VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

Orvosi képdiagnosztika

2017-01-18T17:10:35Z

Bulla Ádám:

A [[Vizuális informatika szakirány]] kötelező tárgya.

{{Tantárgy
| név = Orvosi képdiagnosztika
| tárgykód = VIMIMA04
| szak = info MSc
| kredit = 4
| félév = 2
| kereszt =
| tanszék = MIT
| jelenlét =
| minmunka =
| labor =
| kiszh =
| nagyzh = 1 db
| hf = 5 db
| vizsga = szóbeli
| levlista =
| tárgyhonlap = http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04
}}

== Jegyzetek ==
* Előadásdiák a [http://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimima04/jegyzet tárgyhonlapon].
* [[Media:orvosi_ellenorzo_kerdesek_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor a zárthelyihez (2016)]]
* [[Media:orvosi_ellenorzo_valaszok_2016.pdf|Ellenőrző kérdéssor kidolgozása (2016)]] (egy nappal a ZH előtt tették közzé a kérdéssort, a kidolgozásban biztosan vannak hibák, nem teljes válaszok)

== Témakörök és ellenőrzőkérdéseik kidolgozása (folyamatban) ==
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képalkotó_diagnosztikai_eljárások|Képalkotó diagnosztikai eljárások]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Digitális_képek_alkotása_és_tárolása|Digitális képek alkotása és tárolása]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Lineáris_időinvariáns_rendszerek_és_képalkotás_metrikái|Lineáris időinvariáns rendszerek és képalkotás metrikái (TODO)]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Fourier_analízis|Fourier analízis (TODO)]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Inverz_probléma|Inverz probléma (TODO)]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képjavítás_előfeldolgozás| Képjavítás, előfeldolgozás (TODO)]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Képszegmentálás|Képszegmentálás (TODO)]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-ACM_Snake|ACM Snake (TODO)]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Regisztrációs_eljárások|Regisztrációs eljárások (TODO)]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Rekonstruciós_eljárások|Rekonstruciós eljárások (TODO)]]
* [[Orvosi_képdiagnosztika-Diagnosztika_módszerei|Diagnosztika módszerei (TODO)]]

== Hasznos oldalak, segítségek a tárgyhoz ==
* [http://oftankonyv.reak.bme.hu/tiki-index.php?page=A+sz%C5%B1rt+visszavet%C3%ADt%C3%A9s&structure=Book+for+fisics&no_bl=y Szűrt visszavetítés nagyjából érthetően, képekkel ]

{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}

Alkalmazott algebra és matematikai logika

2016-11-24T23:51:32Z

Bulla Ádám: /* Matematikai logika */

A [[Mérnök informatikus MSc | mérnök informatikus MSc]] Felsőbb matematika tárgyblokk egyik tantárgya.

{{Tantárgy
| név = Alkalmazott algebra és matematikai logika
| tárgykód = TE90MX57
| szak = info MSc
| kredit = 4
| félév =
| kereszt =
| tanszék =
| jelenlét =
| minmunka =
| labor =
| kiszh =
| nagyzh = 2 db
| hf =
| vizsga = írásbeli
| levlista =
| tad = https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90MX41/
| tárgyhonlap = http://algebra.math.bme.hu/2016-17-1/BMETE90MX57-V0_NagyG
}}

=Alkalmazott algebra=

* Előadó: [http://algebra.math.bme.hu/nagy-gabor Nagy Gábor Péter]
* [https://www.dropbox.com/s/2wv0v6p7qaax36l/Applied%20Linear%20Algebra%20presentation.pdf?dl=0 Előadásdiák] (korábbról, angolul, de a tárgy anyagát ránézésre lefedeik)
* '''[http://math.bme.hu/~wettl/okt/Jegyzet/00la.pdf Hivatalos jegyzet]''' (Jóval részeltesebb, mint a tárgy anyaga)
* '''[http://www.math.u-szeged.hu/~nagyg/DinEx/DinEx_lista.html Hivatalos gyakorlófeladatok]'''

{{Rejtett
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Alkalmazott algebra tárgyhoz:
|szöveg=
=== Segédanyagok ===
* [http://www.math.bme.hu/~ig/alkalg/ korábbi jegyzetek]
*[[Alkalmazott algebra - Előadások 2012 | Előadásjegyzet 2012-ből]], [http://www.math.bme.hu/~lukacs/bboard/alkalg/2012/ea_12aa.html ez] alapján.
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_kezzelirt.pdf | Kézzel írt előadásjegyzet 2012]] Tartalmazhat [[Alkalmazott algebra - Hibák a kézzel írt 2012-es jegyzetben | hibákat]], az utolsó előadást még nem tartalmazza. (Lehet, hogy érdemes 50%-osban nyomtatni.)
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2012_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2012]]
*[[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos.pdf | Hivatalos jegyzet 2010]] <- [[Media:Alkalg_jegyzet_2010_hivatalos_tartalomjegyzek.pdf | tartalomjegyzék]]
*[[Media:Alkalg_diasor_2012.pdf | Diasorok összefűzve]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva.pdf | teteje levágva]], [[Media:Alkalg_diasor_2012_vagva_8.pdf | 8 dia/oldal]]

=== Zárthelyik ===
*[[Media:Alkalg_zh_2011_regi.pdf | Régebbi zh-k]], és [[Media:Alkalg_zh_2011_regi_mego.pdf | megoldásaik]]
}}

= Matematikai logika =
* Előadó: [http://renyi.hu/~sagi/ Sági Gábor]
* '''[http://renyi.hu/~sagi/felsobbmatC-2010osz-eljgyz.html Hivatalos jegyzet]'''
* '''[http://renyi.hu/~sagi/felsmat-2016osz-letoltesek.html Hivatalos gyakorlófeladatok]'''
* [[Media:felsmat-2010-merged.pdf | Hivatalos jegyzet egy PDF-be fésülve]]

{{Rejtett
|mutatott=Elavult anyagok, a régi különálló Matematikai logika tárgyhoz:
|szöveg=
===Segédanyagok===
A tárgyhonlapot nem tudjuk, hol van, egyáltalán van-e, egy nagyon régi maradványt sikerült csak megtalálni: http://www.renyi.hu/~sagi/teaching2010sep.html

2014-es honlap: http://www.math.bme.hu/~ferenczi/FelsoMatek14

*[[Media:Matematikailogika_jegyzet_2004.docx | Összefoglaló 2004]]

====2014-es összefoglalás====
Előadásjegyzet alapján, erősen kivonatolva (pl. a feladatmegoldások lépéseit kihagytam belőle) 
Leginkább csak tételek és definíciók. 
(Amelyik tétel vastaggal ki van emelve, arról elhangzott, hogy az fontos) 
Szerkeszthető (DOCX, W2013, egyenletszerkesztős): [[:File:Összefoglalo_2014_(docx).docx]] 
PDF: [[:File:Összefoglalo_2014_(pdf).pdf]]

===Zárthelyik===
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta.pdf | Minta ZH]]
*[[Media:Matematikailogika_zh_minta_megoldas.pdf | Minta ZH megoldás]]
*[[Media:Matematikailogika_zh_20101129.png | 2010. őszi ZH]]
*[[Media:matlog_mintazh_2014osz.pdf | 2014. őszi minta ZH]]
*[[:File:2014_zh_1.jpg | 2014. ZH 1. oldal]]
*[[:File:2014_zh_2.jpg | 2014. ZH 2. oldal]]
}}

=Zárthelyik=
* [[:File:Alglog zh1 2016 10 25.jpg|2016. ZH1]]

{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}

Fájl:Felsmat-2010-merged.pdf

2016-11-24T23:49:37Z

Bulla Ádám: File uploaded with MsUpload

File uploaded with MsUpload

Vita:Analízis (MSc) típusfeladatok

2016-05-25T22:08:17Z

Bulla Ádám: Új oldal, tartalma: „Talált hibák: * Jordan normal forma, végeredménynél, az 1/(1-1/2) az 2 és nem 1/2, nem?”

Talált hibák:
* Jordan normal forma, végeredménynél, az 1/(1-1/2) az 2 és nem 1/2, nem?

Analízis (MSc) típusfeladatok

2016-05-25T22:08:07Z

Bulla Ádám: /* Disztribúciók */

= Integrál trafók témakör =

== Laplace trafó diff-egyenlet ==

<big>1)</big> [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

<math>\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1</math>

<math>\dot{y}(t) = 3y(t) - 2x(t)</math>

<math>x(0) = 0,~y(0) = 1</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját (<math>X := \mathcal{L}(x),~ Y := \mathcal{L}(y)</math>):

<math>sX - x(0) = 2Y - X + \frac{1}{s}</math>

<math>sY - y(0) = 3Y - 2X</math>

* Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:

<math>(s+1)X + (-2)Y = \frac{1}{s}</math>

<math>(2)X + (s-3)Y = 1</math>

* Mátrixos alakra hozva:

<math>\begin{bmatrix}s+1 & -2 \\ 2 & s-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{s} \\ 1\end{bmatrix}</math>

* Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):

<math>X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}\frac{1}{s} & -2 \\ 1 & s-3\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s+1 & -2 \\ 2 & s-3\end{bmatrix}\right)} = \frac{\frac{s-3}{s} + 2}{(s+1)(s-3)+4} = \frac{3 (s-1)}{s(s^2 - 2s + 1)} = \frac{3 (s-1)}{s(s-1)^2} = \frac{3}{s(s-1)}</math>

* Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:

<math>\frac{A}{s} + \frac{B}{s-1} = \frac{A(s-1) + Bs}{s(s-1)} = \frac{3}{s(s-1)}</math>

* Együtthatókat összehasonlítva:
<math> A + B = 0, -A = 3</math>

* Ahonnan:
<math> A = -3,~B = 3</math>

* Vagyis <math>X(s) = \frac{-3}{s} + \frac{3}{s-1}</math>

* Tehát a táblázat alapján <math>x(t) = -3 + 3e^t</math>
}}

<big>2)</big> [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

<math>\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)</math>

<math>\ddot{y}(t) = x(t) - 2y(t)</math>

<math>x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját:

<math>s^2X - sx(0) - \dot{x}(0) = 2X - 3Y</math>

<math>s^2Y - sy(0) - \dot{y}(0) = X - 2Y</math>

* Átrendezve és mátrixos alakra hozva:

<math>\begin{bmatrix}s^2-2 & 3 \\ -1 & s^2+2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math>

* Megoldás X-re:

<math>X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}0 & 3 \\ 1 & s^2+2\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s^2-2 & 3 \\ -1 & s^2+2\end{bmatrix}\right)} = \frac{-3}{(s^2-2)(s^2+2)+3} = \frac{-3}{s^4-1} = \frac{-3}{(s^2-1)(s^2+1)}</math>

* Parc törtek:

<math>\frac{A}{s^2-1} + \frac{B}{s^2+1} = \frac{(A+B)s^2 + (A-B)}{s^4-1} = \frac{-3}{s^4-1}</math>

* Ahonnan:
<math> A = -\frac{3}{2},~B = \frac{3}{2}</math>

* Inverz Laplace után: <math>x(t) = -\frac{3}{2}sht + \frac{3}{2}sint</math>
}}

<big>3)</big> [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Számítsuk ki a tagok Laplace trafóját (x szerint):
** <math>\mathcal{L}_x(y'') = s^2 Y - s y(0) - y'(0)</math>
** <math>\mathcal{L}_x(xy') = -(\mathcal{L}_x(y'))' = -(sY - y(0))' = -(s'Y + sY') = -Y - sY' </math>
** <math>\mathcal{L}_x(x) = \frac{1}{s^2}</math>
* Tehát az egyenlet Laplace transzformáltja (elsőrendű Y-ban):
<math> s^2 Y - s y(0) - y'(0) + -Y - sY' = \frac{1}{s^2}</math>
}}

== Laplace trafó szabályok alkalmazása ==

<big>1)</big> [2016PZH] Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket:

<math>\lim_{x \to 0+}f'(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f''(x) = ?, ha ~\mathcal{L}(f) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Számoljuk ki <math>\mathcal{L}'(f)</math>-et!
<math>\mathcal{L}'(f) = s\mathcal{L}(f) + \lim_{x \to 0+}f(x)</math>
* Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét:
** Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: <math>lim_{s \to \infty}\mathcal{L}'(f)=0</math>
** <math>lim_{s \to \infty}s\mathcal{L}(f) = lim_{s \to \infty}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8} = 0</math>
* Tehát:
<math>0 = 0 + f(0+)</math>
* Amiből:
<math>f(0+) = 0</math>
* Csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}''(f)</math>-re!
<math>\mathcal{L}''(f) = s^2\mathcal{L}(f) + sf(0+) + f'(0+)</math>
* Vagyis:
<math>0 = \frac{1}{5} + 0 + f'(0+)</math>
* Amiből:
<math>f'(0+) = -\frac{1}{5}</math>
* Végül csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}'''(f)</math>-re!
<math>\mathcal{L}'''(f) = s^3\mathcal{L}(f) + s^2f(0+) + sf'(0+) + f''(0+)</math>
* Itt a határérték picit bonyolultabb:
<math>0 = lim_{s \to \infty}(\frac{s}{5} + 0 - \frac{s}{5} + f''(0+))</math>
* Amiből:
<math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math>
}}

== Fourier diff-egyenlet ==

<big>1)</big> [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével!
<math>y'(x) - 4y(x) = 8</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Vegyük az egyenlet Fourier trafóját (a táblázatban a Fourier trafó y függvénye, de az y itt mást jelent, a táblázatbeli y-ok helyére írjuk s-t, illetve vezessük be az alábbi jelölést: <math>Y = \mathcal{F}(y)</math>)!:
<math>isY - 4Y = 8\sqrt{2\pi}\delta(s)</math>
* Átrendezve:
<math>-i(s+4i)Y = 8\sqrt{2\pi}\delta(s)</math>
* Aminek a disztribúció értelemben vett megoldás Y-ra:
** Ha <math>s+4i \neq 0</math>, akkor leoszthatunk vele.
** Ha <math>s+4i = 0</math>, akkor <math>0 \cdot Y(-4i) = 0</math>, vagyis <math>Y(-4i)</math> bármilyen konstans lehet, ezt jelöljük pl c-vel.
<math>Y = c \cdot \delta(s+4i) + \frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}</math>
* Az összeg jobboldali tagja egyszerűsíthető, ha kihasználjuk, hogy az egy disztribúció (a <math>\delta(s)</math> a nevezőben lévő s-be is nullát helyettesít):
<math>\frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}(\varphi) = \delta(s)\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}(\varphi) = \delta(s)(\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}\varphi) = \frac{8\sqrt{2\pi}}{i0-4}\varphi(0) = -2\sqrt{2\pi}\delta(s)</math>
* Vagyis:
<math>Y = c \cdot \delta(s+4i) + -2\sqrt{2\pi}\delta(s)</math>
* Aminek vegyük az inverz Fourier transzformáltját:
** Megjegyzés: A táblázatban szerepel <math>\mathcal{F}(f(t)+a) = e^{ias}\mathcal{F}(f(t))</math>, de nekünk inverz trafó kell
** <math>\mathcal{F}^{-1}(F(s) + a) = \mathcal{F}(F(s) + a)|_{t=-s} = e^{ia(-t)}(\mathcal{F}(F(s))|_{t=-s}) = e^{ia(-t)}\mathcal{F}^{-1}(F(s))</math>
<math>y(t) = c e^{4t} - 2</math>
}}

<big>2)</big> [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Számítsuk ki az egyenlet tagjainak Fourier trafóját (x szerint):
** <math>\mathcal{F}_x(y'') = i^2 s^2 \hat{y} = -s^2 \hat{y}</math>
** <math>\mathcal{F}_x(xy') = \frac{\mathcal{F}_x(y')'}{-i} = i\mathcal{F}_x(y')' = i(is\hat{y})'= -(s\hat{y})' = -\hat{y} - s\hat{y}'</math>
** <math>\mathcal{F}_x(x) = \sqrt{2\pi}i\delta'(s)</math>
* Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet <math>\hat{y}</math>-ra):
<math>-s^2 \hat{y} + -\hat{y} - s\hat{y}' = \sqrt{2\pi}i\delta'(s)</math>
}}

== Fourier trafó szabályok alkalmazása ==

<big>1)</big> [2015ZH1] Számítsuk ki az <math>f(x) = 3xe^{-x}H(x)</math> Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy <math>\mathcal{F}(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
Vezessük be a <math>g(x) = e^{-x}H(x)</math> jelölést!

<math>\mathcal{F}(f(x)) = 3 \mathcal{F}(x \cdot g(x)) = 3 \cdot \frac{\mathcal{F}(g(x))'}{-i} = 3i \cdot (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy})' = 3i \cdot (-1) \cdot i \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(1+iy)^2} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(1+iy)^2}</math>
}}

== Disztribúciók ==

<big>1)</big> [2015ZH1] Adjuk meg <math>\delta</math> és <math>\delta'</math> lineáris kombinációjaként az <math>e^{3x-2}\delta'(x)</math> disztribúciót!

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Nézzük meg, hogy egy <math>\varphi</math> függvényre hogyan viselkedik a feladatban szereplő disztribúció!
<math>(e^{3x-2}\delta'(x))(\varphi) = \delta'(x)(e^{3x-2} \varphi) = -\delta(x)(e^{3x-2} \varphi)' = -\delta(x)(3 \cdot e^{3x-2} \varphi + e^{3x-2} \varphi') = -3e^{-2} \varphi(0) - e^{-2} \varphi'(0) = (-3e^{-2}\delta(x) + e^{-2}\delta'(x))(\varphi)</math>
* Vagyis:
<math>e^{3x-2}\delta'(x) = -3e^{-2}\delta(x) + e^{-2}\delta'(x)</math>
}}

<big>2)</big> [2016ZH1] Számítsuk ki a <math>T = e^{-x^2}</math> reguláris disztribúcuó és a <math>\delta'</math> disztribúció konvolúciójának hatását a <math>\psi(x) = x^2</math> függvényre: <math>(T * \delta')x^2 = ?</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Elődáson volt, hogy <math>(T * \delta') = T'</math>
** <math>(T * \delta')\varphi(x+y) = T_x (\delta'_y(\varphi(x+y))) = T_x(-\delta_y(\varphi'(x+y))) = T_x(-\varphi'(x)) = T_x'(\varphi(x))</math>
* Ezt felasználva alkalmazzuk a <math>T'</math> disztribúciót a <math>\psi</math> függvényre:
<math><(e^{-x^2})', (x^2)> = \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-x^2})' (x^2) dx = [e^{-x^2}(x^2)]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} 2x = 0 - [e^{-x^2}]_{-\infty}^{\infty} = 0</math>
}}

<big>3)</big> [2016ZH1] Mi az <math>(x-3)f = 0</math> disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
<math>f = c \cdot \delta(x-3)</math>
* Ha <math>x-3 \neq 0</math>, akkor leoszthatunk vele, és azt kapjuk, hogy <math>f = 0,~ha~x-3 \neq 0</math>.
* Ha <math>x-3 = 0</math>, akkor <math>0 \cdot f(3) = 0</math>, vagyis <math>f(3)</math> bármilyen konstans értéket felvehet, ezt jelöljük pl c-vel.
* Tehát ha <math>x \neq 3</math>, akkor <math>f = 0</math>, ha <math>x = 3</math>, akkor tetszőleges <math>c</math> értékű, ez röviden: <math>f = c \cdot \delta(x-3)</math>
}}

<big>4)</big> [2016ZH1] Adjuk meg az <math>e^{3x}\delta''(x-2)</math> disztribúciót a <math>\delta</math> eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
<math>e^{3x}\delta''(x-2)(\varphi) = \delta''(x-2)(e^{3x}\varphi) = \delta(x-2)((e^{3x}\varphi)'') = \delta(x-2)((3e^{3x}\varphi + e^{3x}\varphi')') = </math>
<math>= \delta(x-2)(9e^{3x}\varphi + 6e^{3x}\varphi' + e^{3x}\varphi'') = 9e^{6}\varphi(2) + 6e^{6}\varphi'(2) + e^{6}\varphi''(2) = (9e^{6}\delta(x-2) - 6e^{6}\delta'(x-2) + e^{6}\delta''(x-2))(\varphi)</math>
}}

<big>5)</big> [2016PZH] Legyen u az <math>f(x) = x - 3</math> által generált reguláris disztribúció, <math>\psi(x) = e^{-x^2}</math>. Számítsuk ki <math>(\sigma_2\tau_3\delta' * u)\psi</math>-t!

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Először szabaduljunk meg a konvulúciótól:
<math>(\sigma_2\tau_3\delta' * u) = (u * \sigma_2\tau_3\delta')\varphi(x+y) = u_x (\sigma_2\tau_3\delta'_y(\varphi(x+y))) = u_x(-\sigma_2\tau_3\delta_y(\varphi'(x+y))) = u_x(-\delta_y(\varphi'(2(x+y-3)))) = u_x(-\varphi'(2(x-3))) = u_x'(\sigma_2\tau_3(\varphi(x))) = 1</math>
* Majd értékeljük ki a disztribúciót (ez egy közismert integrál, a normál eloszlás sűrűségfüggvényének integrálja, azaz a Gauss-integrál. Ezt viszonylag nehéz levezetni, de lehet hivatkozni arra, hogy az értéke közismert.):
<math><1, e^{-x^2}> = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math>
}}

== Wavelet trafók ==

Megjegyzés: a kitevőbe írt törtek (pl: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}</math>) sok böngészőben hibásan jelennek meg, ezért ezekben az esetekben törtek helyett osztás jelet fogok használni.

<hr>
<big>1)</big> [2015ZH1] Legyen <math>\psi(x) = (1 - x^2)e^{-x^2 / 2}</math>, a mexikói kalap wavelet.

<big>a)</big> Legyen <math>f(x) = e^{-|x|}</math>. <math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = ?</math>

<big>b)</big> Legyen <math>g(x) = x^2</math>. Tudjuk, hogy <math>\int_{R}e^{-x^2 / 2}dx=\sqrt{2\pi}.~W_{\psi}g_a(b) = ?</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=

<big>a)</big> A wavelet Fourier trafóját közvetlenül megkaphatjuk a wavelet kiértékelése nélkül: <math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)}</math>

<math>\hat{f}(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}</math>

<math>\hat{\psi}(y) = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) - \mathcal{F}(x^2 \cdot e^{-x^2 / 2}) = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) - \frac{\mathcal{F}(e^{-x^2 / 2})''}{(-i)^2} = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) + \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2})''</math>

A táblázatban nincs benne, de közismert, hogy <math>\mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) = e^{-y^2 / 2}</math>

<math>\hat{\psi}(y) = e^{-y^2 / 2} + (e^{-y^2 / 2})'' = e^{-y^2 / 2} + (-y(e^{-y^2 / 2}))' = e^{-y^2 / 2} -e^{-y^2 / 2} + y^2(e^{-y^2 / 2}) = y^2(e^{-y^2 / 2})</math>

A táblázatból kiolvasott képletbe behelyettesítve:

<math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}\right) \cdot \left((ay)^2(e^{-(ay)^2 / 2})\right)</math>

<hr>
<big>b)</big> <math>W_{\psi}g_a(b) = <\psi_{a, b}, g> = \int_{-\infty}^{\infty} (1 - \frac{x-b}{a}^2)e^{-((x-b)/a)^2 / 2} x^2 dx</math>

Helyettesítésel integrállal tegyük egyszerűbbé a fenti képletet: <math> u = \frac{x-b}{a},~x = au + b,~ dx = a \cdot du</math>

<math>W_{\psi}g_a(b) = \int_{-\infty}^{\infty} (1 -u^2)e^{-u^2 / 2} (au + b)^2 a \cdot du</math>

Használjuk ki, hogy korábban már kiszámoltuk, hogy <math>(e^{-u^2 / 2})'' = -(1 -u^2)e^{-u^2 / 2}</math>

<math>W_{\psi}g_a(b) = -a \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})'' (au + b)^2 du</math>

Amit kétszer parciálisan integrálva meg is kapjuk az eredményt:

<math>W_{\psi}g_a(b) = -a \left( \left[(e^{-u^2 / 2})' (au + b)^2\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})' 2a \cdot (au + b) du \right) =
2a^2 \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})' \cdot (au + b) du = 2a^2 \left( \left[e^{-u^2 / 2} (au + b) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2 / 2} \cdot a du \right) = -2a^3 \sqrt{2\pi}</math>
}}

<big>2)</big> [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő:
<math>\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}</math>

<big>a)</big> Mutassuk meg, hogy <math>\psi(x) = -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})'</math>, ha <math>x \geq 0</math>

<big>b)</big> Mutassuk meg, hogy <math>\int_R \psi_n(x)dx = 0</math>

<big>c)</big> <math>C_{\psi_n} = ?</math>

<hr>
<big>3)</big> [2016PZH] Legyen <math>\psi(x) = xe^{-|x|}, f(x) = e^{-x^2/2}</math>. Adjuk meg f <math> \psi</math> által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!

= Numerikus módszerek témakör =

== Parcdiff egyenletek (Fourier) ==
<big>1)</big> [2015ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

<math>u(0, t) = u(3, t) = 0,~u(x,0)=sin\frac{4\pi}{3}x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 2\sin\frac{\pi}{3}x</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=
* Az <math>U(x, t)</math>-t keressük szorzat alakban: <math>U(x, t) = X(x)T(T)</math>
* A diffegyenlet így átírva: <math>X(t)\ddot{T}(t) = 4*X''(x)T(T)</math>
* Ez így már szeparálható (figyeljünk arra, hogy a deriváltak a számlálóban legyenek):
<math>4 \cdot \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{\ddot{T}(t)}{T(T)} = -b^2</math>
* Nézzük meg, hogy melyik változóra van feltételünk, aminek a jobb oldalán konstans szerepel.
** Az első két féltétel átírva: X(0)T(t) = X(3)T(t) = 0, minden t-re, vagyis X(0) = X(3) = 0
** Tehát az X-re van a T-től nem függő feltételünk, ezért először az X-re oldjuk meg a diffegyenletet!
* Oldjuk meg a diff-egyenletet:
<math>4 \cdot \frac{X''(x)}{X(x)} = -b^2</math>

<math>4 \cdot X''(x) + b^2 \cdot X(x) = 0</math>

* Írjuk fel a karakterisztikus függvényt!
<math>4 \cdot \lambda^2 + b^2 = 0</math>

<math>\lambda^2 = -\frac{b^2}{4}</math>

<math>\lambda = \pm i \frac{b}{2}</math>

* Vagyis a diff-egyenlet megoldása:
<math>X(x) = c_1 \cos{\frac{b}{2}x} + c_2 \sin{\frac{b}{2}x}</math>

* Vizsgáljuk meg a kezdeti feltételeket:
<math>X(0) = c_1 \cos{0} + c_2 \sin{0} = c_1 = 0</math>

<math>X(3) = c_2 \sin{\frac{b}{2}3} = 0</math>

Ami csak olyan egész k értékekre teljesülhet, amikre: <math>\frac{b}{2}3 = k \pi,~b = \frac{2}{3} k \pi</math>

* Most oldjuk meg a diff-egyenletet T(t)-re, de a b helyére az újonnan kapott képletet írjuk be.

<math>\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -(\frac{2}{3} k \pi)^2</math>

<math>\lambda^2 = -(\frac{2}{3} k \pi)^2</math>

<math>\lambda = \pm \frac{2}{3} i k \pi</math>

* A T-re vonatkozó (k-tól függő) diff-egynelet:
<math>T_k(t) = a_k \cos{\frac{2}{3} k \pi t} + b_k \sin{\frac{2}{3} k \pi t}</math>

* Az <math>U(x, t)</math>-re vonatkozó k-tól függő egyenlet tehát:
<math>U_k(x, t) = c_2 \sin{\frac{k}{3} \pi x} (a_k \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + b_k \sin{\frac{2k}{3} \pi t})</math>

* Vezessük be az <math>A_k = c_2 \cdot a_k</math> és <math>B_k = c_2 \cdot b_k</math> konstansokat!
<math>U_k(x, t) = A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t}</math>

* Az <math>U(x, t)</math> pedig felírható az <math>U_k(x, t)</math>-k összegeként az összes k-ra.
<math>U(x, t) = \sum_0^\infty U_k(x, t)</math>

* A maradék két feltétel segítségével számoljuk ki az <math>A_k</math> és <math>B_k</math> konstansok értékeit.

<math>U(x,0)=\sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} = sin\frac{4\pi}{3}x</math>

Amiből az együtthatók összehasonlításával megkapjuk, hogy <math>A_4 = 1</math>, minden más <math>A_i = 0</math>, ha <math>i \neq 4</math>

* A másik feltételhez ki kell számolni az <math>\frac{\partial U}{\partial t}(x, t)</math>-t.
<math>\frac{\partial U}{\partial t}(x, t) = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t} (-\frac{2k}{3} \pi) + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} (\frac{2k}{3} \pi)</math>

* A feltételbe beírva:
<math>\frac{\partial U}{\partial t}(x, 0) = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} (-\frac{2k}{3} \pi) + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} (\frac{2k}{3} \pi) = \sum_0^\infty B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} (\frac{2k}{3} \pi) = 2\sin\frac{\pi}{3}x</math>

Innen pedig:
<math>B_1 (\frac{2}{3} \pi) = 2,~ B_1 = \frac{2}{(\frac{2}{3} \pi)} = \frac{3}{\pi}</math>, minden más <math>B_i</math> pedig nulla.

Vagyis a megoldás:
<math>U(x, t) = \sin{\frac{4}{3} \pi x} \cos{\frac{8}{3} \pi t} + \frac{3}{\pi} \sin{\frac{1}{3} \pi x} \sin{\frac{2}{3} \pi t}</math>
}}

<big>2)</big> [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

<math>u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0</math>

== Parcdiff egyenletek (véges differenciák) ==
<big>1)</big> [2015ZH2] Véges differenciák segítségével, <math>h=\frac{1}{2}</math> felosztás mellett adjuk meg az <math>u_{1,2}</math> értékét, ha

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>

<math>u(0, t) = 3,~ u(3, t) = 0,~u(x,0)=3-x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=

* Írjuk fel a diffegyenletet véges differenciákkal:

{{Rejtett
|mutatott=Magyarázat:
|szöveg=
* Írjuk fel a differál-egyenletet differa-egyenlet formában!

<math>lim_{\Delta \to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta, y) - u(x, y)}{\Delta} - \frac{u(x, y) - u(x-\Delta, y)}{\Delta}}{\Delta} = lim_{\Delta \to 0}\frac{\frac{u(x, y+\Delta) - u(x, y)}{\Delta} - \frac{u(x, y) - u(x, y-\Delta)}{\Delta}}{\Delta}</math>

* Közös nevezőre hozva:

<math>lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x+\Delta, y) - 2u(x, y) + u(x-\Delta, y)}{\Delta^2} = lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x, y+\Delta) - 2u(x, y) + u(x, y-\Delta)}{\Delta^2}</math>

* Na most felejtsük, hogy delta nullához tart, és válasszunk ki egy megfelelően kicsi értéket vízszintes (h) és függőleges (k) irányban. A folytonos függvény helyett pedig használjuk egy ilyen lépésközönként mintavételezett diszkrét függvényt, ahol <math>u_{i,j}</math> jeletése <math>u(i \cdot h, j \cdot h)</math>.
}}

<math>\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} = \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{k^2}</math>

* Válasszuk meg a feladatban adott h értékhez a k értékét, hogy az egyenletből a lehető legtöbb tag kiessen (jelen esetben a <math>h = k = \frac{1}{2}</math> választás célszerű).

<math>u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j} = u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}</math>

* Fejezzük ki <math>u_{i,j+1}</math>-et az egyenletből.

<math>u_{i,j+1} = u_{i+1,j} + u_{i-1,j} - u_{i,j-1}</math>

* Ennek a képletnek a rekurzív alkalmazásával el tudunk jutni a peremfeltételtől az u_{1,2} értékig.

<math>u_{1,2} = u_{2,1} + u_{0, 1} - u_{1, 0}</math>

* Innen az <math>u_{0, 1}</math> és a <math>u_{1, 0}</math> ismert a peremfeltétel alapján, de az <math>u_{2,1}</math>-ért még számolnunk kell.

<math>u_{2,1} = u_{3,0} + u_{1, 0} - u_{2, -1}</math>

* Az <math>u_{2, -1}</math>-hez a nullában vett t szerinti deriváltra vonatkozó feltételt kell használni:
<math>\frac{u_{2, 0} - u_{2, -1}}{k} = 0</math>

* Vagyis:
<math>u_{2, -1} = u_{2, 0}</math>

* A kért pont tehát kiszámolható az alábbi peremen található értékekből (papíron egyszerűbb felvenni egy négyzetrácsot az <math>u_{i,j}</math> értékeknek, és mindenhova odaírni az adott értéket):
<math>u_{1,2} = (u_{3,0} + u_{1, 0} - u_{2, 0}) + u_{0, 1} - u_{1, 0} = (0 + 2 - 1) + 3 - 2 = 2</math>
}}

<big>2)</big> [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha <math>x \in [0, 5], t \geq 0</math>, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz <math> u(2, \frac{1}{18})</math>?

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

<math>u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0</math>

== Jordan normál-forma ==

<big>1)</big> [2016ZH2] Adjuk meg az <math>x = Bx + b</math> egyenlet megoldását, ha <math>B = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix},~ b = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.</math>

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=

* Először meg kell határozni B sajátértékeit. Ezt a <math>det\left(B - \lambda I\right) = 0</math> egyenlet megoldásaiként kapjuk meg. Most az <math>\frac{1}{6}</math>-os szorzó miatt inkább számoljuk azzal, hogy <math>6 \cdot det\left(B - \lambda I\right) = det\left(6B - 6\lambda I\right) = det\left(6B - \lambda' I\right) = 0</math>

<math>\begin{vmatrix}3 - \lambda' & 1 & -2 \\ 0 & 4 - \lambda' & -2 \\ 0 & 1 & 1 - \lambda'\end{vmatrix} = 0</math>

* Fejtsük ki a determinánst az első oszlop szerint:

<math>(3 - \lambda')((4 - \lambda')(1 - \lambda') + 2) = (3 - \lambda')(\lambda'^2 - 5\lambda + 6) = (3 - \lambda')(\lambda' - 3)(\lambda' - 2) = - (\lambda' - 3)^2(\lambda' - 2)</math>

* Most határozzunk meg minden sajátértékhez egy sajátvektort (itt az <math>\frac{1}{6}</math>-os szorzó nem számít, a sajátvektor csak konstans szorzó erejéig egyértelmű)
* Először a <math>\lambda' = 3</math>-hoz keresünk két sajátvektort:
<math>\begin{bmatrix}3 - 3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 - 3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 - 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \underline{0}</math>

* Mindhárom egyenletünk megegyezünk, az y legyen mondjuk 1, ekkor a z-nek -2-nek kell lennie, az x tetszőleges. Az x=0 és az x=1 két lineáris független sajátvektort ad.
<math>s_{-3, 1} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix},~s_{-3, 2} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix}</math>

* Határozzuk meg a <math>\lambda' = 2</math>-höz tartozó sajátvektort is:
<math>\begin{bmatrix}3 - 2 & 1 & -2 \\ 0 & 4 - 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 - 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \underline{0}</math>

<math>y = z, ~x = -y+2z = z</math>

* Tehát egy sajátvektor például:
<math>s_{-2} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}</math>

* A Jordan-normál forma (sajátértékek főátalóban, itt már számít a skalár szorzó) és a transzformációs mátrix (sajátvektorok alkotta mátrix):
<math>J = \begin{bmatrix} \frac{3}{6} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{6} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{6}\end{bmatrix},~T = \begin{bmatrix} s_{-3, 1} & s_{-3, 2} & s_{-2}\end{bmatrix} = T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1\end{bmatrix}</math>

* A végeredményt az alábbi alakban kapjuk majd meg: <math>u = T (\sum_{k=0}^\infty J^k) T^{-1} b</math>. Ehhez viszont először invertálni kell T-t.

* Gauss-elimináljunk!

<math> \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} =_{s_3 += 2 \cdot s_2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 0 & 2 & 1\end{bmatrix} =_{s_1 -= \cdot s_2} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 0 & 2 & 1\end{bmatrix} =_{s_2 += \cdot s_1 - s_3 / 3} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 3 & | & 0 & 2 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{bmatrix}</math>

* Számoljuk ki <math>\sum_{k=0}^\infty J^k</math>-t!
<math>\sum_{k=0}^\infty J^k = \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k & 0 & 0 \\ 0 & \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k & 0 \\ 0 & 0 & \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{3})^k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}</math>

* A végeredmény tehát (a mátrix szorzásokat már nem kell elvégezni):
<math>u = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}</math>

}}

== Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása ==

<big>1)</big> [2015ZH2] Keressük a <math>\sqrt{1 + coshx} - 2 = x</math> egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

<big>a)</big> A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

<big>b)</big> Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=

<big>a)</big> A húrmódszer konvergens ha <math>|I| \frac{|f''|}{2|f'|} < 1</math> a tartomány összes pontján.

Ez megadja, hogy max mekkora lehet az intervallum hossza, hogy az algoritmus konvergáljon. Gyakorlatban azt szoktuk vizsgálni, hogy a számláló maximuma és a nevező minimuma esetén is teljesül-e a feltétel, ami egy szűkebb feltétel, de becslésnek jó.

Számoljuk ki a deriváltakat!

<math>|f'| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2 - x)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}} - 1\right|</math>

<math>|f''| = \left|\frac{coshx}{2(1 + coshx)^\frac{1}{2}} - \frac{sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx(1 + coshx) - 2 \cdot sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx + 1 - sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right|</math>

Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma)

<math>min_I|f'| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}} - 1\right|</math>

<math>max_I|f''| \leq \left|\frac{cosh4 + 1 - sinh^25}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}\right|</math>

<math>I < \frac{2 \cdot min_I|f'|}{max_I|f''|} = \left| \frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1 + cosh5}} - 2}{\frac{cosh4 + 1 - sinh^25}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}} \right|</math>

<big>b)</big> Az iteráció konvergens ha <math>|g(x)'| < 1 </math> a tartomány összes pontján.

<math>|g'(x)| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right|</math>

<math>min_I|g'(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt(1 + e^5 + e^{-5})} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math>

Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens.

}}

<hr>
<big>2)</big> [2016ZH2] Tekintsük az <math>e^x - 2 = x</math> egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

<hr>
<big>3)</big> [2016PZH] Az <math>arsh 2x = x</math> egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?

== Lagrange multiplikátor módszer ==
<big>1)</big> [2015ZH2] Keressük meg az <math>f(x, y, z) = xy^2z^3(x,y,z > 0)</math> szélsőértékét az <math>g(x, y, z) = x + 2y + 3z - 6 = 0</math> feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

{{Rejtett
|mutatott=Megoldás:
|szöveg=

* Vezessük be az alábbi függvényt:
<math>F = f - \lambda g</math>

* A szélsőérték akkor létezhet, ha az összes változó szerinti derviált nulla:
<math>\frac{\partial F}{\partial x} = y^2z^3 - \lambda = 0</math>

<math>\frac{\partial F}{\partial y} = 2xyz^3 - 2\lambda = 0</math>

<math>\frac{\partial F}{\partial z} = 3xy^2z^2 - 3\lambda = 0</math>

<math>\frac{\partial F}{\partial \lambda} = g = x + 2y + 3z - 6 = 0</math>

Az első egyenlet 2x szeresét a második egyenlet y szorosával egyenlővé téve:

<math>2xy^2z^3 - 2 \lambda x = 2xy^2z^3 - 2\lambda y</math>

<math>\lambda x = \lambda y</math>

Azaz <math>\lambda = 0</math> vagy <math>x = y</math>

* <math>\lambda = 0</math> eset: <math>x = y = z = \lambda = 0</math> (ellentmondás: x, y, z pozitív a feladat szerint)

* <math>x = y</math> eset:

Az második egyenlet 3y szeresét a harmadik egyenlet 2z szeresét egyenlővé téve:
<math>6x^3z^3 - 6\lambda x = 6x^3z^3 - 6\lambda z</math>

Vagyis (ismerve, hogy <math>\lambda \neq 0</math>):
<math>x = y = z = \lambda = 1</math>

A definitséghez szükség van ebben a pontban a feltétel gradiensére:
<math>grad(g) = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}</math>

Illetve a gradiensre merőleges vektorok alakjára (skalárszorzat alapján: <math><\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}> = 0</math>)

<math>\begin{bmatrix}3x & 3y & -x-2y\end{bmatrix}</math>

Ezen kívül még az F Hesse mátrixa is kelle fog ebben a pontban:
<math>\left. \begin{bmatrix}{F_{xx}}'' & {F_{xy}}'' & {F_{xz}}'' \\ {F_{yx}}'' & {F_{yy}}'' & {F_{yz}}'' \\ {F_{zx}}'' & {F_{zy}}'' & {F_{zz}}''\end{bmatrix} \right|_{x=1,y=1,z=1} = \left. \begin{bmatrix}0 & 2yz^3 & 3y^2z^2 \\ 2yz^3 & 2xz^3 & 6xyz^2 \\ 3y^2z^2 & 6xyz^2 & 6xy^2z \end{bmatrix}\right|_{x=1,y=1,z=1} = \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 6 \end{bmatrix}</math>

A definitséghez szorozzuk meg a Hesse mátrixot a gradiensre merőleges vektorokkal mindkét oldalról:
<math>\begin{bmatrix}3x & 3y & -x-2y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3x & -6y & 3x + 6y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = -9x - 18y^2 -3x^2 -6xy -6xy -12y^2 = -12x^2 -12xy - 30y^2 = -6 (x^2 + xy + 5y^2) </math>

Ennek az előjele lehet pozitív és negatív is x és y értékétől függően, vagyis a mátrix indefinit, azaz itt nincs szélsőérték.

(Ha mindig pozitív lett volna, az minimum helyet jelölt volna, ha mindig negatív akkor maximum, ha mindig nulla, akkor pedig nyereg pont.)
}}

<hr>
<big>2)</big> [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>3x^2 + y^2 + z^2 - xy</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)

<hr>
<big>3)</big> [2016PZH] Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!

== Variáció számítás ==

<big>1)</big> [2015ZH2] Keressük meg az <math>I(y)</math> funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

<math>I(y) = \int_{-1}^{2}y'^2 + x^3 - 2xydx</math>

<math>y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}</math>

<hr>
<big>2)</big> [2015ZH2] Keressük meg az <math>I(y)</math> funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

<math>I(y) = \int_{-1}^{2}y'^3 + x^3 - 2xydx</math>

<math>y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}</math>

Fájl:AnalMSC 2ZH konzi.zip

2016-05-25T21:28:28Z

Bulla Ádám: Vázlatos megoldások a 2.zh konziról

Vázlatos megoldások a 2.zh konziról

Analízis (MSc)

2016-05-25T21:27:38Z

Bulla Ádám:

A [[Mérnök informatikus MSc | mérnök informatikus MSc]] Vizuális informatika specializáció Felsőbb matematika tárgyblokkjának egyik tantárgya.

{{Tantárgy
| név = Felsőbb matematika informatikusoknak - Analízis
| réginév = Analízis 1 ''Felsőbb matematika informatikusoknak A''
| tárgykód = TE90MX56
| régitárgykód = TE90MX40
| szak = info MSc
| kredit = 4
| félév =
| kereszt =
| tanszék = Sztochasztika Tanszék
| jelenlét =
| minmunka = bejárás
| labor = 0
| kiszh = 0
| nagyzh = 2 db
| hf =
| vizsga = írásbeli
| levlista = felmath{{kukac}}sch.bme.hu
| tad = https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/TE90MX40/
| tárgyhonlap = ne is keresd
}}

==Segédanyagok==
* [[Analízis (MSc) típusfeladatok | Típusfeladatok és megoldásaik]]
* [[Média:felmath_anal1_ultimate_help.zip|Sok-sok feladat ZH-felkészüléshez]]
* [[Média:Anal1_kepletgyujtemeny_2013.10.25_jav.pdf‎|Zárthelyin használható képletgyűjtemény]]
* [[Média:MSc_Anal1_integral_trafok_konyv.pdf|A első ZH anyagát (és még sok másik integrál trafót) lefedő könyv angolul]]

* [[Média:AnalMSC_ZH_2015_1.jpg|AnalMSC_ZH_2015_1.jpg]]
* [[Média:AnalMSC_ZH_2015_2.jpg|AnalMSC_ZH_2015_2.jpg]]
* [[Média:AnalMSC_ZH_2016_1.pdf|AnalMSC_ZH_2016_1.pdf]]
* [[Média:AnalMSC ZH 2016 1.pdf.jpg|AnalMSC_ZH_2016_2.pdf]]
* [[Média:AnalMSC_potZH_2016.jpg|AnalMSC_potZH_2016.jpg]]
* [[Média:AnalMSC_2ZH_konzi.zip|2.zh konziról vázlatos feladatmegoldások]]

{{Lábléc - Mérnök informatikus mesterszak}}