SzabtechZh2Feladatok2007Osz

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

-- Olthyer - 2007.12.08.

A megoldásokért én vállalom a felelősséget -- WitY - 2007.12.12.

Beformáztam a képleteket rendesen, hogy agyelborulás nélkül lehessen olvasni. Átnéztem becsülettel, de valahol azért biztosan elszúrtam. Szóval ha valami látványosan hülyeség, gondold végig és javítsd. -- gyp - 2007.12.13.

1. feladat

Zárt folytonos szabályozási körben a szakasz átviteli fv-nye $P(s)={\frac {1}{(s+1)s}}$. Tervezzen PD szabályozót 45 fokos fázistöbbletre. A póluseltolási arány 5. Adja meg a szabályozó átviteli függvényét.

A deriváló tag átv. fv-e: ${\frac {1+sT}{1+s{\frac {T}{n}}}}$ , ahol T a szabályozni kívánt folyamat 2. legnagyobb időállandója, n a póluseltolási arány. Tehát a PD szabályozó átv. fv-e első nekifutásra: ${\frac {K(1+s)}{1+{\frac {s}{5}}}}$ K-t pedig a 45 fokos fázistöbbletre való tervezésből tudod kiszámítani.

$L=CP={\frac {K}{s(1+s/5)}}$

$arc(L)=-90-arc(1+{\frac {s}{5}})=-90-arc(1+{\frac {w}{5}}*j)=-90-arctg(w/5)$ -akinek ez annyira nem triviális annak sokat tud segíteni egy rajz

fázistöbblet = $arc(L)+180\Rightarrow -135=-90-arctg(w/5)\Rightarrow 45=arctg(w/5)\Rightarrow w=5$

A fázistöbblet definíciójához hozzátartozik az is, hogy mindezt a vágási körfrekvencián kell számolni. a vágási körfrekvencián L abszolútértéke egy kell legyen. Ez fog adni egy értéket K-ra:

$|L(s)|=|L(jw)|={\frac {K}{w{\sqrt {1+{\frac {w}{5}}^{2}}}}}$ na azt szeretnénk, hogy ez egy legyen az w=5 körfrekvencián: $K=5*{\sqrt {2}}$

A szabályozó átv. fv-e: $5*{\sqrt {2}}{\frac {1+s}{1+s/5}}$

Egyébként van a jegyzetben erre a maradékrendszerek-nél vmi szép kis képlet, de én mindig többre tartottam a gondolkodást, mint a képletmagolást. Akit érdekel 8.35 243.oldal

2. feladat

Legyen a folytonos idejű folyamat átviteli függvénye $P(s)={\frac {1}{1+8s}}e^{-2s}$. Adja meg a Youla parametrizálást megvalósító szabályozási kört az $R_{r}(s)={\frac {1}{1+2s}}$ és $R_{n}(s)={\frac {1}{1+s}}$ referencia modellek esetén. Végezze el minden szükséges elem kiszámítását és rajzolja fel a kapott hatásvázlatot.

$P=P^{+}\cdot P_{-}^{-1}$ jó hát ezek a jelöléseim itt wikin érthetetlenek. Az a lényeg hogy a folyamatot szét kell szedni két részre: a $P_{+}$ aminek inverze realizálható a $P_{-}^{-1}$ pedig aminek az inverze nem realizálható azaz az (e ad)-os tag. A nagyon okosok a $P_{-}^{-1}$ tovább bontják két részre, de erre minket már nem képeztek ki a mi esetünkben a $P_{-}=1$. Így ezt nekünk nem is kell optimalizálni, ezért élhetünk a $G_{n}=G_{r}=1$ választással.

$P_{+}={\frac {1}{1+8s}},P_{+}^{-1}=1+8s,P_{-}=1\cdot P_{-}^{-1}=e^{-2s}$

$C_{opt}={\frac {R_{n}G_{n}P_{+}^{-1}}{1-R_{n}G_{n}\cdot P_{-}^{-1}}}={\frac {{\frac {1}{1+s}}(1+8s)}{1-{\frac {1}{1+s}}e^{-2s}}}={\frac {1+8s}{1-e^{-2s}}}$

(korábban az alsó tagban 1 + R * G * P^-1 volt de a tankönyv szerint ez a helyes. TK 210 -- UzsokiMate - 2009.12.11. )

a soros kompenzátor: $Q_{r}=R_{r}G_{r}P_{+}^{-1}={\frac {1}{1+2s}}(1+8s)$

a számolásokkal kész vagyunk a hatásvázlatot pedig nem kívántam most ide ügyeskedni, nézzétek meg a jegyzetben

3. feladat

Egy lineáris FI rendszer: A,b,c,d mátrixokkal adott. Adja meg a nyílt rendszer karakterisztikus egyenletét. Állapotvisszacsatoló szabályozót alkalmazunk k visszacsatolóvektorral. Adja meg a zárt rendszer karakterisztikus egyenletét.

A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete: ${\textrm {det}}(s\cdot I-A+b\cdot (k^{T}))=0$

(k^T)=k visszacsatoló mátrix transzponáltja.

4. feladat

Z transzformáció def. Hova képezi le a transzformáció az imaginárius tengelyt? Hova képezi le a pc=-0.1 folytonos pólust Ts=0.2 mintavételi idő mellett?

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}=x[0]+z^{-1}x[1]+z^{-2}x[2]+\ldots$

Az imaginárius tengelyt az egységsugarú körbe képezi le.

A pólust az $e^{-Ts/T}$ -be képezi le. a pc=-0.1 -hez tartozó időállandó a T=10 (aki nem hiszi az járjon utána az s-pc -t átalakítva 1+sT alakra). Tehát $pz=e^{-{\frac {0.2}{10}}}$

5. feladat

A mintavételezett zárt szabályozási körben a felnyitott kör impulzusátviteli függvénye $L(z)={\frac {K}{z-1}}$. HAtározza meg K azon értékeit, amelyekre a zárt rendszer stabil lesz.

a zárt rendszer : $T={\frac {L}{1+L}}$ ennek kell megvizsgálni a pólusait. Ha azok az egységsugarú körön belülre esnek (diszkrét folyamatról lévén szó) akkor a rsz. stabilis

$1+L=0$ karakterisztikus egyenletet kell megoldanunk.

$z-1+K=0\Rightarrow z=1-K\Rightarrow |1-K|<1\Rightarrow 0<K<2$

6. feladat

Milyen típusú szabályozót valósít meg a $C(z)=2{\frac {z-0.9}{z-1}}$ impulzusátviteli függvény? Adja meg a szabályozó differenciálegyenletét (algoritmus). Határozza meg egységugrás bemenőjelre a szabályozó kimenetének kezdeti és végértékét.

PI szabályozóról van szó: az arányos tag a 2, az integráló hatást, pedig a nevezőben lévő z-1 biztosítja (a legnagyobb időállandóval rendelkező kiejteni kívánt pólus a 0.9)

$C(z)={\frac {U(z)}{E(z)}}$

${\frac {U(z)}{E(z)}}=2{\frac {z-0.9}{z-1}}$

$U(z-1)=2(z-0.9)E$

arra kell törekedni hogy z negatív hatványai szerepeljenek, ami késleltetésnek feleltethető meg.

$U=Uz^{-1}+2E-1.8Ez^{-1}$

$u[k]=u[k-1]+2e[k]-1.8e[k-1]$

...ezzel a differenciálegyenlet előállt.

A végértéktételekből és tudva hogy az egységugrás z-transzformáltja z/(z-1)

kezdeti érték:

$c[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }{\frac {z}{z-1}}{\frac {2(z-0.9)}{z-1}}=2$

(itt érdemes a L'Hopital szabályt használni -- Pecc - 2007.12.17.)

végérték:

$c[\infty ]=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {z}{z-1}}{\frac {z-1}{z}}{\frac {2(z-0.9)}{z-1}}=\infty$

egy másik megoldás lehet ez is ( a konzultáción PD szabályozóra ezt használták ):

e[] a bemenet, mivel egységugrásról beszélünk 0 felett az értéke 1, előtte az értéke 0. Tehát: u[0] = u[-1] + 2*e[0] - 1.8e[-1] azaz u[0] = 0 + 2*1 - 1.8*0 = 0.2

u[1] = u[0] + 2*e[1] - 1.8 * e[0] azaz u[1] = 0.2 + 2 - 1.8 = 0.4

Itt látszik, hogy lépésenként 0.2-vel nő, így szépen elszáll a végtelenbe. -- UzsokiMate - 2009.12.11.

7. feladat

Stabilizálja a $G(z)={\frac {2z}{(z-0.8)(z-2.0)}}$ DI labilis folyamatot állapotvisszacsatolással oly módon, hogy a visszacsatolt rendszer pólusai a $z_{1}=0.5,z_{2}=0.5$ legyenek. Számítsa ki a stabilizáló visszacsatoló k vektort.

G(z) nevezője:

$z^{2}-2.8z+1.6$

amiből $a_{1}=-2.8,a_{2}=1.6$ Fontos, hogy z legnagyobb hatványú tagjának együtthatója egy legyen!!! Ekkor olvashatók csak le egymás után ai-k. Most szerencséje volt annak is, aki erről megfeledkezett :)

az előírt pólusokból számított nevező:

$(z-0.5)(z-0.5)=z^{2}-z+0.25$

(A fenti szöveg ismét érvényes :) )

$r_{1}=-1,r_{2}=0.25$

$k=[r1-a1,r2-a2]=[1.8,-1.35]$

(Ha az új pólus nincs megadva, akkor diszkrét esetben a régi reciprokát veszed, folytonos esetben pedig szorzod -1 -el )

B csoport

1. feladat

Egy zárt folytonos szabályozási körben a folyamat átviteli függvénye $P(s)=1/(1+10s)(1+s)$. Tervezzen PI szabályozót 45°-os fázistöbbletre! Adja meg a szabályozó átviteli függvényét! (5 pont)

A PI szabályozó átv. fv-e: K*(1+sT)/s(T) , ahol T a szabályozni kívánt folyamat legnagyobb időállandója és a nevezőben vagy ott van vagy nincs ez ízlés dolga. Tehát a mi esetünkben C=K*(1+10s)/s. A továbbiakban a gondolatmenet ugyanaz mint az A csoport első feladatánál.

Szerintem a PI szabályozó a szakasz legkisebb törési frekvenciájához tartozó pólust ejti ki tehát C=K*(1+s)/s -- banti - 2008.04.25.
^^^ Ez így konkrétan igaz is, de a legkisebb frekvenciához a legnagyobb időállandó tartozik, márpedig most időállandós alakban vannak, szóval C=K*(1+10s)/s -- aldaris - 2008.12.11.

L=CP=K/(s(1+s)) arc{L(s)}=arc{L(jw)}=-90-arc{1+s}=-90-arc{1+w*j}=-90-arctg(w)

A 45 fokos fázistöbbletből --> -135=-90-arctg(w) --> 45=arctg(w) --> w=

L(s) = L(jw) = K / w*gyök(1+w^2), ahhoz hogy ez egy legyen w=1-nél, K=gyök2 választással kell éljünk.

C=gyök2*(1+10s)/s

2. feladat

Adja meg az állapotvisszacsatolásos szabályozás blokk-diagramját megfigyelővel kiegészítve! (4 pont)

Nem varázsolnám ide, jegyzet: 270.o. 9.4. ábra

3. feladat

Stabilizálja a $P(s)=-3(s+1)/(s+2)(s-3)$ folyamatos idejű labilis folyamatot állapotvisszacsatolással! Számítson ki egy stabilzáló visszacsatoló k vektort! (4 pont)

A folyamat nevezője: s^2 -s -6. Megint fontos, hogy a legnagyobb hatványú tag együtthatója egy, ekkor a1=-1 a2=-6

A folyamat labilitását a +3-as pólus okozza -a nevező s-3 tényezőjéből- mert ugye nem negatív. Ezt kell stabilizálnunk, amire (FI rsz esetén) elfogadott módszer a labilis pólus -1-el való szorzása. Tehát a kívánt új pólusok: p1=-2 p2=-3. Ezekből az általunk stabilizált folyamat nevezője: (s+2)(s+3)= s^2 +5s +6. Ezekből leolvashatjuk (mert a legnagyobb hatványú tag együtthatója egy) r1=5 r2=6.

Ezek ismeretében a visszacsatoló vektor: k=[r1-a1, r2-a2]=[6, 12]

4. feladat

Adja meg egy $y(t)$ jel z-transzformáltjának kifejezését! Adja meg a mintavételezett egységugrás jel z-transzformáltját! (4 pont)

$Y(z)={\sum \limits _{n=0}^{\infty }y[n]z^{-n}}={\sum \limits _{n=0}^{\infty }y(nT_{s})z^{-n}}={\sum \limits _{n=0}^{\infty }\varepsilon (nT_{s})z^{-n}}={\sum \limits _{n=0}^{\infty }z^{-n}}={1+z^{-1}+z^{-2}+...}={\frac {z}{1-z}}$

5. feladat

Egy mintavételes zárt szabályozási körben a felnyitott kör impulzusátviteli függvénye $L(z)={\frac {z+0.8}{(z-0.5)(z-1)}}$ . Stabilis-e a zárt rendszer? (4 pont)

a zárt rsz. átv. fv-e: $T(z)={\frac {L(z)}{1+L(z)}}$ Na ennek kell a pólusait megvizsgálni stabilitás szempontjából. Ehhez ugye a karakterisztikus egyenletet kell megoldani:

$1+L(z)=0$

$z^{2}-1.5z+0.5+z+0.8=z^{2}-0.5z+1.3=0$

A másodfokú megoldóképlet ez esetben nem lesz annyira triviális, úgyhogy leírom:

$z_{1,2}={\frac {0.5\pm {\sqrt {0.25-5.2}}}{2}}={\frac {0.5\pm {\sqrt {4.95}}*j}{2}}$

$z_{1}=0.25+1.1125j$, z2 ennek konjugáltja

Ezek tehát a zárt rendszer pólusai. DI rsz akkor stabilis, ha a pólusai rendre az egységsugarú körön belülre esnek, különben labilis. Vizsgáljuk meg z1 abszolútértékét:

$|z1|={\sqrt {0.25^{2}+1.1125^{2}}}=1.14>1$ (z2 abszolútértéke ugyanennyi)

A zárt rendszer labilis.

6. feladat

Milyen típusú diszkrét szabályozót valósít meg a $C(z)={\frac {2(z-0.8)}{z-0.5}}$? Adja meg a szabályozó differenciálegyenletét (algoritmusát)! Határozza meg egységugrás bemenőjelre a szabályozó kimenetének kezdeti és végértékét! (5 pont)

Erről folynak a viták, hogy ez PD avagy PI szabályozó. A jegyzet 13.21-es képletét nézve ez PD. Ám van aki azt mondja, hogy ez bizony PI hiszen a válasz számításához felhasználja a múltbeli érték(ek)et. Hogy ezt honnan veszi az illető? Nézzük meg a differenciálegyenletét :) (Tankönyv: 8.7-es képlet (közelítő PD szabályozó) és az alatta lévő egy mondat alapján PI.)

Diszkrét szabályozóknál: Tk. 340-341. 13.19 alapján ez PI sztem. a PD nevezője a 13.28.-ban csak 'z' sztem:)

Ez a szabályozó a képlet szerint is PI szabályozó nemde? PI: $C=K*{\frac {(z-z1)}{z-1}}$ -- banti - 2008.04.25.

$C(z)={\frac {U(z)}{E(z)}}$

${\frac {U(z)}{E(z)}}={\frac {2(z-0.8)}{z-0.5}}$

$zU-0.5U=2zE-1.6E$

$U=0.5Uz^{-1}+2E-1.6Ez^{-1}$

$u[k]=0.5u[k-1]+2e[k]-1.6e[k-1]$ és akkor látható, hogy a kollégának igaza van ott az u[k-1] es múltbeli tag.

Megint a végértéktételek $c[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }{{\frac {z}{z-1}}{\frac {2(z-0.8)}{z-0.5}}}=2$

(Itt is a L'Hospital szabály alkalmazandó -- Pecc - 2007.12.17.)

$c[\infty ]=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {z}{z-1}}(1-z^{-1}){\frac {2(z-0.8)}{z-0.5}}={\frac {2\cdot 0.2}{0.5}}=0.8$

Ez viszont ellentmond a PI-s kollégának, mert nem száll el a végtelenbe egy integrátorhoz illő módon. -megj.: bennfentes információkból tudom, hogy nem vontak le neki tehát szerintem itt ha volt vmi indoklásod elfogadták-

7. feladat

Legyen a diszkrét ideű folyamat átviteli függvénye $G(z)={\frac {0.7z^{-5}}{1-0.8z^{-1}}}$. Adja meg a Youla-parametrizálást realizáló kört az $R_{r}={\frac {0.5z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}}$ és $R_{n}={\frac {0.8z^{-1}}{1-0.2z^{-1}}}$ referenciamodellek esetén! Végezze el minden szükséges elem kiszámítását és rajzolja fel a kapott hatásvázlatot! (4 pont)

A folyamat két részre bontása:

$G+={\frac {0.7z^{-1}}{1-0.8z^{-1}}}$ $G-=1$ a nem realizálható komponens pedig $z^{-4}$

${G+}^{-1}={\frac {1-0.8z^{-1}}{0.7z^{-1}}}$

Mivel G- = 1 így nincs mit optimálisan kompenzálni, azaz a Gr = Gn = 1 választással élhetünk.

$C_{opt}={\frac {R_{n}G_{n}{G+}^{-1}}{1+R_{n}G_{n}(G-)z^{-4}}}={\frac {{\frac {0.8z^{-1}}{1-0.2z^{-1}}}+0.8z^{-5}}{\frac {1-0.8z^{-1}}{0.7z^{-1}}}}$

Soros kompenzáció:

$R_{r}{G+}^{-1}={\frac {0.5z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}}{\frac {1-0.8z^{-1}}{0.7z^{-1}}}$

A számolásokkal kész vagyunk az ábrát mellőzöm. jegyzet 322.o. 12.1. ábra