VIK Wiki - Felhasználó közreműködései [hu]

LINUX alapú hálózatok

2014-04-08T15:02:32Z

1taki1: /* A tárgyról */

{{GlobalTemplate|Valaszthato|LinuxHalo}}

==A tárgyról==

* Adatlap: https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VIAU9160/
* Tanszéki weblap: https://www.aut.bme.hu/Course/VIAUJV60
* {{InLineFileLink|Valaszthato|LinuxHalo|linuxhalo-fuzet-folde-2007tavasz.pdf|linuxhalo-fuzet-folde-2007tavasz.pdf}}: Földe jegyzete (a kernelfordítós, PAM-os, NFS-es óra kimaradt).

== Kedvcsináló ==

===palacsint, 2007. 05. 29.===

A tárgy a v2.518-ban van megtartva, ami egy ~20 férőhelyes labor a 40 fős kurzushoz elég kicsi, viszont a félév vége felé már így is elég szellős. A labor előnye viszont, hogy real-time ki lehet próbálni az órán elhangzottakat. :-)

Elég régóta Linuxozom, de így is akadtak újdonságok, vagy amit nem ártott jobban átvesézni. Ha pedig még nem nagyon foglalkoztál Linuxszal, akkor mindenképp jó alapot ad.

Elővizsga van (utolsó héten), jegyzet az AUT weblapján, érdemes egyszer átolvasni, meg a benne szereplő linkeket is átnézni. Órán is ezek vannak elmondva kb.

A számonkérés AUT-os jellegű, nem kell minden konfigfájl minden beállításának nevét helyesen tudni, bőven elég ha leírod magyarul, hogy ezt és ezt lehet állítani.

-- [[KarakoMiklos|palacsint]] - 2007.02.23.

===sztomi===

Nagyon jó tárgy. Az előadó jófej, közvetlen, rugalmas, és jól magyaráz. Ha érdekel a téma, akkor megéri bejárni, ha nem, akkor szinte potya 4 kredit (~2 nap tanulás kell hozzá, bejárni opcionális). Ha linuxot használsz, akkor még annyi sem, viszont könnyen lehet, hogy hallasz itt újdonságot. A jegyzet nagyon jó, példát vehetne róla sok előadó, aki csak feltolja a előadás-diákat, oszt jónapot. Ez egy karbantartott, részletesen megírt és jól tanulható jegyzet. A tananyag inkább áttekintő jellegű, mint mélyenszántó, arra jó, hogy ha megtanulod, akkor egy adott probléma esetén tudni fogod, hogy merre keresgélj. Hálózati dolog kb. az anyag harmada, de nem szghálókra kell gondolni, hanem olyasmire, hogy hogyan kell egy ftp szervert beüzemelni. Szerintem pl. a fizika helyett ilyen tárgyakat kellene betenni alapozónak, mint ez. :). Csak ajánlani tudom mindenkinek.

-- [[SzeleiTomi|Tomi]] - 2010.06.23.

==[[HorvathGergelyJ|hgj, Ottó]] - 2010.08.18==

A tárgy lényegében egy linux rendszer felépítéséről szól egy "hálózatilag aktív környezetben". Onnan indulva, hogy feltelepítjük a Fedora-t, eljutunk oda, hogy van rajta a levelező rendszertől kezdve, ftp-n keresztül minden ami kellhet. Egy-egy óra egy-egy ilyen témakört ölel fel, idén elmélet+gyakorlat együtt volt tartva. Amikor Bányász tartotta az órákat, akkor nagyon élvezhető volt - keni vágja a témákat és nagyon sok érdekes dologról is szót ejtett. Amikor más dolga volt helyettesítette egy másik srác - hát no comment inkább... Vannak vendég előadók is, a tűzfalas srác (a syslog-ng fejlesztői csapatából - most nem jut eszembe a cég neve) szintén penge volt a témában, és elég laza kérdések megválaszolásáért még ajándékot is osztott :)
Én csak négyes lettem, mert baromi sok vizsgám volt az első két héten, így nem készültem rá semmit - de ez szerintem csak azt mutatja, hogy akinek már van linux tapasztalata, annak gyerek játék a dolog. Ha kezdő vagy, akkor oda kell figyelni erre-arra, a haladók meg ne essenek abba a hibába, hogy azt hiszik, mindent tudnak :P
A totál kezdőknek azt ajánlanám, hogy alap szinten barátkozzanak a linuxszal otthon, a tárgy felvétele előtt - de velük együtt ajánlom bátran mindenkinek, sok-sok tapasztalatot szereztem!

==ZH==

2010 tavasztól már az eddigi automatikus aláírás helyett egy ZH-t kell írni. Ami szinte biztosan van, az egy ls -ail-es feladat: különböző szituációkban kell válaszolni egy ls -ail kimenet alapján, hogy ki, mit tehet meg. Általában két felhasználó van, azonos csoportban, és mappán, fájlokon lévő jogokat ennek alapján kell figyelni, pl. "írhatja -e az X fájlt user1". Lásd a tárgyhonlapon fentlévő vizsgát. A nehézségről annyit kell tudni, hogy ők nem akartak ZH-t iratni, csak valahonnan fentről rájuk szóltak.

==Vizsga==

A vizsgától nem kell megijedni, némi linuxos affinitással nem nehéz jó jegyet szerezni. Nagyon hasonló a ZH-hoz, csak az anyag lefedi az egész évet.

Sok helyen a megoldásokban hivatkoznak a jegyzet oldalszámaira, ezek javarészt már nem passzolnak, mert azóta frissítették. Fejezetszámok nagyjából, azok alapján meg lehet találni a kérdéses részt.

* [[LINUX alapú hálózatok - 2006.05.29 vizsga]]
* [[LINUX alapú hálózatok - 2007.05.23 vizsga]]
* [[LINUX alapú hálózatok - 2007.05.29 vizsga]]
* [[LINUX alapú hálózatok - 2008.01.16 vizsga]]
* [[LINUX alapú hálózatok - 2008.12.12 vizsga]]
* {{InLineFileLink|Valaszthato|LinuxHalo|vizsga_2009_01_22.pdf|vizsga_2009_01_22.pdf}}: vizsga, 2009.01.22.
* [[LINUX alapú hálózatok - 2010.06.23 vizsga]] Részletes, az ls -ail is benne van pontosan.

* A 2011. május 20.ai elővizsga feladatsora: 
<a href="https://wiki.sch.bme.hu/pub/Valaszthato/LinuxHalo/Linuxzh2011.05.20.jpg">2011. május 20. - elővizsga</a>

%META:FORM{name="ValaszthatoForm"}%
%META:FIELD{name="Trgy" title="Tárgy" value="Linux alapú hálózatok"}%
%META:FIELD{name="Trgykd" title="Tárgykód" value="VIAU9160"}%
%META:FIELD{name="Tanszk" title="Tanszék" value="AUT"}%
%META:FIELD{name="Elad" title="Előadó" value="Bányász Gábor"}%
%META:FIELD{name="Kreditszm" title="Kreditszám" value="4"}%
%META:FIELD{name="raszm" title="Óraszám" value="4"}%
%META:FIELD{name="Flv" title="Félév" value="őszi, tavaszi"}%
%META:FIELD{name="Terlet" title="Terület" value="Rendszergazdai ismeretek"}%
%META:FIELD{name="raijelenlt" title="Órai jelenlét" value="nem kötelező"}%
%META:FIELD{name="Jegy" title="Jegy" value="zh , vizsga "}%
%META:FIELD{name="Elvrtmin.munka" title="Elvárt min. munka" value="kis utánaolvasás - kis munka"}%
%META:FIELD{name="Minimumrajrjegy" title="Minimumra járó jegy" value="3-4"}%
%META:FIELD{name="Elvrtmax.munka" title="Elvárt max. munka" value="bejárás"}%
%META:FIELD{name="Munkrajrjegy" title="Munkára járó jegy" value="5"}%

[[Category:Valaszthato]]

Anal2-magic

2014-01-12T13:06:29Z

1taki1: /* Nevezetes fuggvenyek T-sorai */

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f 'x = ....... = 0 
f 'y = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p1(..,..) 
p2(..,..) 
p3(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)2 = ... 
 
4) 
f ''xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-11T21:42:47Z

1taki1: /* Komplex szamok */

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = -\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f 'x = ....... = 0 
f 'y = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p1(..,..) 
p2(..,..) 
p3(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)2 = ... 
 
4) 
f ''xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-11T19:16:47Z

1taki1: /* Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) */

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = -\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás: 
 
1) 
Adott f( x,y) kétváltozós függvény 

f 'x = ....... = 0 
f 'y = ....... = 0 
lehetséges szélsőérték 
 
p1(..,..) 
p2(..,..) 
p3(..,..) 
 
2) 
 
f ′′xx = ... 
f ′′xy = ... 
f ′′yy = ... 
 
3) 
<math>
D=
\left (\begin{matrix}
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
f'' _{yx} & f'' _{yy}
\end{matrix} \right)
= ...
</math>
 
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték 
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! 
 
Vagy 
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)2 = ... 
 
4) 
f ''xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-11T16:55:04Z

1taki1: /* Nevezetes fuggvenyek T-sorai */

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = -\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-10T20:10:54Z

1taki1: /* Taylor sorok */

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> 

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{n} x^k --> Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{n} \frac {x^k} { k!} --> KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{-1^k}{(k+1)!}* x^{k+1} --> KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{n} \binom{a}{k}* x^k --> |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} --> KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } --> KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} --> KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } --> KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 

== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-10T20:06:26Z

1taki1: /* Nevezetes fuggvenyek T-sorai */

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
sumnk=0( ( f(k)(x0) / k! ) * (x - x0)k ) 
tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{n} x^k --> Konvergencia tartomany: |x| < 1 </math> 
<math>e^x = \sum_{k=0}^{n} \frac {x^k} { k!} --> KT: x \in R </math> 
<math>ln(1+x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{-1^k}{(k+1)!}* x^{k+1} --> KT :|x| < 1 </math> 
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{n} \binom{a}{k}* x^k --> |x| < 1, a \in C </math> 
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} --> KT: x \in R</math> 
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } --> KT: x \in R </math> 
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} --> KT: x \in R </math> 
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } --> KT: x \in R </math> 

=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 
== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-10T19:24:44Z

1taki1: /* Azonossagok, amiket jo ha tudsz */

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
sumnk=0( ( f(k)(x0) / k! ) * (x - x0)k ) 
tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
xm / (1 - x) = sumnk=m( xk ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1 
ex = sumnk=0( xk / k! ) --> KT: x eleme R-nek 
ln(1 + x) = sumnk=0( ( -1k / (k + 1)! ) * xk + 1 ) --> KT: |x| < 1 
(1 + x)a = sumnk=0( (a choose k) * xk ) --> |x| < 1, a eleme C-nek 
sin(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek 
cos(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek 
sinh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek 
cosh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek 
=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 
== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-10T15:34:50Z

1taki1:

{{Vissza|Analízis II.}}
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cox(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
sumnk=0( ( f(k)(x0) / k! ) * (x - x0)k ) 
tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
xm / (1 - x) = sumnk=m( xk ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1 
ex = sumnk=0( xk / k! ) --> KT: x eleme R-nek 
ln(1 + x) = sumnk=0( ( -1k / (k + 1)! ) * xk + 1 ) --> KT: |x| < 1 
(1 + x)a = sumnk=0( (a choose k) * xk ) --> |x| < 1, a eleme C-nek 
sin(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek 
cos(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek 
sinh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek 
cosh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek 
=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 
== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot 
 

{{Vissza|Analízis II.}}

[[Category:Infoalap]]

Anal2-magic

2014-01-09T20:12:40Z

1taki1: /* Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) */

== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cox(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
sumnk=0( ( f(k)(x0) / k! ) * (x - x0)k ) 
tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
xm / (1 - x) = sumnk=m( xk ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1 
ex = sumnk=0( xk / k! ) --> KT: x eleme R-nek 
ln(1 + x) = sumnk=0( ( -1k / (k + 1)! ) * xk + 1 ) --> KT: |x| < 1 
(1 + x)a = sumnk=0( (a choose k) * xk ) --> |x| < 1, a eleme C-nek 
sin(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek 
cos(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek 
sinh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek 
cosh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek 
=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 
== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egysegvektorok 
f 'x illetve f 'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 
f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) - (z - f(x0,y0) = 0 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot

Anal2-magic

2014-01-09T15:42:30Z

1taki1: /* Azonossagok, amiket jo ha tudsz */

== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni. 
BTW, a kereszt nem azert jott ossze, mert a sima nem ment, hanem mert mar nem volt idom tanulni a vizsgara.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ). 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik. 
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P 
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul 
Derivalttabla, szamologep nem art :P 
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
 

== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin2(x) + cos2(x) = 1 
cosh2(x) - sinh2(x) = 1 
sin(2x) = 2 * sin(x) * cox(x) 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h) 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h) 
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P 
limx->0 x / sin(x) = 1 
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) 
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax 
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2 
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2 
 

=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas 
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas 
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas 
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas 
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv 
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv 
 
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 
 
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C 
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C 
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1 
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C 
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0 
 
'''Helyettesiteses integral:''' 
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P 
u = f(x) // ez lesz a helyettesites 
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani 
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz 
 
'''Parcialis tortekre bontas integralas''' 
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE''' 
 

== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!! 
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0 
g(y) = 0 
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz! 
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx 
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik 
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik. 
 
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni 
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato 
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx 
//inhomogen altalanos megoldasa 
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas 
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami 
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret 
 
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:''' 
y' = 1 / (x + y) 
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. 
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni. 
Lehetseges helyettesitesek: 
u = x + y 
u = y / x 
 
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat: 
u = x + y 
kifejezzuk y-t: 
y = u - x 
lederivaljuk: 
y' = u' - 1 
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk: 
u' - 1 = 1 / u 
kicsit rendezzuk: 
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u 
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni. 
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast: 
g(u) = (u + 1) / u = 0 
u = -1 
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek. 
Tovabb haladunk a megoldassal: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx 
A masodik fele: x + C 
Az elso fele: 
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C 
 
Ezekbol: 
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk 
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c 
 
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru. 
'''Pelda:''' 
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0 
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :( 
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1) 
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol ʎ2 = -1 
DE 3 megoldas kell!!! 
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x 
 
'''Pelda2:''' 
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0 
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et 
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0 
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0 
elso felebol ʎ1 = 0 
masodik felebol: 
-9 = (ʎ + 2)2 
-91/2 = ʎ + 2 
-91/2 - 2 = ʎ 
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba 
-3*i - 2 = ʎ 
 
yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x) 
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje 
 
'''Pelda3:''' 
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x 
ebbol kell a DE-et felirni. 
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5 
ʎ2 = -3 
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre: 
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0 
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani 
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0 
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0 
y(2) - 2 * y - 15 = 0 
 

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:''' 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x) 
Ebbol kell a homogen DE megoldasa. 
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0 
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak 
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz: 
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) 
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) 
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) 
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0 
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x) 
ezt C1, C2-re kell megoldani. 
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
 
'''Specialis f(x) esetek:''' 
itt A, Bi ismeretlenek 
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x 
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0 
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is! 
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is! 
 
'''Konkret pelda:''' 
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x) 
ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0 
ʎ1 = 2 
ʎ2 = 3 
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x 
yip = A * f(x) + B * f'(x) 
 
// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2) 
// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van! 
// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni 
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal 
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x) 
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x) 
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x) 
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett. 
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A 
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat: 
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B 
ezekbol: 
A = 1 / 26 
B = 5 / 26 
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x) 
 

== Izoklinak ==
'''pelda:''' 
y' = ey + 2 - x 
ebbol magic: K = ey + 2 - x 
kifejezzuk y-t: 
y = ln( x + K ) - 2 
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel 
Az inflexios ponthoz y(2)-at kell megnezni: 
y(2) > 0 --> lokalis minimum 
y(2) < 0 --> lokalis maximum 
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val. 
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D 
 
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic) 
megoldas alakja: f(n) = qn // q != 0 
'''pelda:''' 
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2) 
ebbol: 
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2 
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk. 
q2 = 4 * q - 3 --> masodfoku 
q1 = 1 
q2 = 3 
ebbol:
f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n 
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek: 
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel) 
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni: 
C2 = 0 
 
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I 
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. 
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal. 
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja: 
sumnk=0( ( f(k)(x0) / k! ) * (x - x0)k ) 
tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg. 
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora 
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
xm / (1 - x) = sumnk=m( xk ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1 
ex = sumnk=0( xk / k! ) --> KT: x eleme R-nek 
ln(1 + x) = sumnk=0( ( -1k / (k + 1)! ) * xk + 1 ) --> KT: |x| < 1 
(1 + x)a = sumnk=0( (a choose k) * xk ) --> |x| < 1, a eleme C-nek 
sin(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek 
cos(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek 
sinh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek 
cosh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek 
=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal. 
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo) 
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1 
'''Pelda (keresztrol):''' 
y' = sin( y ) + 2 + x 
y( x = pi ) = 1 
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell) 
felso becsles a hibara? 
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep! 
y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1 
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi) 
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte! 
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek. 
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is! 
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1 
 

=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot. 
|an|1/n vagy | (an + 1) / an | 
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t. 
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja. 
tehat KT = (x - R, x + R) 
vegpontokban kulon meg kell nezni: 
ha divergens --> ( 
ha konvergens --> [ 
kell. 
Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk) 
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e. 
a <= u=x2 <= b 
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) ) 
 
== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei: 
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> bk = 0
* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
* ak = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* bk = 1 / pi * ʃpi-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 

== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor. 
gradf(P0) = f'x(P0) * i + f'y(P0) * j = (f'x, f'y) // itt i, j egysegvektorok 
f'x illetve f'y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. 
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni. 
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas) 
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f'x)2 + (f'y)2) // azaz a vektor hossza 
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod 
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f'x es f'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban 
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D 
 

== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: 
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban: 
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz 
A tartomany alakja: 
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) 
Itt negy eset johet szoba: 
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * pi * i) / n! * f(n)(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 
'''Pelda:''' 
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz 
tartomany: |z - 2 * i| = 2 
tehat a kozeppont = 2 * i 
z0 = -8 
r = 2 
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Pelda2:''' 
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz 
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. 
r = 5 
A z0-ok kiszamolasa: 
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4) 
sqrt(z2) = -4 
z1 = 2 * i 
z2 = -2 * i 
felrajzoljuk: 
http://i.imgur.com/oon9cwS.png 
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. 
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. 
Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye 
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 
 
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' 
 
== Alternativ koordinatarendszerek ==
=== Polarkoordinatak ===
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y) 
polarban: v = (r, fi) 
Atvaltas: 
x = r * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) 
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = sqrt( x2 + y2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
Jakobi determinans |J|: 
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;) 
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel. 
ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban) 
 
=== Hengerkoordinatak ===
ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik) 
ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben 
|J| ugyanaz mint a polarnal. 
 
=== Gombikoordinatak ===
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz. 
atvaltas: 
x = r * sin( b ) * cos( fi ) 
y = r * sin( b ) * sin( fi ) 
y = r * cos( b ) 
r = sqrt( x2 + y2 + z2 ) 
fi eleme [0 ; 2 * pi] 
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D 
|J| = r2 * sin( b ) 
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;) 
 
'''Pelda:''' 
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ? 
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0 
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene. 
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas) 
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3 
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell. 
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni) 
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi ) 
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi ) 
Ne felejts el beszorozni |J|-vel! 
atvaltas utan: 
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi] 
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 ) 
 
'''Pelda2:''' 
Terfogatszamitasos integral. 
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 ) 
Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| ) 
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz. 
Mivel x2 es y2 illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb) 
T polarral: R <= z <= 6 - R2 
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe. 
R = 6 - R2 --> masodfoku, R1 = -3, R2 = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany: 
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz. 
r: [0 ; 2] 
fi: [0 ; 2 * pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk. 
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki. 
 
'''Pelda3:''' 
Tartomanycseres integral. 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dxdy 
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16] 
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. 
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel: 
kifejezzuk y-t: y = (2 * x)2 
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira) 
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz. 
Tehat az integral a kovetkezo lesz: 
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dydx 
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2] 
Innen ez is siman kiintegralhato. 
 

== Komplex fuggvenytan ==
=== Komplex szamok ===
z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1) 
 
'''Azonossagok:''' 
|z| = sqrt( x2 + y2 ) 
/z = x - i * y // konjugalt 
|z1 * z2| = |z1| * |z2| 
|z1 / z2| = |z1| / |z2| 
|z|2 = z * /z 
|z| = |/z| 
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi 
/(z1 + z2) = /z1 + /z2 
 
'''Trigonometrikus alak:''' 
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog 
r = |z| 
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi] 
 
'''Exponencialis alak:''' 
z = r * efi * i // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott) 
 
'''Komplex szorzas:''' 
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e(fi + b) * i 
 
'''Osztas:''' 
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e(fi - b) * i 
 
'''Hatvanyozas:''' 
zn = rn * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) ) 
 
'''Gyokvonas:''' 
z1 / n = r1 / n * e( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) ) 
 
'''Euler-formula:''' 
ei * fi = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot! 
 

=== Harmonikus fuggvenyek ===
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny) 
Azonossagok: 
u'x = v'y 
u'y = -v'x 
u(2)xx = v(2)yx 
u(2)yy = -v(2)xy 
u(2)xy = v(2)yy 
u(2)yx = -v(2)xx 
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz. 
deltau = u(2)xx + u(2)yy 
'''Lokalis szelso ertekek:''' 
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel 
|f(2)xx f(2)xy| 
|f(2)yx f(2)yy| 
|det| > 0 
Ha f(2)xx > 0 --> lokalis minimum 
Ha f(2)xx < 0 --> lokalis maximum 
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot