek&lt;br /&gt;
* Veszteséges és veszteségmentes tömörítés&lt;br /&gt;
*# Színtér trafó&lt;br /&gt;
*#* RGB -&amp;gt; Y&#039;CrCB konverzió (Y&#039; fényerő gamma korrekció után, Cr: vörös árnyalat, Cb: kék árnyalat)&lt;br /&gt;
*# Színcsatornák alul-mintavételezése&lt;br /&gt;
*#* Cb, Cr alulmintavételezése (Y&#039;-ra érzékenyebb a szemünk)&lt;br /&gt;
*# 8 × 8 méretű blokkok kialakítása&lt;br /&gt;
*#* A kép szélén extrapolál&lt;br /&gt;
*# Diszkrét Koszinusz Transzformáció&lt;br /&gt;
*#* Minden blokkra külön&lt;br /&gt;
*#* Transzformáció előtt 0 középpontúvá skálázza az intenzitásokat&lt;br /&gt;
*#* &amp;lt;math&amp;gt;f(u,v) = \alpha (u, v) \cdot \cos \left[ \frac{(2x+1)u \cdot \pi}{16} \right] \cdot \cos \left[ \frac{(2y+1)v \cdot \pi}{16} \right]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*#* Emberi látás nagyobb mértékben diszkriminálja a DCT bázis függvényeit, mint a Fourier trafóét.&lt;br /&gt;
*# Kvantálás&lt;br /&gt;
*#* &amp;lt;math&amp;gt;B_{(i,j)} = round \left( \frac{DCT\left\{I_{(i,j)}\right\}}{Q} \right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*#* Q (a tömörítés hatásfoka) állítható&lt;br /&gt;
*# Kódolás&lt;br /&gt;
*#* Együtthatókat cikk-cakk trajektória mentén sorosítja&lt;br /&gt;
*#* Futáshossz + Huffman kódolás&lt;br /&gt;
* Veszteséges JPEG artifaktumai&lt;br /&gt;
** Ringing effektus: meredek átmenetű alulmintavételezés&lt;br /&gt;
** Blokkosodás: blokkonkénti tömörítés miatt, Q amiplitúdójának növekedésével egyre látványosabb&lt;br /&gt;
** Elszíneződés: Cr, Cb alulmintavételezése&lt;br /&gt;
** Elmosás: Nagy Q esetén&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a DICOM szabvány képtárolásának főbb jellemzőit, valamint a szabvány általánosabb jellegét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
* A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Diagnosztika_m%C3%B3dszerei&amp;diff=190909</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Diagnosztika módszerei</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Diagnosztika_m%C3%B3dszerei&amp;diff=190909"/>
		<updated>2016-12-20T20:29:03Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2016osz/Osztalyozas%20kepdiagnosztikanal.pdf Osztályozás képdiagnosztikánál diák 2016] (nehezen érhető)&lt;br /&gt;
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_Fisher_discriminant_analysis Kernel discriminant analysis wikipedia]&lt;br /&gt;
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method Conjugate gradient method wikipedia] (egy fokkol jobb, mint a dia, de továbbra is nehezen érthető)&lt;br /&gt;
* [http://www.inf.u-szeged.hu/~kgelle/sites/default/files/upload/12_konjugalt_gradiens.pdf Konjugált gradiens módszer jegyzet] (részletes, könnyen érthető)&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Definiálja a kétosztályos osztályozás problémáját. Mit nevezünk veszteségfüggvénynek? Mit mond ki a tapasztalati kockázat minimalizálásának az elve? Hogyan alkalmazzuk ezt az elvet gyakorlati problémamegoldás során? Mit nevezünk VC dimenziónak? Egy N dimenziós pontokat lineárisan szeparáló függvénykészletnek mi a VC dimenziója?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Csoportosítsa a nemlineáris szeparálást lehetővé tevő osztályozókat! Mondjon konkrét példákat is az osztályozókra, illetve nevezzen meg olyan eljárásokat, módszereket, mely alkalmas lehet ilyen osztályozók tanírására.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a lineáris diszkrimináns analízis (LDA)? Értelmezze az osztályozás kritériumfüggvényét! Hogyan alkalmazható a Fischer diszkrimináns analízis nemlineárisan szeparábilis problémák esetén? Egy lineáris osztályozási probléma esetén mit jelent, ha a probléma alul- és mit ha túlhatározott? Mit jelent a probléma kondícionáltsága? &lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen szélsőérték keresési módszereket ismer? Mi különbözteti meg egymástól az elsőrendű, illetve a másodrendű módszereket? Mi a Levenberg-Marquardt és mi a konjugált gradiens módszer alapötlete?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az SVM célfüggvénye? Mi az abban alkalmazott regularizáció geometriai interpretációja? Milyen optimalizáló eljárással tanítható az SVM? Mi a kernel trükk?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen osztályozási problémák esetén kényszerülünk jellemzők definiálására, kiválasztására? Hogyan automatizálható ez a probléma? Milyen eljárásokat ismer jellemzők kiválasztására? Miért szükséges az irreleváns jellemzők osztályozás előtti eliminálása?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a mély neurális hálók felépítésének általános ismérvei? Mit nevezünk konvolúciós rétegnek? Milyen súlymódosító eljárással taníthatóak ezek az osztályozók? Alkalmazási szempontokat figyelembe véve hasonlítsa össze a mély neurális hálókat a klasszikus MLP osztályozókkal! Milyen előnyökkel és milyen hátrányokkal rendelkeznek ezek az eljárások (egymáshoz viszonyítva)?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk orvosi döntéstámogató (CAD) rendszernek? Milyen kritériumoknak támaszthatóak egy CAD-del szemben?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Diagnosztika_m%C3%B3dszerei&amp;diff=190908</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Diagnosztika módszerei</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Diagnosztika_m%C3%B3dszerei&amp;diff=190908"/>
		<updated>2016-12-20T17:29:52Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2016osz/Osztalyozas%20kepdiagnosztikanal.pdf Osztályozás képdiagnosztikánál diák 2016] ( nehezen érhető)&lt;br /&gt;
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_Fisher_discriminant_analysis Kernel discriminant analysis wikipedia]&lt;br /&gt;
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method Conjugate gradient method wikipedia]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Definiálja a kétosztályos osztályozás problémáját. Mit nevezünk veszteségfüggvénynek? Mit mond ki a tapasztalati kockázat minimalizálásának az elve? Hogyan alkalmazzuk ezt az elvet gyakorlati problémamegoldás során? Mit nevezünk VC dimenziónak? Egy N dimenziós pontokat lineárisan szeparáló függvénykészletnek mi a VC dimenziója?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Csoportosítsa a nemlineáris szeparálást lehetővé tevő osztályozókat! Mondjon konkrét példákat is az osztályozókra, illetve nevezzen meg olyan eljárásokat, módszereket, mely alkalmas lehet ilyen osztályozók tanírására.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a lineáris diszkrimináns analízis (LDA)? Értelmezze az osztályozás kritériumfüggvényét! Hogyan alkalmazható a Fischer diszkrimináns analízis nemlineárisan szeparábilis problémák esetén? Egy lineáris osztályozási probléma esetén mit jelent, ha a probléma alul- és mit ha túlhatározott? Mit jelent a probléma kondícionáltsága? &lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen szélsőérték keresési módszereket ismer? Mi különbözteti meg egymástól az elsőrendű, illetve a másodrendű módszereket? Mi a Levenberg-Marquardt és mi a konjugált gradiens módszer alapötlete?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az SVM célfüggvénye? Mi az abban alkalmazott regularizáció geometriai interpretációja? Milyen optimalizáló eljárással tanítható az SVM? Mi a kernel trükk?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen osztályozási problémák esetén kényszerülünk jellemzők definiálására, kiválasztására? Hogyan automatizálható ez a probléma? Milyen eljárásokat ismer jellemzők kiválasztására? Miért szükséges az irreleváns jellemzők osztályozás előtti eliminálása?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a mély neurális hálók felépítésének általános ismérvei? Mit nevezünk konvolúciós rétegnek? Milyen súlymódosító eljárással taníthatóak ezek az osztályozók? Alkalmazási szempontokat figyelembe véve hasonlítsa össze a mély neurális hálókat a klasszikus MLP osztályozókkal! Milyen előnyökkel és milyen hátrányokkal rendelkeznek ezek az eljárások (egymáshoz viszonyítva)?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk orvosi döntéstámogató (CAD) rendszernek? Milyen kritériumoknak támaszthatóak egy CAD-del szemben?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Diagnosztika_m%C3%B3dszerei&amp;diff=190907</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Diagnosztika módszerei</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Diagnosztika_m%C3%B3dszerei&amp;diff=190907"/>
		<updated>2016-12-20T16:44:21Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: Új oldal, tartalma: „Az Orvosi képdiagnosztika tárgy egyik témaköre.  == Jegyzetek == * [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2016osz/Osztalyozas%20kepdiagnosz…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2016osz/Osztalyozas%20kepdiagnosztikanal.pdf Osztályozás képdiagnosztikánál diák 2016] ( nehezen érhető)&lt;br /&gt;
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_Fisher_discriminant_analysis Kernel discriminant analysis wikipedia]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Definiálja a kétosztályos osztályozás problémáját. Mit nevezünk veszteségfüggvénynek? Mit mond ki a tapasztalati kockázat minimalizálásának az elve? Hogyan alkalmazzuk ezt az elvet gyakorlati problémamegoldás során? Mit nevezünk VC dimenziónak? Egy N dimenziós pontokat lineárisan szeparáló függvénykészletnek mi a VC dimenziója?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Csoportosítsa a nemlineáris szeparálást lehetővé tevő osztályozókat! Mondjon konkrét példákat is az osztályozókra, illetve nevezzen meg olyan eljárásokat, módszereket, mely alkalmas lehet ilyen osztályozók tanírására.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a lineáris diszkrimináns analízis (LDA)? Értelmezze az osztályozás kritériumfüggvényét! Hogyan alkalmazható a Fischer diszkrimináns analízis nemlineárisan szeparábilis problémák esetén? Egy lineáris osztályozási probléma esetén mit jelent, ha a probléma alul- és mit ha túlhatározott? Mit jelent a probléma kondícionáltsága? &lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen szélsőérték keresési módszereket ismer? Mi különbözteti meg egymástól az elsőrendű, illetve a másodrendű módszereket? Mi a Levenberg-Marquardt és mi a konjugált gradiens módszer alapötlete?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az SVM célfüggvénye? Mi az abban alkalmazott regularizáció geometriai interpretációja? Milyen optimalizáló eljárással tanítható az SVM? Mi a kernel trükk?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen osztályozási problémák esetén kényszerülünk jellemzők definiálására, kiválasztására? Hogyan automatizálható ez a probléma? Milyen eljárásokat ismer jellemzők kiválasztására? Miért szükséges az irreleváns jellemzők osztályozás előtti eliminálása?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a mély neurális hálók felépítésének általános ismérvei? Mit nevezünk konvolúciós rétegnek? Milyen súlymódosító eljárással taníthatóak ezek az osztályozók? Alkalmazási szempontokat figyelembe véve hasonlítsa össze a mély neurális hálókat a klasszikus MLP osztályozókkal! Milyen előnyökkel és milyen hátrányokkal rendelkeznek ezek az eljárások (egymáshoz viszonyítva)?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk orvosi döntéstámogató (CAD) rendszernek? Milyen kritériumoknak támaszthatóak egy CAD-del szemben?&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Regisztr%C3%A1ci%C3%B3s_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190894</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Regisztrációs eljárások</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Regisztr%C3%A1ci%C3%B3s_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190894"/>
		<updated>2016-12-20T11:18:28Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/regisztracio.pdf Képregisztrációs eljárások diák 2016] (viszonylag könnyen érhető)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a regisztráció célja és milyen fő eljáráscsaládokat lehet megkülönböztetni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a merev regisztráció, és milyen elemi torzító műveletek hatását lehet vele adekvátan kompenzálni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az affin és mi a projektív transzformáció?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan alkalmazható a korreláció tétel merev regisztráció esetén?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adottak az következő oldal tetején látható együttes hisztogramok. Különböző oszlopok különböző pontosságú regisztrációhoz kapcsolódnak. Mely oszlop esetén lehet a legkisebb a regisztrációs hiba? A táblázat melyik sora tartozik olyan regisztrációs problémához, mely során ugyan olyan modalitással készült képeket regisztráltunk, és mely tartozik különböző modalitások fúziójához? Mit lehet leolvasni még az együttes hisztogramokról?&lt;br /&gt;
[[Fájl:Orvosi_kepdiagnosztika_regisztracio_ell_abra.png]]&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Regisztr%C3%A1ci%C3%B3s_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190893</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Regisztrációs eljárások</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Regisztr%C3%A1ci%C3%B3s_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190893"/>
		<updated>2016-12-20T11:18:09Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/regisztracio.pdf Képregisztrációs eljárások diák 2016] (nehezen érhető)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a regisztráció célja és milyen fő eljáráscsaládokat lehet megkülönböztetni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a merev regisztráció, és milyen elemi torzító műveletek hatását lehet vele adekvátan kompenzálni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az affin és mi a projektív transzformáció?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan alkalmazható a korreláció tétel merev regisztráció esetén?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adottak az következő oldal tetején látható együttes hisztogramok. Különböző oszlopok különböző pontosságú regisztrációhoz kapcsolódnak. Mely oszlop esetén lehet a legkisebb a regisztrációs hiba? A táblázat melyik sora tartozik olyan regisztrációs problémához, mely során ugyan olyan modalitással készült képeket regisztráltunk, és mely tartozik különböző modalitások fúziójához? Mit lehet leolvasni még az együttes hisztogramokról?&lt;br /&gt;
[[Fájl:Orvosi_kepdiagnosztika_regisztracio_ell_abra.png]]&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Regisztr%C3%A1ci%C3%B3s_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190892</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Regisztrációs eljárások</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Regisztr%C3%A1ci%C3%B3s_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190892"/>
		<updated>2016-12-20T11:17:51Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: Új oldal, tartalma: „Az Orvosi képdiagnosztika tárgy egyik témaköre.  == Jegyzetek == * [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/regisztracio.pdf K…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/regisztracio.pdf Képregisztrációs eljárások diák 2016] (nehezen érhető)&lt;br /&gt;
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Active_contour_model ACM Snake wikipedia] (bevezetőnek jó)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[https://pdfs.semanticscholar.org/a4ef/a6a763f808863d7e2ded15a14e3c5d439363.pdf ACM Snake publikáció]&#039;&#039;&#039; (a teljes anyagot lefedi, részletes és könnyen érhető)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
TODO&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi a regisztráció célja és milyen fő eljáráscsaládokat lehet megkülönböztetni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a merev regisztráció, és milyen elemi torzító műveletek hatását lehet vele adekvátan kompenzálni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az affin és mi a projektív transzformáció?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan alkalmazható a korreláció tétel merev regisztráció esetén?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adottak az következő oldal tetején látható együttes hisztogramok. Különböző oszlopok különböző pontosságú regisztrációhoz kapcsolódnak. Mely oszlop esetén lehet a legkisebb a regisztrációs hiba? A táblázat melyik sora tartozik olyan regisztrációs problémához, mely során ugyan olyan modalitással készült képeket regisztráltunk, és mely tartozik különböző modalitások fúziójához? Mit lehet leolvasni még az együttes hisztogramokról?&lt;br /&gt;
[[Fájl:Orvosi_kepdiagnosztika_regisztracio_ell_abra.png]]&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=F%C3%A1jl:Orvosi_kepdiagnosztika_regisztracio_ell_abra.png&amp;diff=190891</id>
		<title>Fájl:Orvosi kepdiagnosztika regisztracio ell abra.png</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=F%C3%A1jl:Orvosi_kepdiagnosztika_regisztracio_ell_abra.png&amp;diff=190891"/>
		<updated>2016-12-20T11:11:42Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-K%C3%A9palkot%C3%B3_diagnosztikai_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190883</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Képalkotó diagnosztikai eljárások</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-K%C3%A9palkot%C3%B3_diagnosztikai_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190883"/>
		<updated>2016-12-20T09:13:44Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orvosi%20kepdiagnosztika_bevezetes_ea.pdf Bevezetés diák 2016].&lt;br /&gt;
* [https://prezi.com/xp0e6krsgvyh/orvosikepdiagnosztika-eloadas-x-ray/ Röntgen diák 2016]&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orvosi%20kepdiagnosztika_MRI_attekintes_3ea.pdf MRI diák 2016]&lt;br /&gt;
* [http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011_0001_524_Radiologia/ch01.html Kedvcsináló, a tárgy anyaga orvosi szemszögből]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely&lt;br /&gt;
* Transzmissziós&lt;br /&gt;
* Indukciós&lt;br /&gt;
* Emissziós&lt;br /&gt;
alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes diagnosztikai eljárások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adjon meg tipikus értékeket a képdiagnosztikai eljárások alapját képező képekről: képtartománybeli (területi) felbontás, intenzitás felbontás. Mekkora területnek felel meg egy pixel egy tipikus mammográfiás felvételen, egy mellkas röntgenfelvételen, egy mellkas CT-n és MRI-nél?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen frekvenciatartományba eső jellel végzik a mammográfiás, a CT vizsgálatokat és milyen energiájú fotonokkal végzik a vizsgálatot?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adja meg a Beer-Lambert törvény összefüggését és értelmezze az összefüggést!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan definiálják a HU (Hounsfield unit)-ot és milyen képalkotó diagnosztikai eljárásnál alkalmazzák?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk sugárkeményedésnek és mi a fizikai oka a jelenségnek. Milyen hatása van a sugárkeményedésnek a röntgen képalkotásra? Milyen módszerekkel lehet e hatást kompenzálni, csökkenteni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk foto-elektromos kölcsönhatásnak? Mitől függ, hogy egy adott anyag, és egy adott foton között végbemegy-e ez a kölcsönhatás, vagy nem?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan biztosítható, hogy egy MRI felvételnél a pozíció és a szövetek szerinti szelektivitás? Írja le röviden a szeletvastagság és a szeletpozíció meghatározásának az elvét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk Larmor egyenletnek és milyen szerepe van az MRI képalkotásnál?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-ACM_Snake&amp;diff=190882</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-ACM Snake</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-ACM_Snake&amp;diff=190882"/>
		<updated>2016-12-20T09:11:08Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Snake_16.pdf ACM Snake diák 2016] (nehezen érhető)&lt;br /&gt;
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Active_contour_model ACM Snake wikipedia] (bevezetőnek jó)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[https://pdfs.semanticscholar.org/a4ef/a6a763f808863d7e2ded15a14e3c5d439363.pdf ACM Snake publikáció]&#039;&#039;&#039; (a teljes anyagot lefedi, részletes és könnyen érhető)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az ACM (Active Contour Modell) Snake célja egy objektum kontúrjainak meghatározása egy zajos képen.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse formálisan a Snake futása során megvalósított optimalizálási feladatot az energiapotenciál (E(x)) felhasználásával. Mit tud mondani az optimalizálási probléma algoritmikus nehézségéről? Az &amp;lt;math&amp;gt; E(x) = E_{int}(x) + E_{im}(x) + E_{ext}(x) &amp;lt;/math&amp;gt; energiapotenciál esetén mi az integrandus egyes tagjainak interpretációja? Az &amp;lt;math&amp;gt;E_{int}(x) = \frac{1}{2} \int^1_{s=0} \alpha(s) \cdot \left| \frac{\partial x}{\partial s}\right|^2 + \beta(s) \cdot \left| \frac{\partial^2 x}{\partial s^2}\right|^2 ds &amp;lt;/math&amp;gt; belső energia egyes tagjai milyen kényszereket gyakorolnak a szegmentáló görbe pontjaira?&lt;br /&gt;
Amennyiben a többi energiatag értéke x-től független skalár, abban az esetben milyen az optimalizáció végén előálló szegmentáló görbe?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Legmeredekebb lejtő módszere esetén a Snake minimalizálandó energiafüggvények a megváltozását az alábbi összefüggés definiálja: &amp;lt;math&amp;gt;E(x) + \delta E(x) = E(x) + \int^1_0 \left( \frac{\partial P}{\partial x} - \alpha x&#039;&#039; + \beta x&#039;&#039;&#039;&#039; \right)^T \cdot \delta x ds&amp;lt;/math&amp;gt;. Oldja fel az &amp;lt;math&amp;gt;x, \delta x, P, \alpha, \beta&amp;lt;/math&amp;gt; jelöléseket! Mit tudunk a legmeredekebb lejtő által megválasztott &amp;lt;math&amp;gt;\delta x&amp;lt;/math&amp;gt; irányáról, és mit a hosszáról? (Segítségül a görbe belső energiáját az alábbi összefüggés definiálja: &amp;lt;math&amp;gt;E_{int}(x) = \frac{1}{2} \int^1_{s=0} \alpha(s) \cdot \left| \frac{\partial x}{\partial s}\right|^2 + \beta(s) \cdot \left| \frac{\partial^2 x}{\partial s^2}\right|^2 ds &amp;lt;/math&amp;gt;.)&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az Euler-Lagrange optimalizáció / feltétel alapötlete? Mondja ki a feltételt a Snake esetén! Amennyiben a Snake esetén teljesül a feltétel, akkor megtalálta az eljárás a globálisan minimális energiájú görbét? A kérdésre adott válaszát indokolja! Származtassa 1D diszkrét jelek esetén a Laplace szűrés, illetve a 4-edik derivált diszkrét közelítését.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Magyarázza el a szemi-implicit minimalizáció alapötletét, és formálisan ismertesse a szemiimplicit minimalizáció egy-egy iterációját a Snake eljárás esetén (megelégszünk a differenciálegyenlet diszkretizáltjával, nem szükséges a pentadiagonális mátrix felírása). Segítségül a módszerrel Snake esetén az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial P}{\partial x^{(t)}} - \alpha \cdot {x&#039;&#039;}^{(t)} + \beta \cdot {x&#039;&#039;&#039;&#039;}^{(t)}   = -\delta t \cdot \left( x^{(t)} - x^{(t-1)} \right)&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását keressük, ahol &amp;lt;math&amp;gt;x&#039; = \frac{\partial x}{\partial s}&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;x(s)&amp;lt;/math&amp;gt; definiálja a Snake kontúrját s „helyen”.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan jelentkezik a lokális optimum probléma a Snake szegmentáló eljárás esetén. Milyen módszereket ismer a probléma kezelésére? Mi az ú.n. kétfázisú szegmentáció lényege (gondoljon az esettanulmányra)? A mellékelt ábrák segítségével magyarázza el az energiafüggvény/energiapotenciál multiscale Gaussal történő elmosásán alapuló többlépéses szegmentálás lényegét: [[Fájl:Orvosi_kepdiagnosztika_acm_snake_ell_abra.png]]&lt;br /&gt;
Fekete nyíllal jelöljük a Snake minimalizációjának kiindulási állapotát. Jelölje be, hogy az első szegmentáció leállásának az állapotát, és a 2. Szegmentáció indulásának és leállásának a helyét. Az ábrák és saját ismeretei alapján interpretálja &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; paraméter értének megválasztását.&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-ACM_Snake&amp;diff=190881</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-ACM Snake</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-ACM_Snake&amp;diff=190881"/>
		<updated>2016-12-20T08:51:42Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Snake_16.pdf ACM Snake diák (2016)]&lt;br /&gt;
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Active_contour_model ACM Snake wikipedia]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az ACM (Active Contour Modell) Snake célja egy objektum kontúrjainak meghatározása egy zajos képen.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse formálisan a Snake futása során megvalósított optimalizálási feladatot az energiapotenciál (E(x)) felhasználásával. Mit tud mondani az optimalizálási probléma algoritmikus nehézségéről? Az &amp;lt;math&amp;gt; E(x) = E_{int}(x) + E_{im}(x) + E_{ext}(x) &amp;lt;/math&amp;gt; energiapotenciál esetén mi az integrandus egyes tagjainak interpretációja? Az &amp;lt;math&amp;gt;E_{int}(x) = \frac{1}{2} \int^1_{s=0} \alpha(s) \cdot \left| \frac{\partial x}{\partial s}\right|^2 + \beta(s) \cdot \left| \frac{\partial^2 x}{\partial s^2}\right|^2 ds &amp;lt;/math&amp;gt; belső energia egyes tagjai milyen kényszereket gyakorolnak a szegmentáló görbe pontjaira?&lt;br /&gt;
Amennyiben a többi energiatag értéke x-től független skalár, abban az esetben milyen az optimalizáció végén előálló szegmentáló görbe?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Legmeredekebb lejtő módszere esetén a Snake minimalizálandó energiafüggvények a megváltozását az alábbi összefüggés definiálja: &amp;lt;math&amp;gt;E(x) + \delta E(x) = E(x) + \int^1_0 \left( \frac{\partial P}{\partial x} - \alpha x&#039;&#039; + \beta x&#039;&#039;&#039;&#039; \right)^T \cdot \delta x ds&amp;lt;/math&amp;gt;. Oldja fel az &amp;lt;math&amp;gt;x, \delta x, P, \alpha, \beta&amp;lt;/math&amp;gt; jelöléseket! Mit tudunk a legmeredekebb lejtő által megválasztott &amp;lt;math&amp;gt;\delta x&amp;lt;/math&amp;gt; irányáról, és mit a hosszáról? (Segítségül a görbe belső energiáját az alábbi összefüggés definiálja: &amp;lt;math&amp;gt;E_{int}(x) = \frac{1}{2} \int^1_{s=0} \alpha(s) \cdot \left| \frac{\partial x}{\partial s}\right|^2 + \beta(s) \cdot \left| \frac{\partial^2 x}{\partial s^2}\right|^2 ds &amp;lt;/math&amp;gt;.)&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az Euler-Lagrange optimalizáció / feltétel alapötlete? Mondja ki a feltételt a Snake esetén! Amennyiben a Snake esetén teljesül a feltétel, akkor megtalálta az eljárás a globálisan minimális energiájú görbét? A kérdésre adott válaszát indokolja! Származtassa 1D diszkrét jelek esetén a Laplace szűrés, illetve a 4-edik derivált diszkrét közelítését.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Magyarázza el a szemi-implicit minimalizáció alapötletét, és formálisan ismertesse a szemiimplicit minimalizáció egy-egy iterációját a Snake eljárás esetén (megelégszünk a differenciálegyenlet diszkretizáltjával, nem szükséges a pentadiagonális mátrix felírása). Segítségül a módszerrel Snake esetén az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial P}{\partial x^{(t)}} - \alpha \cdot {x&#039;&#039;}^{(t)} + \beta \cdot {x&#039;&#039;&#039;&#039;}^{(t)}   = -\delta t \cdot \left( x^{(t)} - x^{(t-1)} \right)&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását keressük, ahol &amp;lt;math&amp;gt;x&#039; = \frac{\partial x}{\partial s}&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;x(s)&amp;lt;/math&amp;gt; definiálja a Snake kontúrját s „helyen”.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan jelentkezik a lokális optimum probléma a Snake szegmentáló eljárás esetén. Milyen módszereket ismer a probléma kezelésére? Mi az ú.n. kétfázisú szegmentáció lényege (gondoljon az esettanulmányra)? A mellékelt ábrák segítségével magyarázza el az energiafüggvény/energiapotenciál multiscale Gaussal történő elmosásán alapuló többlépéses szegmentálás lényegét: [[Fájl:Orvosi_kepdiagnosztika_acm_snake_ell_abra.png]]&lt;br /&gt;
Fekete nyíllal jelöljük a Snake minimalizációjának kiindulási állapotát. Jelölje be, hogy az első szegmentáció leállásának az állapotát, és a 2. Szegmentáció indulásának és leállásának a helyét. Az ábrák és saját ismeretei alapján interpretálja &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; paraméter értének megválasztását.&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-ACM_Snake&amp;diff=190880</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-ACM Snake</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-ACM_Snake&amp;diff=190880"/>
		<updated>2016-12-20T08:46:56Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Ellenőzrő kérdések (2016) */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Snake_16.pdf ACM Snake]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse formálisan a Snake futása során megvalósított optimalizálási feladatot az energiapotenciál (E(x)) felhasználásával. Mit tud mondani az optimalizálási probléma algoritmikus nehézségéről? Az &amp;lt;math&amp;gt; E(x) = E_{int}(x) + E_{im}(x) + E_{ext}(x) &amp;lt;/math&amp;gt; energiapotenciál esetén mi az integrandus egyes tagjainak interpretációja? Az &amp;lt;math&amp;gt;E_{int}(x) = \frac{1}{2} \int^1_{s=0} \alpha(s) \cdot \left| \frac{\partial x}{\partial s}\right|^2 + \beta(s) \cdot \left| \frac{\partial^2 x}{\partial s^2}\right|^2 ds &amp;lt;/math&amp;gt; belső energia egyes tagjai milyen kényszereket gyakorolnak a szegmentáló görbe pontjaira?&lt;br /&gt;
Amennyiben a többi energiatag értéke x-től független skalár, abban az esetben milyen az optimalizáció végén előálló szegmentáló görbe?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Legmeredekebb lejtő módszere esetén a Snake minimalizálandó energiafüggvények a megváltozását az alábbi összefüggés definiálja: &amp;lt;math&amp;gt;E(x) + \delta E(x) = E(x) + \int^1_0 \left( \frac{\partial P}{\partial x} - \alpha x&#039;&#039; + \beta x&#039;&#039;&#039;&#039; \right)^T \cdot \delta x ds&amp;lt;/math&amp;gt;. Oldja fel az &amp;lt;math&amp;gt;x, \delta x, P, \alpha, \beta&amp;lt;/math&amp;gt; jelöléseket! Mit tudunk a legmeredekebb lejtő által megválasztott &amp;lt;math&amp;gt;\delta x&amp;lt;/math&amp;gt; irányáról, és mit a hosszáról? (Segítségül a görbe belső energiáját az alábbi összefüggés definiálja: &amp;lt;math&amp;gt;E_{int}(x) = \frac{1}{2} \int^1_{s=0} \alpha(s) \cdot \left| \frac{\partial x}{\partial s}\right|^2 + \beta(s) \cdot \left| \frac{\partial^2 x}{\partial s^2}\right|^2 ds &amp;lt;/math&amp;gt;.)&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az Euler-Lagrange optimalizáció / feltétel alapötlete? Mondja ki a feltételt a Snake esetén! Amennyiben a Snake esetén teljesül a feltétel, akkor megtalálta az eljárás a globálisan minimális energiájú görbét? A kérdésre adott válaszát indokolja! Származtassa 1D diszkrét jelek esetén a Laplace szűrés, illetve a 4-edik derivált diszkrét közelítését.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Magyarázza el a szemi-implicit minimalizáció alapötletét, és formálisan ismertesse a szemiimplicit minimalizáció egy-egy iterációját a Snake eljárás esetén (megelégszünk a differenciálegyenlet diszkretizáltjával, nem szükséges a pentadiagonális mátrix felírása). Segítségül a módszerrel Snake esetén az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial P}{\partial x^{(t)}} - \alpha \cdot {x&#039;&#039;}^{(t)} + \beta \cdot {x&#039;&#039;&#039;&#039;}^{(t)}   = -\delta t \cdot \left( x^{(t)} - x^{(t-1)} \right)&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását keressük, ahol &amp;lt;math&amp;gt;x&#039; = \frac{\partial x}{\partial s}&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;x(s)&amp;lt;/math&amp;gt; definiálja a Snake kontúrját s „helyen”.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan jelentkezik a lokális optimum probléma a Snake szegmentáló eljárás esetén. Milyen módszereket ismer a probléma kezelésére? Mi az ú.n. kétfázisú szegmentáció lényege (gondoljon az esettanulmányra)? A mellékelt ábrák segítségével magyarázza el az energiafüggvény/energiapotenciál multiscale Gaussal történő elmosásán alapuló többlépéses szegmentálás lényegét: [[Fájl:Orvosi_kepdiagnosztika_acm_snake_ell_abra.png]]&lt;br /&gt;
Fekete nyíllal jelöljük a Snake minimalizációjának kiindulási állapotát. Jelölje be, hogy az első szegmentáció leállásának az állapotát, és a 2. Szegmentáció indulásának és leállásának a helyét. Az ábrák és saját ismeretei alapján interpretálja &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; paraméter értének megválasztását.&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=F%C3%A1jl:Orvosi_kepdiagnosztika_acm_snake_ell_abra.png&amp;diff=190879</id>
		<title>Fájl:Orvosi kepdiagnosztika acm snake ell abra.png</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=F%C3%A1jl:Orvosi_kepdiagnosztika_acm_snake_ell_abra.png&amp;diff=190879"/>
		<updated>2016-12-20T08:45:10Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-ACM_Snake&amp;diff=190878</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-ACM Snake</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-ACM_Snake&amp;diff=190878"/>
		<updated>2016-12-20T08:37:49Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: Új oldal, tartalma: „Az Orvosi képdiagnosztika tárgy egyik témaköre.  == Diák (2016) == * [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Snake_16.pdf ACM…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Snake_16.pdf ACM Snake]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse formálisan a Snake futása során megvalósított optimalizálási feladatot az energiapotenciál (E(x)) felhasználásával. Mit tud mondani az optimalizálási probléma algoritmikus nehézségéről? Az &amp;lt;math&amp;gt; E(x) = E_{int}(x) + E_{im}(x) + E_{ext}(x) &amp;lt;/math&amp;gt; energiapotenciál esetén mi az integrandus egyes tagjainak interpretációja? Az &amp;lt;math&amp;gt;E_{int}(x) = \frac{1}{2} \int^1_{s=0} \alpha(s) \cdot \left| \frac{\partial x}{\partial s}\right|^2 + \beta(s) \cdot \left| \frac{\partial^2 x}{\partial s^2}\right|^2 ds &amp;lt;/math&amp;gt; belső energia egyes tagjai milyen kényszereket gyakorolnak a szegmentáló görbe pontjaira?&lt;br /&gt;
Amennyiben a többi energiatag értéke x-től független skalár, abban az esetben milyen az optimalizáció végén előálló szegmentáló görbe?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Legmeredekebb lejtő módszere esetén a Snake minimalizálandó energiafüggvények a megváltozását az alábbi összefüggés definiálja: &amp;lt;math&amp;gt;E(x) + \delta E(x) = E(x) + \int^1_0 \left( \frac{\partial P}{\partial x} - \alpha x&#039;&#039; + \beta x&#039;&#039;&#039;&#039; \right)^T \cdot \delta x ds&amp;lt;/math&amp;gt;. Oldja fel az &amp;lt;math&amp;gt;x, \delta x, P, \alpha, \beta&amp;lt;/math&amp;gt; jelöléseket! Mit tudunk a legmeredekebb lejtő által megválasztott &amp;lt;math&amp;gt;\delta x&amp;lt;/math&amp;gt; irányáról, és mit a hosszáról? (Segítségül a görbe belső energiáját az alábbi összefüggés definiálja: &amp;lt;math&amp;gt;E_{int}(x) = \frac{1}{2} \int^1_{s=0} \alpha(s) \cdot \left| \frac{\partial x}{\partial s}\right|^2 + \beta(s) \cdot \left| \frac{\partial^2 x}{\partial s^2}\right|^2 ds &amp;lt;/math&amp;gt;.)&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mi az Euler-Lagrange optimalizáció / feltétel alapötlete? Mondja ki a feltételt a Snake esetén! Amennyiben a Snake esetén teljesül a feltétel, akkor megtalálta az eljárás a globálisan minimális energiájú görbét? A kérdésre adott válaszát indokolja! Származtassa 1D diszkrét jelek esetén a Laplace szűrés, illetve a 4-edik derivált diszkrét közelítését.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Magyarázza el a szemi-implicit minimalizáció alapötletét, és formálisan ismertesse a szemiimplicit minimalizáció egy-egy iterációját a Snake eljárás esetén (megelégszünk a differenciálegyenlet diszkretizáltjával, nem szükséges a pentadiagonális mátrix felírása). Segítségül a módszerrel Snake esetén az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial P}{\partial x^{(t)}} - \alpha \cdot {x&#039;&#039;}^{(t)} + \beta \cdot {x&#039;&#039;&#039;&#039;}^{(t)}   = -\delta t \cdot \left( x^{(t)} - x^{(t-1)} \right)&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását keressük, ahol &amp;lt;math&amp;gt;x&#039; = \frac{\partial x}{\partial s}&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;x(s)&amp;lt;/math&amp;gt; definiálja a Snake kontúrját s „helyen”.&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=[TODO]&lt;br /&gt;
|szöveg=[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190877</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190877"/>
		<updated>2016-12-20T08:18:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Témakörök és ellenőrzőkérdéseik kidolgozása (folyamatban) */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Vizuális informatika szakirány]] kötelező tárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Orvosi képdiagnosztika&lt;br /&gt;
| tárgykód = VIMIMA04&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék = MIT&lt;br /&gt;
| jelenlét =&lt;br /&gt;
| minmunka =&lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 1 db&lt;br /&gt;
| hf = 5 db&lt;br /&gt;
| vizsga = szóbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* Előadásdiák a [http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04/jegyzet tárgyhonlapon].&lt;br /&gt;
* [[Media:orvosi_ellenorzo_kerdesek_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor a zárthelyihez (2016)]]&lt;br /&gt;
* [[Media:orvosi_ellenorzo_valaszok_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor kidolgozása (2016)]] (egy nappal a ZH előtt tették közzé a kérdéssort, a kidolgozásban biztosan vannak hibák, nem teljes válaszok)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Témakörök és ellenőrzőkérdéseik kidolgozása (folyamatban) ==&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képalkotó_diagnosztikai_eljárások|Képalkotó diagnosztikai eljárások (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Digitális_képek_alkotása_és_tárolása|Digitális képek alkotása és tárolása (100%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Lineáris_időinvariáns_rendszerek_és_képalkotás_metrikái|Lineáris időinvariáns rendszerek és képalkotás metrikái (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Fourier_analízis|Fourier analízis (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Inverz_probléma|Inverz probléma (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képjavítás_előfeldolgozás| Képjavítás, előfeldolgozás (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képszegmentálás|Képszegmentálás (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-ACM_Snake|ACM Snake (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Regisztrációs_eljárások|Regisztrációs eljárások (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Rekonstruciós_eljárások|Rekonstruciós eljárások (0%)]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Diagnosztika_módszerei|Diagnosztika módszerei (0%)]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190876</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Digitális képek alkotása és tárolása</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190876"/>
		<updated>2016-12-20T08:15:31Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: jpeg&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Digitális képek alkotása és tárolása]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Jelforrások&lt;br /&gt;
* Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
** Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
*** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
*** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
** Rötgen foton (CT, Röntgen, Tomo): 10 keV / 100 pm - 100 keV / 10 pm  &lt;br /&gt;
** Gamma foton (PET): ~1 MeV / ~1 pm&lt;br /&gt;
* Hang: Rugalmas közeg mechanikai rezgése&lt;br /&gt;
** Pl:Ultrahang&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Zajok:&lt;br /&gt;
* Fotonok inherens zaja: E{x} = Q esetén var{X} = sqrt(Q).&lt;br /&gt;
* Analóg erősítő zaja&lt;br /&gt;
* A/D kvantálási zaj&lt;br /&gt;
* Szcintilláció zaja&lt;br /&gt;
* Fényérzékeny MOS kondenzátor hibái:&lt;br /&gt;
** Sötét áram&lt;br /&gt;
** Előző felvétel beégése&lt;br /&gt;
** Kiolvasási zaj&lt;br /&gt;
** Halott pixel / forró pixel&lt;br /&gt;
** Szisztematikus zaj&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LZW:&lt;br /&gt;
# Szótárat inicializálunk minden lehetséges pixel intenzitással&lt;br /&gt;
# Kikeressük a kódolni kívánt sorozat azon leghosszabb eddig még nem kódolt prefixét (W), mely már szerepel a szótárba (k kóddal)&lt;br /&gt;
# Hozzátoldjuk a tömörített kép végéhez k-t, majd bővítjük a szótárat [W|a]-val, ahol a a tömörítendő bitfolyam W utáni első eleme.&lt;br /&gt;
# GOTO 2.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Kép formátumok:&lt;br /&gt;
* BMP: Az összes képpont fénnyessége, opcionális LZW&lt;br /&gt;
* TIF &lt;br /&gt;
** Többféle színábrázolás, rétegek, átlátszóság&lt;br /&gt;
** LZW / (Huffman) Futáshossz / JPEG kódolás&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
**# fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
**# fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
* JPEG&lt;br /&gt;
** Több réteg, csatornák, átlátszóság, 16 bites képek&lt;br /&gt;
** Veszteséges és veszteségmentes tömörítés&lt;br /&gt;
**# Színtér trafó&lt;br /&gt;
**#* RGB -&amp;gt; Y&#039;CrCB konverzió (Y&#039; fényerő gamma korrekció után, Cr: vörös árnyalat, Cb: kék árnyalat)&lt;br /&gt;
**# Színcsatornák alul-mintavételezése&lt;br /&gt;
**#* Cb, Cr alulmintavételezése (Y&#039;-ra érzékenyebb a szemünk)&lt;br /&gt;
**# 8 × 8 méretű blokkok kialakítása&lt;br /&gt;
**#* A kép szélén extrapolál&lt;br /&gt;
**# Diszkrét Koszinusz Transzformáció&lt;br /&gt;
**#* Minden blokkra külön&lt;br /&gt;
**#* Transzformáció előtt 0 középpontúvá skálázza az intenzitásokat&lt;br /&gt;
**#* &amp;lt;math&amp;gt;f(u,v) = \alpha (u, v) \cdot \cos \left[ \frac{(2x+1)u \cdot \pi}{16} \right] \cdot \cos \left[ \frac{(2y+1)v \cdot \pi}{16} \right]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
**#* Emberi látás nagyobb mértékben diszkriminálja a DCT bázis függvényeit, mint a Fourier trafóét.&lt;br /&gt;
**# Kvantálás&lt;br /&gt;
**#* &amp;lt;math&amp;gt;B_{(i,j)} = round \left( \frac{DCT\left\{I_{(i,j)}\right\}}{Q} \right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
**#* Q (a tömörítés hatásfoka) állítható&lt;br /&gt;
**# Kódolás&lt;br /&gt;
**#* Együtthatókat cikk-cakk trajektória mentén sorosítja&lt;br /&gt;
**#* Futáshossz + Huffman kódolás&lt;br /&gt;
** Veszteséges JPEG artifaktumai&lt;br /&gt;
*** Ringing effektus: meredek átmenetű alulmintavételezés&lt;br /&gt;
*** Blokkosodás: blokkonkénti tömörítés miatt, Q amiplitúdójának növekedésével egyre látványosabb&lt;br /&gt;
*** Elszíneződés: Cr, Cb alulmintavételezése&lt;br /&gt;
*** Elmosás: Nagy Q esetén&lt;br /&gt;
* DCM&lt;br /&gt;
** XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
** A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a fény kettős természete (hullámmozgás és kvantumelméleti megközelítés). A fénynek, mint elektromágneses sugárzásnak milyen tulajdonságait ismeri? Mitől függ egy foton energiája? Ez mit befolyásol orvosi képalkotás során?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
* Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a fényérzékelés folyamatát! Hogyan működnek a félvezetők? Mit jelentenek az alábbi fogalmak: vegyértéksáv, vezetési sáv, tiltott sáv, lyuk, elektron, N típus, P típusú félvezető? Hogyan épülnek fel és hogyan működnek a fényérzékeny MOS kapacitások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan épülnek fel és hogy működnek a CCD érzékelők? Mit nevezünk szcintillációnak és mikor van rá szükség? Hogyan működnek és hogyan épülnek fel a látható fotonoknál nagyobb energiájú fotonokra (pl. uv, röntgen, gamma sugarak) érzékeny detektorok?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
???&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan működik a Graphics Interchange Format alapú képtárolás? Ismertesse a Portable Network Graphics formátum során alkalmazott tömörítési eljárás főbb lépéseit!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
*** 1. fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
*** 2. fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a Joint Photographic Experts Group formátum tömörítő eljárásának főbb lépéseit. Milyen melléktermékeket okozhat ez a fajta tömörítő eljárás?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Több réteg, csatornák, átlátszóság, 16 bites képek&lt;br /&gt;
* Veszteséges és veszteségmentes tömörítés&lt;br /&gt;
*# Színtér trafó&lt;br /&gt;
*#* RGB -&amp;gt; Y&#039;CrCB konverzió (Y&#039; fényerő gamma korrekció után, Cr: vörös árnyalat, Cb: kék árnyalat)&lt;br /&gt;
*# Színcsatornák alul-mintavételezése&lt;br /&gt;
*#* Cb, Cr alulmintavételezése (Y&#039;-ra érzékenyebb a szemünk)&lt;br /&gt;
*# 8 × 8 méretű blokkok kialakítása&lt;br /&gt;
*#* A kép szélén extrapolál&lt;br /&gt;
*# Diszkrét Koszinusz Transzformáció&lt;br /&gt;
*#* Minden blokkra külön&lt;br /&gt;
*#* Transzformáció előtt 0 középpontúvá skálázza az intenzitásokat&lt;br /&gt;
*#* &amp;lt;math&amp;gt;f(u,v) = \alpha (u, v) \cdot \cos \left[ \frac{(2x+1)u \cdot \pi}{16} \right] \cdot \cos \left[ \frac{(2y+1)v \cdot \pi}{16} \right]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*#* Emberi látás nagyobb mértékben diszkriminálja a DCT bázis függvényeit, mint a Fourier trafóét.&lt;br /&gt;
*# Kvantálás&lt;br /&gt;
*#* &amp;lt;math&amp;gt;B_{(i,j)} = round \left( \frac{DCT\left\{I_{(i,j)}\right\}}{Q} \right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*#* Q (a tömörítés hatásfoka) állítható&lt;br /&gt;
*# Kódolás&lt;br /&gt;
*#* Együtthatókat cikk-cakk trajektória mentén sorosítja&lt;br /&gt;
*#* Futáshossz + Huffman kódolás&lt;br /&gt;
* Veszteséges JPEG artifaktumai&lt;br /&gt;
** Ringing effektus: meredek átmenetű alulmintavételezés&lt;br /&gt;
** Blokkosodás: blokkonkénti tömörítés miatt, Q amiplitúdójának növekedésével egyre látványosabb&lt;br /&gt;
** Elszíneződés: Cr, Cb alulmintavételezése&lt;br /&gt;
** Elmosás: Nagy Q esetén&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a DICOM szabvány képtárolásának főbb jellemzőit, valamint a szabvány általánosabb jellegét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
* A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-K%C3%A9palkot%C3%B3_diagnosztikai_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190875</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Képalkotó diagnosztikai eljárások</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-K%C3%A9palkot%C3%B3_diagnosztikai_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190875"/>
		<updated>2016-12-20T00:59:48Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orvosi%20kepdiagnosztika_bevezetes_ea.pdf Bevezetés].&lt;br /&gt;
* [https://prezi.com/xp0e6krsgvyh/orvosikepdiagnosztika-eloadas-x-ray/ Röntgen]&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orvosi%20kepdiagnosztika_MRI_attekintes_3ea.pdf MRI]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely&lt;br /&gt;
* Transzmissziós&lt;br /&gt;
* Indukciós&lt;br /&gt;
* Emissziós&lt;br /&gt;
alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes diagnosztikai eljárások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adjon meg tipikus értékeket a képdiagnosztikai eljárások alapját képező képekről: képtartománybeli (területi) felbontás, intenzitás felbontás. Mekkora területnek felel meg egy pixel egy tipikus mammográfiás felvételen, egy mellkas röntgenfelvételen, egy mellkas CT-n és MRI-nél?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen frekvenciatartományba eső jellel végzik a mammográfiás, a CT vizsgálatokat és milyen energiájú fotonokkal végzik a vizsgálatot?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adja meg a Beer-Lambert törvény összefüggését és értelmezze az összefüggést!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan definiálják a HU (Hounsfield unit)-ot és milyen képalkotó diagnosztikai eljárásnál alkalmazzák?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk sugárkeményedésnek és mi a fizikai oka a jelenségnek. Milyen hatása van a sugárkeményedésnek a röntgen képalkotásra? Milyen módszerekkel lehet e hatást kompenzálni, csökkenteni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk foto-elektromos kölcsönhatásnak? Mitől függ, hogy egy adott anyag, és egy adott foton között végbemegy-e ez a kölcsönhatás, vagy nem?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan biztosítható, hogy egy MRI felvételnél a pozíció és a szövetek szerinti szelektivitás? Írja le röviden a szeletvastagság és a szeletpozíció meghatározásának az elvét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk Larmor egyenletnek és milyen szerepe van az MRI képalkotásnál?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190874</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Digitális képek alkotása és tárolása</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190874"/>
		<updated>2016-12-20T00:59:16Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika|Orvosi képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Digitális képek alkotása és tárolása]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Jelforrások&lt;br /&gt;
* Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
** Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
*** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
*** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
** Rötgen foton (CT, Röntgen, Tomo): 10 keV / 100 pm - 100 keV / 10 pm  &lt;br /&gt;
** Gamma foton (PET): ~1 MeV / ~1 pm&lt;br /&gt;
* Hang: Rugalmas közeg mechanikai rezgése&lt;br /&gt;
** Pl:Ultrahang&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Zajok:&lt;br /&gt;
* Fotonok inherens zaja: E{x} = Q esetén var{X} = sqrt(Q).&lt;br /&gt;
* egyéb hibák (lásd dia, szerintem nem fontosak)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LZW:&lt;br /&gt;
# Szótárat inicializálunk minden lehetséges pixel intenzitással&lt;br /&gt;
# Kikeressük a kódolni kívánt sorozat azon leghosszabb eddig még nem kódolt prefixét (W), mely már szerepel a szótárba (k kóddal)&lt;br /&gt;
# Hozzátoldjuk a tömörített kép végéhez k-t, majd bővítjük a szótárat [W|a]-val, ahol a a tömörítendő bitfolyam W utáni első eleme.&lt;br /&gt;
# GOTO 2.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Kép formátumok:&lt;br /&gt;
* BMP: Az összes képpont fénnyessége, opcionális LZW&lt;br /&gt;
* TIF &lt;br /&gt;
** Többféle színábrázolás, rétegek, átlátszóság&lt;br /&gt;
** LZW / (Huffman) Futáshossz / JPEG kódolás&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
*** 1. fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
*** 2. fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
* JPEG&lt;br /&gt;
** TODO&lt;br /&gt;
* DCM&lt;br /&gt;
** XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
** A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a fény kettős természete (hullámmozgás és kvantumelméleti megközelítés). A fénynek, mint elektromágneses sugárzásnak milyen tulajdonságait ismeri? Mitől függ egy foton energiája? Ez mit befolyásol orvosi képalkotás során?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
* Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a fényérzékelés folyamatát! Hogyan működnek a félvezetők? Mit jelentenek az alábbi fogalmak: vegyértéksáv, vezetési sáv, tiltott sáv, lyuk, elektron, N típus, P típusú félvezető? Hogyan épülnek fel és hogyan működnek a fényérzékeny MOS kapacitások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan épülnek fel és hogy működnek a CCD érzékelők? Mit nevezünk szcintillációnak és mikor van rá szükség? Hogyan működnek és hogyan épülnek fel a látható fotonoknál nagyobb energiájú fotonokra (pl. uv, röntgen, gamma sugarak) érzékeny detektorok?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
???&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan működik a Graphics Interchange Format alapú képtárolás? Ismertesse a Portable Network Graphics formátum során alkalmazott tömörítési eljárás főbb lépéseit!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
*** 1. fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
*** 2. fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a Joint Photographic Experts Group formátum tömörítő eljárásának főbb lépéseit. Milyen melléktermékeket okozhat ez a fajta tömörítő eljárás?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a DICOM szabvány képtárolásának főbb jellemzőit, valamint a szabvány általánosabb jellegét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
* A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190873</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Digitális képek alkotása és tárolása</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190873"/>
		<updated>2016-12-20T00:57:22Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Digitális képek alkotása és tárolása]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Jelforrások&lt;br /&gt;
* Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
** Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
*** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
*** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
** Rötgen foton (CT, Röntgen, Tomo): 10 keV / 100 pm - 100 keV / 10 pm  &lt;br /&gt;
** Gamma foton (PET): ~1 MeV / ~1 pm&lt;br /&gt;
* Hang: Rugalmas közeg mechanikai rezgése&lt;br /&gt;
** Pl:Ultrahang&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Zajok:&lt;br /&gt;
* Fotonok inherens zaja: E{x} = Q esetén var{X} = sqrt(Q).&lt;br /&gt;
* egyéb hibák (lásd dia, szerintem nem fontosak)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LZW:&lt;br /&gt;
# Szótárat inicializálunk minden lehetséges pixel intenzitással&lt;br /&gt;
# Kikeressük a kódolni kívánt sorozat azon leghosszabb eddig még nem kódolt prefixét (W), mely már szerepel a szótárba (k kóddal)&lt;br /&gt;
# Hozzátoldjuk a tömörített kép végéhez k-t, majd bővítjük a szótárat [W|a]-val, ahol a a tömörítendő bitfolyam W utáni első eleme.&lt;br /&gt;
# GOTO 2.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Kép formátumok:&lt;br /&gt;
* BMP: Az összes képpont fénnyessége, opcionális LZW&lt;br /&gt;
* TIF &lt;br /&gt;
** Többféle színábrázolás, rétegek, átlátszóság&lt;br /&gt;
** LZW / (Huffman) Futáshossz / JPEG kódolás&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
*** 1. fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
*** 2. fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
* JPEG&lt;br /&gt;
** TODO&lt;br /&gt;
* DCM&lt;br /&gt;
** XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
** A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a fény kettős természete (hullámmozgás és kvantumelméleti megközelítés). A fénynek, mint elektromágneses sugárzásnak milyen tulajdonságait ismeri? Mitől függ egy foton energiája? Ez mit befolyásol orvosi képalkotás során?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
* Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a fényérzékelés folyamatát! Hogyan működnek a félvezetők? Mit jelentenek az alábbi fogalmak: vegyértéksáv, vezetési sáv, tiltott sáv, lyuk, elektron, N típus, P típusú félvezető? Hogyan épülnek fel és hogyan működnek a fényérzékeny MOS kapacitások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékeny MOS kondenzátor&lt;br /&gt;
* fém elektróda – szigetelő – P félvezető – N félvezető szendvics, fémre pozitív töltések N félvezetőre negatív töltéseket csatolunk.&lt;br /&gt;
* fotoelektromos kölcsönhatás során vezetési elektron és lyuk keletkezik, ezek a feszültség hatására a félvezetőkbe mennek&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan épülnek fel és hogy működnek a CCD érzékelők? Mit nevezünk szcintillációnak és mikor van rá szükség? Hogyan működnek és hogyan épülnek fel a látható fotonoknál nagyobb energiájú fotonokra (pl. uv, röntgen, gamma sugarak) érzékeny detektorok?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Charge-coupled Device (CCD)&lt;br /&gt;
* fényérzékeny MOS kondenzátorokból áll (3 db / pixel, négyzetrácsban)&lt;br /&gt;
* töltéseket shiftelni lehet&lt;br /&gt;
* A fotoelektromos kölcsönhatás valószínűsége akkor nagy, ha az foton, és az e- kötési energiája közel azonos&lt;br /&gt;
** Röntgen, illetve gamma fotonnál a fotodiódák közel nulla valószínűséggel generálnak ármot.&lt;br /&gt;
** Szcintillátor: olyan anyag ami elnyeli a megfelelő energiájú fotont, és közben látható fotont emittál (amit a fotodióda detektálni tud).&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
???&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan működik a Graphics Interchange Format alapú képtárolás? Ismertesse a Portable Network Graphics formátum során alkalmazott tömörítési eljárás főbb lépéseit!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* GIF&lt;br /&gt;
** 8 bites képek, animáció is, LZW&lt;br /&gt;
* PNG&lt;br /&gt;
** GIF lecserélése&lt;br /&gt;
** alpha csatorna, gamma korrekció, 16/48 bites színábrázolás&lt;br /&gt;
** fokozatos megjelenítés (minden pixelt csak egyszer tartalmaz a file)&lt;br /&gt;
** veszteségmentes, két fázisú tömörítés:&lt;br /&gt;
*** 1. fázis: egyszerű lineáris szűrés alapú predikció&lt;br /&gt;
*** 2. fázis: LZ77 tömörítés&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a Joint Photographic Experts Group formátum tömörítő eljárásának főbb lépéseit. Milyen melléktermékeket okozhat ez a fajta tömörítő eljárás?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a DICOM szabvány képtárolásának főbb jellemzőit, valamint a szabvány általánosabb jellegét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* XML, van benne egy kép tag, ami lehet pl png, tiff, jpeg, de mellette meta adatok is&lt;br /&gt;
* A szabvány leírja a fájlok archiválásának módját is&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190872</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Digitális képek alkotása és tárolása</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190872"/>
		<updated>2016-12-19T23:46:46Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Orvosi_képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Digitális képek alkotása és tárolása]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Összefoglaló ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Jelforrások&lt;br /&gt;
* Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
** Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
*** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
*** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
** Rötgen foton (CT, Röntgen, Tomo): 10 keV / 100 pm - 100 keV / 10 pm  &lt;br /&gt;
** Gamma foton (PET): ~1 MeV / ~1 pm&lt;br /&gt;
* Hang: Rugalmas közeg mechanikai rezgése&lt;br /&gt;
** Pl:Ultrahang&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Fényérzékelés folyamata&lt;br /&gt;
* fény -&amp;gt; fotodióda -&amp;gt; kondenzátor -&amp;gt; analóg erősítő -&amp;gt; A/D átalakító -&amp;gt; digitális feldolgozás&lt;br /&gt;
* félvezetők működési elve:&lt;br /&gt;
** elektronok minden anyagban diszkrét energiával rendelkezhetnek (sávokban helyezkednek el).&lt;br /&gt;
** legfelső sáv a vezetési sáv (itt az e- többet okoz töltést), alatta a vegyértéksáv (itt a lyuk többlet okoz töltést)&lt;br /&gt;
** félvezetők esetén termikus mozgás a két sáv között&lt;br /&gt;
** N (Negative) típusú félvezető: e- többlet, P (Positive) típusú félvezető: lyuk többlet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dióda&lt;br /&gt;
* P és N félvezető egymás mellett, P -&amp;gt; N áram folyik (feszültség függő).&lt;br /&gt;
* Fotodióda: A P és N félvezető között átmeneti tartomány, az ide eső foton hatására keletkező töltéshordozók áramot okoznak, a dióda ezt méri (diszkrét impulzusok -&amp;gt; foton számláló detektor).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a fény kettős természete (hullámmozgás és kvantumelméleti megközelítés). A fénynek, mint elektromágneses sugárzásnak milyen tulajdonságait ismeri? Mitől függ egy foton energiája? Ez mit befolyásol orvosi képalkotás során?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Fény: elektromágneses sugárzás&lt;br /&gt;
* Egyszerre hullám és részecske&lt;br /&gt;
** Nyugalmi tömege nulla, sebessége állandó, frekvenciával arányos az energiája, polarizált.&lt;br /&gt;
** Enerigájától függ, hogy különböző atomokkal hogyan lép kölcsönhatásba&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a fényérzékelés folyamatát! Hogyan működnek a félvezetők? Mit jelentenek az alábbi fogalmak: vegyértéksáv, vezetési sáv, tiltott sáv, lyuk, elektron, N típus, P típusú félvezető? Hogyan épülnek fel és hogyan működnek a fényérzékeny MOS kapacitások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan épülnek fel és hogy működnek a CCD érzékelők? Mit nevezünk szcintillációnak és mikor van rá szükség? Hogyan működnek és hogyan épülnek fel a látható fotonoknál nagyobb energiájú fotonokra (pl. uv, röntgen, gamma sugarak) érzékeny detektorok?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan működik a Graphics Interchange Format alapú képtárolás? Ismertesse a Portable Network Graphics formátum során alkalmazott tömörítési eljárás főbb lépéseit!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a Joint Photographic Experts Group formátum tömörítő eljárásának főbb lépéseit. Milyen melléktermékeket okozhat ez a fajta tömörítő eljárás?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a DICOM szabvány képtárolásának főbb jellemzőit, valamint a szabvány általánosabb jellegét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190871</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190871"/>
		<updated>2016-12-19T23:21:40Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Témakörök és ellenőrzőkérdéseik kidolgozása (folyamatban) */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Vizuális informatika szakirány]] kötelező tárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Orvosi képdiagnosztika&lt;br /&gt;
| tárgykód = VIMIMA04&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék = MIT&lt;br /&gt;
| jelenlét =&lt;br /&gt;
| minmunka =&lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 1 db&lt;br /&gt;
| hf = 5 db&lt;br /&gt;
| vizsga = szóbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* Előadásdiák a [http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04/jegyzet tárgyhonlapon].&lt;br /&gt;
* [[Media:orvosi_ellenorzo_kerdesek_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor a zárthelyihez (2016)]]&lt;br /&gt;
* [[Media:orvosi_ellenorzo_valaszok_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor kidolgozása (2016)]] (egy nappal a ZH előtt tették közzé a kérdéssort, a kidolgozásban biztosan vannak hibák, nem teljes válaszok)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Témakörök és ellenőrzőkérdéseik kidolgozása (folyamatban) ==&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képalkotó_diagnosztikai_eljárások|Képalkotó diagnosztikai eljárások]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Digitális_képek_alkotása_és_tárolása|Digitális képek alkotása és tárolása]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Lineáris_időinvariáns_rendszerek_és_képalkotás_metrikái|Lineáris időinvariáns rendszerek és képalkotás metrikái]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Fourier_analízis|Fourier analízis]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Inverz_probléma|Inverz probléma]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képjavítás_előfeldolgozás| Képjavítás, előfeldolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képszegmentálás|Képszegmentálás]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-ACM_Snake|ACM Snake]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Regisztrációs_eljárások|Regisztrációs eljárások]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Rekonstruciós_eljárások|Rekonstruciós eljárások]]&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Diagnosztika_módszerei|Diagnosztika módszerei]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190870</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Digitális képek alkotása és tárolása</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-Digit%C3%A1lis_k%C3%A9pek_alkot%C3%A1sa_%C3%A9s_t%C3%A1rol%C3%A1sa&amp;diff=190870"/>
		<updated>2016-12-19T23:16:48Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: Új oldal, tartalma: „= Digitális képek alkotása és tárolása =  Az Orvosi_képdiagnosztika tárgy egyik témaköre.  == Diák (2016) == * [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/O…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;= Digitális képek alkotása és tárolása =&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az [[Orvosi_képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~hadhazi/Oktatas/OKD/diak/Kepjellemzok.pdf Digitális képek alkotása és tárolása]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit jelent a fény kettős természete (hullámmozgás és kvantumelméleti megközelítés). A fénynek, mint elektromágneses sugárzásnak milyen tulajdonságait ismeri? Mitől függ egy foton energiája? Ez mit befolyásol orvosi képalkotás során?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a fényérzékelés folyamatát! Hogyan működnek a félvezetők? Mit jelentenek az alábbi fogalmak: vegyértéksáv, vezetési sáv, tiltott sáv, lyuk, elektron, N típus, P típusú félvezető? Hogyan épülnek fel és hogyan működnek a fényérzékeny MOS kapacitások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan épülnek fel és hogy működnek a CCD érzékelők? Mit nevezünk szcintillációnak és mikor van rá szükség? Hogyan működnek és hogyan épülnek fel a látható fotonoknál nagyobb energiájú fotonokra (pl. uv, röntgen, gamma sugarak) érzékeny detektorok?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan működik a Graphics Interchange Format alapú képtárolás? Ismertesse a Portable Network Graphics formátum során alkalmazott tömörítési eljárás főbb lépéseit!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a Joint Photographic Experts Group formátum tömörítő eljárásának főbb lépéseit. Milyen melléktermékeket okozhat ez a fajta tömörítő eljárás?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Ismertesse a DICOM szabvány képtárolásának főbb jellemzőit, valamint a szabvány általánosabb jellegét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190869</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190869"/>
		<updated>2016-12-19T23:07:01Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Vizuális informatika szakirány]] kötelező tárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Orvosi képdiagnosztika&lt;br /&gt;
| tárgykód = VIMIMA04&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék = MIT&lt;br /&gt;
| jelenlét =&lt;br /&gt;
| minmunka =&lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 1 db&lt;br /&gt;
| hf = 5 db&lt;br /&gt;
| vizsga = szóbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* Előadásdiák a [http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04/jegyzet tárgyhonlapon].&lt;br /&gt;
* [[Media:orvosi_ellenorzo_kerdesek_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor a zárthelyihez (2016)]]&lt;br /&gt;
* [[Media:orvosi_ellenorzo_valaszok_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor kidolgozása (2016)]] (egy nappal a ZH előtt tették közzé a kérdéssort, a kidolgozásban biztosan vannak hibák, nem teljes válaszok)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Témakörök és ellenőrzőkérdéseik kidolgozása (folyamatban) ==&lt;br /&gt;
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képalkotó_diagnosztikai_eljárások|Képalkotó diagnosztikai eljárások]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-K%C3%A9palkot%C3%B3_diagnosztikai_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190868</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika-Képalkotó diagnosztikai eljárások</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika-K%C3%A9palkot%C3%B3_diagnosztikai_elj%C3%A1r%C3%A1sok&amp;diff=190868"/>
		<updated>2016-12-19T23:05:06Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: Új oldal, tartalma: „= Képalkotó diagnosztikai eljárások =  Az Orvosi_képdiagnosztika tárgy egyik témaköre.  == Diák (2016) == * [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orv…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;= Képalkotó diagnosztikai eljárások =&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az [[Orvosi_képdiagnosztika]] tárgy egyik témaköre.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diák (2016) ==&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orvosi%20kepdiagnosztika_bevezetes_ea.pdf Bevezetés].&lt;br /&gt;
* [https://prezi.com/xp0e6krsgvyh/orvosikepdiagnosztika-eloadas-x-ray/ Röntgen]&lt;br /&gt;
* [http://home.mit.bme.hu/~horvath/KD/2015osz/Orvosi%20kepdiagnosztika_MRI_attekintes_3ea.pdf MRI]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Ellenőzrő kérdések (2016) ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely&lt;br /&gt;
* Transzmissziós&lt;br /&gt;
* Indukciós&lt;br /&gt;
* Emissziós&lt;br /&gt;
alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes diagnosztikai eljárások?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adjon meg tipikus értékeket a képdiagnosztikai eljárások alapját képező képekről: képtartománybeli (területi) felbontás, intenzitás felbontás. Mekkora területnek felel meg egy pixel egy tipikus mammográfiás felvételen, egy mellkas röntgenfelvételen, egy mellkas CT-n és MRI-nél?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Milyen frekvenciatartományba eső jellel végzik a mammográfiás, a CT vizsgálatokat és milyen energiájú fotonokkal végzik a vizsgálatot?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk duál energiás röntgenfelvételnek, milyen energiaértékekkel készülnek és milyen célt szolgálnak az ilyen felvételek? Milyen technikai megoldásokat ismer duál energiás felvételek készítésére?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Adja meg a Beer-Lambert törvény összefüggését és értelmezze az összefüggést!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan definiálják a HU (Hounsfield unit)-ot és milyen képalkotó diagnosztikai eljárásnál alkalmazzák?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk sugárkeményedésnek és mi a fizikai oka a jelenségnek. Milyen hatása van a sugárkeményedésnek a röntgen képalkotásra? Milyen módszerekkel lehet e hatást kompenzálni, csökkenteni?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk foto-elektromos kölcsönhatásnak? Mitől függ, hogy egy adott anyag, és egy adott foton között végbemegy-e ez a kölcsönhatás, vagy nem?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Hogyan biztosítható, hogy egy MRI felvételnél a pozíció és a szövetek szerinti szelektivitás? Írja le röviden a szeletvastagság és a szeletpozíció meghatározásának az elvét!&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Mit nevezünk Larmor egyenletnek és milyen szerepe van az MRI képalkotásnál?&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
[TODO]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190700</id>
		<title>Információelmélet</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190700"/>
		<updated>2016-12-02T06:20:57Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
|nev=Információelmélet&lt;br /&gt;
|tárgykód=VISZMA03&lt;br /&gt;
|szak=Infó MSc&lt;br /&gt;
|kredit=4&lt;br /&gt;
|tanszék=VIK SZIT&lt;br /&gt;
|felev=1 (ősz), 2 (tavasz)&lt;br /&gt;
|kereszt=?&lt;br /&gt;
|kiszh=nincs&lt;br /&gt;
|nagyzh=3 db&lt;br /&gt;
|vizsga=nincs&lt;br /&gt;
|hf=nincs&lt;br /&gt;
|tad=&lt;br /&gt;
|tárgyhonlap = http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/}}&lt;br /&gt;
==A tárgyról==&lt;br /&gt;
* [[InfElm HOWTO|Kedvcsináló újoncoknak]]&lt;br /&gt;
* [[Tantárgynevek rövidítései levlistás levelek tárgyához|Ajánlott rövidítés]]: infelm&lt;br /&gt;
* [http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/ SZIT tárgyi oldal]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Miből érdemes tanulni?==&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.cs.bme.hu/~gyorfi/infkod.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* [[InfElmMiVoltAzOran|a legfontosabb címszavak, amik a 2005-ös órán voltak]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmKidolgozas| 2006-os tételsor kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmZh | 2007-es ZH kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmTetelParok|2006/2007 tavaszi tételpárok frissítve]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmVizsga| Régi Vizsgatételek kidolgozása]]&lt;br /&gt;
* [http://www.szit.bme.hu/~gyorfi/infelmvk.htm Vizsgatételek Laci lapján]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
szvsz a vizsgára nem árt átnézni a könyvet, mert csak a kidologzásokból max bemagolni lehet, megérteni nem. a könyvben kb. 70-80 oldal az anyag kb. sztem, ha a bizonyításokat nem olvassuk el. -- [[HarangozoPeter|TitCar]] - 2006.12.26.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190699</id>
		<title>Információelmélet</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190699"/>
		<updated>2016-12-02T06:20:22Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Miből érdemes tanulni? */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
|nev=Információelmélet&lt;br /&gt;
|tárgykód=VISZMA03&lt;br /&gt;
|szak=Infó MSc&lt;br /&gt;
|kredit=4&lt;br /&gt;
|tanszék=VIK SZIT&lt;br /&gt;
|felev=1 (ősz), 2 (tavasz)&lt;br /&gt;
|kereszt=?&lt;br /&gt;
|kiszh=nincs&lt;br /&gt;
|nagyzh=3 db&lt;br /&gt;
|vizsga=van&lt;br /&gt;
|hf=nincs&lt;br /&gt;
|tad=&lt;br /&gt;
|tárgyhonlap = http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/}}&lt;br /&gt;
==A tárgyról==&lt;br /&gt;
* [[InfElm HOWTO|Kedvcsináló újoncoknak]]&lt;br /&gt;
* [[Tantárgynevek rövidítései levlistás levelek tárgyához|Ajánlott rövidítés]]: infelm&lt;br /&gt;
* [http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/ SZIT tárgyi oldal]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Miből érdemes tanulni?==&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.cs.bme.hu/~gyorfi/infkod.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* [[InfElmMiVoltAzOran|a legfontosabb címszavak, amik a 2005-ös órán voltak]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmKidolgozas| 2006-os tételsor kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmZh | 2007-es ZH kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmTetelParok|2006/2007 tavaszi tételpárok frissítve]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmVizsga| Régi Vizsgatételek kidolgozása]]&lt;br /&gt;
* [http://www.szit.bme.hu/~gyorfi/infelmvk.htm Vizsgatételek Laci lapján]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
szvsz a vizsgára nem árt átnézni a könyvet, mert csak a kidologzásokból max bemagolni lehet, megérteni nem. a könyvben kb. 70-80 oldal az anyag kb. sztem, ha a bizonyításokat nem olvassuk el. -- [[HarangozoPeter|TitCar]] - 2006.12.26.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190698</id>
		<title>Információelmélet</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190698"/>
		<updated>2016-12-02T06:19:54Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Miből érdemes tanulni? */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
|nev=Információelmélet&lt;br /&gt;
|tárgykód=VISZMA03&lt;br /&gt;
|szak=Infó MSc&lt;br /&gt;
|kredit=4&lt;br /&gt;
|tanszék=VIK SZIT&lt;br /&gt;
|felev=1 (ősz), 2 (tavasz)&lt;br /&gt;
|kereszt=?&lt;br /&gt;
|kiszh=nincs&lt;br /&gt;
|nagyzh=3 db&lt;br /&gt;
|vizsga=van&lt;br /&gt;
|hf=nincs&lt;br /&gt;
|tad=&lt;br /&gt;
|tárgyhonlap = http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/}}&lt;br /&gt;
==A tárgyról==&lt;br /&gt;
* [[InfElm HOWTO|Kedvcsináló újoncoknak]]&lt;br /&gt;
* [[Tantárgynevek rövidítései levlistás levelek tárgyához|Ajánlott rövidítés]]: infelm&lt;br /&gt;
* [http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/ SZIT tárgyi oldal]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Miből érdemes tanulni?==&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.cs.bme.hu/~gyorfi/infkod.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* [[InfElmMiVoltAzOran|a legfontosabb címszavak, amik a 2005-ös órán voltak]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmKidolgozas|tételsor kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmZh | 2007-es ZH kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmTetelParok|2006/2007 tavaszi tételpárok frissítve]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmVizsga| Régi Vizsgatételek kidolgozása]]&lt;br /&gt;
* [http://www.szit.bme.hu/~gyorfi/infelmvk.htm Vizsgatételek Laci lapján]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
szvsz a vizsgára nem árt átnézni a könyvet, mert csak a kidologzásokból max bemagolni lehet, megérteni nem. a könyvben kb. 70-80 oldal az anyag kb. sztem, ha a bizonyításokat nem olvassuk el. -- [[HarangozoPeter|TitCar]] - 2006.12.26.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190697</id>
		<title>Információelmélet</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190697"/>
		<updated>2016-12-02T06:19:16Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
|nev=Információelmélet&lt;br /&gt;
|tárgykód=VISZMA03&lt;br /&gt;
|szak=Infó MSc&lt;br /&gt;
|kredit=4&lt;br /&gt;
|tanszék=VIK SZIT&lt;br /&gt;
|felev=1 (ősz), 2 (tavasz)&lt;br /&gt;
|kereszt=?&lt;br /&gt;
|kiszh=nincs&lt;br /&gt;
|nagyzh=3 db&lt;br /&gt;
|vizsga=van&lt;br /&gt;
|hf=nincs&lt;br /&gt;
|tad=&lt;br /&gt;
|tárgyhonlap = http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/}}&lt;br /&gt;
==A tárgyról==&lt;br /&gt;
* [[InfElm HOWTO|Kedvcsináló újoncoknak]]&lt;br /&gt;
* [[Tantárgynevek rövidítései levlistás levelek tárgyához|Ajánlott rövidítés]]: infelm&lt;br /&gt;
* [http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/ SZIT tárgyi oldal]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Miből érdemes tanulni?==&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.cs.bme.hu/~gyorfi/infkod.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* [[InfElmMiVoltAzOran|a legfontosabb címszavak, amik az órán voltak]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmKidolgozas|tételsor kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmZh | 2007-es ZH kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmTetelParok|2006/2007 tavaszi tételpárok frissítve]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmVizsga| Régi Vizsgatételek kidolgozása]]&lt;br /&gt;
* [http://www.szit.bme.hu/~gyorfi/infelmvk.htm Vizsgatételek Laci lapján]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
szvsz a vizsgára nem árt átnézni a könyvet, mert csak a kidologzásokból max bemagolni lehet, megérteni nem. a könyvben kb. 70-80 oldal az anyag kb. sztem, ha a bizonyításokat nem olvassuk el. -- [[HarangozoPeter|TitCar]] - 2006.12.26.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190696</id>
		<title>Információelmélet</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Inform%C3%A1ci%C3%B3elm%C3%A9let&amp;diff=190696"/>
		<updated>2016-12-02T06:17:54Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
|nev=Információelmélet&lt;br /&gt;
|tárgykód=VISZMA03&lt;br /&gt;
|szak=Infó MSc&lt;br /&gt;
|kredit=4&lt;br /&gt;
|tanszék=VIK SZIT&lt;br /&gt;
|felev=1 (ősz), 2 (tavasz)&lt;br /&gt;
|kereszt=?&lt;br /&gt;
|kiszh=nincs&lt;br /&gt;
|nagyzh=3 db&lt;br /&gt;
|vizsga=van&lt;br /&gt;
|hf=nincs&lt;br /&gt;
|tad=&lt;br /&gt;
|tárgyhonlap = http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/}}&lt;br /&gt;
==A tárgyról==&lt;br /&gt;
* [[InfElm HOWTO|Kedvcsináló újoncoknak]]&lt;br /&gt;
* [[Tantárgynevek rövidítései levlistás levelek tárgyához|Ajánlott rövidítés]]: infelm&lt;br /&gt;
* [http://www.cs.bme.hu/~oti/infelm/ SZIT tárgyi oldal]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Miből érdemes tanulni?==&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.cs.bme.hu/~gyorfi/infkod.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
* [[InfElmMiVoltAzOran|a legfontosabb címszavak, amik az órán voltak]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmKidolgozas|tételsor kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [http://www.crysys.hu/courses/kodolastechnika/bscinfkod.pdf jogvédett, de elektronikus formában elérhető anyag]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* [[InfElmZh | 2007-es ZH kidolgozás]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmTetelParok|2006/2007 tavaszi tételpárok frissítve]]&lt;br /&gt;
* [[InfElmVizsga| Régi Vizsgatételek kidolgozása]]&lt;br /&gt;
* [http://www.szit.bme.hu/~gyorfi/infelmvk.htm Vizsgatételek Laci lapján]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
szvsz a vizsgára nem árt átnézni a könyvet, mert csak a kidologzásokból max bemagolni lehet, megérteni nem. a könyvben kb. 70-80 oldal az anyag kb. sztem, ha a bizonyításokat nem olvassuk el. -- [[HarangozoPeter|TitCar]] - 2006.12.26.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190534</id>
		<title>Alkalmazott algebra és matematikai logika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190534"/>
		<updated>2016-10-25T18:51:13Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Mérnök informatikus MSc | mérnök informatikus MSc]] Felsőbb matematika tárgyblokk egyik tantárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Alkalmazott algebra és matematikai logika&lt;br /&gt;
| tárgykód = TE90MX57&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév =&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék =&lt;br /&gt;
| jelenlét = &lt;br /&gt;
| minmunka = &lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 2 db&lt;br /&gt;
| hf = &lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tad = https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90MX41/&lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://algebra.math.bme.hu/2016-17-1/BMETE90MX57-V0_NagyG&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=Alkalmazott algebra=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://algebra.math.bme.hu/nagy-gabor Nagy Gábor Péter]&lt;br /&gt;
* [https://www.dropbox.com/s/2wv0v6p7qaax36l/Applied%20Linear%20Algebra%20presentation.pdf?dl=0 Előadásdiák] (korábbról, angolul, de a tárgy anyagát ránézésre lefedeik)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://math.bme.hu/~wettl/okt/Jegyzet/00la.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039; (Jóval részeltesebb, mint a tárgy anyaga)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.math.u-szeged.hu/~nagyg/DinEx/DinEx_lista.html Hivatalos gyakorlófeladatok]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Alkalmazott algebra tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
=== Segédanyagok ===&lt;br /&gt;
* [http://www.math.bme.hu/~ig/alkalg/ korábbi jegyzetek]&lt;br /&gt;
*[[Alkalmazott algebra - Előadások 2012 | Előadásjegyzet 2012-ből]], [http://www.math.bme.hu/~lukacs/bboard/alkalg/2012/ea_12aa.html ez] alapján.&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_kezzelirt.pdf | Kézzel írt előadásjegyzet 2012]] Tartalmazhat [[Alkalmazott algebra - Hibák a kézzel írt 2012-es jegyzetben | hibákat]], az utolsó előadást még nem tartalmazza. (Lehet, hogy érdemes 50%-osban nyomtatni.) &lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2012]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2010]] &amp;lt;- [[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos_tartalomjegyzek.pdf | tartalomjegyzék]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_diasor_2012.pdf | Diasorok összefűzve]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva.pdf | teteje levágva]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva_8.pdf | 8 dia/oldal]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Zárthelyik ===&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_zh_2011_regi.pdf | Régebbi zh-k]], és [[Media:Alkalg_zh_2011_regi_mego.pdf | megoldásaik]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Matematikai logika =&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://renyi.hu/~sagi/ Sági Gábor]&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://renyi.hu/~sagi/felsobbmatC-2010osz-eljgyz.html Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://renyi.hu/~sagi/felsmat-2016osz-letoltesek.html Hivatalos gyakorlófeladatok]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Matematikai logika tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
===Segédanyagok===&lt;br /&gt;
A tárgyhonlapot nem tudjuk, hol van, egyáltalán van-e, egy nagyon régi maradványt sikerült csak megtalálni: http://www.renyi.hu/~sagi/teaching2010sep.html&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2014-es honlap: http://www.math.bme.hu/~ferenczi/FelsoMatek14&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_jegyzet_2004.docx | Összefoglaló 2004]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
====2014-es összefoglalás====&lt;br /&gt;
Előadásjegyzet alapján, erősen kivonatolva (pl. a feladatmegoldások lépéseit kihagytam belőle)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Leginkább csak tételek és definíciók.&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
(Amelyik tétel vastaggal ki van emelve, arról elhangzott, hogy az fontos)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Szerkeszthető (DOCX, W2013, egyenletszerkesztős): [[:File:Összefoglalo_2014_(docx).docx]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
PDF: [[:File:Összefoglalo_2014_(pdf).pdf]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Zárthelyik===&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta.pdf | Minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta_megoldas.pdf | Minta ZH megoldás]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_20101129.png | 2010. őszi ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:matlog_mintazh_2014osz.pdf | 2014. őszi minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_1.jpg | 2014. ZH 1. oldal]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_2.jpg | 2014. ZH 2. oldal]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=Zárthelyik=&lt;br /&gt;
* [[:File:Alglog zh1 2016 10 25.jpg|2016. ZH1]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=F%C3%A1jl:Alglog_zh1_2016_10_25.jpg&amp;diff=190533</id>
		<title>Fájl:Alglog zh1 2016 10 25.jpg</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=F%C3%A1jl:Alglog_zh1_2016_10_25.jpg&amp;diff=190533"/>
		<updated>2016-10-25T18:48:28Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: Alkalmazott algebra és logika 2016.10.25. ZH.&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Alkalmazott algebra és logika 2016.10.25. ZH.&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Anal%C3%ADzis_(MSc)_t%C3%ADpusfeladatok&amp;diff=190527</id>
		<title>Analízis (MSc) típusfeladatok</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Anal%C3%ADzis_(MSc)_t%C3%ADpusfeladatok&amp;diff=190527"/>
		<updated>2016-10-22T11:36:05Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Analízis (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Integrál trafók témakör =&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Laplace trafó diff-egyenlet ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\dot{y}(t) = 3y(t) - 2x(t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x(0) = 0,~y(0) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját (&amp;lt;math&amp;gt;X := \mathcal{L}(x),~ Y := \mathcal{L}(y)&amp;lt;/math&amp;gt;): &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;sX - x(0) = 2Y - X + \frac{1}{s}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;sY - y(0) = 3Y - 2X&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(s+1)X + (-2)Y = \frac{1}{s}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(2)X + (s-3)Y = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Mátrixos alakra hozva:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}s+1 &amp;amp; -2 \\ 2 &amp;amp; s-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{s} \\ 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}\frac{1}{s} &amp;amp; -2 \\ 1 &amp;amp; s-3\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s+1 &amp;amp; -2 \\ 2 &amp;amp; s-3\end{bmatrix}\right)} = \frac{\frac{s-3}{s} + 2}{(s+1)(s-3)+4} = \frac{3 (s-1)}{s(s^2 - 2s + 1)} = \frac{3 (s-1)}{s(s-1)^2} = \frac{3}{s(s-1)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{A}{s} + \frac{B}{s-1} = \frac{A(s-1) + Bs}{s(s-1)} = \frac{3}{s(s-1)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Együtthatókat összehasonlítva:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; A + B = 0, -A = 3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Ahonnan:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; A = -3,~B = 3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vagyis &amp;lt;math&amp;gt;X(s) = \frac{-3}{s} + \frac{3}{s-1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Tehát a táblázat alapján &amp;lt;math&amp;gt;x(t) = -3 + 3e^t&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\ddot{y}(t) = x(t) - 2y(t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;s^2X - sx(0) - \dot{x}(0) = 2X - 3Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;s^2Y - sy(0) - \dot{y}(0) = X - 2Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Átrendezve és mátrixos alakra hozva:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}s^2-2 &amp;amp; 3 \\ -1 &amp;amp; s^2+2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Megoldás X-re:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}0 &amp;amp; 3 \\ 1 &amp;amp; s^2+2\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s^2-2 &amp;amp; 3 \\ -1 &amp;amp; s^2+2\end{bmatrix}\right)} = \frac{-3}{(s^2-2)(s^2+2)+3} = \frac{-3}{s^4-1} = \frac{-3}{(s^2-1)(s^2+1)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Parc törtek:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{A}{s^2-1} + \frac{B}{s^2+1} = \frac{(A+B)s^2 + (A-B)}{s^4-1} = \frac{-3}{s^4-1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Ahonnan:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; A = -\frac{3}{2},~B = \frac{3}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Inverz Laplace után: &amp;lt;math&amp;gt;x(t) = -\frac{3}{2}sht + \frac{3}{2}sint&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Transzformáljuk elsőrendűvé a &amp;lt;math&amp;gt;y&#039;&#039; + xy&#039; = x&amp;lt;/math&amp;gt; differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Számítsuk ki a tagok Laplace trafóját (x szerint):&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_x(y&#039;&#039;) = s^2 Y - s y(0) - y&#039;(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_x(xy&#039;) = \mathcal{L}_x(xf(x)) = -(\mathcal{L}_x(f(x)))&#039; =  -(\mathcal{L}_x(y&#039;))&#039; = -(s Y(s) - y(0))&#039; = -(s&#039; Y(s) + s Y&#039;(s)) = -Y - sY&#039; &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_x(x) = \frac{1}{s^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Tehát az egyenlet Laplace transzformáltja (elsőrendű Y-ban):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; s^2 Y - s y(0) - y&#039;(0) + -Y - sY&#039; = \frac{1}{s^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Laplace trafó szabályok alkalmazása ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lim_{x \to 0+}f&#039;(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f&#039;&#039;(x) = ?, ha ~\mathcal{L}(f) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Számoljuk ki &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;(f)&amp;lt;/math&amp;gt;-et!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;(f) = s\mathcal{L}(f) - \lim_{x \to 0+}f(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét:&lt;br /&gt;
** Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: &amp;lt;math&amp;gt;lim_{s \to \infty}\mathcal{L}&#039;(f)=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;lim_{s \to \infty}s\mathcal{L}(f) = lim_{s \to \infty}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Tehát:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;0 = 0 - f(0+)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Amiből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;f(0+) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Csináljuk meg ugyanezt &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;&#039;(f)&amp;lt;/math&amp;gt;-re!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;&#039;(f) = s^2\mathcal{L}(f) - sf(0+) - f&#039;(0+)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;0 = \frac{1}{5} - 0 - f&#039;(0+)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Amiből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;f&#039;(0+) = \frac{1}{5}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Végül csináljuk meg ugyanezt &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;&#039;&#039;(f)&amp;lt;/math&amp;gt;-re!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;&#039;&#039;(f) = s^3\mathcal{L}(f) - s^2f(0+) - sf&#039;(0+) - f&#039;&#039;(0+)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Itt a határérték picit bonyolultabb:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;0 = lim_{s \to \infty}(\frac{s}{5} - 0 - \frac{s}{5} - f&#039;&#039;(0+))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Amiből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;lim_{s \to \infty}(f&#039;&#039;(0+)) = f&#039;&#039;(0+) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016V2]&amp;lt;/small&amp;gt; Számítsuk ki az alábbi integrált: &amp;lt;math&amp;gt;\int_0^\infty \frac{\cos t-e^{-t}}{t} dt&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Laplace tulajdonságok miatt &amp;lt;math&amp;gt;\int_0^\infty \frac{f(t)}{t} dt = \int_0^\infty \mathcal{L}(f)(s) ds&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Jelen esetben &amp;lt;math&amp;gt;f(t) = \cos t - e^{-t}&amp;lt;/math&amp;gt;, számoljuk ki az integrált:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\int_0^\infty \mathcal{L}(f) ds = \int_0^\infty \frac{s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} ds = \int_0^\infty \frac12 \frac{2s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} = &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\left[ \frac12 \ln|s^2+1| - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \sqrt{|s^2+1|} - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \frac{\sqrt{|s^2+1|}}{|s+1} \right]_0^\infty = \ln 1 - \ln 1 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Fourier diff-egyenlet ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;(x) - 4y(x) = 8&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Vegyük az egyenlet Fourier trafóját (a táblázatban a Fourier trafó y függvénye, de az y itt mást jelent, a táblázatbeli y-ok helyére írjuk s-t, illetve vezessük be az alábbi jelölést: &amp;lt;math&amp;gt;Y = \mathcal{F}(y)&amp;lt;/math&amp;gt;)!:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;isY - 4Y = 8\sqrt{2\pi}\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Átrendezve: &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;-i(s+4i)Y = 8\sqrt{2\pi}\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Aminek a disztribúció értelemben vett megoldás Y-ra: &lt;br /&gt;
** Ha &amp;lt;math&amp;gt;s+4i \neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor leoszthatunk vele. &lt;br /&gt;
** Ha &amp;lt;math&amp;gt;s+4i = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor &amp;lt;math&amp;gt;0 \cdot Y(-4i) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, vagyis &amp;lt;math&amp;gt;Y(-4i)&amp;lt;/math&amp;gt; bármilyen konstans lehet, ezt jelöljük pl c-vel.&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Y = c \cdot \delta(s+4i) + \frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Az összeg jobboldali tagja egyszerűsíthető, ha kihasználjuk, hogy az egy disztribúció (a &amp;lt;math&amp;gt;\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt; a nevezőben lévő s-be is nullát helyettesít):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}(\varphi) = \delta(s)\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}(\varphi) = \delta(s)(\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}\varphi) = \frac{8\sqrt{2\pi}}{i0-4}\varphi(0) = -2\sqrt{2\pi}\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Y = c \cdot \delta(s+4i) + -2\sqrt{2\pi}\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Aminek vegyük az inverz Fourier transzformáltját:&lt;br /&gt;
** Megjegyzés: A táblázatban szerepel &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(f(t)+a) = e^{ias}\mathcal{F}(f(t))&amp;lt;/math&amp;gt;, de nekünk inverz trafó kell&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}^{-1}(F(s) + a) = \mathcal{F}(F(s) + a)|_{t=-s} =  e^{ia(-t)}(\mathcal{F}(F(s))|_{t=-s}) = e^{ia(-t)}\mathcal{F}^{-1}(F(s))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(t) = c e^{4t} - 2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Transzformáljuk elsőrendűvé a &amp;lt;math&amp;gt;y&#039;&#039; + xy&#039; = x&amp;lt;/math&amp;gt; differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Számítsuk ki az egyenlet tagjainak Fourier trafóját (x szerint):&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}_x(y&#039;&#039;) = i^2 s^2 \hat{y} = -s^2 \hat{y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}_x(xy&#039;) = \frac{\mathcal{F}_x(y&#039;)&#039;}{-i} = i\mathcal{F}_x(y&#039;)&#039; = i(is\hat{y})&#039;= -(s\hat{y})&#039; = -\hat{y} - s\hat{y}&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}_x(x) = \sqrt{2\pi}i\delta&#039;(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet &amp;lt;math&amp;gt;\hat{y}&amp;lt;/math&amp;gt;-ra):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;-s^2 \hat{y} + -\hat{y} - s\hat{y}&#039; = \sqrt{2\pi}i\delta&#039;(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016V1]&amp;lt;/small&amp;gt; Fourier transzformáció segítségével határozzuk meg u(x, t)-t, ha&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(x, 0) = 1,~x \in \mathcal{R},y \geq 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Egy u(x, y) függvény x szerinti Fourier trafójának a definíciója:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}(s, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y) e^{-ixs} dx &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vegyük az egyenlet x szerinti Fourier trafóját (a deriválás x-ben &amp;lt;math&amp;gt;i \cdot s&amp;lt;/math&amp;gt;-el szorzás):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; -s^2 \hat{u}(s,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{u}(s, y) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Oldjuk meg a diff-egyenletet y-ra (az y szerinti deriváltat jelölje a vessző):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}_s&#039;&#039;(y) - s^2 \hat{u}_s(y) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \lambda^2 = s^2 &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{|s|y} +  c_2(s) e^{-|s|y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tudjuk, hogy ez a kifejezés &amp;lt;math&amp;gt;s \to \infty&amp;lt;/math&amp;gt;-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{|s|y} +  c_2(s) e^{-|s|y} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ami, tekintve, hogy &amp;lt;math&amp;gt;y \geq 0&amp;lt;/math&amp;gt;, csak akkor teljesülhet, ha &amp;lt;math&amp;gt;c_1(s) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tehát: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-|s|y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A kezdeti feltétel Fourier trafója:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}(0) = \sqrt{2 \pi} \delta (s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A két egyenletet összevetve:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;c_2(s) = \sqrt{2 \pi} \delta (s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-|s|y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(x, y)&amp;lt;/math&amp;gt;-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}(s, y) = \mathcal{F}(1) \cdot e^{-|s|y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = 1 * \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{x^2 + y^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\xi^2 + y^2} d\xi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\frac{\xi}{y})^2 + 1} d\xi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vezessük be a &amp;lt;math&amp;gt;z = \frac{\xi}{y},~d\xi = y dz&amp;lt;/math&amp;gt; változót:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2 + 1} ydz&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{y}{y \pi} \left[arctg z \right]_{-\infty}^{\infty}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{\pi}{\pi} = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Fourier trafó szabályok alkalmazása ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Számítsuk ki az &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = 3xe^{-x}H(x)&amp;lt;/math&amp;gt; Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Vezessük be a &amp;lt;math&amp;gt;g(x) = e^{-x}H(x)&amp;lt;/math&amp;gt; jelölést!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(f(x)) = 3 \mathcal{F}(x \cdot g(x)) = 3 \cdot \frac{\mathcal{F}(g(x))&#039;}{-i} = 3i \cdot (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy})&#039; = 3i \cdot (-1) \cdot i \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(1+iy)^2} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(1+iy)^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Disztribúciók ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Adjuk meg &amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;\delta&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; lineáris kombinációjaként az &amp;lt;math&amp;gt;e^{3x-2}\delta&#039;(x)&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúciót!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Nézzük meg, hogy egy &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; függvényre hogyan viselkedik a feladatban szereplő disztribúció!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(e^{3x-2}\delta&#039;(x))(\varphi) = \delta&#039;(x)(e^{3x-2} \varphi) = -\delta(x)(e^{3x-2} \varphi)&#039; = -\delta(x)(3 \cdot e^{3x-2} \varphi + e^{3x-2} \varphi&#039;) =  -3e^{-2} \varphi(0) - e^{-2} \varphi&#039;(0) = (-3e^{-2}\delta(x) + e^{-2}\delta&#039;(x))(\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;e^{3x-2}\delta&#039;(x) = -3e^{-2}\delta(x) + e^{-2}\delta&#039;(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Számítsuk ki a &amp;lt;math&amp;gt;T = e^{-x^2}&amp;lt;/math&amp;gt; reguláris disztribúcuó és a &amp;lt;math&amp;gt;\delta&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúció konvolúciójának hatását a &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = x^2&amp;lt;/math&amp;gt; függvényre: &amp;lt;math&amp;gt;(T * \delta&#039;)x^2 = ?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Elődáson volt, hogy &amp;lt;math&amp;gt;(T * \delta&#039;) = T&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;(T * \delta&#039;)\varphi(x+y) = T_x (\delta&#039;_y(\varphi(x+y))) =  T_x(-\delta_y(\varphi&#039;(x+y))) = T_x(-\varphi&#039;(x)) = T_x&#039;(\varphi(x))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Ezt felasználva alkalmazzuk a &amp;lt;math&amp;gt;T&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúciót a &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; függvényre:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;(e^{-x^2})&#039;, (x^2)&amp;gt; = \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-x^2})&#039; (x^2) dx = [e^{-x^2}(x^2)]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} 2x = 0 - [e^{-x^2}]_{-\infty}^{\infty} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Mi az &amp;lt;math&amp;gt;(x-3)f = 0&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;f = c \cdot \delta(x-3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Ha &amp;lt;math&amp;gt;x-3 \neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor leoszthatunk vele, és azt kapjuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;f = 0,~ha~x-3 \neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;. &lt;br /&gt;
* Ha &amp;lt;math&amp;gt;x-3 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor &amp;lt;math&amp;gt;0 \cdot f(3) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, vagyis &amp;lt;math&amp;gt;f(3)&amp;lt;/math&amp;gt; bármilyen konstans értéket felvehet, ezt jelöljük pl c-vel.&lt;br /&gt;
* Tehát ha &amp;lt;math&amp;gt;x \neq 3&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor &amp;lt;math&amp;gt;f = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, ha &amp;lt;math&amp;gt;x = 3&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor tetszőleges &amp;lt;math&amp;gt;c&amp;lt;/math&amp;gt; értékű, ez röviden: &amp;lt;math&amp;gt;f = c \cdot \delta(x-3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;4)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Adjuk meg az &amp;lt;math&amp;gt;e^{3x}\delta&#039;&#039;(x-2)&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúciót a &amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt; eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;e^{3x}\delta&#039;&#039;(x-2)(\varphi) = \delta&#039;&#039;(x-2)(e^{3x}\varphi) = \delta(x-2)((e^{3x}\varphi)&#039;&#039;) = \delta(x-2)((3e^{3x}\varphi + e^{3x}\varphi&#039;)&#039;) = &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;= \delta(x-2)(9e^{3x}\varphi + 6e^{3x}\varphi&#039; + e^{3x}\varphi&#039;&#039;) = 9e^{6}\varphi(2) + 6e^{6}\varphi&#039;(2) + e^{6}\varphi&#039;&#039;(2) = (9e^{6}\delta(x-2) - 6e^{6}\delta&#039;(x-2) + e^{6}\delta&#039;&#039;(x-2))(\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;5)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Legyen u az &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = x - 3&amp;lt;/math&amp;gt; által generált reguláris disztribúció, &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = e^{-x^2}&amp;lt;/math&amp;gt;. Számítsuk ki &amp;lt;math&amp;gt;(\sigma_2\tau_3\delta&#039; * u)\psi&amp;lt;/math&amp;gt;-t!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Először szabaduljunk meg a konvulúciótól:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\sigma_2\tau_3\delta&#039; * u) = (u * \sigma_2\tau_3\delta&#039;)\varphi(x+y) = u_x (\sigma_2\tau_3\delta&#039;_y(\varphi(x+y))) =  u_x(-\sigma_2\tau_3\delta_y(\varphi&#039;(x+y))) = u_x(-\delta_y(\varphi&#039;(2(x+y-3)))) = u_x(-\varphi&#039;(2(x-3))) = u_x&#039;(\sigma_2\tau_3(\varphi(x)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;u_x&#039; = 1&amp;lt;/math&amp;gt;, ezt bármilyen függvényre alkalmazva visszakapjuk az eredeti függvény (a sima zárójeles jelölés a disztribúció használatára itt nagyon félreérthető):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u_x&#039;(\sigma_2\tau_3(\varphi(x))) = &amp;lt;1, \sigma_2\tau_3\varphi(x)&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Majd értékeljük ki a disztribúciót a &amp;lt;math&amp;gt;\varphi = e^{-x^2}&amp;lt;/math&amp;gt; függvényen:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;1, \sigma_2\tau_3 e^{-x^2}&amp;gt; = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(2x-6)^2}dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2}\frac{1}{2}du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Zoli megoldása:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(u * \sigma_2 \tau_3 \delta&#039;)\varphi = (u * \delta&#039; (2x-6))\varphi = u(x)(\delta&#039;(2y-6) \varphi (x+y)) =&amp;lt;/math&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;= u(x) (-\frac{\delta(2y-6)}{4} \varphi&#039;(x+y)) = u(x) \frac{-\varphi&#039;(x+3)}{4} = u&#039;(x) \frac{\varphi(x+3)}{4} = \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot e^{-(x+3)^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Wavelet trafók ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Megjegyzés: a kitevőbe írt törtek (pl: &amp;lt;math&amp;gt;e^{-\frac{x^2}{2}}&amp;lt;/math&amp;gt;) sok böngészőben hibásan jelennek meg, ezért ezekben az esetekben törtek helyett osztás jelet fogok használni.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;hr&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Legyen &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = (1 - x^2)e^{-x^2 / 2}&amp;lt;/math&amp;gt;, a mexikói kalap wavelet. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; Legyen  &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = e^{-|x|}&amp;lt;/math&amp;gt;. &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = ?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; Legyen  &amp;lt;math&amp;gt;g(x) = x^2&amp;lt;/math&amp;gt;. Tudjuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\int_{R}e^{-x^2 / 2}dx=\sqrt{2\pi}.~W_{\psi}g_a(b) = ?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; A wavelet Fourier trafóját közvetlenül megkaphatjuk a wavelet kiértékelése nélkül: &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{f}(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{\psi}(y) = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) - \mathcal{F}(x^2 \cdot e^{-x^2 / 2}) = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) - \frac{\mathcal{F}(e^{-x^2 / 2})&#039;&#039;}{(-i)^2} = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) + \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2})&#039;&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A táblázatban nincs benne, de közismert, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) = e^{-y^2 / 2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{\psi}(y) = e^{-y^2 / 2} + (e^{-y^2 / 2})&#039;&#039; = e^{-y^2 / 2} + (-y(e^{-y^2 / 2}))&#039; = e^{-y^2 / 2} -e^{-y^2 / 2} + y^2(e^{-y^2 / 2}) = y^2(e^{-y^2 / 2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A táblázatból kiolvasott képletbe behelyettesítve:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}\right) \cdot \left((ay)^2(e^{-(ay)^2 / 2})\right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;hr&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;W_{\psi}g_a(b) = &amp;lt;\psi_{a, b}, g&amp;gt; = \int_{-\infty}^{\infty} (1 - \frac{x-b}{a}^2)e^{-((x-b)/a)^2 / 2} x^2 dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Helyettesítésel integrállal tegyük egyszerűbbé a fenti képletet: &amp;lt;math&amp;gt; u = \frac{x-b}{a},~x = au + b,~ dx = a \cdot du&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;W_{\psi}g_a(b) = \int_{-\infty}^{\infty} (1 -u^2)e^{-u^2 / 2} (au + b)^2 a \cdot du&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Használjuk ki, hogy korábban már kiszámoltuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;(e^{-u^2 / 2})&#039;&#039; = -(1 -u^2)e^{-u^2 / 2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;W_{\psi}g_a(b) = -a \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})&#039;&#039; (au + b)^2 du&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Amit kétszer parciálisan integrálva meg is kapjuk az eredményt:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;W_{\psi}g_a(b) = -a \left( \left[(e^{-u^2 / 2})&#039; (au + b)^2\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})&#039; 2a \cdot (au + b) du \right) = &lt;br /&gt;
2a^2 \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})&#039; \cdot (au + b) du  = 2a^2 \left( \left[e^{-u^2 / 2} (au + b) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2 / 2} \cdot a du \right) = -2a^3 \sqrt{2\pi}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; A Poisson wavelet a következő:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; Mutassuk meg, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;, ha &amp;lt;math&amp;gt;x \geq 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; Mutassuk meg, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\int_R \psi_n(x)dx = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;c)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;C_{\psi_n} = ?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;-(\frac{x^n}{n!} e^{-x})&#039; = -n\frac{x^{n-1}}{n!} e^{-x} + \frac{x^n}{n!} e^{-x} = x\frac{x^{n-1}}{n!} e^{-x}-n\frac{x^{n-1}}{n!} e^{-x} = \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;\int_R \psi_n(x)dx = \int_0^\infty -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})&#039; dx  = -\left[\frac{x^n}{n!} e^{-x}\right]_0^\infty = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;c)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;C_{\psi_n} = 2 \pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\left| \hat{\psi} \right|^2}{|y|} dy&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Először számoljuk ki a wavelet Fourier trafóját (felhasználom, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(-f&#039;) = -iy\mathcal{F}(f),~\mathcal{F}(x^n f) = i^n \mathcal{F}(f)^{(n)}&amp;lt;/math&amp;gt;):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{\psi} = \mathcal{F}(-(\frac{x^n}{n!} e^{-x})&#039; \cdot H(x)) = -\frac{iy}{n!} \mathcal{F}(x^n e^{-x}H(x)) = -\frac{iy}{n!} i^n \mathcal{F}(e^{-x}H(x))^{(n)} = -\frac{iy}{n!} i^n \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{1+iy}\right)^{(n)} =&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;= -\frac{iy}{n!} i^n i^n (-1)(-2) \dots(-n) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{(1+iy)^{n+1}} = -iy \frac{n!}{n!} (-1)^n (-1)^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{(1+iy)^{n+1}} = -iy \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{(1+iy)^{n+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C_{\psi_n} = 2 \pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\left| \hat{\psi} \right|^2}{|y|} dy = 2 \pi \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi} \frac{|y|^2}{|y|}\frac{1}{(1+y^2)^{n+1}} dy = \int_{0}^\infty \frac{2 y}{(1+y^2)^{n+1}} dy = -\frac{1}{n} \left[\frac{1}{(1+y^2)^n}\right]_0^\infty = -\frac{1}{n} (0 - 1) = \frac{1}{n}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Legyen &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = xe^{-|x|}, f(x) = e^{-x^2/2}&amp;lt;/math&amp;gt;. Adjuk meg f &amp;lt;math&amp;gt; \psi&amp;lt;/math&amp;gt; által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{f}(x) = e^{-y^2/2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{\psi}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} (-2iy) \frac{1}{(1+y^2)^2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} e^{-y^2/2} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} (-2iay) \frac{1}{(1+(ay)^2)^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Numerikus módszerek témakör =&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Parcdiff egyenletek (Fourier) ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(0, t) = u(3, t) = 0,~u(x,0)=sin\frac{4\pi}{3}x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 2\sin\frac{\pi}{3}x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;U(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-t keressük szorzat alakban: &amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = X(x)T(T)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* A diffegyenlet így átírva: &amp;lt;math&amp;gt;X(t)\ddot{T}(t) = 4 \cdot X&#039;&#039;(x)T(T)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Ez így már szeparálható:&lt;br /&gt;
** Figyeljünk arra, hogy a deriváltak a számlálóban legyenek&lt;br /&gt;
** A szeparálás utáni hányadosokról pedig tudjuk, hogy negatívak (innen jön a &amp;lt;math&amp;gt;-b^2&amp;lt;/math&amp;gt;)&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \cdot \frac{X&#039;&#039;(x)}{X(x)} = \frac{\ddot{T}(t)}{T(T)} = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Nézzük meg, hogy melyik változóra van feltételünk, aminek a jobb oldalán konstans szerepel.&lt;br /&gt;
** Az első két féltétel átírva: &amp;lt;math&amp;gt;X(0)T(t) = X(3)T(t) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, minden t-re, vagyis &amp;lt;math&amp;gt;X(0) = X(3) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** Tehát az X-re van a T-től nem függő feltételünk, ezért először az X-re oldjuk meg a diffegyenletet!&lt;br /&gt;
* Oldjuk meg a diff-egyenletet:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \cdot \frac{X&#039;&#039;(x)}{X(x)} = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \cdot X&#039;&#039;(x) + b^2 \cdot X(x) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Írjuk fel a karakterisztikus függvényt!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \cdot \lambda^2 + b^2 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda^2 = -\frac{b^2}{4}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = \pm i \frac{b}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vagyis a diff-egyenlet megoldása:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(x) = c_1 \cos{\frac{b}{2}x} + c_2 \sin{\frac{b}{2}x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vizsgáljuk meg a kezdeti feltételeket:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(0) = c_1 \cos{0} + c_2 \sin{0} = c_1 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(3) = c_2 \sin{\frac{b}{2}3} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ami csak olyan egész k értékekre teljesülhet, amikre: &amp;lt;math&amp;gt;\frac{b}{2}3 = k \pi,~b = \frac{2}{3} k \pi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Most oldjuk meg a diff-egyenletet T(t)-re, de a b helyére az újonnan kapott képletet írjuk be.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -(\frac{2}{3} k \pi)^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda^2 = -(\frac{2}{3} k \pi)^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = \pm \frac{2}{3} i k \pi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A T-re vonatkozó (k-tól függő) diff-egynelet:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;T_k(t) = a_k \cos{\frac{2}{3} k \pi t} + b_k \sin{\frac{2}{3} k \pi t}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;U(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-re vonatkozó k-tól függő egyenlet tehát:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t) = c_2 \sin{\frac{k}{3} \pi x} (a_k \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + b_k \sin{\frac{2k}{3} \pi t})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vezessük be az &amp;lt;math&amp;gt;A_k = c_2 \cdot a_k&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;B_k = c_2 \cdot b_k&amp;lt;/math&amp;gt; konstansokat!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t) = A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;U(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt; pedig felírható az &amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-k összegeként az összes k-ra.&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = \sum_0^\infty U_k(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A maradék két feltétel segítségével számoljuk ki az &amp;lt;math&amp;gt;A_k&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;B_k&amp;lt;/math&amp;gt; konstansok értékeit.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x,0)=\sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} = sin\frac{4\pi}{3}x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Amiből az együtthatók összehasonlításával megkapjuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;A_4 = 1&amp;lt;/math&amp;gt;, minden más &amp;lt;math&amp;gt;A_i = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, ha &amp;lt;math&amp;gt;i \neq 4&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A másik feltételhez ki kell számolni az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial U}{\partial t}(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-t.&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial U}{\partial t}(x, t) = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t} (-\frac{2k}{3} \pi) + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} (\frac{2k}{3} \pi)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A feltételbe beírva:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial U}{\partial t}(x, 0) = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} (-\frac{2k}{3} \pi) + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} (\frac{2k}{3} \pi) = \sum_0^\infty B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} (\frac{2k}{3} \pi) = 2\sin\frac{\pi}{3}x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Innen pedig:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;B_1 (\frac{2}{3} \pi) = 2,~ B_1 = \frac{2}{(\frac{2}{3} \pi)} = \frac{3}{\pi}&amp;lt;/math&amp;gt;, minden más &amp;lt;math&amp;gt;B_i&amp;lt;/math&amp;gt; pedig nulla.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis a megoldás:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = \sin{\frac{4}{3} \pi x} \cos{\frac{8}{3} \pi t} + \frac{3}{\pi} \sin{\frac{1}{3} \pi x} \sin{\frac{2}{3} \pi t}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial u}{\partial t} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(x)\ddot{T}(t) = 9 X&#039;&#039;(x)T(t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = \frac{9 X&#039;&#039;(x)}{X(x)} = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Először oldjuk meg x-re:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{9 X&#039;&#039;(x)}{X(x)} = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;9 \lambda^2 = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = \pm i \frac{b}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(x) = c_1 \cos{\frac{b}{3}x} + c_2 \sin{\frac{b}{3}x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X&#039;(x) = -c_1\frac{b}{3} \sin{\frac{b}{3}x} + c_2\frac{b}{3} \cos{\frac{b}{3}x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X&#039;(0) = c_2\frac{b}{3} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A &amp;lt;math&amp;gt;b = 0&amp;lt;/math&amp;gt;-hoz tartozó &amp;lt;math&amp;gt;X(x) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; megoldás nem érdekel minket, tehát &amp;lt;math&amp;gt;c_2 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X&#039;(5) = -c_1\frac{b}{3} \sin{\frac{b}{3}5} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az X azonosan nulla megoldás megint nem érdekel minket, így:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{5}{3}b = k\pi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;b = \frac{3}{5}k\pi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Most oldjuk meg a T-re vonatkozó diff-egyenletet&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\dot{T}(t)}{T(t)} = -( \frac{3}{5}k\pi)^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = -( \frac{3}{5}k\pi)^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;T_k(t) = d_k e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Írjuk fel &amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-t!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t) = D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cdot e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Majd pedig az ebből generált sort:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = \sum_{k=0}^\infty D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cdot e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, 0) = \sum_{k=0}^\infty D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} = 12\cos\frac{3\pi}{5}x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;A_3 = 12&amp;lt;/math&amp;gt;, minden más &amp;lt;math&amp;gt;A_i&amp;lt;/math&amp;gt; pedig nulla.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = 12 \cos{\frac{3}{5}\pi x} \cdot e^{-( \frac{9}{5}\pi)^2 t}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Parcdiff egyenletek (véges differenciák) ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Véges differenciák segítségével, &amp;lt;math&amp;gt;h=\frac{1}{2}&amp;lt;/math&amp;gt; felosztás mellett adjuk meg az &amp;lt;math&amp;gt;u_{1,2}&amp;lt;/math&amp;gt; értékét, ha&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(0, t) = 3,~ u(3, t) = 0,~u(x,0)=3-x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Írjuk fel a diffegyenletet véges differenciákkal:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Magyarázat:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Írjuk fel a differál-egyenletet differa-egyenlet formában!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;lim_{\Delta \to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta, y) - u(x, y)}{\Delta} - \frac{u(x, y) - u(x-\Delta, y)}{\Delta}}{\Delta} = lim_{\Delta \to 0}\frac{\frac{u(x, y+\Delta) - u(x, y)}{\Delta} - \frac{u(x, y) - u(x, y-\Delta)}{\Delta}}{\Delta}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Közös nevezőre hozva:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x+\Delta, y) - 2u(x, y) + u(x-\Delta, y)}{\Delta^2} = lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x, y+\Delta) - 2u(x, y) + u(x, y-\Delta)}{\Delta^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Na most felejtsük, hogy delta nullához tart, és válasszunk ki egy megfelelően kicsi értéket vízszintes (h) és függőleges (k) irányban. A folytonos függvény helyett pedig használjuk egy ilyen lépésközönként mintavételezett diszkrét függvényt, ahol &amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j}&amp;lt;/math&amp;gt; jeletése &amp;lt;math&amp;gt;u(i \cdot h, j \cdot h)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} = \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{k^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Válasszuk meg a feladatban adott h értékhez a k értékét, hogy az egyenletből a lehető legtöbb tag kiessen (jelen esetben a &amp;lt;math&amp;gt;h = k = \frac{1}{2}&amp;lt;/math&amp;gt; választás célszerű).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j} = u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Fejezzük ki &amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j+1}&amp;lt;/math&amp;gt;-et az egyenletből.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j+1} = u_{i+1,j} + u_{i-1,j} - u_{i,j-1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Ennek a képletnek a rekurzív alkalmazásával el tudunk jutni a peremfeltételtől az u_{1,2} értékig.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{1,2} = u_{2,1} + u_{0, 1} - u_{1, 0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Innen az  &amp;lt;math&amp;gt;u_{0, 1}&amp;lt;/math&amp;gt; és a &amp;lt;math&amp;gt;u_{1, 0}&amp;lt;/math&amp;gt; ismert a peremfeltétel alapján, de az &amp;lt;math&amp;gt;u_{2,1}&amp;lt;/math&amp;gt;-ért még számolnunk kell.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{2,1} = u_{3,0} + u_{1, 0} - u_{2, -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;u_{2, -1}&amp;lt;/math&amp;gt;-hez a nullában vett t szerinti deriváltra vonatkozó feltételt kell használni:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{u_{2, 0} - u_{2, -1}}{k} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{2, -1} = u_{2, 0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A kért pont tehát kiszámolható az alábbi peremen található értékekből (papíron egyszerűbb felvenni egy négyzetrácsot az &amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j}&amp;lt;/math&amp;gt; értékeknek, és mindenhova odaírni az adott értéket):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{1,2} = (u_{3,0} + u_{1, 0} - u_{2, 0}) + u_{0, 1} - u_{1, 0} = (0 + 2 - 1) + 3 - 2 = 2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha &amp;lt;math&amp;gt;x \in [0, 5], t \geq 0&amp;lt;/math&amp;gt;, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz &amp;lt;math&amp;gt; u(2, \frac{1}{18})&amp;lt;/math&amp;gt;?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial u}{\partial t} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{u_{i,j+1} - u_{i,j}}{k} = 9 \frac{u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az egyszerű számolás miatt legyen &amp;lt;math&amp;gt;k = \frac{h^2}{18} = \frac{1}{18}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;18(u_{i,j+1} - u_{i,j}) = 9 (u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2 u_{i,j+1}  = u_{i+1,j} + u_{i-1,j}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j+1} = \frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez alapján a keresett érték:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(2, \frac{1}{18}) = \frac{u(1, 0) + u(3, 0)}{2} = 6 (\cos\frac{3\pi}{5} + \cos\frac{9\pi}{5})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jordan normál-forma ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Adjuk meg az &amp;lt;math&amp;gt;x = Bx + b&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását, ha &amp;lt;math&amp;gt;B = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}3 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 4 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1\end{bmatrix},~ b = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Először meg kell határozni B sajátértékeit. Ezt a &amp;lt;math&amp;gt;det\left(B - \lambda I\right) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldásaiként kapjuk meg. Most az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{1}{6}&amp;lt;/math&amp;gt;-os szorzó miatt inkább számoljuk azzal, hogy &amp;lt;math&amp;gt;6 \cdot det\left(B - \lambda I\right) = det\left(6B - 6\lambda I\right) = det\left(6B - \lambda&#039; I\right) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{vmatrix}3 - \lambda&#039; &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 4 - \lambda&#039; &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 - \lambda&#039;\end{vmatrix} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Fejtsük ki a determinánst az első oszlop szerint:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(3 - \lambda&#039;)((4 - \lambda&#039;)(1 - \lambda&#039;) + 2) = (3 - \lambda&#039;)(\lambda&#039;^2 - 5\lambda + 6) = (3 - \lambda&#039;)(\lambda&#039; - 3)(\lambda&#039; - 2) = - (\lambda&#039; - 3)^2(\lambda&#039; - 2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Most határozzunk meg minden sajátértékhez egy sajátvektort (itt az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{1}{6}&amp;lt;/math&amp;gt;-os szorzó nem számít, a sajátvektor csak konstans szorzó erejéig egyértelmű)&lt;br /&gt;
* Először a &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&#039; = 3&amp;lt;/math&amp;gt;-hoz keresünk két sajátvektort:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}3 - 3 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 4 - 3 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 - 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \underline{0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Mindhárom egyenletünk megegyezünk, az y legyen mondjuk 1, ekkor a z-nek -2-nek kell lennie, az x tetszőleges. Az x=0 és az x=1 két lineáris független sajátvektort ad.&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;s_{-3, 1} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix},~s_{-3, 2} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Határozzuk meg a &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&#039; = 2&amp;lt;/math&amp;gt;-höz tartozó sajátvektort is:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}3 - 2 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 4 - 2 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 - 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}1 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \underline{0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = z, ~x = -y+2z = z&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Tehát egy sajátvektor például:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;s_{-2} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A Jordan-normál forma (sajátértékek főátalóban, itt már számít a skalár szorzó) és a transzformációs mátrix (sajátvektorok alkotta mátrix):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;J = \begin{bmatrix} \frac{3}{6} &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; \frac{3}{6} &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{2}{6}\end{bmatrix},~T = \begin{bmatrix} s_{-3, 1} &amp;amp; s_{-3, 2} &amp;amp; s_{-2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 \\ -2 &amp;amp; -2 &amp;amp; 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A végeredményt az alábbi alakban kapjuk majd meg: &amp;lt;math&amp;gt;u = T (\sum_{k=0}^\infty J^k) T^{-1} b&amp;lt;/math&amp;gt;. Ehhez viszont először invertálni kell T-t.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Gauss-elimináljunk!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \begin{bmatrix} 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\ -2 &amp;amp; -2 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 1\end{bmatrix} =_{s_3 += 2 \cdot s_2} \begin{bmatrix} 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 3 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 1\end{bmatrix} =_{s_1 -= \cdot s_2} \begin{bmatrix} -1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; -1 &amp;amp; 0 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 3 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 1\end{bmatrix} =_{s_2 += \cdot s_1 - s_3 / 3} \begin{bmatrix} -1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; -1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; -\frac{2}{3} &amp;amp; -\frac{1}{3} \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 3 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; -1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; -\frac{2}{3} &amp;amp; -\frac{1}{3} \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{2}{3} &amp;amp; \frac{1}{3}\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Számoljuk ki &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{k=0}^\infty J^k&amp;lt;/math&amp;gt;-t!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\sum_{k=0}^\infty J^k = \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{3})^k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{3}{2}\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A végeredmény tehát (a mátrix szorzásokat már nem kell elvégezni):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u = \begin{bmatrix} 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 \\ -2 &amp;amp; -2 &amp;amp; 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{3}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\1 &amp;amp; -\frac{2}{3} &amp;amp; -\frac{1}{3} \\ 0 &amp;amp; \frac{2}{3} &amp;amp; \frac{1}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük a &amp;lt;math&amp;gt;\sqrt{1 + coshx} - 2 = x&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; A húrmódszer konvergens ha &amp;lt;math&amp;gt;|I| \frac{|f&#039;&#039;|}{2|f&#039;|} &amp;lt; 1&amp;lt;/math&amp;gt; a tartomány összes pontján.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez megadja, hogy max mekkora lehet az intervallum hossza, hogy az algoritmus konvergáljon. Gyakorlatban azt szoktuk vizsgálni, hogy a számláló maximuma és a nevező minimuma esetén is teljesül-e a feltétel, ami egy szűkebb feltétel, de becslésnek jó.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Számoljuk ki a deriváltakat!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|f&#039;| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2 - x)&#039;\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}} - 1\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|f&#039;&#039;| = \left|\frac{coshx}{2(1 + coshx)^\frac{1}{2}} - \frac{sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx(1 + coshx) - 2 \cdot sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| =  \left|\frac{coshx - sinh^2x + (cosh^2x - sinh^2x)}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| \left|\frac{coshx - sinh^2x + 1}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma, tehát az x helyére mindenhova négyet vagy ötöt írunk)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;min_I|f&#039;| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}} - 1\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;max_I|f&#039;&#039;| \leq \left|\frac{cosh4 - sinh^25 + 1}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;I &amp;lt; \frac{2 \cdot min_I|f&#039;|}{max_I|f&#039;&#039;|} = \left| \frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1 + cosh5}} - 2}{\frac{cosh4 - sinh^25 + 1}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}} \right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; Az iteráció konvergens ha &amp;lt;math&amp;gt;|g(x)&#039;| &amp;lt; 1 &amp;lt;/math&amp;gt; a tartomány összes pontján.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|g&#039;(x)| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2)&#039;\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;min_I|g&#039;(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt{1 + e^5 + e^{-5}}} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Tekintsük az &amp;lt;math&amp;gt;e^x - 2 = x&amp;lt;/math&amp;gt; egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Iteráció: &amp;lt;math&amp;gt;|g&#039;(x)| = e^x &amp;gt; 1&amp;lt;/math&amp;gt;, az [1, 2] intervallum összes pontján. Ebből következik, hogy az iteráció bármely részintervallumon divergens lesz, tehát nem használható.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Húrmódszer:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|I| \frac{max_I|f&#039;&#039;|}{2 min_I|f&#039;|} = |I| \frac{e^2}{2(e^1 - 1)} &amp;lt; 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis az algoritmus konvergens, ha &amp;lt;math&amp;gt;|I| &amp;lt; 2\frac{e-1}{e^2} = 2(e^{-1} - e^{-2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Az &amp;lt;math&amp;gt;arsh 2x = x&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az intervallumfelezés esetén minden lépésben megfelezzük az intervallumot (meglepő mi? :D), szóval k lépés után a pontossága: &amp;lt;math&amp;gt;\frac{|I|}{2^k}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A iteráció esetében a pontosság &amp;lt;math&amp;gt;|g&#039;(x)|&amp;lt;/math&amp;gt;-el szorzódik meg minden iteráció után. Ha ez kisebb, mint &amp;lt;math&amp;gt;\frac{1}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor ez a módszer gyorsabban konvergál, mint az intevallum felezés.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|g&#039;(x)| = \frac{2}{\sqrt{1 + (2x)^2}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az [1,2] tartományon ennek a maximuma &amp;lt;math&amp;gt;\frac{2}{\sqrt{3}}&amp;lt;/math&amp;gt; ami nagyobb, mint 1, ezért itt az iteráció még csak nem is konvergens. A [2, 3] tartományon a maximum &amp;lt;math&amp;gt;\frac{2}{\sqrt{17}} \approx 0.485&amp;lt;/math&amp;gt;, tehát itt az iteráció gyorsabban konvergál.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;4)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016V1]&amp;lt;/small&amp;gt; Newton (érintő) módszerrel keressük a &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását. Adjuk meg &amp;lt;math&amp;gt;x_{k+1}&amp;lt;/math&amp;gt;-et &amp;lt;math&amp;gt;x_k&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;f&amp;lt;/math&amp;gt; segítségével!&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
Legyen &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = e^x - 1,~x\in[-a, a]&amp;lt;/math&amp;gt;. Adjuk meg &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;-t úgy, hogy a módszer konvergáljon!&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
Mi a konvergencia sebessége?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f&#039;(x_k)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A konvergencia feltétele: &amp;lt;math&amp;gt;|I| \left| \frac{f(x)f&#039;&#039;(x)}{f&#039;(x)^2} \right| &amp;lt; 1&amp;lt;/math&amp;gt; a tartomány összes pontján, illetve ezt közelíthetjük a számláló maximumával és nevező minimumával:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2a \left| \frac{\max_I ((e^x - 1) e^x)}{\min_I (e^x)^2} \right| = 2a \frac{(e^a - 1) e^a}{\left(e^{-a}\right)^2} = 2a (e^a - 1) e^{3a} &amp;lt; 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A konvergencia sebessége: &amp;lt;math&amp;gt;\epsilon_{k+1} \le \frac{|f&#039;&#039;|}{2|f&#039;|} \epsilon_k^2&amp;lt;/math&amp;gt;, vagy egyszerűbb alakban: &amp;lt;math&amp;gt;d_k \le d_0^{2k}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Lagrange multiplikátor módszer ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük meg az &amp;lt;math&amp;gt;f(x, y, z) = xy^2z^3(x,y,z &amp;gt; 0)&amp;lt;/math&amp;gt; szélsőértékét az &amp;lt;math&amp;gt;g(x, y, z) = x + 2y + 3z - 6 = 0&amp;lt;/math&amp;gt; feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vezessük be az alábbi függvényt:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F = f - \lambda g&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A szélsőérték akkor létezhet, ha az összes változó szerinti derviált nulla:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial x} = y^2z^3 - \lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial y} = 2xyz^3 - 2\lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial z} = 3xy^2z^2 - 3\lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial \lambda} = g = x + 2y + 3z - 6 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az első egyenlet 2x szeresét a második egyenlet y szorosával egyenlővé téve:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2xy^2z^3 - 2 \lambda x = 2xy^2z^3 - 2\lambda y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda x = \lambda y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Azaz &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt; vagy &amp;lt;math&amp;gt;x = y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt; eset: &amp;lt;math&amp;gt;x = y = z = \lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt; (ellentmondás: x, y, z pozitív a feladat szerint)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;x = y&amp;lt;/math&amp;gt; eset: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az második egyenlet 3y szeresét a harmadik egyenlet 2z szeresét egyenlővé téve:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;6x^3z^3 - 6\lambda x = 6x^3z^3 - 6\lambda z&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis (ismerve, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\lambda \neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x = y = z = \lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A definitséghez szükség van ebben a pontban a feltétel gradiensére:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;grad(g) = \begin{bmatrix}1 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Illetve a gradiensre merőleges vektorok alakjára (skalárszorzat alapján: &amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;\begin{bmatrix}1 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x &amp;amp; y &amp;amp; z\end{bmatrix}&amp;gt; = 0&amp;lt;/math&amp;gt;)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}3x &amp;amp; 3y &amp;amp; -x-2y\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ezen kívül még az F Hesse mátrixa is kelle fog ebben a pontban:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\left. \begin{bmatrix}{F_{xx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{xy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{xz}}&#039;&#039; \\ {F_{yx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{yy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{yz}}&#039;&#039; \\ {F_{zx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{zy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{zz}}&#039;&#039;\end{bmatrix} \right|_{x=1,y=1,z=1} =  \left. \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2yz^3 &amp;amp; 3y^2z^2 \\ 2yz^3 &amp;amp; 2xz^3 &amp;amp; 6xyz^2 \\ 3y^2z^2 &amp;amp; 6xyz^2 &amp;amp; 6xy^2z \end{bmatrix}\right|_{x=1,y=1,z=1} = \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3 \\ 2 &amp;amp; 2 &amp;amp; 6 \\ 3 &amp;amp; 6 &amp;amp; 6 \end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A definitséghez szorozzuk meg a Hesse mátrixot a gradiensre merőleges vektorokkal mindkét oldalról:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}3x &amp;amp; 3y &amp;amp; -x-2y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3 \\ 2 &amp;amp; 2 &amp;amp; 6 \\ 3 &amp;amp; 6 &amp;amp; 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3x &amp;amp; -6y &amp;amp; 3x + 6y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = -9x - 18y^2 -3x^2 -6xy -6xy -12y^2 = -12x^2 -12xy - 30y^2  = -6 (x^2 + xy + 5y^2) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ennek az előjele lehet pozitív és negatív is x és y értékétől függően, vagyis a mátrix indefinit, azaz itt nincs szélsőérték. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(Ha mindig pozitív lett volna, az minimum helyet jelölt volna, ha mindig negatív akkor maximum, ha mindig nulla, akkor pedig nyereg pont.)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Hol lehet feltételes szélsőértéke a &amp;lt;math&amp;gt;3x^2 + y^2 + z^2 - xy&amp;lt;/math&amp;gt; függvénynek az &amp;lt;math&amp;gt;x^2 + y^2 + z^2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt; feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F = 3x^2 + y^2 + z^2 - xy - \lambda(x^2 + y^2 + z^2 - 1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial x} = 6x - y - 2\lambda x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial y} = 2y - x - 2\lambda y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial z} = 2z  - 2\lambda z = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A harmadik egyenletből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda)z = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Azaz &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt; vagy &amp;lt;math&amp;gt;z = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt; eset: &amp;lt;math&amp;gt;x = y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;z = \lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;z = 0&amp;lt;/math&amp;gt; eset:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az első egyenletből: &amp;lt;math&amp;gt;y = (6-2\lambda)x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az második egyenletből egyenletből: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2(6-2\lambda)x - x - 2\lambda (6-2\lambda)x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(4 \lambda^2 - 16\lambda + 11)x = 0&amp;lt;/math&amp;gt; (x = 0: ellentmondás)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \lambda^2 - 16\lambda + 11 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{80}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A negyedik egyenlet alapján:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x^2 + (2 \pm \sqrt{5})^2 x^2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis a megoldások (4 db):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + (2 \pm \sqrt{5})^2}}, ~y= \pm(2 \pm \sqrt{5}) \sqrt{\frac{1}{1 + (2 \pm \sqrt{5})^2}},~z=0, \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Hol lehet feltételes szélsőértéke a &amp;lt;math&amp;gt;x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz&amp;lt;/math&amp;gt; függvénynek az &amp;lt;math&amp;gt;x^2 + y^2 + z^2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt; feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial x} = 2x - 2y -2z -2 \lambda x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial y} = 2y - 2x - 2 \lambda y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial y} = 2z - 2x - 2 \lambda z = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vonjuk ki a második egyenletből a harmadikat:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda)(y - z) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Azaz &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt; vagy &amp;lt;math&amp;gt;y = z&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A második és harmadik egyenlet is azt adja, hogy:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az első egyenlet alapján:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = -z&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tehát a két megoldás (a negyedik egyenlet alapján):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(0, \pm\sqrt{2}, \mp\sqrt{2}, 1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;y = z&amp;lt;/math&amp;gt; eset&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda) x - 2y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda) y - x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x^2 + 2y^2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A második egyenletből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x = (1 -\lambda) y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az első egyenletbe írva:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda)^2 y - 2y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;-(\lambda^2 + 1)y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Azaz &amp;lt;math&amp;gt;y = z = x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, ellentmondás. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;hr&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;A szélsőértékek jellege:&amp;lt;/big&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;grad(g) = (2x, 2y, 2z)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az adott pontokban:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;grad(g) = (0, \pm 2 \sqrt{2}, \mp 2 \sqrt{2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az erre merőleges vektorok: &amp;lt;math&amp;gt;(x, y, y)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A Hesse mátrix:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\left. \begin{bmatrix}{F_{xx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{xy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{xz}}&#039;&#039; \\ {F_{yx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{yy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{yz}}&#039;&#039; \\ {F_{zx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{zy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{zz}}&#039;&#039;\end{bmatrix} \right|_{x=0,y=\pm\sqrt{2},z=\mp\sqrt{2},\lambda=1} =  \left. \begin{bmatrix}2 - 2\lambda &amp;amp; 2 &amp;amp; 2 \\ 2 &amp;amp; 2 - 2\lambda &amp;amp; 0 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 2 - 2\lambda \end{bmatrix}\right|_{x=0,y=\pm\sqrt{2},z=\mp\sqrt{2},\lambda=1} = \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 2 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A definitség:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}x &amp;amp; y &amp;amp; y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 2 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4y &amp;amp; 2x &amp;amp; 2x\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ y\end{bmatrix} = 16xy&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez indefinit, itt nincs szélsőérték.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Variáció számítás ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük meg az &amp;lt;math&amp;gt;I(y)&amp;lt;/math&amp;gt; funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;I(y) = \int_{-1}^{2}y&#039;^2 + x^3 - 2xydx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez a feladattípus arról szól, hogy használjuk az Euler-Lagrange (EL) egyenletet: &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y&#039;} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vegyük észre, hogy két különböző deriváltjel szerepel a képletben, és ezek mást jelentenek.&lt;br /&gt;
* A &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial}{\partial x}&amp;lt;/math&amp;gt; azt jelenti, hogy csak az &amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;-et közvetlenül tartalmazó tagokat deriváljuk, de az &amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;-től függő &amp;lt;math&amp;gt;y(x)&amp;lt;/math&amp;gt; függvényt már konstansnak (független változónak) tekintjük a deriválás szempontjából.&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial x}{\partial x} = 1,~\frac{\partial y(x)}{\partial x} = 0,~\frac{\partial y&#039;(x)}{\partial x} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* A &amp;lt;math&amp;gt;\frac{d}{d x}&amp;lt;/math&amp;gt; esetében mindent deriválunk &amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt; szerint, ami függ &amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;-től.&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\frac{d x}{d x} = 1,~\frac{d y(x)}{d x} = y&#039;(x),~\frac{d y&#039;(x)}{d x} = y&#039;&#039;(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az f függvény, amire alkalmazni kell az EL-t, az az integrál belseje: &amp;lt;math&amp;gt;f(x, y, y&#039;) = y&#039;^2 + x^3 - 2xy&amp;lt;/math&amp;gt;. Ha lenne feltétel is, akkor ugyanúgy be kéne vezetni egy &amp;lt;math&amp;gt;F = f - \lambda g&amp;lt;/math&amp;gt; függvényt, és arra kéne megoldani az EL-t.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y&#039;} = -2x - \frac{d}{d x}2y&#039; = -2x - 2y&#039;&#039; = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;&#039;(x) = -x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;(x) = -\frac{x^2}{2} + c&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(x) = -\frac{x^3}{6} + cx + d&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A kezdeti felételeket felhasználva:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(-1) = \frac{1}{6} - c + d = \frac{1}{6}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;c = d&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(2) = -\frac{8}{6} + 2c + d = -\frac{4}{3} + 3c = \frac{5}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;3c = \frac{9}{3} = 3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tehát &amp;lt;math&amp;gt;c = 1,~d = 1&amp;lt;/math&amp;gt;, azaz a megoldás: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(x) = -\frac{x^3}{6} + x + 1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük meg az &amp;lt;math&amp;gt;I(y)&amp;lt;/math&amp;gt; funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;I(y) = \int_{-1}^{2}y&#039;^3 + x^3 - 2xydx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y&#039;} = -2x - \frac{d}{d x}3y&#039;^2 = -2x - 6y&#039;y&#039;&#039; = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vezessünk be egy &amp;lt;math&amp;gt;p = y&#039; = \frac{dy}{dx}, ~p&#039; = y&#039;&#039; = \frac{dp}{dx}&amp;lt;/math&amp;gt; változót, és erre oldjuk meg a differenciálegyenletet (ha az egyenletből az x hiányozna, akkor y szerinti deriválásra kéne áttérni).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;-x = 3 p \frac{dp}{dx}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;3 p~dp = -x~dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{3}{2} p^2 = -\frac{x^2}{2} + c&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Írjuk vissza az y&#039;-t p helyére&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = -\frac{x^2}{3} + c_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;dy^2 = \left(-\frac{x^2}{3} + c_2\right)dx^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;dy = \pm \left(\sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{-x^2 + c_3}\right) dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez egy sokkal nehezebb integrál, mint ami ZH-kon elő szokott fordulni. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Amúgy elvileg megoldható &amp;lt;math&amp;gt;x = \sqrt{c_3} \sin u&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;dx = \sqrt{c_3} \cos u\,du&amp;lt;/math&amp;gt; helyettesítéssel meg néhány trigonometrikus összefüggés felhasználásával, és ez lesz a eredménye:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = \pm \frac{1}{2\sqrt{3}} \left(x \sqrt{c_3 - x^2} + c_3 \arctan(\frac{x}{\sqrt{c_3 - x^2}}) \right) + d&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A két kezdeti feltételt felhasználva ki lehet számolni a két konstans értékét (&amp;lt;math&amp;gt;c_3, d&amp;lt;/math&amp;gt;). De analitikusan ez még a Mathematica-nak sem sikerült. Persze lehet próbálkozni numerikus módszerekkel :p&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Valami nagyon el van b*va ezzel a feladattal.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/236x/55/08/4b/55084be16a6b92e2cdb97951f371f4df.jpg&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016V1]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük meg az extremális függvényt az &amp;lt;math&amp;gt;I(y) = \int_0^1 y(2-y&#039;) dx,~y(0) = 1,~ y(1) = 2&amp;lt;/math&amp;gt; operátorra vonatkozóan a &amp;lt;math&amp;gt;J(y) = \int_0^1 y&#039;^2 = \frac{13}{3}&amp;lt;/math&amp;gt; feltétel mellett!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F = y(2-y&#039;) - \lambda y&#039;^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Erre alkalmazzuk az Euler-Lagrange egyenletet:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2-y&#039; - \frac{d}{dx}(-y - 2\lambda y&#039;) = 2-y&#039; + y&#039; + 2\lambda y&#039;&#039; = 2 + 2\lambda y&#039;&#039; = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;&#039; = \frac{-1}{\lambda}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{dy&#039;}{dx} = \frac{-1}{\lambda}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\int dy&#039; = \int \frac{-1}{\lambda} dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039; = \frac{-x}{\lambda} + c_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\lambda} + c_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\int dy = \int \frac{-x}{\lambda} + c_1 dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = \frac{-x^2}{2 \lambda} + c_1 x + c_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Használjuk fel a kezdeti feltételeket!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(0) = c_2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(1) = \frac{-1}{2 \lambda} + c_1 + 1 = 2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;c1 = 1 + \frac{1}{2 \lambda}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;-hoz ki kell számolni J(y)-t.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = \frac{-x^2}{2 \lambda} + x + \frac{x}{2 \lambda} + 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039; = \frac{-x}{\lambda} + 1 + \frac{1}{2 \lambda}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;^2 = \frac{x^2}{\lambda^2} - \frac{2x}{\lambda} + 1 - \frac{2x}{2\lambda^2} + \frac{2}{2\lambda} + \frac{1}{4 \lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \left( x^2 - 2x\lambda + \lambda^2 - x + \lambda + \frac{1}{4} \right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\int_0^1 y&#039;^2 = \frac{1}{\lambda^2} \left[ \frac{x^3}{3} - \lambda x^2 + \lambda^2 x - \frac{x^2}{2} + \lambda x + \frac{x}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{\lambda^2} \left( \frac{1}{3} - \lambda + \lambda^2 - \frac{1}{2} + \lambda + \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{1}{12\lambda^2} = \frac{13}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda^2 = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{40}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Visszaírva y-ba:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(x) = \mp \sqrt{10} x^2 + (1\pm\sqrt{10}) x + 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190526</id>
		<title>Alkalmazott algebra és matematikai logika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190526"/>
		<updated>2016-10-22T11:32:23Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Matematikai logika */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Mérnök informatikus MSc | mérnök informatikus MSc]] Felsőbb matematika tárgyblokk egyik tantárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Alkalmazott algebra és matematikai logika&lt;br /&gt;
| tárgykód = TE90MX57&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév =&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék =&lt;br /&gt;
| jelenlét = &lt;br /&gt;
| minmunka = &lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 2 db&lt;br /&gt;
| hf = &lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tad = https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90MX41/&lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://algebra.math.bme.hu/2016-17-1/BMETE90MX57-V0_NagyG&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=Alkalmazott algebra=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://algebra.math.bme.hu/nagy-gabor Nagy Gábor Péter]&lt;br /&gt;
* [https://www.dropbox.com/s/2wv0v6p7qaax36l/Applied%20Linear%20Algebra%20presentation.pdf?dl=0 Előadásdiák] (korábbról, angolul, de a tárgy anyagát ránézésre lefedeik)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://math.bme.hu/~wettl/okt/Jegyzet/00la.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039; (Jóval részeltesebb, mint a tárgy anyaga)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.math.u-szeged.hu/~nagyg/DinEx/DinEx_lista.html Hivatalos gyakorlófeladatok]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Alkalmazott algebra tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
=== Segédanyagok ===&lt;br /&gt;
* [http://www.math.bme.hu/~ig/alkalg/ korábbi jegyzetek]&lt;br /&gt;
*[[Alkalmazott algebra - Előadások 2012 | Előadásjegyzet 2012-ből]], [http://www.math.bme.hu/~lukacs/bboard/alkalg/2012/ea_12aa.html ez] alapján.&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_kezzelirt.pdf | Kézzel írt előadásjegyzet 2012]] Tartalmazhat [[Alkalmazott algebra - Hibák a kézzel írt 2012-es jegyzetben | hibákat]], az utolsó előadást még nem tartalmazza. (Lehet, hogy érdemes 50%-osban nyomtatni.) &lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2012]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2010]] &amp;lt;- [[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos_tartalomjegyzek.pdf | tartalomjegyzék]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_diasor_2012.pdf | Diasorok összefűzve]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva.pdf | teteje levágva]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva_8.pdf | 8 dia/oldal]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Zárthelyik ===&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_zh_2011_regi.pdf | Régebbi zh-k]], és [[Media:Alkalg_zh_2011_regi_mego.pdf | megoldásaik]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Matematikai logika =&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://renyi.hu/~sagi/ Sági Gábor]&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://renyi.hu/~sagi/felsobbmatC-2010osz-eljgyz.html Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://renyi.hu/~sagi/felsmat-2016osz-letoltesek.html Hivatalos gyakorlófeladatok]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Matematikai logika tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
===Segédanyagok===&lt;br /&gt;
A tárgyhonlapot nem tudjuk, hol van, egyáltalán van-e, egy nagyon régi maradványt sikerült csak megtalálni: http://www.renyi.hu/~sagi/teaching2010sep.html&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2014-es honlap: http://www.math.bme.hu/~ferenczi/FelsoMatek14&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_jegyzet_2004.docx | Összefoglaló 2004]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
====2014-es összefoglalás====&lt;br /&gt;
Előadásjegyzet alapján, erősen kivonatolva (pl. a feladatmegoldások lépéseit kihagytam belőle)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Leginkább csak tételek és definíciók.&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
(Amelyik tétel vastaggal ki van emelve, arról elhangzott, hogy az fontos)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Szerkeszthető (DOCX, W2013, egyenletszerkesztős): [[:File:Összefoglalo_2014_(docx).docx]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
PDF: [[:File:Összefoglalo_2014_(pdf).pdf]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Zárthelyik===&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta.pdf | Minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta_megoldas.pdf | Minta ZH megoldás]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_20101129.png | 2010. őszi ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:matlog_mintazh_2014osz.pdf | 2014. őszi minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_1.jpg | 2014. ZH 1. oldal]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_2.jpg | 2014. ZH 2. oldal]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190475</id>
		<title>Alkalmazott algebra és matematikai logika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190475"/>
		<updated>2016-10-16T20:30:31Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: /* Alkalmazott algebra */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Mérnök informatikus MSc | mérnök informatikus MSc]] Felsőbb matematika tárgyblokk egyik tantárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Alkalmazott algebra és matematikai logika&lt;br /&gt;
| tárgykód = TE90MX57&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév =&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék =&lt;br /&gt;
| jelenlét = &lt;br /&gt;
| minmunka = &lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 2 db&lt;br /&gt;
| hf = &lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tad = https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90MX41/&lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://algebra.math.bme.hu/2016-17-1/BMETE90MX57-V0_NagyG&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=Alkalmazott algebra=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://algebra.math.bme.hu/nagy-gabor Nagy Gábor Péter]&lt;br /&gt;
* [https://www.dropbox.com/s/2wv0v6p7qaax36l/Applied%20Linear%20Algebra%20presentation.pdf?dl=0 Előadásdiák] (korábbról, angolul, de a tárgy anyagát ránézésre lefedeik)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://math.bme.hu/~wettl/okt/Jegyzet/00la.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039; (Jóval részeltesebb, mint a tárgy anyaga)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.math.u-szeged.hu/~nagyg/DinEx/DinEx_lista.html Hivatalos gyakorlófeladatok]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Alkalmazott algebra tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
=== Segédanyagok ===&lt;br /&gt;
* [http://www.math.bme.hu/~ig/alkalg/ korábbi jegyzetek]&lt;br /&gt;
*[[Alkalmazott algebra - Előadások 2012 | Előadásjegyzet 2012-ből]], [http://www.math.bme.hu/~lukacs/bboard/alkalg/2012/ea_12aa.html ez] alapján.&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_kezzelirt.pdf | Kézzel írt előadásjegyzet 2012]] Tartalmazhat [[Alkalmazott algebra - Hibák a kézzel írt 2012-es jegyzetben | hibákat]], az utolsó előadást még nem tartalmazza. (Lehet, hogy érdemes 50%-osban nyomtatni.) &lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2012]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2010]] &amp;lt;- [[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos_tartalomjegyzek.pdf | tartalomjegyzék]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_diasor_2012.pdf | Diasorok összefűzve]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva.pdf | teteje levágva]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva_8.pdf | 8 dia/oldal]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Zárthelyik ===&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_zh_2011_regi.pdf | Régebbi zh-k]], és [[Media:Alkalg_zh_2011_regi_mego.pdf | megoldásaik]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Matematikai logika =&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://renyi.hu/~sagi/ Sági Gábor]&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://renyi.hu/~sagi/felsobbmatC-2010osz-eljgyz.html Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Matematikai logika tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
===Segédanyagok===&lt;br /&gt;
A tárgyhonlapot nem tudjuk, hol van, egyáltalán van-e, egy nagyon régi maradványt sikerült csak megtalálni: http://www.renyi.hu/~sagi/teaching2010sep.html&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2014-es honlap: http://www.math.bme.hu/~ferenczi/FelsoMatek14&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_jegyzet_2004.docx | Összefoglaló 2004]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
====2014-es összefoglalás====&lt;br /&gt;
Előadásjegyzet alapján, erősen kivonatolva (pl. a feladatmegoldások lépéseit kihagytam belőle)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Leginkább csak tételek és definíciók.&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
(Amelyik tétel vastaggal ki van emelve, arról elhangzott, hogy az fontos)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Szerkeszthető (DOCX, W2013, egyenletszerkesztős): [[:File:Összefoglalo_2014_(docx).docx]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
PDF: [[:File:Összefoglalo_2014_(pdf).pdf]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Zárthelyik===&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta.pdf | Minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta_megoldas.pdf | Minta ZH megoldás]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_20101129.png | 2010. őszi ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:matlog_mintazh_2014osz.pdf | 2014. őszi minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_1.jpg | 2014. ZH 1. oldal]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_2.jpg | 2014. ZH 2. oldal]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Nyelvek_%C3%A9s_automat%C3%A1k&amp;diff=190446</id>
		<title>Nyelvek és automaták</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Nyelvek_%C3%A9s_automat%C3%A1k&amp;diff=190446"/>
		<updated>2016-10-02T15:07:15Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Tantárgy&lt;br /&gt;
|nev=Nyelvek és automaták&lt;br /&gt;
|tárgykód = VISZMA04&lt;br /&gt;
|kredit=4&lt;br /&gt;
|felev=Őszi&lt;br /&gt;
|kiszh=&lt;br /&gt;
|vizsga=nincs&lt;br /&gt;
|nagyzh=3 db&lt;br /&gt;
|hf=opcionális&lt;br /&gt;
|szak=MSC info&lt;br /&gt;
|levlista=infomscATsch.bme.hu&lt;br /&gt;
|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VISZM104/&lt;br /&gt;
|targyhonlap=http://cs.bme.hu/nya/&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Hasznos Infók==&lt;br /&gt;
* Előadó: Dr. Friedl Katalin vagy Csima Judit&lt;br /&gt;
* A tárgy ötéves megfelelője: [[Formális nyelvek]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Segédanyagok==&lt;br /&gt;
===Jegyzetek===&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://www.cs.bme.hu/~friedl/nya/jegyzet-13.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_jegyzet_2010.pdf‎|Legépelt jegyzet 2010 ősz]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Könyv===&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_konyv_2002.pdf‎‎|Formális nyelvek (Bach Iván)]]&lt;br /&gt;
* Algoritmusok (Ivanyos Gábor; Szabó Réka; Rónyai Lajos)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==Gyakorlatok==&lt;br /&gt;
Hivatalos, kötelező gyakorlat ugyan nincs a tárgyból, azonban minden évben szokott lenni fakultatív konzultáció, ahol a tárgyoldalra kirakott feladatsorokat veszik végig.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Gyakorlat 2014===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| border=&amp;quot;1&amp;quot;&lt;br /&gt;
| &#039;&#039;&#039;Feladatok&#039;&#039;&#039; || &#039;&#039;&#039;Megoldás&#039;&#039;&#039; &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_1_va.pdf‎|Véges automaták]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak1_megoldasok.pdf|Véges automaták - megoldások]]  &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_2_nva.pdf‎|Nemdeterminisztikus véges automaták]] || [[Média:Nyau_2014_gyak2 megoldasok.pdf|Nemdeterminisztikus véges automaták - megoldások]]  &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_3_min.pdf‎|Minimalizálás]] || Minimalizálás - megoldások  &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_4_pump.pdf‎|Pumpálás]] ||	Pumpálás - megoldások  &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_5_reg_nyelv.pdf‎|Reguláris nyelvek]] ||	Reguláris nyelvek - megoldások  &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_6_nyelvtan.pdf|Nyelvtanok]] ||	Nyelvtanok - megoldások&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_7_cf_nyelvtanok.pdf|CF nyelvtanok átalakításai, egyértelműség]] || [[Média:Nyau_2014_gyak7_megoldasok.pdf|CF nyelvtanok átalakításai, egyértelműség - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_8_cf_pumpa.pdf‎|CF pumpálás]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak8_megoldasok.pdf|CF pumpálás - megoldások]]&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_9_veremautomatak.pdf‎|Veremautomaták]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak9_megoldasok.pdf|Veremautomaták - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_10_cf_pda.pdf‎|Veremautomaták és CF nyelvtanok]] || [[Média:Nyau_2014_gyak10_megoldasok.pdf|Veremautomaták és CF nyelvtanok - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2014_11_cnf_cyk.pdf‎|Chomsky-normálforma, CYK algoritmus]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak11_megoldasok.pdf|Chomsky-normálforma, CYK algoritmus - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_2014_gyak12_feladat.pdf|Turing-gép]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak12_megoldasok.pdf|Turing-gép - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_2014_gyak13_feladat.pdf|k-szalagos Turing-gép]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak13_megoldasok.pdf|k-szalagos Turing-gép - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_2014_gyak14_feladat.pdf|Kiszámolós TG, nevezetes nyelvek, R, RE]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak14_megoldasok.pdf|Kiszámolós TG, nevezetes nyelvek, R, RE - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_2014_gyak15_feladat.pdf|R, RE, Nevezetes nyelvek]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak15_megoldasok.pdf|R, RE, Nevezetes nyelvek - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_2014_gyak16_feladat.pdf|Rice tétel, PCP]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak16_megoldasok.pdf|Rice tétel, PCP - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_2014_gyak17_feladat.pdf|Nyelvtanok és TG-ek]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak17_megoldasok.pdf|Nyelvtanok és TG-ek - megoldások]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_2014_gyak18_feladat.pdf|Tár- és időbonyolultság]] ||	[[Média:Nyau_2014_gyak18_megoldasok.pdf|Tár- és időbonyolultság - megoldások]] &lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Gyakorlat 2012===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| border=&amp;quot;1&amp;quot;&lt;br /&gt;
| &#039;&#039;&#039;Feladatok&#039;&#039;&#039; || &#039;&#039;&#039;Megoldás&#039;&#039;&#039; &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2012_1_va.pdf‎|Véges automaták]] ||	[[Média:Nyau_gyakorlat_2012_1_va_megoldasok.pdf‎|Véges automaták, Nemdeterminisztikus véges automaták - megoldások]]  &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2012_2_nva.pdf‎|Nemdeterminisztikus véges automaták]] ||	[[Média:Nyau_gyakorlat_2012_1_va_megoldasok.pdf‎|Véges automaták, Nemdeterminisztikus véges automaták - megoldások]]  &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2012_3_min.pdf‎|Minimalizálás]] ||	[[Média:Nyau_gyakorlat_2012_3_min_4_pump_megoldasok.pdf‎|Minimalizálás, Pumpálás - megoldások]]  &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| [[Média:Nyau_gyakorlat_2012_4_pump.pdf‎|Pumpálás]] ||	[[Média:Nyau_gyakorlat_2012_3_min_4_pump_megoldasok.pdf‎|Minimalizálás, Pumpálás - megoldások]]  &lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
===Gyakorlat 2011===&lt;br /&gt;
* [[Média:NyA-2011Osz-Gyakorlat-Feladatok.zip|NyA-2011Osz-Gyakorlat-Feladatok.zip]]&lt;br /&gt;
* [[Média:nyau_3.zip|2011. 3 ZH előtti gyakorlatok]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Gyakorlat 2010===&lt;br /&gt;
(Nem hivatalos megoldások, tehát tartalmazhatnak hibát, csak saját felelősségre!)&lt;br /&gt;
* 1. gyakorlat (2010.09.09) [[Média:Nya-g-10o-1-va.pdf|Feladatsor]]&lt;br /&gt;
* 2. gyakorlat (2010.09.16) [[Média:Nya-g-10o-2-va.pdf|Feladatsor]] [[Média:Nya-m-10o-2.pdf|Megoldás]] &lt;br /&gt;
* 3. gyakorlat (2010.09.23) [[Média:Nya-g-10o-3-rkif.pdf|Feladatsor]] [[Média:Nya-m-10o-3.pdf|Megoldás]]&lt;br /&gt;
* 4. gyakorlat (2010.09.30) [[Média:Nya-g-10o-4-nyelvtan.pdf|Feladatsor]] [[Média:Nya-m-10o-4.pdf|Megoldás]]&lt;br /&gt;
* 5. gyakorlat (2010.10.14) [[Média:Nya-g-10o-5-verem.pdf|Feladatsor]] [[Média:Gyak05.zip|Megoldás]]&lt;br /&gt;
* 6. gyakorlat (2010.10.21) [[Média:Nya-g-10o-6-cyk.pdf|Feladatsor]] [[Média:Gyak06.zip|Megoldás]] (6/1 c. feladatnál a megoldás jó, de nem az algoritmus szerint van átalakítva. ZH-n az algoritmust kell használni)&lt;br /&gt;
* 7. gyakorlat (2010.10.28) [[Média:Nya-g-10o-6-cyk.pdf|Feladatsor]] [[Média:Gyak07.zip|Megoldás]]&lt;br /&gt;
* 8. gyakorlat (2010.11.04) [[Média:Nya-g-10o-7-cfpump.pdf|Feladatsor]] [[Média:Gyak08.zip|Megoldás]]&lt;br /&gt;
* 9. gyakorlat (2010.11.11) [[Média:Nya-g-10o-8-re.pdf|Feladatsor]] [[Média:Gyak09.zip|Megoldás]]  (Frissült 2010.12.04-én)&lt;br /&gt;
* 10. gyakorlat (2010.11.18) [[Média:Nya-g-10o-9-rice.pdf|Feladatsor]] [[Média:Gyak10.zip|Megoldás]] &lt;br /&gt;
* 11. gyakorlat (2010.11.25) [[Média:Nya-g-10o-9-rice.pdf|Feladatsor]] [[Média:Gyak11.zip|Megoldás]] &lt;br /&gt;
* 12. gyakorlat (2010.12.02) [[Média:Nya-g-10o-10-ido.pdf|Feladatsor]] [[Média:Gyak12.zip|Megoldás]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Gyakorlat 2009 ===&lt;br /&gt;
* {{InLineFileLink|Infoszak|Nya|nya09f1.zip|nya09f1.zip}}: az első 2009-es feladatsor &amp;quot;megoldása&amp;quot; (itt-ott lehet hibás)&lt;br /&gt;
* {{InLineFileLink|Infoszak|Nya|nya09f2.zip|nya09f2.zip}}: a második 2009-es feladatsor &amp;quot;megoldása&amp;quot; (itt-ott lehet hibás)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==ZH-k==&lt;br /&gt;
4 db ZH-t kell teljesíteni a félévben, amiből kettőnek az első alkalommal sikerülnie kell, a többi pótolható, egyik kétszer is (pótót). A 4 feladatos zh-kon nagyrészt gyakorlati példákat kell megoldani, a 2014-es őszi félévtől kezdve egy elméleti kérdés (tétel, vagy definíció kimondátsa, esetleg egyszerűbb bizonyítás) is van.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===1. ZH===&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh1_2012.jpg|2012 ZH1]] &lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh1_zh2_2011.jpg|2011 ZH1-ZH2]] &lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh1_2010.jpg|2010 ZH1]] &lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh1_2009.pdf|2009 ZH1]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===2. ZH===&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh2_2014.pdf| Nem hivatalos feladat megoldások 2.ZH témaköréből]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh2_2013.pdf‎|2013 ZH2]] &lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh2_2012.pdf‎|2012 ZH2]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh2_2011.pdf‎‎|2011 ZH2]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau zh1 zh2 2011.jpg|2011 ZH1-ZH2]] &lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh2_2010.pdf‎|2010 ZH2]] &lt;br /&gt;
* {{InLineFileLink|Infoszak|Nya|2010osz_zh2mo.zip|2010 ősz 2. ZH Megoldás}} &lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh2_2009.pdf|2009 ZH2]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===3. ZH===&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh3_2014.pdf| Nem hivatalos feladat megoldások 3.ZH témaköréből]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh3_2013.pdf‎|2013 ZH3]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh3_2012.pdf‎‎‎‎|2012 ZH3]]&lt;br /&gt;
* {{InLineFileLink|Infoszak|Nya|NyA-2011Osz-3ZH-3PZH.jpg|2011 ősz 3. ZH és 3. PZH Feladatsor}}&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh3_2011.pdf‎‎‎|2011 ZH3]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh3_2010.pdf‎‎|2010 ZH3]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh3_2009.pdf‎|2009 ZH3]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===4. ZH===&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh4_2014.pdf| Nem hivatalos feladat megoldások 4.ZH témaköréből]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh4_2013.pdf|2013 ZH4]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh4_2012.pdf|2012 ZH4]]&lt;br /&gt;
* {{InLineFileLink|Infoszak|Nya|NyA-2011Osz-4PZH.jpg|2011 ősz 4. pótZH Feladatsor}}&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh4_2011.pdf|2011 ZH4]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh4_2010.pdf|2010 ZH4]]&lt;br /&gt;
* [[Média:Nyau_zh4_2009.pdf|2009 ZH4]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Anal%C3%ADzis_II._(MSc)&amp;diff=190346</id>
		<title>Analízis II. (MSc)</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Anal%C3%ADzis_II._(MSc)&amp;diff=190346"/>
		<updated>2016-09-24T16:30:58Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;&amp;lt;big&amp;gt;Ez a tárgy össze lett vonva a [[Analízis I. (MSc)]] tárggyal, a közös wikilap: [[Analízis (MSc)]].&amp;lt;/big&amp;gt;&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Anal%C3%ADzis_(MSc)_t%C3%ADpusfeladatok&amp;diff=190345</id>
		<title>Analízis (MSc) típusfeladatok</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Anal%C3%ADzis_(MSc)_t%C3%ADpusfeladatok&amp;diff=190345"/>
		<updated>2016-09-24T16:26:50Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Az [[Analízis (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Integrál trafók témakör =&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Laplace trafó diff-egyenlet ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\dot{y}(t) = 3y(t) - 2x(t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x(0) = 0,~y(0) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját (&amp;lt;math&amp;gt;X := \mathcal{L}(x),~ Y := \mathcal{L}(y)&amp;lt;/math&amp;gt;): &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;sX - x(0) = 2Y - X + \frac{1}{s}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;sY - y(0) = 3Y - 2X&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(s+1)X + (-2)Y = \frac{1}{s}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(2)X + (s-3)Y = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Mátrixos alakra hozva:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}s+1 &amp;amp; -2 \\ 2 &amp;amp; s-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{s} \\ 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}\frac{1}{s} &amp;amp; -2 \\ 1 &amp;amp; s-3\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s+1 &amp;amp; -2 \\ 2 &amp;amp; s-3\end{bmatrix}\right)} = \frac{\frac{s-3}{s} + 2}{(s+1)(s-3)+4} = \frac{3 (s-1)}{s(s^2 - 2s + 1)} = \frac{3 (s-1)}{s(s-1)^2} = \frac{3}{s(s-1)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{A}{s} + \frac{B}{s-1} = \frac{A(s-1) + Bs}{s(s-1)} = \frac{3}{s(s-1)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Együtthatókat összehasonlítva:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; A + B = 0, -A = 3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Ahonnan:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; A = -3,~B = 3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vagyis &amp;lt;math&amp;gt;X(s) = \frac{-3}{s} + \frac{3}{s-1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Tehát a táblázat alapján &amp;lt;math&amp;gt;x(t) = -3 + 3e^t&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\ddot{y}(t) = x(t) - 2y(t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;s^2X - sx(0) - \dot{x}(0) = 2X - 3Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;s^2Y - sy(0) - \dot{y}(0) = X - 2Y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Átrendezve és mátrixos alakra hozva:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}s^2-2 &amp;amp; 3 \\ -1 &amp;amp; s^2+2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Megoldás X-re:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}0 &amp;amp; 3 \\ 1 &amp;amp; s^2+2\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s^2-2 &amp;amp; 3 \\ -1 &amp;amp; s^2+2\end{bmatrix}\right)} = \frac{-3}{(s^2-2)(s^2+2)+3} = \frac{-3}{s^4-1} = \frac{-3}{(s^2-1)(s^2+1)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Parc törtek:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{A}{s^2-1} + \frac{B}{s^2+1} = \frac{(A+B)s^2 + (A-B)}{s^4-1} = \frac{-3}{s^4-1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Ahonnan:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; A = -\frac{3}{2},~B = \frac{3}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Inverz Laplace után: &amp;lt;math&amp;gt;x(t) = -\frac{3}{2}sht + \frac{3}{2}sint&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Transzformáljuk elsőrendűvé a &amp;lt;math&amp;gt;y&#039;&#039; + xy&#039; = x&amp;lt;/math&amp;gt; differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Számítsuk ki a tagok Laplace trafóját (x szerint):&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_x(y&#039;&#039;) = s^2 Y - s y(0) - y&#039;(0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_x(xy&#039;) = \mathcal{L}_x(xf(x)) = -(\mathcal{L}_x(f(x)))&#039; =  -(\mathcal{L}_x(y&#039;))&#039; = -(s Y(s) - y(0))&#039; = -(s&#039; Y(s) + s Y&#039;(s)) = -Y - sY&#039; &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_x(x) = \frac{1}{s^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Tehát az egyenlet Laplace transzformáltja (elsőrendű Y-ban):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; s^2 Y - s y(0) - y&#039;(0) + -Y - sY&#039; = \frac{1}{s^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Laplace trafó szabályok alkalmazása ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lim_{x \to 0+}f&#039;(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f&#039;&#039;(x) = ?, ha ~\mathcal{L}(f) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Számoljuk ki &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;(f)&amp;lt;/math&amp;gt;-et!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;(f) = s\mathcal{L}(f) - \lim_{x \to 0+}f(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét:&lt;br /&gt;
** Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: &amp;lt;math&amp;gt;lim_{s \to \infty}\mathcal{L}&#039;(f)=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;lim_{s \to \infty}s\mathcal{L}(f) = lim_{s \to \infty}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Tehát:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;0 = 0 - f(0+)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Amiből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;f(0+) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Csináljuk meg ugyanezt &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;&#039;(f)&amp;lt;/math&amp;gt;-re!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;&#039;(f) = s^2\mathcal{L}(f) - sf(0+) - f&#039;(0+)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;0 = \frac{1}{5} - 0 - f&#039;(0+)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Amiből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;f&#039;(0+) = \frac{1}{5}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Végül csináljuk meg ugyanezt &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;&#039;&#039;(f)&amp;lt;/math&amp;gt;-re!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}&#039;&#039;&#039;(f) = s^3\mathcal{L}(f) - s^2f(0+) - sf&#039;(0+) - f&#039;&#039;(0+)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Itt a határérték picit bonyolultabb:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;0 = lim_{s \to \infty}(\frac{s}{5} - 0 - \frac{s}{5} - f&#039;&#039;(0+))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Amiből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;lim_{s \to \infty}(f&#039;&#039;(0+)) = f&#039;&#039;(0+) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016V2]&amp;lt;/small&amp;gt; Számítsuk ki az alábbi integrált: &amp;lt;math&amp;gt;\int_0^\infty \frac{\cos t-e^{-t}}{t} dt&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Laplace tulajdonságok miatt &amp;lt;math&amp;gt;\int_0^\infty \frac{f(t)}{t} dt = \int_0^\infty \mathcal{L}(f)(s) ds&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Jelen esetben &amp;lt;math&amp;gt;f(t) = \cos t - e^{-t}&amp;lt;/math&amp;gt;, számoljuk ki az integrált:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\int_0^\infty \mathcal{L}(f) ds = \int_0^\infty \frac{s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} ds = \int_0^\infty \frac12 \frac{2s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} = &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\left[ \frac12 \ln|s^2+1| - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \sqrt{|s^2+1|} - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \frac{\sqrt{|s^2+1|}}{|s+1} \right]_0^\infty = \ln 1 - \ln 1 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Fourier diff-egyenlet ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;(x) - 4y(x) = 8&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Vegyük az egyenlet Fourier trafóját (a táblázatban a Fourier trafó y függvénye, de az y itt mást jelent, a táblázatbeli y-ok helyére írjuk s-t, illetve vezessük be az alábbi jelölést: &amp;lt;math&amp;gt;Y = \mathcal{F}(y)&amp;lt;/math&amp;gt;)!:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;isY - 4Y = 8\sqrt{2\pi}\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Átrendezve: &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;-i(s+4i)Y = 8\sqrt{2\pi}\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Aminek a disztribúció értelemben vett megoldás Y-ra: &lt;br /&gt;
** Ha &amp;lt;math&amp;gt;s+4i \neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor leoszthatunk vele. &lt;br /&gt;
** Ha &amp;lt;math&amp;gt;s+4i = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor &amp;lt;math&amp;gt;0 \cdot Y(-4i) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, vagyis &amp;lt;math&amp;gt;Y(-4i)&amp;lt;/math&amp;gt; bármilyen konstans lehet, ezt jelöljük pl c-vel.&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Y = c \cdot \delta(s+4i) + \frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Az összeg jobboldali tagja egyszerűsíthető, ha kihasználjuk, hogy az egy disztribúció (a &amp;lt;math&amp;gt;\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt; a nevezőben lévő s-be is nullát helyettesít):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}(\varphi) = \delta(s)\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}(\varphi) = \delta(s)(\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}\varphi) = \frac{8\sqrt{2\pi}}{i0-4}\varphi(0) = -2\sqrt{2\pi}\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Y = c \cdot \delta(s+4i) + -2\sqrt{2\pi}\delta(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Aminek vegyük az inverz Fourier transzformáltját:&lt;br /&gt;
** Megjegyzés: A táblázatban szerepel &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(f(t)+a) = e^{ias}\mathcal{F}(f(t))&amp;lt;/math&amp;gt;, de nekünk inverz trafó kell&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}^{-1}(F(s) + a) = \mathcal{F}(F(s) + a)|_{t=-s} =  e^{ia(-t)}(\mathcal{F}(F(s))|_{t=-s}) = e^{ia(-t)}\mathcal{F}^{-1}(F(s))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(t) = c e^{4t} - 2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Transzformáljuk elsőrendűvé a &amp;lt;math&amp;gt;y&#039;&#039; + xy&#039; = x&amp;lt;/math&amp;gt; differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Számítsuk ki az egyenlet tagjainak Fourier trafóját (x szerint):&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}_x(y&#039;&#039;) = i^2 s^2 \hat{y} = -s^2 \hat{y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}_x(xy&#039;) = \frac{\mathcal{F}_x(y&#039;)&#039;}{-i} = i\mathcal{F}_x(y&#039;)&#039; = i(is\hat{y})&#039;= -(s\hat{y})&#039; = -\hat{y} - s\hat{y}&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}_x(x) = \sqrt{2\pi}i\delta&#039;(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet &amp;lt;math&amp;gt;\hat{y}&amp;lt;/math&amp;gt;-ra):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;-s^2 \hat{y} + -\hat{y} - s\hat{y}&#039; = \sqrt{2\pi}i\delta&#039;(s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016V1]&amp;lt;/small&amp;gt; Fourier transzformáció segítségével határozzuk meg u(x, t)-t, ha&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(x, 0) = 1,~x \in \mathcal{R},y \geq 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Egy u(x, y) függvény x szerinti Fourier trafójának a definíciója:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}(s, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y) e^{-ixs} dx &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vegyük az egyenlet x szerinti Fourier trafóját (a deriválás x-ben &amp;lt;math&amp;gt;i \cdot s&amp;lt;/math&amp;gt;-el szorzás):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; -s^2 \hat{u}(s,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{u}(s, y) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Oldjuk meg a diff-egyenletet y-ra (az y szerinti deriváltat jelölje a vessző):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}_s&#039;&#039;(y) - s^2 \hat{u}_s(y) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \lambda^2 = s^2 &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{|s|y} +  c_2(s) e^{-|s|y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tudjuk, hogy ez a kifejezés &amp;lt;math&amp;gt;s \to \infty&amp;lt;/math&amp;gt;-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{|s|y} +  c_2(s) e^{-|s|y} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ami, tekintve, hogy &amp;lt;math&amp;gt;y \geq 0&amp;lt;/math&amp;gt;, csak akkor teljesülhet, ha &amp;lt;math&amp;gt;c_1(s) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tehát: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-|s|y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A kezdeti feltétel Fourier trafója:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}(0) = \sqrt{2 \pi} \delta (s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A két egyenletet összevetve:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;c_2(s) = \sqrt{2 \pi} \delta (s)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-|s|y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(x, y)&amp;lt;/math&amp;gt;-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \hat{u}(s, y) = \mathcal{F}(1) \cdot e^{-|s|y}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = 1 * \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{x^2 + y^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\xi^2 + y^2} d\xi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\frac{\xi}{y})^2 + 1} d\xi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vezessük be a &amp;lt;math&amp;gt;z = \frac{\xi}{y},~d\xi = y dz&amp;lt;/math&amp;gt; változót:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2 + 1} ydz&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{y}{y \pi} \left[arctg z \right]_{-\infty}^{\infty}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u(x, y) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{\pi}{\pi} = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Fourier trafó szabályok alkalmazása ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Számítsuk ki az &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = 3xe^{-x}H(x)&amp;lt;/math&amp;gt; Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
Vezessük be a &amp;lt;math&amp;gt;g(x) = e^{-x}H(x)&amp;lt;/math&amp;gt; jelölést!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(f(x)) = 3 \mathcal{F}(x \cdot g(x)) = 3 \cdot \frac{\mathcal{F}(g(x))&#039;}{-i} = 3i \cdot (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy})&#039; = 3i \cdot (-1) \cdot i \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(1+iy)^2} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(1+iy)^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Disztribúciók ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Adjuk meg &amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;\delta&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; lineáris kombinációjaként az &amp;lt;math&amp;gt;e^{3x-2}\delta&#039;(x)&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúciót!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Nézzük meg, hogy egy &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; függvényre hogyan viselkedik a feladatban szereplő disztribúció!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(e^{3x-2}\delta&#039;(x))(\varphi) = \delta&#039;(x)(e^{3x-2} \varphi) = -\delta(x)(e^{3x-2} \varphi)&#039; = -\delta(x)(3 \cdot e^{3x-2} \varphi + e^{3x-2} \varphi&#039;) =  -3e^{-2} \varphi(0) - e^{-2} \varphi&#039;(0) = (-3e^{-2}\delta(x) + e^{-2}\delta&#039;(x))(\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;e^{3x-2}\delta&#039;(x) = -3e^{-2}\delta(x) + e^{-2}\delta&#039;(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Számítsuk ki a &amp;lt;math&amp;gt;T = e^{-x^2}&amp;lt;/math&amp;gt; reguláris disztribúcuó és a &amp;lt;math&amp;gt;\delta&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúció konvolúciójának hatását a &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = x^2&amp;lt;/math&amp;gt; függvényre: &amp;lt;math&amp;gt;(T * \delta&#039;)x^2 = ?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Elődáson volt, hogy &amp;lt;math&amp;gt;(T * \delta&#039;) = T&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;(T * \delta&#039;)\varphi(x+y) = T_x (\delta&#039;_y(\varphi(x+y))) =  T_x(-\delta_y(\varphi&#039;(x+y))) = T_x(-\varphi&#039;(x)) = T_x&#039;(\varphi(x))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Ezt felasználva alkalmazzuk a &amp;lt;math&amp;gt;T&#039;&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúciót a &amp;lt;math&amp;gt;\psi&amp;lt;/math&amp;gt; függvényre:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;(e^{-x^2})&#039;, (x^2)&amp;gt; = \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-x^2})&#039; (x^2) dx = [e^{-x^2}(x^2)]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} 2x = 0 - [e^{-x^2}]_{-\infty}^{\infty} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Mi az &amp;lt;math&amp;gt;(x-3)f = 0&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;f = c \cdot \delta(x-3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Ha &amp;lt;math&amp;gt;x-3 \neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor leoszthatunk vele, és azt kapjuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;f = 0,~ha~x-3 \neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;. &lt;br /&gt;
* Ha &amp;lt;math&amp;gt;x-3 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor &amp;lt;math&amp;gt;0 \cdot f(3) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, vagyis &amp;lt;math&amp;gt;f(3)&amp;lt;/math&amp;gt; bármilyen konstans értéket felvehet, ezt jelöljük pl c-vel.&lt;br /&gt;
* Tehát ha &amp;lt;math&amp;gt;x \neq 3&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor &amp;lt;math&amp;gt;f = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, ha &amp;lt;math&amp;gt;x = 3&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor tetszőleges &amp;lt;math&amp;gt;c&amp;lt;/math&amp;gt; értékű, ez röviden: &amp;lt;math&amp;gt;f = c \cdot \delta(x-3)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;4)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Adjuk meg az &amp;lt;math&amp;gt;e^{3x}\delta&#039;&#039;(x-2)&amp;lt;/math&amp;gt; disztribúciót a &amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt; eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;e^{3x}\delta&#039;&#039;(x-2)(\varphi) = \delta&#039;&#039;(x-2)(e^{3x}\varphi) = \delta(x-2)((e^{3x}\varphi)&#039;&#039;) = \delta(x-2)((3e^{3x}\varphi + e^{3x}\varphi&#039;)&#039;) = &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;= \delta(x-2)(9e^{3x}\varphi + 6e^{3x}\varphi&#039; + e^{3x}\varphi&#039;&#039;) = 9e^{6}\varphi(2) + 6e^{6}\varphi&#039;(2) + e^{6}\varphi&#039;&#039;(2) = (9e^{6}\delta(x-2) - 6e^{6}\delta&#039;(x-2) + e^{6}\delta&#039;&#039;(x-2))(\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;5)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Legyen u az &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = x - 3&amp;lt;/math&amp;gt; által generált reguláris disztribúció, &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = e^{-x^2}&amp;lt;/math&amp;gt;. Számítsuk ki &amp;lt;math&amp;gt;(\sigma_2\tau_3\delta&#039; * u)\psi&amp;lt;/math&amp;gt;-t!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Először szabaduljunk meg a konvulúciótól:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\sigma_2\tau_3\delta&#039; * u) = (u * \sigma_2\tau_3\delta&#039;)\varphi(x+y) = u_x (\sigma_2\tau_3\delta&#039;_y(\varphi(x+y))) =  u_x(-\sigma_2\tau_3\delta_y(\varphi&#039;(x+y))) = u_x(-\delta_y(\varphi&#039;(2(x+y-3)))) = u_x(-\varphi&#039;(2(x-3))) = u_x&#039;(\sigma_2\tau_3(\varphi(x)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;u_x&#039; = 1&amp;lt;/math&amp;gt;, ezt bármilyen függvényre alkalmazva visszakapjuk az eredeti függvény (a sima zárójeles jelölés a disztribúció használatára itt nagyon félreérthető):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; u_x&#039;(\sigma_2\tau_3(\varphi(x))) = &amp;lt;1, \sigma_2\tau_3\varphi(x)&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Majd értékeljük ki a disztribúciót a &amp;lt;math&amp;gt;\varphi = e^{-x^2}&amp;lt;/math&amp;gt; függvényen:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;1, \sigma_2\tau_3 e^{-x^2}&amp;gt; = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(2x-6)^2}dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2}\frac{1}{2}du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Zoli megoldása:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(u * \sigma_2 \tau_3 \delta&#039;)\varphi = (u * \delta&#039; (2x-6))\varphi = u(x)(\delta&#039;(2y-6) \varphi (x+y)) =&amp;lt;/math&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;= u(x) (-\frac{\delta(2y-6)}{4} \varphi&#039;(x+y)) = u(x) \frac{-\varphi&#039;(x+3)}{4} = u&#039;(x) \frac{\varphi(x+3)}{4} = \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot e^{-(x+3)^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Wavelet trafók ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Megjegyzés: a kitevőbe írt törtek (pl: &amp;lt;math&amp;gt;e^{-\frac{x^2}{2}}&amp;lt;/math&amp;gt;) sok böngészőben hibásan jelennek meg, ezért ezekben az esetekben törtek helyett osztás jelet fogok használni.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;hr&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; Legyen &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = (1 - x^2)e^{-x^2 / 2}&amp;lt;/math&amp;gt;, a mexikói kalap wavelet. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; Legyen  &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = e^{-|x|}&amp;lt;/math&amp;gt;. &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = ?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; Legyen  &amp;lt;math&amp;gt;g(x) = x^2&amp;lt;/math&amp;gt;. Tudjuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\int_{R}e^{-x^2 / 2}dx=\sqrt{2\pi}.~W_{\psi}g_a(b) = ?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; A wavelet Fourier trafóját közvetlenül megkaphatjuk a wavelet kiértékelése nélkül: &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{f}(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{\psi}(y) = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) - \mathcal{F}(x^2 \cdot e^{-x^2 / 2}) = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) - \frac{\mathcal{F}(e^{-x^2 / 2})&#039;&#039;}{(-i)^2} = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) + \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2})&#039;&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A táblázatban nincs benne, de közismert, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) = e^{-y^2 / 2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{\psi}(y) = e^{-y^2 / 2} + (e^{-y^2 / 2})&#039;&#039; = e^{-y^2 / 2} + (-y(e^{-y^2 / 2}))&#039; = e^{-y^2 / 2} -e^{-y^2 / 2} + y^2(e^{-y^2 / 2}) = y^2(e^{-y^2 / 2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A táblázatból kiolvasott képletbe behelyettesítve:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}\right) \cdot \left((ay)^2(e^{-(ay)^2 / 2})\right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;hr&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;W_{\psi}g_a(b) = &amp;lt;\psi_{a, b}, g&amp;gt; = \int_{-\infty}^{\infty} (1 - \frac{x-b}{a}^2)e^{-((x-b)/a)^2 / 2} x^2 dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Helyettesítésel integrállal tegyük egyszerűbbé a fenti képletet: &amp;lt;math&amp;gt; u = \frac{x-b}{a},~x = au + b,~ dx = a \cdot du&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;W_{\psi}g_a(b) = \int_{-\infty}^{\infty} (1 -u^2)e^{-u^2 / 2} (au + b)^2 a \cdot du&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Használjuk ki, hogy korábban már kiszámoltuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;(e^{-u^2 / 2})&#039;&#039; = -(1 -u^2)e^{-u^2 / 2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;W_{\psi}g_a(b) = -a \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})&#039;&#039; (au + b)^2 du&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Amit kétszer parciálisan integrálva meg is kapjuk az eredményt:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;W_{\psi}g_a(b) = -a \left( \left[(e^{-u^2 / 2})&#039; (au + b)^2\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})&#039; 2a \cdot (au + b) du \right) = &lt;br /&gt;
2a^2 \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})&#039; \cdot (au + b) du  = 2a^2 \left( \left[e^{-u^2 / 2} (au + b) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2 / 2} \cdot a du \right) = -2a^3 \sqrt{2\pi}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH1]&amp;lt;/small&amp;gt; A Poisson wavelet a következő:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; Mutassuk meg, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})&#039;&amp;lt;/math&amp;gt;, ha &amp;lt;math&amp;gt;x \geq 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; Mutassuk meg, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\int_R \psi_n(x)dx = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;c)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;C_{\psi_n} = ?&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;-(\frac{x^n}{n!} e^{-x})&#039; = -n\frac{x^{n-1}}{n!} e^{-x} + \frac{x^n}{n!} e^{-x} = x\frac{x^{n-1}}{n!} e^{-x}-n\frac{x^{n-1}}{n!} e^{-x} = \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;\int_R \psi_n(x)dx = \int_0^\infty -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})&#039; dx  = -\left[\frac{x^n}{n!} e^{-x}\right]_0^\infty = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;c)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;math&amp;gt;C_{\psi_n} = 2 \pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\left| \hat{\psi} \right|^2}{|y|} dy&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Először számoljuk ki a wavelet Fourier trafóját (felhasználom, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(-f&#039;) = -iy\mathcal{F}(f),~\mathcal{F}(x^n f) = i^n \mathcal{F}(f)^{(n)}&amp;lt;/math&amp;gt;):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{\psi} = \mathcal{F}(-(\frac{x^n}{n!} e^{-x})&#039; \cdot H(x)) = -\frac{iy}{n!} \mathcal{F}(x^n e^{-x}H(x)) = -\frac{iy}{n!} i^n \mathcal{F}(e^{-x}H(x))^{(n)} = -\frac{iy}{n!} i^n \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{1+iy}\right)^{(n)} =&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;= -\frac{iy}{n!} i^n i^n (-1)(-2) \dots(-n) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{(1+iy)^{n+1}} = -iy \frac{n!}{n!} (-1)^n (-1)^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{(1+iy)^{n+1}} = -iy \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{(1+iy)^{n+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C_{\psi_n} = 2 \pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\left| \hat{\psi} \right|^2}{|y|} dy = 2 \pi \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi} \frac{|y|^2}{|y|}\frac{1}{(1+y^2)^{n+1}} dy = \int_{0}^\infty \frac{2 y}{(1+y^2)^{n+1}} dy = -\frac{1}{n} \left[\frac{1}{(1+y^2)^n}\right]_0^\infty = -\frac{1}{n} (0 - 1) = \frac{1}{n}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Legyen &amp;lt;math&amp;gt;\psi(x) = xe^{-|x|}, f(x) = e^{-x^2/2}&amp;lt;/math&amp;gt;. Adjuk meg f &amp;lt;math&amp;gt; \psi&amp;lt;/math&amp;gt; által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{f}(x) = e^{-y^2/2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\hat{\psi}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} (-2iy) \frac{1}{(1+y^2)^2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} e^{-y^2/2} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} (-2iay) \frac{1}{(1+(ay)^2)^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Numerikus módszerek témakör =&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Parcdiff egyenletek (Fourier) ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(0, t) = u(3, t) = 0,~u(x,0)=sin\frac{4\pi}{3}x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 2\sin\frac{\pi}{3}x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;U(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-t keressük szorzat alakban: &amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = X(x)T(T)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* A diffegyenlet így átírva: &amp;lt;math&amp;gt;X(t)\ddot{T}(t) = 4 \cdot X&#039;&#039;(x)T(T)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Ez így már szeparálható:&lt;br /&gt;
** Figyeljünk arra, hogy a deriváltak a számlálóban legyenek&lt;br /&gt;
** A szeparálás utáni hányadosokról pedig tudjuk, hogy negatívak (innen jön a &amp;lt;math&amp;gt;-b^2&amp;lt;/math&amp;gt;)&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \cdot \frac{X&#039;&#039;(x)}{X(x)} = \frac{\ddot{T}(t)}{T(T)} = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Nézzük meg, hogy melyik változóra van feltételünk, aminek a jobb oldalán konstans szerepel.&lt;br /&gt;
** Az első két féltétel átírva: &amp;lt;math&amp;gt;X(0)T(t) = X(3)T(t) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, minden t-re, vagyis &amp;lt;math&amp;gt;X(0) = X(3) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** Tehát az X-re van a T-től nem függő feltételünk, ezért először az X-re oldjuk meg a diffegyenletet!&lt;br /&gt;
* Oldjuk meg a diff-egyenletet:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \cdot \frac{X&#039;&#039;(x)}{X(x)} = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \cdot X&#039;&#039;(x) + b^2 \cdot X(x) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Írjuk fel a karakterisztikus függvényt!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \cdot \lambda^2 + b^2 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda^2 = -\frac{b^2}{4}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = \pm i \frac{b}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vagyis a diff-egyenlet megoldása:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(x) = c_1 \cos{\frac{b}{2}x} + c_2 \sin{\frac{b}{2}x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vizsgáljuk meg a kezdeti feltételeket:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(0) = c_1 \cos{0} + c_2 \sin{0} = c_1 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(3) = c_2 \sin{\frac{b}{2}3} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ami csak olyan egész k értékekre teljesülhet, amikre: &amp;lt;math&amp;gt;\frac{b}{2}3 = k \pi,~b = \frac{2}{3} k \pi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Most oldjuk meg a diff-egyenletet T(t)-re, de a b helyére az újonnan kapott képletet írjuk be.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -(\frac{2}{3} k \pi)^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda^2 = -(\frac{2}{3} k \pi)^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = \pm \frac{2}{3} i k \pi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A T-re vonatkozó (k-tól függő) diff-egynelet:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;T_k(t) = a_k \cos{\frac{2}{3} k \pi t} + b_k \sin{\frac{2}{3} k \pi t}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;U(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-re vonatkozó k-tól függő egyenlet tehát:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t) = c_2 \sin{\frac{k}{3} \pi x} (a_k \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + b_k \sin{\frac{2k}{3} \pi t})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vezessük be az &amp;lt;math&amp;gt;A_k = c_2 \cdot a_k&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;B_k = c_2 \cdot b_k&amp;lt;/math&amp;gt; konstansokat!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t) = A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;U(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt; pedig felírható az &amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-k összegeként az összes k-ra.&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = \sum_0^\infty U_k(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A maradék két feltétel segítségével számoljuk ki az &amp;lt;math&amp;gt;A_k&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;B_k&amp;lt;/math&amp;gt; konstansok értékeit.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x,0)=\sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} = sin\frac{4\pi}{3}x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Amiből az együtthatók összehasonlításával megkapjuk, hogy &amp;lt;math&amp;gt;A_4 = 1&amp;lt;/math&amp;gt;, minden más &amp;lt;math&amp;gt;A_i = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, ha &amp;lt;math&amp;gt;i \neq 4&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A másik feltételhez ki kell számolni az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial U}{\partial t}(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-t.&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial U}{\partial t}(x, t) = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t} (-\frac{2k}{3} \pi) + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} (\frac{2k}{3} \pi)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A feltételbe beírva:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial U}{\partial t}(x, 0) = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} (-\frac{2k}{3} \pi) + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} (\frac{2k}{3} \pi) = \sum_0^\infty B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} (\frac{2k}{3} \pi) = 2\sin\frac{\pi}{3}x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Innen pedig:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;B_1 (\frac{2}{3} \pi) = 2,~ B_1 = \frac{2}{(\frac{2}{3} \pi)} = \frac{3}{\pi}&amp;lt;/math&amp;gt;, minden más &amp;lt;math&amp;gt;B_i&amp;lt;/math&amp;gt; pedig nulla.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis a megoldás:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = \sin{\frac{4}{3} \pi x} \cos{\frac{8}{3} \pi t} + \frac{3}{\pi} \sin{\frac{1}{3} \pi x} \sin{\frac{2}{3} \pi t}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial u}{\partial t} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(x)\ddot{T}(t) = 9 X&#039;&#039;(x)T(t)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = \frac{9 X&#039;&#039;(x)}{X(x)} = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Először oldjuk meg x-re:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{9 X&#039;&#039;(x)}{X(x)} = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;9 \lambda^2 = -b^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = \pm i \frac{b}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X(x) = c_1 \cos{\frac{b}{3}x} + c_2 \sin{\frac{b}{3}x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X&#039;(x) = -c_1\frac{b}{3} \sin{\frac{b}{3}x} + c_2\frac{b}{3} \cos{\frac{b}{3}x}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X&#039;(0) = c_2\frac{b}{3} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A &amp;lt;math&amp;gt;b = 0&amp;lt;/math&amp;gt;-hoz tartozó &amp;lt;math&amp;gt;X(x) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; megoldás nem érdekel minket, tehát &amp;lt;math&amp;gt;c_2 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;X&#039;(5) = -c_1\frac{b}{3} \sin{\frac{b}{3}5} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az X azonosan nulla megoldás megint nem érdekel minket, így:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{5}{3}b = k\pi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;b = \frac{3}{5}k\pi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Most oldjuk meg a T-re vonatkozó diff-egyenletet&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\dot{T}(t)}{T(t)} = -( \frac{3}{5}k\pi)^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = -( \frac{3}{5}k\pi)^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;T_k(t) = d_k e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Írjuk fel &amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t)&amp;lt;/math&amp;gt;-t!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U_k(x, t) = D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cdot e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Majd pedig az ebből generált sort:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = \sum_{k=0}^\infty D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cdot e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, 0) = \sum_{k=0}^\infty D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} = 12\cos\frac{3\pi}{5}x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;A_3 = 12&amp;lt;/math&amp;gt;, minden más &amp;lt;math&amp;gt;A_i&amp;lt;/math&amp;gt; pedig nulla.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;U(x, t) = 12 \cos{\frac{3}{5}\pi x} \cdot e^{-( \frac{9}{5}\pi)^2 t}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Parcdiff egyenletek (véges differenciák) ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Véges differenciák segítségével, &amp;lt;math&amp;gt;h=\frac{1}{2}&amp;lt;/math&amp;gt; felosztás mellett adjuk meg az &amp;lt;math&amp;gt;u_{1,2}&amp;lt;/math&amp;gt; értékét, ha&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(0, t) = 3,~ u(3, t) = 0,~u(x,0)=3-x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Írjuk fel a diffegyenletet véges differenciákkal:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Magyarázat:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
* Írjuk fel a differál-egyenletet differa-egyenlet formában!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;lim_{\Delta \to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta, y) - u(x, y)}{\Delta} - \frac{u(x, y) - u(x-\Delta, y)}{\Delta}}{\Delta} = lim_{\Delta \to 0}\frac{\frac{u(x, y+\Delta) - u(x, y)}{\Delta} - \frac{u(x, y) - u(x, y-\Delta)}{\Delta}}{\Delta}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Közös nevezőre hozva:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x+\Delta, y) - 2u(x, y) + u(x-\Delta, y)}{\Delta^2} = lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x, y+\Delta) - 2u(x, y) + u(x, y-\Delta)}{\Delta^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Na most felejtsük, hogy delta nullához tart, és válasszunk ki egy megfelelően kicsi értéket vízszintes (h) és függőleges (k) irányban. A folytonos függvény helyett pedig használjuk egy ilyen lépésközönként mintavételezett diszkrét függvényt, ahol &amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j}&amp;lt;/math&amp;gt; jeletése &amp;lt;math&amp;gt;u(i \cdot h, j \cdot h)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} = \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{k^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Válasszuk meg a feladatban adott h értékhez a k értékét, hogy az egyenletből a lehető legtöbb tag kiessen (jelen esetben a &amp;lt;math&amp;gt;h = k = \frac{1}{2}&amp;lt;/math&amp;gt; választás célszerű).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j} = u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Fejezzük ki &amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j+1}&amp;lt;/math&amp;gt;-et az egyenletből.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j+1} = u_{i+1,j} + u_{i-1,j} - u_{i,j-1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Ennek a képletnek a rekurzív alkalmazásával el tudunk jutni a peremfeltételtől az u_{1,2} értékig.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{1,2} = u_{2,1} + u_{0, 1} - u_{1, 0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Innen az  &amp;lt;math&amp;gt;u_{0, 1}&amp;lt;/math&amp;gt; és a &amp;lt;math&amp;gt;u_{1, 0}&amp;lt;/math&amp;gt; ismert a peremfeltétel alapján, de az &amp;lt;math&amp;gt;u_{2,1}&amp;lt;/math&amp;gt;-ért még számolnunk kell.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{2,1} = u_{3,0} + u_{1, 0} - u_{2, -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Az &amp;lt;math&amp;gt;u_{2, -1}&amp;lt;/math&amp;gt;-hez a nullában vett t szerinti deriváltra vonatkozó feltételt kell használni:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{u_{2, 0} - u_{2, -1}}{k} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vagyis:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{2, -1} = u_{2, 0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A kért pont tehát kiszámolható az alábbi peremen található értékekből (papíron egyszerűbb felvenni egy négyzetrácsot az &amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j}&amp;lt;/math&amp;gt; értékeknek, és mindenhova odaírni az adott értéket):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{1,2} = (u_{3,0} + u_{1, 0} - u_{2, 0}) + u_{0, 1} - u_{1, 0} = (0 + 2 - 1) + 3 - 2 = 2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha &amp;lt;math&amp;gt;x \in [0, 5], t \geq 0&amp;lt;/math&amp;gt;, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz &amp;lt;math&amp;gt; u(2, \frac{1}{18})&amp;lt;/math&amp;gt;?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial u}{\partial t} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{u_{i,j+1} - u_{i,j}}{k} = 9 \frac{u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az egyszerű számolás miatt legyen &amp;lt;math&amp;gt;k = \frac{h^2}{18} = \frac{1}{18}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;18(u_{i,j+1} - u_{i,j}) = 9 (u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2 u_{i,j+1}  = u_{i+1,j} + u_{i-1,j}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u_{i,j+1} = \frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez alapján a keresett érték:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u(2, \frac{1}{18}) = \frac{u(1, 0) + u(3, 0)}{2} = 6 (\cos\frac{3\pi}{5} + \cos\frac{9\pi}{5})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jordan normál-forma ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Adjuk meg az &amp;lt;math&amp;gt;x = Bx + b&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását, ha &amp;lt;math&amp;gt;B = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}3 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 4 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1\end{bmatrix},~ b = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Először meg kell határozni B sajátértékeit. Ezt a &amp;lt;math&amp;gt;det\left(B - \lambda I\right) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldásaiként kapjuk meg. Most az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{1}{6}&amp;lt;/math&amp;gt;-os szorzó miatt inkább számoljuk azzal, hogy &amp;lt;math&amp;gt;6 \cdot det\left(B - \lambda I\right) = det\left(6B - 6\lambda I\right) = det\left(6B - \lambda&#039; I\right) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{vmatrix}3 - \lambda&#039; &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 4 - \lambda&#039; &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 - \lambda&#039;\end{vmatrix} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Fejtsük ki a determinánst az első oszlop szerint:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(3 - \lambda&#039;)((4 - \lambda&#039;)(1 - \lambda&#039;) + 2) = (3 - \lambda&#039;)(\lambda&#039;^2 - 5\lambda + 6) = (3 - \lambda&#039;)(\lambda&#039; - 3)(\lambda&#039; - 2) = - (\lambda&#039; - 3)^2(\lambda&#039; - 2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Most határozzunk meg minden sajátértékhez egy sajátvektort (itt az &amp;lt;math&amp;gt;\frac{1}{6}&amp;lt;/math&amp;gt;-os szorzó nem számít, a sajátvektor csak konstans szorzó erejéig egyértelmű)&lt;br /&gt;
* Először a &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&#039; = 3&amp;lt;/math&amp;gt;-hoz keresünk két sajátvektort:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}3 - 3 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 4 - 3 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 - 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \underline{0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Mindhárom egyenletünk megegyezünk, az y legyen mondjuk 1, ekkor a z-nek -2-nek kell lennie, az x tetszőleges. Az x=0 és az x=1 két lineáris független sajátvektort ad.&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;s_{-3, 1} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix},~s_{-3, 2} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Határozzuk meg a &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&#039; = 2&amp;lt;/math&amp;gt;-höz tartozó sajátvektort is:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}3 - 2 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 4 - 2 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 - 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}1 &amp;amp; 1 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; -2 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \underline{0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = z, ~x = -y+2z = z&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Tehát egy sajátvektor például:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;s_{-2} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A Jordan-normál forma (sajátértékek főátalóban, itt már számít a skalár szorzó) és a transzformációs mátrix (sajátvektorok alkotta mátrix):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;J = \begin{bmatrix} \frac{3}{6} &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; \frac{3}{6} &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{2}{6}\end{bmatrix},~T = \begin{bmatrix} s_{-3, 1} &amp;amp; s_{-3, 2} &amp;amp; s_{-2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 \\ -2 &amp;amp; -2 &amp;amp; 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A végeredményt az alábbi alakban kapjuk majd meg: &amp;lt;math&amp;gt;u = T (\sum_{k=0}^\infty J^k) T^{-1} b&amp;lt;/math&amp;gt;. Ehhez viszont először invertálni kell T-t.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Gauss-elimináljunk!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \begin{bmatrix} 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\ -2 &amp;amp; -2 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 1\end{bmatrix} =_{s_3 += 2 \cdot s_2} \begin{bmatrix} 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 3 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 1\end{bmatrix} =_{s_1 -= \cdot s_2} \begin{bmatrix} -1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; -1 &amp;amp; 0 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 3 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 1\end{bmatrix} =_{s_2 += \cdot s_1 - s_3 / 3} \begin{bmatrix} -1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; -1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; -\frac{2}{3} &amp;amp; -\frac{1}{3} \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 3 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; -1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 &amp;amp; | &amp;amp; 1 &amp;amp; -\frac{2}{3} &amp;amp; -\frac{1}{3} \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; | &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{2}{3} &amp;amp; \frac{1}{3}\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Számoljuk ki &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{k=0}^\infty J^k&amp;lt;/math&amp;gt;-t!&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\sum_{k=0}^\infty J^k = \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{3})^k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{3}{2}\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A végeredmény tehát (a mátrix szorzásokat már nem kell elvégezni):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;u = \begin{bmatrix} 0 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 \\ 1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 1 \\ -2 &amp;amp; -2 &amp;amp; 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; 0 &amp;amp; \frac{3}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 &amp;amp; 1 &amp;amp; 0 \\1 &amp;amp; -\frac{2}{3} &amp;amp; -\frac{1}{3} \\ 0 &amp;amp; \frac{2}{3} &amp;amp; \frac{1}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük a &amp;lt;math&amp;gt;\sqrt{1 + coshx} - 2 = x&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;a)&amp;lt;/big&amp;gt; A húrmódszer konvergens ha &amp;lt;math&amp;gt;|I| \frac{|f&#039;&#039;|}{2|f&#039;|} &amp;lt; 1&amp;lt;/math&amp;gt; a tartomány összes pontján.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez megadja, hogy max mekkora lehet az intervallum hossza, hogy az algoritmus konvergáljon. Gyakorlatban azt szoktuk vizsgálni, hogy a számláló maximuma és a nevező minimuma esetén is teljesül-e a feltétel, ami egy szűkebb feltétel, de becslésnek jó.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Számoljuk ki a deriváltakat!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|f&#039;| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2 - x)&#039;\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}} - 1\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|f&#039;&#039;| = \left|\frac{coshx}{2(1 + coshx)^\frac{1}{2}} - \frac{sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx(1 + coshx) - 2 \cdot sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| =  \left|\frac{coshx - sinh^2x + (cosh^2x - sinh^2x)}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| \left|\frac{coshx - sinh^2x + 1}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma, tehát az x helyére mindenhova négyet vagy ötöt írunk)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;min_I|f&#039;| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}} - 1\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;max_I|f&#039;&#039;| \leq \left|\frac{cosh4 - sinh^25 + 1}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;I &amp;lt; \frac{2 \cdot min_I|f&#039;|}{max_I|f&#039;&#039;|} = \left| \frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1 + cosh5}} - 2}{\frac{cosh4 - sinh^25 + 1}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}} \right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;b)&amp;lt;/big&amp;gt; Az iteráció konvergens ha &amp;lt;math&amp;gt;|g(x)&#039;| &amp;lt; 1 &amp;lt;/math&amp;gt; a tartomány összes pontján.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|g&#039;(x)| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2)&#039;\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right|&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;min_I|g&#039;(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt(1 + e^5 + e^{-5})} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Tekintsük az &amp;lt;math&amp;gt;e^x - 2 = x&amp;lt;/math&amp;gt; egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Iteráció: &amp;lt;math&amp;gt;|g&#039;(x)| = e^x &amp;gt; 1&amp;lt;/math&amp;gt;, az [1, 2] intervallum összes pontján. Ebből következik, hogy az iteráció bármely részintervallumon divergens lesz, tehát nem használható.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Húrmódszer:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|I| \frac{max_I|f&#039;&#039;|}{2 min_I|f&#039;|} = |I| \frac{e^2}{2(e^1 - 1)} &amp;lt; 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis az algoritmus konvergens, ha &amp;lt;math&amp;gt;|I| &amp;lt; 2\frac{e-1}{e^2} = 2(e^{-1} - e^{-2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Az &amp;lt;math&amp;gt;arsh 2x = x&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az intervallumfelezés esetén minden lépésben megfelezzük az intervallumot (meglepő mi? :D), szóval k lépés után a pontossága: &amp;lt;math&amp;gt;\frac{|I|}{2^k}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A iteráció esetében a pontosság &amp;lt;math&amp;gt;|g&#039;(x)|&amp;lt;/math&amp;gt;-el szorzódik meg minden iteráció után. Ha ez kisebb, mint &amp;lt;math&amp;gt;\frac{1}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;, akkor ez a módszer gyorsabban konvergál, mint az intevallum felezés.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;|g&#039;(x)| = \frac{2}{\sqrt{1 + (2x)^2}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az [1,2] tartományon ennek a maximuma &amp;lt;math&amp;gt;\frac{2}{\sqrt{3}}&amp;lt;/math&amp;gt; ami nagyobb, mint 1, ezért itt az iteráció még csak nem is konvergens. A [2, 3] tartományon a maximum &amp;lt;math&amp;gt;\frac{2}{\sqrt{17}} \approx 0.485&amp;lt;/math&amp;gt;, tehát itt az iteráció gyorsabban konvergál.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;4)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016V1]&amp;lt;/small&amp;gt; Newton (érintő) módszerrel keressük a &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; egyenlet megoldását. Adjuk meg &amp;lt;math&amp;gt;x_{k+1}&amp;lt;/math&amp;gt;-et &amp;lt;math&amp;gt;x_k&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;f&amp;lt;/math&amp;gt; segítségével!&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
Legyen &amp;lt;math&amp;gt;f(x) = e^x - 1,~x\in[-a, a]&amp;lt;/math&amp;gt;. Adjuk meg &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;lt;/math&amp;gt;-t úgy, hogy a módszer konvergáljon!&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
Mi a konvergencia sebessége?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f&#039;(x_k)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A konvergencia feltétele: &amp;lt;math&amp;gt;|I| \left| \frac{f(x)f&#039;&#039;(x)}{f&#039;(x)^2} \right| &amp;lt; 1&amp;lt;/math&amp;gt; a tartomány összes pontján, illetve ezt közelíthetjük a számláló maximumával és nevező minimumával:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2a \left| \frac{\max_I ((e^x - 1) e^x)}{\min_I (e^x)^2} \right| = 2a \frac{(e^a - 1) e^a}{\left(e^{-a}\right)^2} = 2a (e^a - 1) e^{3a} &amp;lt; 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A konvergencia sebessége: &amp;lt;math&amp;gt;\epsilon_{k+1} \le \frac{|f&#039;&#039;|}{2|f&#039;|} \epsilon_k^2&amp;lt;/math&amp;gt;, vagy egyszerűbb alakban: &amp;lt;math&amp;gt;d_k \le d_0^{2k}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Lagrange multiplikátor módszer ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük meg az &amp;lt;math&amp;gt;f(x, y, z) = xy^2z^3(x,y,z &amp;gt; 0)&amp;lt;/math&amp;gt; szélsőértékét az &amp;lt;math&amp;gt;g(x, y, z) = x + 2y + 3z - 6 = 0&amp;lt;/math&amp;gt; feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Vezessük be az alábbi függvényt:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F = f - \lambda g&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* A szélsőérték akkor létezhet, ha az összes változó szerinti derviált nulla:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial x} = y^2z^3 - \lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial y} = 2xyz^3 - 2\lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial z} = 3xy^2z^2 - 3\lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial \lambda} = g = x + 2y + 3z - 6 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az első egyenlet 2x szeresét a második egyenlet y szorosával egyenlővé téve:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2xy^2z^3 - 2 \lambda x = 2xy^2z^3 - 2\lambda y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda x = \lambda y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Azaz &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt; vagy &amp;lt;math&amp;gt;x = y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt; eset: &amp;lt;math&amp;gt;x = y = z = \lambda = 0&amp;lt;/math&amp;gt; (ellentmondás: x, y, z pozitív a feladat szerint)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;x = y&amp;lt;/math&amp;gt; eset: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az második egyenlet 3y szeresét a harmadik egyenlet 2z szeresét egyenlővé téve:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;6x^3z^3 - 6\lambda x = 6x^3z^3 - 6\lambda z&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis (ismerve, hogy &amp;lt;math&amp;gt;\lambda \neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x = y = z = \lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A definitséghez szükség van ebben a pontban a feltétel gradiensére:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;grad(g) = \begin{bmatrix}1 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Illetve a gradiensre merőleges vektorok alakjára (skalárszorzat alapján: &amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;\begin{bmatrix}1 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x &amp;amp; y &amp;amp; z\end{bmatrix}&amp;gt; = 0&amp;lt;/math&amp;gt;)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}3x &amp;amp; 3y &amp;amp; -x-2y\end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ezen kívül még az F Hesse mátrixa is kelle fog ebben a pontban:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\left. \begin{bmatrix}{F_{xx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{xy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{xz}}&#039;&#039; \\ {F_{yx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{yy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{yz}}&#039;&#039; \\ {F_{zx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{zy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{zz}}&#039;&#039;\end{bmatrix} \right|_{x=1,y=1,z=1} =  \left. \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2yz^3 &amp;amp; 3y^2z^2 \\ 2yz^3 &amp;amp; 2xz^3 &amp;amp; 6xyz^2 \\ 3y^2z^2 &amp;amp; 6xyz^2 &amp;amp; 6xy^2z \end{bmatrix}\right|_{x=1,y=1,z=1} = \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3 \\ 2 &amp;amp; 2 &amp;amp; 6 \\ 3 &amp;amp; 6 &amp;amp; 6 \end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A definitséghez szorozzuk meg a Hesse mátrixot a gradiensre merőleges vektorokkal mindkét oldalról:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}3x &amp;amp; 3y &amp;amp; -x-2y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3 \\ 2 &amp;amp; 2 &amp;amp; 6 \\ 3 &amp;amp; 6 &amp;amp; 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3x &amp;amp; -6y &amp;amp; 3x + 6y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = -9x - 18y^2 -3x^2 -6xy -6xy -12y^2 = -12x^2 -12xy - 30y^2  = -6 (x^2 + xy + 5y^2) &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ennek az előjele lehet pozitív és negatív is x és y értékétől függően, vagyis a mátrix indefinit, azaz itt nincs szélsőérték. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(Ha mindig pozitív lett volna, az minimum helyet jelölt volna, ha mindig negatív akkor maximum, ha mindig nulla, akkor pedig nyereg pont.)&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Hol lehet feltételes szélsőértéke a &amp;lt;math&amp;gt;3x^2 + y^2 + z^2 - xy&amp;lt;/math&amp;gt; függvénynek az &amp;lt;math&amp;gt;x^2 + y^2 + z^2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt; feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F = 3x^2 + y^2 + z^2 - xy - \lambda(x^2 + y^2 + z^2 - 1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial x} = 6x - y - 2\lambda x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial y} = 2y - x - 2\lambda y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial z} = 2z  - 2\lambda z = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A harmadik egyenletből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda)z = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Azaz &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt; vagy &amp;lt;math&amp;gt;z = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt; eset: &amp;lt;math&amp;gt;x = y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;z = \lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;z = 0&amp;lt;/math&amp;gt; eset:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az első egyenletből: &amp;lt;math&amp;gt;y = (6-2\lambda)x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az második egyenletből egyenletből: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2(6-2\lambda)x - x - 2\lambda (6-2\lambda)x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(4 \lambda^2 - 16\lambda + 11)x = 0&amp;lt;/math&amp;gt; (x = 0: ellentmondás)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;4 \lambda^2 - 16\lambda + 11 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{80}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A negyedik egyenlet alapján:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x^2 + (2 \pm \sqrt{5})^2 x^2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vagyis a megoldások (4 db):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + (2 \pm \sqrt{5})^2}}, ~y= \pm(2 \pm \sqrt{5}) \sqrt{\frac{1}{1 + (2 \pm \sqrt{5})^2}},~z=0, \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016PZH]&amp;lt;/small&amp;gt; Hol lehet feltételes szélsőértéke a &amp;lt;math&amp;gt;x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz&amp;lt;/math&amp;gt; függvénynek az &amp;lt;math&amp;gt;x^2 + y^2 + z^2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt; feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial x} = 2x - 2y -2z -2 \lambda x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial y} = 2y - 2x - 2 \lambda y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial y} = 2z - 2x - 2 \lambda z = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vonjuk ki a második egyenletből a harmadikat:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda)(y - z) = 0&amp;lt;/math&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Azaz &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt; vagy &amp;lt;math&amp;gt;y = z&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\lambda = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A második és harmadik egyenlet is azt adja, hogy:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az első egyenlet alapján:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = -z&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tehát a két megoldás (a negyedik egyenlet alapján):&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(0, \pm\sqrt{2}, \mp\sqrt{2}, 1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;y = z&amp;lt;/math&amp;gt; eset&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda) x - 2y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda) y - x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x^2 + 2y^2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A második egyenletből:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;x = (1 -\lambda) y&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az első egyenletbe írva:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(1 - \lambda)^2 y - 2y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;-(\lambda^2 + 1)y = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Azaz &amp;lt;math&amp;gt;y = z = x = 0&amp;lt;/math&amp;gt;, ellentmondás. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;hr&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;A szélsőértékek jellege:&amp;lt;/big&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;grad(g) = (2x, 2y, 2z)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az adott pontokban:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;grad(g) = (0, \pm 2 \sqrt{2}, \mp 2 \sqrt{2})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az erre merőleges vektorok: &amp;lt;math&amp;gt;(x, y, y)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A Hesse mátrix:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\left. \begin{bmatrix}{F_{xx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{xy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{xz}}&#039;&#039; \\ {F_{yx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{yy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{yz}}&#039;&#039; \\ {F_{zx}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{zy}}&#039;&#039; &amp;amp; {F_{zz}}&#039;&#039;\end{bmatrix} \right|_{x=0,y=\pm\sqrt{2},z=\mp\sqrt{2},\lambda=1} =  \left. \begin{bmatrix}2 - 2\lambda &amp;amp; 2 &amp;amp; 2 \\ 2 &amp;amp; 2 - 2\lambda &amp;amp; 0 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 2 - 2\lambda \end{bmatrix}\right|_{x=0,y=\pm\sqrt{2},z=\mp\sqrt{2},\lambda=1} = \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 2 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \end{bmatrix}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A definitség:&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\begin{bmatrix}x &amp;amp; y &amp;amp; y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 &amp;amp; 2 &amp;amp; 2 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \\ 2 &amp;amp; 0 &amp;amp; 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4y &amp;amp; 2x &amp;amp; 2x\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ y\end{bmatrix} = 16xy&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez indefinit, itt nincs szélsőérték.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Variáció számítás ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;1)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük meg az &amp;lt;math&amp;gt;I(y)&amp;lt;/math&amp;gt; funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;I(y) = \int_{-1}^{2}y&#039;^2 + x^3 - 2xydx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez a feladattípus arról szól, hogy használjuk az Euler-Lagrange (EL) egyenletet: &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y&#039;} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Vegyük észre, hogy két különböző deriváltjel szerepel a képletben, és ezek mást jelentenek.&lt;br /&gt;
* A &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial}{\partial x}&amp;lt;/math&amp;gt; azt jelenti, hogy csak az &amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;-et közvetlenül tartalmazó tagokat deriváljuk, de az &amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;-től függő &amp;lt;math&amp;gt;y(x)&amp;lt;/math&amp;gt; függvényt már konstansnak (független változónak) tekintjük a deriválás szempontjából.&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial x}{\partial x} = 1,~\frac{\partial y(x)}{\partial x} = 0,~\frac{\partial y&#039;(x)}{\partial x} = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* A &amp;lt;math&amp;gt;\frac{d}{d x}&amp;lt;/math&amp;gt; esetében mindent deriválunk &amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt; szerint, ami függ &amp;lt;math&amp;gt;x&amp;lt;/math&amp;gt;-től.&lt;br /&gt;
** &amp;lt;math&amp;gt;\frac{d x}{d x} = 1,~\frac{d y(x)}{d x} = y&#039;(x),~\frac{d y&#039;(x)}{d x} = y&#039;&#039;(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Az f függvény, amire alkalmazni kell az EL-t, az az integrál belseje: &amp;lt;math&amp;gt;f(x, y, y&#039;) = y&#039;^2 + x^3 - 2xy&amp;lt;/math&amp;gt;. Ha lenne feltétel is, akkor ugyanúgy be kéne vezetni egy &amp;lt;math&amp;gt;F = f - \lambda g&amp;lt;/math&amp;gt; függvényt, és arra kéne megoldani az EL-t.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y&#039;} = -2x - \frac{d}{d x}2y&#039; = -2x - 2y&#039;&#039; = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;&#039;(x) = -x&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;(x) = -\frac{x^2}{2} + c&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(x) = -\frac{x^3}{6} + cx + d&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A kezdeti felételeket felhasználva:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(-1) = \frac{1}{6} - c + d = \frac{1}{6}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;c = d&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(2) = -\frac{8}{6} + 2c + d = -\frac{4}{3} + 3c = \frac{5}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;3c = \frac{9}{3} = 3&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Tehát &amp;lt;math&amp;gt;c = 1,~d = 1&amp;lt;/math&amp;gt;, azaz a megoldás: &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(x) = -\frac{x^3}{6} + x + 1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;2)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2015ZH2]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük meg az &amp;lt;math&amp;gt;I(y)&amp;lt;/math&amp;gt; funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;I(y) = \int_{-1}^{2}y&#039;^3 + x^3 - 2xydx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y&#039;} = -2x - \frac{d}{d x}3y&#039;^2 = -2x - 6y&#039;y&#039;&#039; = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Vezessünk be egy &amp;lt;math&amp;gt;p = y&#039; = \frac{dy}{dx}, ~p&#039; = y&#039;&#039; = \frac{dp}{dx}&amp;lt;/math&amp;gt; változót, és erre oldjuk meg a differenciálegyenletet (ha az egyenletből az x hiányozna, akkor y szerinti deriválásra kéne áttérni).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;-x = 3 p \frac{dp}{dx}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;3 p~dp = -x~dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{3}{2} p^2 = -\frac{x^2}{2} + c&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Írjuk vissza az y&#039;-t p helyére&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = -\frac{x^2}{3} + c_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;dy^2 = \left(-\frac{x^2}{3} + c_2\right)dx^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;dy = \pm \left(\sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{-x^2 + c_3}\right) dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Ez egy sokkal nehezebb integrál, mint ami ZH-kon elő szokott fordulni. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Amúgy elvileg megoldható &amp;lt;math&amp;gt;x = \sqrt{c_3} \sin u&amp;lt;/math&amp;gt; és &amp;lt;math&amp;gt;dx = \sqrt{c_3} \cos u\,du&amp;lt;/math&amp;gt; helyettesítéssel meg néhány trigonometrikus összefüggés felhasználásával, és ez lesz a eredménye:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = \pm \frac{1}{2\sqrt{3}} \left(x \sqrt{c_3 - x^2} + c_3 \arctan(\frac{x}{\sqrt{c_3 - x^2}}) \right) + d&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A két kezdeti feltételt felhasználva ki lehet számolni a két konstans értékét (&amp;lt;math&amp;gt;c_3, d&amp;lt;/math&amp;gt;). De analitikusan ez még a Mathematica-nak sem sikerült. Persze lehet próbálkozni numerikus módszerekkel :p&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Valami nagyon el van b*va ezzel a feladattal.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/236x/55/08/4b/55084be16a6b92e2cdb97951f371f4df.jpg&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;big&amp;gt;3)&amp;lt;/big&amp;gt; &amp;lt;small&amp;gt;[2016V1]&amp;lt;/small&amp;gt; Keressük meg az extremális függvényt az &amp;lt;math&amp;gt;I(y) = \int_0^1 y(2-y&#039;) dx,~y(0) = 1,~ y(1) = 2&amp;lt;/math&amp;gt; operátorra vonatkozóan a &amp;lt;math&amp;gt;J(y) = \int_0^1 y&#039;^2 = \frac{13}{3}&amp;lt;/math&amp;gt; feltétel mellett!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Megoldás:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F = y(2-y&#039;) - \lambda y&#039;^2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Erre alkalmazzuk az Euler-Lagrange egyenletet:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;2-y&#039; - \frac{d}{dx}(-y - 2\lambda y&#039;) = 2-y&#039; + y&#039; + 2\lambda y&#039;&#039; = 2 + 2\lambda y&#039;&#039; = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;&#039; = \frac{-1}{\lambda}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{dy&#039;}{dx} = \frac{-1}{\lambda}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\int dy&#039; = \int \frac{-1}{\lambda} dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039; = \frac{-x}{\lambda} + c_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\lambda} + c_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\int dy = \int \frac{-x}{\lambda} + c_1 dx&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = \frac{-x^2}{2 \lambda} + c_1 x + c_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Használjuk fel a kezdeti feltételeket!&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(0) = c_2 = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(1) = \frac{-1}{2 \lambda} + c_1 + 1 = 2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;c1 = 1 + \frac{1}{2 \lambda}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A &amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;-hoz ki kell számolni J(y)-t.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y = \frac{-x^2}{2 \lambda} + x + \frac{x}{2 \lambda} + 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039; = \frac{-x}{\lambda} + 1 + \frac{1}{2 \lambda}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y&#039;^2 = \frac{x^2}{\lambda^2} - \frac{2x}{\lambda} + 1 - \frac{2x}{2\lambda^2} + \frac{2}{2\lambda} + \frac{1}{4 \lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \left( x^2 - 2x\lambda + \lambda^2 - x + \lambda + \frac{1}{4} \right)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\int_0^1 y&#039;^2 = \frac{1}{\lambda^2} \left[ \frac{x^3}{3} - \lambda x^2 + \lambda^2 x - \frac{x^2}{2} + \lambda x + \frac{x}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{\lambda^2} \left( \frac{1}{3} - \lambda + \lambda^2 - \frac{1}{2} + \lambda + \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{1}{12\lambda^2} = \frac{13}{3}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda^2 = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{40}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Visszaírva y-ba:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;y(x) = \mp \sqrt{10} x^2 + (1\pm\sqrt{10}) x + 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190344</id>
		<title>Alkalmazott algebra és matematikai logika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190344"/>
		<updated>2016-09-24T16:20:31Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Mérnök informatikus MSc | mérnök informatikus MSc]] Felsőbb matematika tárgyblokk egyik tantárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Alkalmazott algebra és matematikai logika&lt;br /&gt;
| tárgykód = TE90MX57&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév =&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék =&lt;br /&gt;
| jelenlét = &lt;br /&gt;
| minmunka = &lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 2 db&lt;br /&gt;
| hf = &lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tad = https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90MX41/&lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://algebra.math.bme.hu/2016-17-1/BMETE90MX57-V0_NagyG&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=Alkalmazott algebra=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://algebra.math.bme.hu/nagy-gabor Nagy Gábor Péter]&lt;br /&gt;
* [https://www.dropbox.com/s/2wv0v6p7qaax36l/Applied%20Linear%20Algebra%20presentation.pdf?dl=0 Előadásdiák] (korábbról, angolul, de a tárgy anyagát ránézésre lefedeik)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://math.bme.hu/~wettl/okt/Jegyzet/00la.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039; (Jóval részeltesebb, mint a tárgy anyaga)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Alkalmazott algebra tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
=== Segédanyagok ===&lt;br /&gt;
* [http://www.math.bme.hu/~ig/alkalg/ korábbi jegyzetek]&lt;br /&gt;
*[[Alkalmazott algebra - Előadások 2012 | Előadásjegyzet 2012-ből]], [http://www.math.bme.hu/~lukacs/bboard/alkalg/2012/ea_12aa.html ez] alapján.&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_kezzelirt.pdf | Kézzel írt előadásjegyzet 2012]] Tartalmazhat [[Alkalmazott algebra - Hibák a kézzel írt 2012-es jegyzetben | hibákat]], az utolsó előadást még nem tartalmazza. (Lehet, hogy érdemes 50%-osban nyomtatni.) &lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2012]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2010]] &amp;lt;- [[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos_tartalomjegyzek.pdf | tartalomjegyzék]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_diasor_2012.pdf | Diasorok összefűzve]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva.pdf | teteje levágva]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva_8.pdf | 8 dia/oldal]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Zárthelyik ===&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_zh_2011_regi.pdf | Régebbi zh-k]], és [[Media:Alkalg_zh_2011_regi_mego.pdf | megoldásaik]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Matematikai logika =&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://renyi.hu/~sagi/ Sági Gábor]&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://renyi.hu/~sagi/felsobbmatC-2010osz-eljgyz.html Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Matematikai logika tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
===Segédanyagok===&lt;br /&gt;
A tárgyhonlapot nem tudjuk, hol van, egyáltalán van-e, egy nagyon régi maradványt sikerült csak megtalálni: http://www.renyi.hu/~sagi/teaching2010sep.html&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2014-es honlap: http://www.math.bme.hu/~ferenczi/FelsoMatek14&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_jegyzet_2004.docx | Összefoglaló 2004]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
====2014-es összefoglalás====&lt;br /&gt;
Előadásjegyzet alapján, erősen kivonatolva (pl. a feladatmegoldások lépéseit kihagytam belőle)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Leginkább csak tételek és definíciók.&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
(Amelyik tétel vastaggal ki van emelve, arról elhangzott, hogy az fontos)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Szerkeszthető (DOCX, W2013, egyenletszerkesztős): [[:File:Összefoglalo_2014_(docx).docx]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
PDF: [[:File:Összefoglalo_2014_(pdf).pdf]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Zárthelyik===&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta.pdf | Minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta_megoldas.pdf | Minta ZH megoldás]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_20101129.png | 2010. őszi ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:matlog_mintazh_2014osz.pdf | 2014. őszi minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_1.jpg | 2014. ZH 1. oldal]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_2.jpg | 2014. ZH 2. oldal]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190343</id>
		<title>Alkalmazott algebra és matematikai logika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Alkalmazott_algebra_%C3%A9s_matematikai_logika&amp;diff=190343"/>
		<updated>2016-09-24T16:20:00Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Mérnök informatikus MSc | mérnök informatikus MSc]] Felsőbb matematika tárgyblokk egyik tantárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Alkalmazott algebra és matematikai logika&lt;br /&gt;
| tárgykód = TE90MX57&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév =&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék =&lt;br /&gt;
| jelenlét = &lt;br /&gt;
| minmunka = &lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 2 db&lt;br /&gt;
| hf = &lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tad = https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90MX41/&lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://algebra.math.bme.hu/2016-17-1/BMETE90MX57-V0_NagyG&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=Alkalmazott algebra=&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://algebra.math.bme.hu/nagy-gabor Nagy Gábor Péter]&lt;br /&gt;
* [https://www.dropbox.com/s/2wv0v6p7qaax36l/Applied%20Linear%20Algebra%20presentation.pdf?dl=0 Előadásdiák] (korábbról, angolul, de a tárgy anyagát ránézésre lefedeik)&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://math.bme.hu/~wettl/okt/Jegyzet/00la.pdf Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039; (Jóval részeltesebb, mint a tárgy anyaga)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Alkalmazott algebra tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
=== Segédanyagok ===&lt;br /&gt;
* [http://www.math.bme.hu/~ig/alkalg/ korábbi jegyzetek]&lt;br /&gt;
*[[Alkalmazott algebra - Előadások 2012 | Előadásjegyzet 2012-ből]], [http://www.math.bme.hu/~lukacs/bboard/alkalg/2012/ea_12aa.html ez] alapján.&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_kezzelirt.pdf | Kézzel írt előadásjegyzet 2012]] Tartalmazhat [[Alkalmazott algebra - Hibák a kézzel írt 2012-es jegyzetben | hibákat]], az utolsó előadást még nem tartalmazza. (Lehet, hogy érdemes 50%-osban nyomtatni.) &lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2012]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2010]] &amp;lt;- [[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos_tartalomjegyzek.pdf | tartalomjegyzék]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_diasor_2012.pdf | Diasorok összefűzve]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva.pdf | teteje levágva]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva_8.pdf | 8 dia/oldal]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Zárthelyik ===&lt;br /&gt;
*[[Media:Alkalg_zh_2011_regi.pdf | Régebbi zh-k]], és [[Media:Alkalg_zh_2011_regi_mego.pdf | megoldásaik]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
= Matematikai logika =&lt;br /&gt;
* Előadó: [http://renyi.hu/~sagi/ Sági Gábor]&lt;br /&gt;
* &#039;&#039;&#039;[http://renyi.hu/~sagi/felsobbmatC-2010osz-eljgyz.html Hivatalos jegyzet]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Rejtett&lt;br /&gt;
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Matematikai logika tárgyhoz:&lt;br /&gt;
|szöveg=&lt;br /&gt;
===Segédanyagok===&lt;br /&gt;
A tárgyhonlapot nem tudjuk, hol van, egyáltalán van-e, egy nagyon régi maradványt sikerült csak megtalálni: http://www.renyi.hu/~sagi/teaching2010sep.html&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2014-es honlap: http://www.math.bme.hu/~ferenczi/FelsoMatek14&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_jegyzet_2004.docx | Összefoglaló 2004]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
====2014-es összefoglalás====&lt;br /&gt;
Előadásjegyzet alapján, erősen kivonatolva (pl. a feladatmegoldások lépéseit kihagytam belőle)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Leginkább csak tételek és definíciók.&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
(Amelyik tétel vastaggal ki van emelve, arról elhangzott, hogy az fontos)&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
Szerkeszthető (DOCX, W2013, egyenletszerkesztős): [[:File:Összefoglalo_2014_(docx).docx]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
PDF: [[:File:Összefoglalo_2014_(pdf).pdf]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===Zárthelyik===&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta.pdf | Minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta_megoldas.pdf | Minta ZH megoldás]]&lt;br /&gt;
*[[Media:Matematikailogika_zh_20101129.png | 2010. őszi ZH]]&lt;br /&gt;
*[[Media:matlog_mintazh_2014osz.pdf | 2014. őszi minta ZH]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_1.jpg | 2014. ZH 1. oldal]]&lt;br /&gt;
*[[:File:2014_zh_2.jpg | 2014. ZH 2. oldal]]&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190342</id>
		<title>Orvosi képdiagnosztika</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Orvosi_k%C3%A9pdiagnosztika&amp;diff=190342"/>
		<updated>2016-09-24T16:15:36Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: L&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Vizuális informatika szakirány]] kötelező tárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Orvosi képdiagnosztika&lt;br /&gt;
| tárgykód = VIMIMA04&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék = MIT&lt;br /&gt;
| jelenlét =&lt;br /&gt;
| minmunka =&lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = 1 db&lt;br /&gt;
| hf = 5 db&lt;br /&gt;
| vizsga = szóbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* Előadásdiák a [http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04/jegyzet tárgyhonlapon].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=J%C3%A1t%C3%A9kfejleszt%C3%A9s_laborat%C3%B3rium&amp;diff=190341</id>
		<title>Játékfejlesztés laboratórium</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=J%C3%A1t%C3%A9kfejleszt%C3%A9s_laborat%C3%B3rium&amp;diff=190341"/>
		<updated>2016-09-24T13:33:32Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: Lap létrehozása&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Vizuális informatika szakirány]] kötelező tárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Játékfejlesztés laboratórium&lt;br /&gt;
| tárgykód = VIIIMA03&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék = IIT&lt;br /&gt;
| jelenlét = &amp;quot;elvben&amp;quot; kötelező, de nincs katalógus&lt;br /&gt;
| minmunka = házi&lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = nincs&lt;br /&gt;
| hf = &lt;br /&gt;
| vizsga = nincs&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://cg.iit.bme.hu/portal/oktatott-targyak/jatekfejlesztes&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* Előadásdiák a [http://cg.iit.bme.hu/portal/oktatott-targyak/jatekfejlesztes tárgyhonlapon].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://vik.wiki/index.php?title=Kiterjesztett_val%C3%B3s%C3%A1g_%C3%A9s_g%C3%A9pi_l%C3%A1t%C3%A1s_mobil_eszk%C3%B6z%C3%B6k%C3%B6n&amp;diff=190340</id>
		<title>Kiterjesztett valóság és gépi látás mobil eszközökön</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://vik.wiki/index.php?title=Kiterjesztett_val%C3%B3s%C3%A1g_%C3%A9s_g%C3%A9pi_l%C3%A1t%C3%A1s_mobil_eszk%C3%B6z%C3%B6k%C3%B6n&amp;diff=190340"/>
		<updated>2016-09-24T13:26:43Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;Csala Tamás: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;A [[Vizuális informatika szakirány]] kötelező tárgya.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Tantárgy&lt;br /&gt;
| név = Kiterjesztett valóság és gépi látás mobil eszközökön&lt;br /&gt;
| tárgykód = VIIIMA02&lt;br /&gt;
| szak = info MSc&lt;br /&gt;
| kredit = 4&lt;br /&gt;
| félév = 2&lt;br /&gt;
| kereszt = &lt;br /&gt;
| tanszék = IIT&lt;br /&gt;
| jelenlét = nem kötelező&lt;br /&gt;
| minmunka = házi&lt;br /&gt;
| labor = &lt;br /&gt;
| kiszh = &lt;br /&gt;
| nagyzh = nincs&lt;br /&gt;
| hf = &lt;br /&gt;
| vizsga = írásbeli&lt;br /&gt;
| levlista = &lt;br /&gt;
| tárgyhonlap = http://sirkan.iit.bme.hu/dokeos/courses/VIIIMA02/&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Jegyzetek ==&lt;br /&gt;
* Előadásdiák a [http://sirkan.iit.bme.hu/dokeos/courses/VIIIMA02/ tárgyhonlapon], bejelentkezés után.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>Csala Tamás</name></author>
	</entry>
</feed>