VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Fájl:Anal2info2019 pzh2b megold.pdf

2019-05-23T23:09:36Z

Csókás Bence Viktor:

Fájl:Anal2info2019 pzh2b.pdf

2019-05-23T23:09:03Z

Csókás Bence Viktor:

Fájl:Anal2info2019 pzh2a megold.pdf

2019-05-23T23:08:52Z

Csókás Bence Viktor:

Fájl:Anal2info2019 pzh2a.pdf

2019-05-23T23:08:44Z

Csókás Bence Viktor:

Analízis II.

2019-05-23T23:06:51Z

Csókás Bence Viktor: 2019-es pótZH2-k

{{Tantárgy
|nev=Analízis 2 informatikusoknak
|tárgykód=TE90AX22
|régitárgykód=TE90AX05
|szak=info
|kredit=6 (régi: 7)
|felev=2
|kereszt=van
|tanszék= TTK Analízis Tanszék
|kiszh=nincs
|nagyzh=2 db (régi: 3 db)
|hf= nincs
|vizsga=írásbeli (régi) / nincs (új)
|tad=https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90AX22/
|targyhonlap=https://anal.math.bme.hu/anal2info
|levlista=anal2{{kukac}}sch.bme.hu }}

A tárgy témája '''differenciálegyenletek, lineáris rekurzió, sorok, többváltozós függvények, Fourier-analízis'''. Az egyik legfontosabb tárgy a második félévben. A legtöbb kreditet éri a félévben, tehát sokat számít az ösztöndíjátlagban is.

'''A tárgy tematikája a 2014/2015/2 félévtől részben megváltozott, a számonkérések (vizsgakurzust kivéve) a régi és új tanrend szerint hallgatók számára is ez alapján történnek.''' Különbség csupán a követelményrendszerben van, a régi kurzust felvevőknek a tárgy vizsgával, az új kurzust felvevőknek pedig félévközi jeggyel zárul, aminek megszerzése után [[Analízis_szigorlat_informatikusoknak|szigorlatot]] kell tenni.
A 2017/2018/2 félévtől már csak 2 ZH van a tárgyból, a régi 3. ZH-k anyagának egy része így már csak a szigorlaton lesz számonkérve.

==Követelmények==

=== Előtanulmányi rend ===
[[Analízis I.|Analízis 1.]] tárgyból kredit megszerzése szükséges a tárgy felvételéhez.

=== A szorgalmi időszakban ===
*Az '''aláírás''' feltételei:
**A '''gyakorlatok''' legalább 70%-án való részvétel.
**'''Két ZH''' sikeres, min. 40% megírása.
*'''Megajánlott jegy:''' nincs.
*'''Pótlási lehetőségek:'''
**A két ZH-ból bármelyik pótolható / javítható félév közben, és valamelyik pótolható (már nem javítható) egyszer a pótlási héten (különeljárási díj fejében).
*'''Elővizsga''': nincs.
*''[http://math.bme.hu/~tasnadi/merninf_anal_2/inf_an2_kov_2018t.pdf Bővebben...]'' (2018 tavaszi állapotot tükrözi, évről évre változhat.)

===A vizsgaidőszakban ===
*'''Vizsga''': írásbeli. A sikeres vizsgához min. 40% kell. A stílusa a ZH-kéhoz hasonló, viszont nagyobb súllyal szerepel benne a 2. ZH után vett anyag. A feladatsorban ezek a *-al jelölt feladatok, melyekből külön 40%-ot is el kell érni a sikeres vizsgához.
*Előfeltétele: az aláírás megléte.
*'''Az új tantárgy félévközi jeggyel zárul, nincsen vizsga.'''

===Félévvégi jegy===
*A jegyet az összpontszám (A) alapján kapod, melybe régi képzésen lévőknek az 1. és 2. ZH (ZHx) és a vizsga (V) eredménye fele-fele arányban, az új képzésen lévőknek pedig a 3 ZH eredményének "súlyozott" átlaga számít (lásd hivatalos követelmények fentebb).
*Régi képzésen lévőknek a tárgy teljesítéséhez a vizsgának is sikerülnie kell, nem elég a jó ZH-eredmény!
*Ponthatárok:
:{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 110px; height: 40px;"
|-
! A !! Jegy
|-
|0 - 39 || 1
|-
|40 - 54 || 2
|-
|55 - 64 || 3
|-
|65 - 79 || 4
|-
|80 - 100 || 5
|}

*Tételsor: [http://www.math.bme.hu/~konya/anal2/egyeb/an208t.pdf tárgyhonlap] [[Media:anal2_jegyzet_2008_telelsor.pdf |(VIK Wiki mirror)]]
*Az aktuális tételsor mindig elérhető a tárgyhonlapon.

==Tematika==

#Differenciálegyenletek:
#*szétválasztható változójú,
#*lineáris elsőrendű,
#*magasabb rendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek
#Lineáris rekurzió
#Numerikus sorok és függvénysorok:
#*Numerikus sorok konvergencia kritériumai
#*Hatványsorok
#*Taylor sor
#Többváltozós függvények:
#*Határérték, folytonosság
#*Differenciálhatóság, irány menti derivált, láncszabály
#*Magasabb rendű parciális deriváltak és differenciálok
#*Szélsőérték
#*Kettős és hármasintegrál kiszámítása.
#*Integrál transzformáció, Jacobi mátrix
#Fourier-analízis
#*Fourier-sorok
#*Fourier-transzformáció

== Segédanyagok ==

===Hivatalos egyetemi jegyzetek===

*[[Media:anal2_jegyzet_2011_konya_linearis_rekurzio.pdf |Kónya Ilona: Lineáris Rekurzió]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2006_fibonacci_rekurziv_egyenlotlensegek.pdf |Gyakorló feladatok (Fibonacci sorozat és rekurzív egyenlőtlenségek)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_fritz_konya_tobbvaltozos_fuggvenyek.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Többváltozós függvények''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_tobbes_integralok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Többes integrálok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_differencialegyenletek.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Differenciálegyenletek''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_fritz_konya_fuggvenysorozatok_fuggvenysorok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Függvénysorozatok, függvénysorok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_fritz_konya_fuggvenysorok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Függvénysorok''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2005_frizt_konya_komplex_fuggvenytan.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Komplex függvénytan''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2002_fritz_konya_komplex_fuggvenytan_feladatok.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Komplex függvénytan feladatok''']] + [[Media:anal2_jegyzet_2005_komplex_feladatok_megoldasa.pdf |néhány feladat megoldása]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2000_fritz_konya_feladatgyujtemeny.pdf |'''Fritz Józsefné, Kónya Ilona: Feladatgyűjtemény''']]
*[[Media:anal2_jegyzet_2007_tasnadi_diffegy_fizikai_problemak.pdf |Tasnádi Tamás: Néhány fizikai probléma (differenciálegyenletek alkalmazása a gyakorlatban)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2009_tavasz_gyakorlatok.pdf |Gyakorlatokon bemutatott feladatok (2009)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2010_konya_gyakorlatok.pdf |Kónya Ilona: Gyakorlatok (2010)]]

===Egyéb jegyzetek===

*[[Media:anal2_jegyzet_2008_elekes_csaba_elmelet.pdf |Elekes Csaba előadásjegyzete]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_elekes_csaba_gyakorlat.pdf |Elekes Csaba gyakorlatjegyzete]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_kristof_a_matematika_analízis_elemei_II.pdf |Kristóf János: A matematikai analízis elemei II]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_kristof_a_matematika_analízis_elemei_III.pdf |Kristóf János: A matematikai analízis elemei III]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_kalkulus_II.pdf |Lajkó Károly: Kalkulus II.]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_kalkulus_II_peldatar.pdf |Lajkó Károly: Kalkulus II. Példatár]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_lajko_differencialegyenletek.pdf |Lajkó Károly: Differenciálegyenletek]]
*[[Media:anal1_2009_mezei-faragó-simon_bev_anal.pdf | Mezei István, Faragó István, Simon Péter: Bevezetés az analízisbe]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2015_petenyi_franciska_fourier_transzformacio_tulajdonsagai.pdf | Petényi Franciska: Fourier-transzformáció tulajdonságai]]
==== Thomas-féle Kalkulus ====
Nincs lefedve a magasabbrendű diffegyenletek, komplex változós analízis
* [http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_thomas_kalkulus_2/adatok.html Thomas-féle Kalkulus 2] '''9. fejezet (elsőrendű diffegyenletek)'''
* [http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_thomas_kalkulus_3/adatok.html Thomas-féle Kalkulus 3] '''11. fejezet vége (hatványsor, Fourier-sor), a 10, 12-14. fejezetek (többváltozós deriválás), a 15. fejezet (többváltozós integrálás)'''

===Összefoglalók===

*[[Media:anal2_jegyzet_2001_taylorpolinom.doc |Taylor-polinom összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_galik_differencialegyenletek.pdf |Galik Zsófia: Differenciálegyenletek]]
*[[Media:Anal2_jegyzet_diffegyenlet_masodrendu.pdf | Másodrendű differenciálegyenletek]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_iranymenti derivalt.jpg |Iránymenti derivált összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2011_tobbvaltozos_fuggvenyek_abrazolasa.pdf |Többváltozós függvények ábrázolása]]
*[[Media:Matek3 Komplexösszefoglaló.pdf |Visontay Péter: Komplex függvénytan összefoglaló]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2003_komplex_fuggvenytan.pdf |Komplex függvénytan gyakorlatjegyzet]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2010_fuggvenytranszformaciok.pdf |Függvénytranszformációk]]
*[[Media:anal1_derivalttablazat.png | '''Deriválttáblázat''']]
*[[anal2-magic |Analizis 2 magic jegyzet]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_kidolgozott_tetelek.pdf |Kidolgozott tételek (2008)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2008_osszefoglalo.pdf |Összefoglaló(2008)]]
*[[Media:anal2_jegyzet_2012_varyanna_osszefoglalo.pdf |Váry Anna: Összefoglaló (2012)]]

=== Sablonok ===

*[[Media:anal2_vizsgasablon_2012.docx | Vizsga/Zárthelyi sablon]]

==Számonkérések==

=== 1. zárthelyi ===

*2013/2014
**őszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20131021_megoldas.pdf | ZH megoldással]] (hivatalos megoldókulcs nem került ki, a mellékelt megoldás egy 90%-os ZH letisztázott verziója, benne a ZH-n szereplő javításokkal!)
***[[Media:anal2_zh1_20131008.pdf | pZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20140313_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:Anal2_zh1_20140313_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1_20140313_B.pdf | ZH (B)]] + [[Media:Anal2_zh1_20140313_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1p_20140327.pdf | pZH ]] + [[Media:Anal2_zh1p_20140327_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1pp_20140520.pdf | ppZH ]] + [[Media:Anal2_zh1pp_20140520_megoldas(1).pdf | megoldás]]

*2014/2015
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20141020.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh1_20141020_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh1_20141107.pdf | pZH]]
**tavaszi félév
***[[:Media:Anal2_zh1a_20150312.pdf | ZH (A)]] + [[:Media:Anal2_zh1a_20150312_megold.pdf | megoldás]]
***[[:Media:Anal2_zh1b_20150312.pdf | ZH (B)]] + [[:Media:Anal2_zh1b_20150312_megold.pdf | megoldás]]
***[[:Media:Anal2_pzh1a_20150323.pdf | pZH (A)]] + [[:Media:Anal2_pzh1a_20150323_megold.pdf | megoldás]]
***[[:Media:Anal2_pzh1b_20150323.pdf | pZH (B)]] + [[:Media:Anal2_pzh1b_20150323_megold.pdf | megoldás]]

*2015/2016
**őszi félév: Tasnádi Tamás tartotta, ugyanaz mint az egyenes (nem mint az előző évek keresztjei)
***[[Media:anal2_zh1a_20151013.pdf | ZH (A) ]] + [[Media:anal2_zh1ameg_20151013.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh1b_20151013.pdf | ZH (B)]] + [[Media:anal2_zh1bmeg_20151013.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh1apot_20151020.pdf | pZH (A)]]
***[[Media:anal2_zh1bpot_20151020.pdf | pZH (B)]] + [[Media:anal2_zh1bmeg_20151020.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20160317.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh1meg_20160317.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh1pot_20160407.pdf | pZH]] + [[Media:anal2_zh1potmeg_20160407.pdf | megoldás]]

*2016/2017
**őszi félév
***[[Media:Anal2_ZH1_2016osz.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:Anal2_ZH1jav_2016osz.pdf | pZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_2017tavasz.zip | ZH, pZH és ppZH megoldással]]

*2018
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2 zh1 20180322 A.pdf | ZH (A)]], [[Media:Anal2 zh1 20180322 B.pdf | ZH (B)]] +[[Media:Anal2 zh1 20180322 megold.pdf | ZH A és B megoldása]]
***[[Media:Anal2 pzh1 20180419 A.pdf | pZH (A)]],[[Media:Anal2 pzh1 20180419 B.pdf| pZH (B)]] + [[Media:Anal2 pzh1 20180419 megold.pdf | pZH A és B megoldása]]
***[[Media:Anal2 ppzh1 20180525.pdf | ppZH]] + [[Media:Anal2 ppzh1 20180525 megold.pdf| megoldása]]

*2019
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_info_zh1_20190312_alfa.pdf | ZH (A)]] + [[Media:Anal2_info_zh1_20190312_alfa_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_info_zh1_20190312_beta.pdf | ZH (B)]] + [[Media:Anal2_info_zh1_20190312_beta_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2info2019_zh1pa.pdf | pZH (A)]] + [[Media:anal2info2019_zh1pa_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2info2019_zh1pb.pdf | pZH (B)]] + [[Media:anal2info2019_zh1pb_megold.pdf | megoldás]]

{{Rejtett
|mutatott=Korábbiak
|szöveg=
*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20121015.pdf | ZH]] + [[Media:Anal2_zh1_20121015_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1p_20121027.pdf | pótZH]] + [[Media:Anal2_zh1p_20121027_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1pp_20121210.pdf | pótpótZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh1_20130314_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:Anal2_zh1_20130314_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1_20130314_B.pdf | ZH (B)]] + [[Media:Anal2_zh1_20130314_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh1p_20130328_B_megoldassal.pdf | pótZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_ppzh1.pdf | pótpótZH (A)]] + [[Media:anal2_ppzh1_megold.pdf | megoldás]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1p_20111105_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20120308_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1_20120308_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20120322_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20101013_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20101029_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20110310_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20110324_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20091005_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20091014_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1pp_20091217.pdf | pótpótZH]] + [[Media:anal2_zh1pp_20091217_megoldas.pdf |megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20100311_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:anal2_zh1_20100311_A_megoldas.pdf |megoldás]]
***[[Media:anal2_zh1_20100311_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20100401_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2008/2009
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20090316_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20090327_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2007/2008
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20080319_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2006/2007
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20070322_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20070504_B_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2005/2006
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20060316_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20050317_A.gif | ZH (A)]]
***[[Media:anal2_zh1_20050317_B_megoldassal.pdf |ZH (B) megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20040311_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1p_20040505.jpg | pótZH megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20030313_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh1_20030313_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]

*2001/2012
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20020314_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_20010307_A.pdf | ZH]]

*1997/1998
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1_19980319.pdf | ZH]]
***[[Media:anal2_zh1p_19980515.pdf | pótZH]]

*1996/1997
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh1p_19970521.pdf | pótZH]]
}}

=== 2. zárthelyi ===

*2013/2014
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20131020_reszmegold.pdf | ZH részleges megoldással]]
***[[Media:anal2_pzh2_20131209.pdf | pZH]] + [[Media:anal2_pzh2_20131209_megoldas.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh2_20140417_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:Anal2_zh2_20140417_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh2_20140417_B.pdf | ZH (B)]] + [[Media:Anal2_zh2_20140417_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh2p_20140508_A.pdf | pZH (A)]], [[Media:Anal2_zh2p_20140508_B.pdf | pZH (B)]] + [[Media:Anal2_zh2p_20140508_A_megoldas.pdf | pZH A és B megoldása]]
***[[Media:Anal2_zh2pp_20140520.pdf | ppZH]] + [[Media:Anal2_zh2pp_20140520_megoldas.pdf | megoldás]]

*2014/2015
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20141119.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh2_20141119_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2p_20141203.pdf | pZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh2_20150416_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:Anal2_zh2_20150416_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_zh2_20150416_B.pdf | ZH (B)]] + [[Media:Anal2_zh2_20150416_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_pzh2_20150427_A.pdf | pZH (A)]] + [[Media:Anal2_pzh2_20150427_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:Anal2_pzh2_20150427_B.pdf | pZH (B)]] + [[Media:Anal2_pzh2_20150427_B_megoldas.pdf | megoldás]]

*2015/2016
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2a_20151110.pdf | ZH (A)]] + [[Media:anal2_zh2ameg_20151110.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2b_20151110.pdf | ZH (B)]]
***[[Media:anal2_zh2pot_20151120.pdf | pZH]] + [[Media:anal2_zh2potmeg_20151120.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20160418.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh2meg_20160418.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2pot_20160425.pdf | pZH]] + [[Media:anal2_zh2potmeg_20160425.pdf | megoldás]]

*2016/2017
**őszi félév
***[[Media:Anal2_ZH2_2016osz.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:Anal2_PZH2_2016osz.pdf | pZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh2_2017tavasz.zip | ZH, pZH és ppZH megoldással]]

*2018
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2 zh2 20180503 A.pdf| ZH (A) ]], [[Media:Anal2 zh2 20180503 B.pdf | ZH (B) ]] + ([[Media:Anal2 zh2 20180503 megold.pdf| ZH A és B megoldása]])
***[[Media:Anal2 pzh2 20180510 A.pdf | pZH (A) ]],[[Media:Anal2 pzh2 20180510 B.pdf | pZH (B)]] + ([[Media:Anal2 pzh2 20180510 megold.pdf | pZH A és B megoldása ]])
***[[Media:Anal2 ppzh2 20180525.pdf| ppZH]] + ([[Media:Anal2 ppzh2 20180525 megold.pdf| megoldás]])

*2019
**tavaszi félév
***[[Media:anal2info2019_zh2mintafelad.pdf | MintaZH ]] + [[Media:anal2info2019_zh2mintafelad_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2info2019_zh2a.pdf | ZH (A)]] + [[Media:anal2info2019_zh2a_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2info2019_zh2b.pdf | ZH (B)]] + [[Media:anal2info2019_zh2b_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2info2019_pzh2a.pdf | pZH (A)]] + [[Media:anal2info2019_pzh2a_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2info2019_pzh2b.pdf | pZH (A)]] + [[Media:anal2info2019_pzh2b_megold.pdf | megoldás]]

{{Rejtett
|mutatott=Korábbiak
|szöveg=
*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20121119.pdf | ZH]] + [[Media:anal2_zh2_20121119_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2p_20121130.pdf | pótZH]] + [[Media:anal2_zh2p_20121130_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20121210.pdf | pótpótZH]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20130425.pdf | ZH(A)]] + [[Media:anal2_zh2_20120425_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_pzh2.pdf | pótZH(A)]] + [[Media:anal2_pzh2_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_ppzh2.pdf | pótpótZH(A)]] + [[Media:anal2_ppzh2_megold.pdf | megoldás]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20111117_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20111201_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20120412_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20120412_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20120503_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20101110_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20101122_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20101213_megoldassal.pdf | pótpótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20110414_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20110505_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20091109_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20091123_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20091217.pdf | pótpótZH]] + [[Media:anal2_zh2pp_20091217_megoldas.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20100415_A.pdf | ZH (A)]] + [[Media:anal2_zh2_20100415_A_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh2_20100415_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20100429_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2008/2009
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20081121_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20081205_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2007/2008
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20080416_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2006/2007
**őszi félév
***[[Media:anal2_zh2pp_20061219.jpg | pótpótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20070419_AB.pdf | ZH (A-B)]]
***[[Media:anal2_zh2_20070419_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20070504_megoldassal.pdf | pótZH megoldással]]

*2005/2006
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20060420_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20060420_C_megoldassal.pdf | ZH (C) megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20050421_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20040415_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2p_20040505_A.jpg | pótZH (A)]]
***[[Media:anal2_zh2p_200405_B_megoldassal.pdf | pótZH (B) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20040603.jpg | pótpótZH megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20030417_B_megoldassal.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20030605_megoldassal.pdf | pótpótZH megoldással]]

*2001/2002
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20020418_A_megoldassal.pdf | ZH (A) megoldással]]
***[[Media:anal2_zh2_20020418_B_megoldassal.pdf | ZH (B) megoldással]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_20010419_B.pdf | ZH]]
***[[Media:anal2_zh2pp_20010509_A.jpg | pótpótZH]]

*1997/1998
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh2_19980423.pdf | ZH]]
}}

{{Rejtett
|mutatott='''3. zárthelyi (régebbi képzés)'''
|szöveg=

*2015/2016
**őszi félév: Tasnádi Tamás tartotta, ugyanaz mint az egyenes (nem mint az előző évek keresztjei)
***[[Media:anal2_zh3a_20151208.pdf | ZH3A]] + [[Media:anal2_zh3ameg_20151208.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh3b_20151208.pdf | ZH3B]] + [[Media:anal2_zh3bmeg_20151208.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh3apot_20151211.pdf | ZH3pot]] + [[Media:anal2_zh3apotmeg_20151211.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_zh3_20160510.pdf | ZH2]] + [[Media:anal2_zh3meg_20160510.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_zh3pot_20160524.pdf | ZH2pot]] + [[Media:anal2_zh3potmeg_20160524.pdf | megoldás]]

*2016/2017
**őszi félév
***[[Media:Anal2_ZH3_2016osz.pdf | ZH megoldással]]
***[[Media:Anal2_potZH3_2016osz.pdf | pótZH megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:Anal2_zh3_2017tavasz.zip | ZH, PZH és PPZH megoldással]]
}}

=== Vizsga ===
*2014/15 évfolyamtól kezdve nincs vizsga, szigorlatra való tanuláshoz tökéletes

{{Rejtett
|mutatott=Korábbiak
|szöveg=
*2014/2015
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20141222.pdf | december 22.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20150109.pdf | január 9.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20150116.pdf | január 16.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20150123.pdf | január 23.]]
*2013/2014
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20131221.pdf | december 21.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140106.pdf | január 6.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140113.pdf | január 13.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140120.pdf | január 20.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20140529.pdf | Május 29.]] + [[Media:anal2_vizsga_20140529_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140605.pdf | Június 5.]] + [[Media:anal2_vizsga_20140605_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140612.pdf | Június 12.]] + [[Media:anal2_vizsga_20140612_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20140619.pdf | Június 19.]] + [[Media:anal2_vizsga_20140619_megoldas.pdf | megoldás]]

*2012/2013
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20121227.pdf | December 27.]] + [[Media:anal2_vizsga_20121227_megoldas_1B.pdf | 1B feladat megoldása]]
***[[Media:anal2_vizsga_20130107.pdf | Január 7.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20130114.pdf | Január 14.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20120529_megoldassal.pdf | Május 29. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120606A_megoldassal.pdf | Június 6. megoldással (A)]] - 4/b vége helyesen sin(3x2) + 6x2cos(3x2)
***[[Media:anal2_vizsga_20120613A.pdf | Június 13. (A)]] + [[Media:anal2_vizsga_20120613_megold.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120620A_megoldassal.pdf | Június 20. megoldással (A)]]

*2011/2012
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20111219_megoldassal.pdf | December 19. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120102_megoldassal.pdf | Január 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120109_megoldassal.pdf | Január 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120116_megoldassal.pdf | Január 16. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20120524_megoldassal.pdf | Május 24. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120531_megoldassal.pdf | Május 31. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120607_megoldassal.pdf | Június 7. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20120614_megoldassal.pdf | Június 14. megoldással]]

*2010/2011
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20110103_megoldassal.pdf | Január 3. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110110_megoldassal.pdf | Január 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110117_megoldassal.pdf | Január 17. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20110526_megoldassal.pdf | Május 26. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110602_megoldassal.pdf | Június 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110609_megoldassal.pdf | Június 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20110616_megoldassal.pdf | Június 16. megoldással]]

*2009/2010
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20100104.pdf | Január 4.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100104_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100111.pdf | Január 11.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100111_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100118.pdf | Január 18.]] + [[Media:anal2_vizsga_20100118_megoldas.pdf | megoldás]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20100527_megoldassal.pdf | Május 27. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100603_megoldassal.pdf | Június 3. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100610_B_megoldassal.pdf | Június 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20100617_megoldassal.pdf | Június 17. megoldással]]

*2008/2009
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20090107_megoldassal.pdf | Január 7. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090114_megoldassal.pdf | Január 2. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090128_megoldassal.doc | December 28. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20090528_B_megoldassal.pdf | Május 28. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090604_megoldassal.pdf | Június 4. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090611_megoldassal.pdf | Június 11. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20090618_megoldassal.pdf | Június 18. megoldással]]

*2007/2008
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20080109.jpg | Január 9.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080123.jpg | Január 23.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20080529_A_megoldassal.pdf | Május 29. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080605_megoldassal.pdf | Június 5. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080612_megoldassal_silany.pdf | Június 12. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20080619.jpeg | Június 19.]]

*2006/2007
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20070103.jpg | Január 3.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070110_megoldassal.pdf | Január 10. megoldással]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20070531_A.pdf | Május 31. A]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070531_B.gif | Május 31. B]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070607_B.jpg | Június 7.]] + [[Media:anal2_vizsga_20070607_B_megoldas.pdf | megoldás]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070614_A_megoldassal.pdf | Június 14. A megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20070614_B_megoldassal.pdf | Június 14. B megoldással]]

*2005/2006
**őszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20060102.jpg | Január 2.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060119.pdf | Január 19.]]
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20060601_AB_megoldassal.pdf | Június 1. AB megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060601_C_megoldassal.pdf | Június 1. C megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060608_B_megoldassal.pdf | Június 8. B megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060608_C_megoldassal.pdf | Június 8. C megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20060615_megoldassal.pdf | Június 15 megoldással]]

*2004/2005
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20050526_megoldassal.pdf | Május 26. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20050609_megoldassal.pdf | Június 9. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20050623_megoldassal.pdf | Június 23. megoldással]]

*2003/2004
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20040520_megoldassal.pdf | Május 20. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040603.jpg | Június 3.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040610_megoldassal.pdf | Június 10. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20040617_megoldassal.pdf | Június 17. megoldással]]

*2002/2003
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20030522_megoldassal.pdf | Május 22. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030605_megoldassal.pdf | Június 5. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030612_megoldassal.pdf | Júnis 12. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20030619_megoldassal.pdf | Júnis 19. megoldással]]

*2001/2002
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20020606_megoldassal.pdf | Június 6. megoldással]]
***[[Media:anal2_vizsga_20020620.pdf | Június 20.]] + [[Media:anal2_vizsga_20020620_megoldassal.pdf | megoldás]]

*2000/2001
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20010518_A_I.pdf | Május 18. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010518_A_II.pdf | Május 18. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_A_I.pdf | Június 7. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_A_II.pdf | Június 7. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010607_B_II.pdf | Június 7. B II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010614_A_II.pdf | Június 14. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010614_B_II.pdf | Június 14. B II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_A_I.pdf | Június 18. A I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_A_II.pdf | Június 18. A II.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_B_I.pdf | Június 18. B I.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20010618_B_II.pdf | Június 18. B II.]]

*1999/2000
**tavaszi félév
***[[Media:anal2_vizsga_20000524_B.pdf | Május 24.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000606_B.pdf | Június 6.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000613_B.pdf | Június 13.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000619_A.pdf | Június 19.]]
***[[Media:anal2_vizsga_20000620_B.pdf | Június 20.]]
}}

==Idegennyelvű kurzusok==



=== Angol ''(Course in English)'' ===

[[Media:anal2_jegyzet_2002_angol_laurent.pdf | Laurent series]]

=== Német ===

''A német nyelvű képzéshez kapcsolódó anyagokat keresd a [http://nemet.sch.bme.hu/ Német Seite]-on.''

== Tippek ==

*A hivatalos jegyzetből érdemes az elméletet elsajátítani, a legtöbb helyen részletes és érthető.
*A felkészüléshez elengedhetetlen, hogy gyakorlottan oldjunk meg feladatokat. Feladatokat megoldással a gyakorlati jegyzetben találunk, de érdemes a régebbi ZH-kat, vizsgákat is átnézni. (Figyeljünk, hogy a dolgozatok tematikája évről-évre változik.)
*Amennyiben az aktuális szabályzat engedi, ne feledjétek elvinni a számonkérésekre a [[Media:Anal1_derivalttablazat.png |deriválttáblázatot]].

== Verseny ==

*[http://verseny.vik.hk/versenyek/olvas/6?v=Matematika BME Matematika Verseny]

== Kapcsolódó tárgyak ==
*Előkövetelmény
**[[Analízis I.]]
*Közvetlenül ráépül
**[[Rendszerelmélet]]
*Érdeklődőknek
**[[A többváltozós analízis mérnöki alkalmazásai]] tárgyat párhuzamosan ajánlott felvenni.
**A [[Haladó Analízis]] tárgyat az [[Analízis II.]] elvégzése után érdemes felvenni.
**[[A differenciálegyenletek és a vektoranalízis mérnöki alkalmazásai 1]] tárgyat az [[Analízis II.]] elvégzése után érdemes felvenni.
*Hasonló tematikájú villanyos tárgyak
**[[Matematika A2a - Vektorfüggvények]]
**[[Matematika A3 villamosmérnököknek]]

== Ajánlott oldalak ==
*'''Előadók oldalai:'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~tasnadi/ Tasnádi Tamás]'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~reffyj/ Réffy Júlia]'''
**'''[http://www.math.bme.hu/~pataki/ Pataki Gergely]'''
**''[http://www.math.bme.hu/~mweiner/anal2/ Weiner Mihály keresztfélév]''
**''[http://www.math.bme.hu/~konya/anal2/ Kónya Ilona archív]''
**''[https://sites.google.com/site/bmesszaboanalizis2info/home Szabó Sándor keresztfélév]''
*Jegyzetek, segédanyagok:
**[http://www.mateking.hu/ Matematika érthetően - egy egészen új statisztika és a matek tanulás]
**[http://wps.aw.com/aw_thomas_calculus_11/29/7661/1961403.cw/content/index.html Calculus Resources for Students ''(Thomas' Calculus)'']
**[http://www.cs.elte.hu/~krja/ Kristóf János jegyzetei]
**[http://www.math.unideb.hu/~lajko/ Lajkó Károly jegyzetei]
**[http://www.trillia.com/products.html Mathematical Analysis by Elias Zakon]
*Segédprogramok:
**'''[http://www.wolframalpha.com/ WolframAplha - függvények ábrázolása, deriválása, integrálása, határérték-számolás, stb.]'''
**[http://www.wolfram.com/ Wolfram Research - a Mathematica alkalmazás fejlesztője]
*Konzultációs oldalak:
**'''[http://konzi.vik.hk/ Villanykari Konzi Site]'''
**[http://www.math.bme.hu/~mmm/ Matematika Konzultációs Központ]

== Kedvcsináló ==

{{Idézet|idézet="Ki találta ki ezt a feladatot? Biztos válófélben van, otthagyták a gyerekei, utálják a szomszédai, a felesége, meg mindenki. De lehet, hogy a javító, mert ezt úgysem tudja senki megoldani, és már ki is van javítva a feladat."|forrás=Kónya Ilona}}

{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak_2014}}
{{Lábléc_-_Mérnök_informatikus_alapszak}}

Anal2-magic

2019-05-21T16:14:46Z

Csókás Bence Viktor: Görög betűk

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 félévnyi Analízis 2 (sima/kereszt) alatt gyűltek össze, többnyire típuspéldákra mennek rá, 2-est (elvileg) simán össze lehet vele szedni.

BTW, a kereszt nem azért jött össze, mert a sima nem ment, hanem mert már nem volt időm tanulni a vizsgára.
A gyakorlást NEM helyettesíti. Tehát ezt bemagolod, és utána megoldasz sok zh-t / vizsgát, úgy már jó (elvileg :D ).

Keresztet nem ajánlom :D ua. az anyag, de máshogy kérdezik.

Ha nem mész át ezzel, az a TE hibád :P

A pontosításoknak természetesen mindenki örül

Deriválttábla, számológép nem art :P

== Alapok ==
=== Azonosságok, amiket jó, ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y) 
sin(x ‒ y) = sin(x) * cos(y) ‒ cos(x) * sin(y) 
cos(x ‒ y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y) 
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) ‒ sin(x) * sin(y) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talán meg anal1-ről :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limΔx->0 ( f(x0 + Δx) - f(x0) ) / Δx 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Deriválás ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzás 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // összeadás 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzás 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztás 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // összetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Érintő egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integrálás ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( φ(x) ) * φ'(x) dx = F( φ(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parciális integrálás 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesítéses integrál:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integrált akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesítés 
du = f'(x) //lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijön vmi --> visszahelyettesítesz 
 
'''Parciális törtekre bontás integrálás''' 
'''EZT VKI LEÍRHATNÁ IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsőrendű DE-k ===
=== Szeparábilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldás lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebből kijön: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integrálás során keletkezik 
néha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Lineáris DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható 
y = K * h(x) --> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogén általános megoldása 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogén + inhomogén partikuláris megoldás 
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: K = valami 
K-t visszahelyettesíted yia-ba --> megkapod: ykonkrét 
 
=== DE helyettesítéssel ===
'''Példán keresztül bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni (lineáris, szeparábilis), így valami helyettesítést kell alkalmazni. 
Simán megadták, hogy mik lehetnek a helyettesítések, azokból kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetséges helyettesítések: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát: 
u = x + y 
kifejezzük y-t: 
y = u - x 
lederiváljuk: 
y' = u' - 1 
Tehát most már minden változó y', x+y megvan, behelyettesítünk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzük: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehát szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni. 
Megnézzük a 0-re vonatkozó megoldást: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehát visszahelyettesítve: y = -1 - x egy megoldása lesz a DE-nek. 
Tovább haladunk a megoldással: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A második fele: x + C 
Az első fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekből: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesítünk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendű DE-k ===
=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
Megoldás: C * eλ*x alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű. 
'''Példa:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
λ3 + 2 * λ2 + λ = 0 
λ * ( λ2 + 2 * λ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1) 
λ * ( λ + 1 )2 = 0 
első feléből λ1 = 0 
második feléből λ2 = -1 
DE 3 megoldás kell!!! 
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Példa 2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
λ3 + 4 * λ2 + 13 * λ = 0 // kiemelsz λ-t 
λ( λ2 + 4 * λ + 13 ) = 0 
λ( (λ + 2)2 + 9 ) = 0 
első feléből λ1 = 0 
második feléből: 
-9 = (λ + 2)2 
-91/2 = λ + 2 
-91/2 - 2 = λ 
3*i - 2 = λ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba 
-3*i - 2 = λ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehát a valós rész lesz a λ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje 
 
'''Példa 3:''' 
adott egy megoldás: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebből kell a DE-et felírni. 
ebből rögtön latjuk is, hogy λ1 = 5 
λ2 = -3 
tehát ebből következtethetünk a karakterisztikus egyenletre: 
(λ - 5) * (λ + 3) = 0 
innentől 'csak' át kell rendezni, és megoldani 
λ2 + 3 * λ - 5 * λ - 15 = 0 
λ2 - 2 * λ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
'''absztrakt példa:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebből kell a homogén DE megoldása. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eλ*x -os alak 
Az inhomogén partikuláris megoldása ebből az alábbi alakban lesz: 
itt C1 és C2 ismeretlenek, y1, és (opcionálisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-ből 'generálódnak' (lásd alább) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezután az inhomogén általános megoldás = homogén megoldás + inhomogén partikuláris megoldás
 
'''Speciális f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehát bejön egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehát bejön egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkrét példa:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
λ2 - 5 * λ + 6 = 0 
λ1 = 2 
λ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell deriválni yip-t, amennyi fokú az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogének között szerepel az yip, akkor külső rezonancia van! 
// tehát yip *= x, és utána már lehet deriválni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a deriváltakat az együtthatókkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnézed, akkor beszoroztam az elején levő számokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-ből 2 volt az eredeti DE-ben, tehát: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-ből 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekből: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinák ==
'''példa:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebből magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzük y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kérdeznek lokális szélsőértéket, akkor y'-at kell megvizsgálni helyettesítéssel 
Az inflexiós ponthoz y(2)-at kell megnézni: 
y(2) > 0 --> lokális minimum 
y(2) < 0 --> lokális maximum 
Ha párhuzamosságot kérdeznek, akkor a meredekség = K-val. 
Ezekhez ajánlott megnézni par feladatot, és azon értelmezni :D 
 
== Lineáris rekurzió ==
(ez nagyon magic) 
megoldás alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebből: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatványú q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> másodfokú 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebből:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) típusú megoldások kellenek: 
f(n) = O(1): létezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivétel) 
tehát: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jók, hogy egy függvényt közelítsünk a deriváltjai segítségével. 
Fun fact: ezt régebben arra is használták, hogy a 'drága' sin/cos és hasonló fv-eket helyettesítsek egy 'olcsó' változattal. 
f(x) függvény x0 bázispontú n-ed fokú Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehát ahhoz, hogy felírjuk a T-sorát egy függvénynek n db deriváltra lesz szükség. 
Analitikus függvény: egy intervallumon analitikus egy függvény, ha ott előállítja a T-sora 
=== Nevezetes függvények T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomány: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehát a hibát meg lehet becsülni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartománynak, érdemes úgy választani, hogy egyszerű legyen számolni (pl x0 általában jó) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Példa (keresztről):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = π ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felső becsles a hibára? 
y'( x = π ) = sin( 1 ) + 2 + π // itt az 1 elvileg radiánban van --> számológép! 
y(2)( x = π ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + π ) + 1 
T( x0 = π ) = y( π ) + y'( π ) * (x - π) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (x - π) 
y(3) ~= T( x0 = π, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (3 - π) ~= -0.2 // ezt a tanár nagyon becsülte! 
létezik olyan xi, hogy [3 ; π] tartományban van, mivel felső becslest csinálunk, ezert π-t választjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = π, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - π)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehát a megoldás: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomány (KT) ===
Általában meg van adva vmi T-sor, szummás alakban. Erre alkalmazzuk a hányados / gyökkritériumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezután kijön vmi, ami egyenlő 1 / R-el, kifejezzük R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletből megkapjuk x-et, ez lesz a KT középpontja. 
tehát KT = (x - R, x + R) 
végpontokban külön meg kell nézni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (már nem tudom hol, nézz rá feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesítünk) 
a végén meg kell nézni, hogy a KT jó-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesül --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldás lepései: 
* fel kell rajzolni a függvényt
* ha a függvény páros --> bk = 0
* ha a függvény páratlan --> ak = 0, a0 = 0
* Φ(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / π * ʃπ-π f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / π * ʃπ-π f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* páratlan * páratlan = páros // ezt már nem tudom miért volt a lapon :D --> nézzél feladatot
* ha [-π ; 0] és [0 ; π] között ugyanaz a függvény, akkor ez páros függvény lesz
* ekkor elég [0 ; π] -ig integrálni. A 0 értékű tartományokat ezután ki lehet venni.
* ki kell integrálni a függvényt
* vissza kell helyettesíteni Φ(x)-be
* Φ(x) = f(x) --> be kell helyettesíteni, a szakadási helyeknél: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka többváltozós fv-ek deriválása) ==
Általában adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egységvektorok 
f 'x illetve f 'y úgy jön ki, hogy x illetve y szerint deriválsz. 
Pl ha x szerint deriválsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egységvektor, amit általában megadnak, néha normalizálni kell, a szorzás a két vektor komponensek szerinti szorzása (tehát nem skalár vagy vektor szorzás) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iránya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizálod 
Miért létezik gradf? mert a parciális deriváltak f 'x és f 'y léteznek és f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totálisan differenciálható, ha a parciális deriváltak folytonosak P0 pontban, tehát létezik a határértékük // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f 'x = ....... = 0 
f 'y = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p1(..,..) 
p2(..,..) 
p3(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)2 = ... 
 
4) 
f ''xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Körintegrál ==
Ebből en két fajtával találkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integrál alakja általában: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomány alakja: 
* |z - a| = x // x sugarú, a középpontú kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nézz utána!) 
Itt négy eset jöhet szoba: 
* ha z0 a koron kívülre esik, akkor a függvény reguláris, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a körön van --> nem értelmezett az integrál
* ha z0 a körben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * π * i) / n! * f(n)(z0)
* ha több z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor kettő integrál összegére kell bontani, majd mind a kettőre |z|-t úgy kell választani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nézz feladatot!), természetesen ilyenkor előbb meg kell nézni az előző három pontot, hogy esetleg nem értelmezzük, kívül esik-e stb. mert akkor nem kell integrálni...
 
'''Példa:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomány: |z - 2 * i| = 2 
tehát a középpont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebből felrajzoljuk a kort, és akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehát ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Példa 2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomány: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehát ez egy ellipszis lesz, több z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszámolása: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszámolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehát (Pitagorasz-tétel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-ból jött, R = 5 ugye 
tehát a két z0 kívül esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Érdemes a többi típusra is nézni feladatot!''' 
 
== Alternatív koordinátarendszerek ==
=== Polárkoordináták ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polárban: v = (r, φ) 
Átváltás: 
x = r * cos( φ ) 
y = r * sin( φ ) 
itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
φ eleme [0 ; 2 * π] 
Jakobi determináns |J|: 
|matrix| = r // azaz az alábbi matrix determinánsa 
A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltakból áll, a második pedig a φ szerintiekből. // HF: számold ki ;) 
Ha pl egy integrálnál at kell váltani a koordinátarendszert, akkor a függvényt az átváltás után be kell szorozni |J|-vel. 
ez a típus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integrálban) 
 
=== Hengerkoordináták ===
ugyanaz mint a polar csak térben, hozzájön z = z is (nem változik) 
ez a típus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polárnal. 
 
=== Gömbkoordináták ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gömb felületen van az egész. 
átváltás: 
x = r * sin( β ) * cos( φ ) 
y = r * sin( β ) * sin( φ ) 
z = r * cos( β ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
φ eleme [0 ; 2 * π] 
β eleme [0 ; π] 
|J| = r2 * sin( β ) 
A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltak (már 3 elem), a második a φ szerinti deriváltak, a harmadik a β szerintiek. // HF: számold ki ;) 
 
'''Példa:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kérdés a tartomány amin integrálni kéne. 
Jah és van amikor két alakzat által bezárt területet/térfogatot kérdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nézni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldás) 
T első részéből megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A második, harmadik részből megtudjuk, hogy ennek a körnek a második negyedének a területe kell. 
Tehát φ eleme [π / 2 ; π] tartománynak (itt kell majd integrálni) 
x = r * cos( φ ) = 3 * cos( φ ) 
y = r * sin( φ ) = 3 * sin( φ ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
átváltás után: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dφ dr // tartomány: r: [0 ; 3], φ: [π / 2 ; π] 
ezt már ki tudjuk integrálni, a megoldás: π / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Példa 2:''' 
Térfogatszámítasos integrál. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integrált ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, és itt ki kell találni, hogy hol integráljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal és jobb oldalából, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy két görbe közötti terület lesz. 
Mivel x2 és y2 illetve z van, ezert hengerkoordinátákat fogunk használni. (azért nem gömbit, mert az bonyolultabb) 
T polárral: R <= z <= 6 - R2 
amint az előző példánál említettem, itt meg kell nézni, hogy hol találkozik a két görbe. 
R = 6 - R2 --> másodfokú, R1 = -3, R2 = 2, ebből a -3 nem valószínű, hogy jó. 
Tehát az integrál a következő lesz: 
ʃʃʃ r dz dr dφ, a tartomány: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinálni, viszont meg így is számolható lesz. 
r: [0 ; 2] 
φ: [0 ; 2 * π] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapértelmezett tartományt használjuk. 
Innen ez már simán kiintegrálható, nekem 33.51 jött ki. 
 
'''Példa 3:''' 
Tartománycserés integrál. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dx dy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartományt, akkor láthatjuk, hogy ez valami vitorla alakú izé lesz. 
Mikmakról tanult GTK-s (elfordítod a koordinátarendszert, mert az milyen jó...) módszerrel a tartomány első felénél: 
kifejezzük y-t: y = (2 * x)2 
Tehát ami történt az az, hogy x(y)-ból áttranszformáltuk y(x)-re (tehát GTK-s ból a normálisra) 
Ha ránézünk a rajzra, akkor láthatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehát az integrál a következő lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dy dx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is simán kiintegrálható. 
 

== Komplex függvénytan ==
=== Komplex számok ===
z = x + i * y // itt x a valós rész, y a képzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex differenciálható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> Δ u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0 
 
'''Azonosságok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugált 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezárt szög, trigonometrikusnál φ 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(φ) + i * sin(φ) ) // itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög 
r = |z| 
φ = arg(z) // φ: [-π ; π] 
 
'''Exponenciális alak:''' 
z = r * eφ * i // úgy lehet megjegyezni, hogy Réffy J. (már akit tanított) 
 
'''Komplex szorzás:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(φ + b) + i * sin(φ + b) ) = r1 * r2 * e(φ + b) * i 
 
'''Osztás:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(φ - b) + i * sin(φ - b) ) = r1 / r2 * e(φ - b) * i 
 
'''Hatványozás:''' 
zn = rn * ( cos(φ * n) + i * sin(φ * n) ) 
 
'''Gyökvonás:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (φ + 2 * k * π) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (φ + 2 * k * π) / n ) + i * sin( (φ + 2 * k * π) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * φ = cos(φ) + i * sin(φ) // erre nézz feladatot! 
 

=== Harmonikus függvények ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valós rész, v a képzetes rész (függvény) 
Azonosságok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tétel: ha egy pont környékén a >= 2 fokú parciális deriváltak léteznek és folytonosak, akkor függetlenek a deriválás sorrendjétől. Tehát xy és yx ugyanaz lesz. 
Δu = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokális szélsőértékek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, és // szükséges feltétel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokális minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokális maximum 
// note: néha a valós részből kell a képzetest kiszámolni. Ilyenkor kiszámolod az elsőfokú deriváltakat, abból ugye megkapod a képzetes elsőfokú deriváltjait, ezt viszont vissza lehet integrálni. --> erre nézz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]