Szabályozástechnika - Segítség a házi feladathoz - Lantos kurzus

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

1. FELADAT

Ezen a helyen volt linkelve a szabkor.PNG nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

1) átmeneti függvény

<section>====Ajánlott:====

• Alapkapcsolások
  {1} 6.2.1, 89. o.
• Átmeneti függvény
  {1} 6.1./II, 86. o.
• {4} Bevezető a MATLAB használatába

</section>

Adja meg a szabályozott szakasz u beavatkozó jelre és z1 illetve z2 zavaró jellemzőkre vonatkozó eredő átmeneti függvényét felnyitott körben.

• A megadott W1(s), W2(s), Wz1(s) és Wz2(s) segítségével határozunk a meg num(s)/den(s) formában a W_{y;u}(s), W_{y;z1}(s) és W_{y;z2}(s) alakjait:
  

1. 1. W_{yu}(s) = W1W2
   2. W_{yz1}(s) = Wz1W1W2
   3. W_{yz2}(s) = Wz2W2

• Az átmeneti függvények (ami találóbban megfogalmazva step response) meghatározásához meg kell szorozni a megkapott W-ket az egységugrás Laplace-transzformáltjával (ez ugye *1/s*).
• A részlettörtekre bontás (erre is van egy kényelmes függvény, a =residue= egy num(s)/den(s) alakot bont fel) után
• *tagonként inverz Laplace transzformáció*: a módszer lényege, hogy a függvény Laplace transzformáltját olyan tagok összegére bontjuk fel, amelyeknek inverz transzformáltját már ismerjük. A leggyakrabban előforduló tagok:
  • k --> k*1(t)
  • $r/(s+p)$ --> re^(-p*t)
  • $r/(s+p)^{2}$ --> rte^(-p*t)
• végeredmény a $v_{yu}(t),v_{yz1}(t)$ és a $v_{yz2}(t)$.
• Kirajzolás =step(W_yu,'g',W_yz1 ,'r',W_yz2,'b');= zöld piros és kék színekkel mindhárom W egyetlen ábrára kerül.

2) átviteli függvény

Adja meg a felnyitott kör W0(s) eredő átviteli függvényét és a zárt kör karakterisztikus egyenletét (K-val paraméterezve).

• eredő átviteli függvény $W0(s)=K*W1(s)*W2(s)$
• A zárt körben $1+W0$ van a nevezőben, ezért ez a karakterisztikus egyenlet

1. 1. $1+W_{0}=0=>1+K*W1*W2=0$

• Addig rendezzük a képletet, amíg egy polinom(s) = 0 alakú egyenletet nem kapunk, ahol paraméterként benne van a K.

-- adamo - 2006.04.27.

3) kritikus körerősítés

<section>====Ajánlott:====

• Hurwitz-kritérium {1} 6.5.1, 110. o.

</section>

Számítsa ki, hogy milyen K érték mellett válik a zárt kör labilissá (kritikus körerősítés). Használja a Hurwitz-kritériumot.

Vegyük először a karakterisztikus egyenletet és próbáljuk meg ráhúzni a Hurwitz-kritériumnál alkalmazott sémát:

• $s_{3}+a*s_{2}+b*s+c=0$
• $a_{3}*s_{3}+a_{2}*s_{1}2+a_{1}*s+a_{0}=0$
• $a_{3}=1;a_{2}=a;a_{1}1=b;a_{0}=c$

A kritérium első feltétele , hogy minden ai azonos előjelű legyen. Ahol K is benne van, ott kapunk valami f(K) > 0 alakú egyenlőtlenséget, amiből kihozhatunk K-ra egy kritikus értéket.
A második feltétel viszont a 3 x 3-as mátrix $\left[{\begin{array}{rrr}a&c&0\\1&b&0\\0&a&c\end{array}}\right]$ bal felső (angolul northwestern) aldeterminánsaira vonatkozik: $\Delta _{1}=a$ és $\Delta _{2}=\left|{\begin{array}{cc}a&c\\l&b\end{array}}\right|$ illetve $\Delta _{3}=\left|{\begin{array}{ccc}a&c&0\\1&b&0\\0&a&c\end{array}}\right|$ legyen nagyobb mint 0.

Ezek után a feltételek már megadják K-nak azon tartományait, ahol stabil. Ennek a határán van nyilván a kritikus körerősítés.

4) állapotegyenlet

Határozza meg a szakasz állapotegyenletét u bemenet és y kimenet esetén felnyitott körben.

• A típusú
  • nézzük csak a Wa Wb Wc-t. Ekkor az előbbi felállás így egyszerűsödik:

Ezen a helyen volt linkelve a felnyitottkor.PNG nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

• • • Wa(s) =A1/ (1 + sT1)
    • Wb(s) =A2 / (1 + sT2)
    • Wc(s) =1/ (1 + sT3)
  • Az állapotváltozókat az fenti ábra szerint vesszük fel:
    • x1 = 1 / (1 + sT3) * x2
    • x2 = A2 / (1 + sT2) * x3
    • x3 = A1 / (1 + sT) * u
  • Majd rendezzük az x1, x2, x3-ra
    • x1 = 1 / (1 + sT3) * x2
    • (1 + sT3)x1 = x2
    • s*T3*x1 = -x1 + x2 alapján:
    • sx1 = -(1 / T3) * x1 + (1 / T3) * x2, hasonlóan:
    • sx2 = -(1 / T2) * x2 + (A2 / T2) * x3, és
    • sx3 = -(1 / T1) * x3 + (A1 / T1) * u.
    • végül *y* = x1 is rendelkezésre áll.
  • A végeredményt természetesen érdemes felírni a mátrixos formában is. Ha megfigyeljük, hogy milyen egyenletek jöttek ki, akkor láthatjuk, hogy az egyes együtthatók a szokásos sémába írhatók:

Ezen a helyen volt linkelve a matrixsema.PNG nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

illetve a y = Cx + Du alakból:

• • • C = [1 0 0]
    • x = [x1 x2 x3]^T
    • D = 0
• A megoldáshoz a fenti numerikus módszer helyett lehet használni a Control System Toolbox =tf2ss= függvényét is. Ha valaki kedvet érez készíthet róla egy kis leírást.

-- adamo - 2006.04.28.

2. FELADAT

Adott a W(s) szakasz átviteli függvénye:

Ezen a helyen volt linkelve a szakasz.PNG nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

$0<\xi <1$ esetén van egy konjugált komplex póluspárja a bal félsíkon (kéttárolós lengőtag), meg egy pólusa a valós tengelyen (szintén a bal félsíkon, ha $0<\xi$ ). Néhány házi feladatos lapon $\tau ^{2}*s$ szerepelt $\tau ^{2}s^{2}$ helyett. Ez természetesen hibás.

I. részfeladat

Folytonos idejű szabályozó tervezése. Adott az alábbi folytonos idejű szabályozási kör

Ezen a helyen volt linkelve a PID.PNG nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

1) PID

<section>====Ajánlott:====

• 2. gyakorlat
  {4} Gyak2.pdf
• PID típusú szabályzók
  {1} 7.1 fejezet (125-129.oldal)
• Szabályzó beállítás tervezése...
  {1} 7.2. fejezet (129-141. o.)
• Szabályzó beállítás tervezése...
  {1} 7.6. fejezet (160-169. o.)

</section>

"Méretezzen olyan folytonosidejű (D hatásában közelítő) PID szabályozót realizáló $W_{K}(s)$ átviteli függvényt, amely zárt körben biztosítja az alábbi feltételeket:

• A szabályozó segítségével ejtse ki a szakasz komplex póluspárját.
• $y_{a}=1(t)$ esetén a szabályozott jellemző végértéke $y(\infty )=1$. (Nincs maradó hiba.)
• $y_{a}=1(t)$ esetén az u(t) beavatkozó jelben jelentkező maximális $u(0)=u_{max}$ kivezérlésre teljesül, hogy $|u_{max}|<10/A$.
• A rendszer fázistöbblete: $40^{\circ }<\omega _{t}(\omega _{c})<50^{\circ }$.
• Használja a Matlab =fsolve= függvényét."

A hivatkozott Galaxy {3} történetet nem másoltam be, aki eljutott idáig, néhány sort átvehetne belőle hogy idővel teljes kidolgozás legyen a Wikin is

Megoldás menete:

• =fsolve= Ap, Ti, Td, Tc meghatározása.
• szakasz pólusai, zérusai;
• szabályozó pólusai, zérusai;
• mindezek grafikusan is (legyen látható a p/z kiejtés);
• szabályozó paraméterei, átmeneti függvénye (step response), umax feltüntetésével;
• felnyitott kör Bode-diagrammja, $\omega _{c}$ és $\varphi _{t}$
• a zárt körben a szabályozó és a szakasz kimenetei egységugrás alakú alapjelváltás esetén.

Hasznos : Ha eleve tudjuk, hogy komplex konjugált számokat adunk/szorzunk össze és ezért az eredménynek csak valós része van, akkor a Matlab esetleges kerekítési hibáit elkerülhetjük a real függvény használatával, amely egy komplex szám valós részét adja vissza. Pl. így: tau_1+tau_2 helyett real(tau_1+tau_2).

A konkrét megoldás némi reverse engineering után kiszedhető a [gyak2x0,gyak2ctr,gyak2fx,gyak2].m file-okból.

-- adamo - 2006.04.30.

2) diszkrétidejű függvény és algoritmus

<section>====Ajánlott:====

• Shannon
  {1} 8.1., 187. o.
• mintavételes PID
  {1} 8.8, 217-220. o.
• mintavételes közelítés
  {1} 8.5.1., 205-208. o.
• az algoritumus
  {1} 8.5.3., 208-209. o.
• Matlab gyakorlatok
  {5} cdsimul.m

</section>

Határozza meg az előző pontban tervezett szabályozó egységugrás-ekvivalens diszkrétidejű átviteli függvényét és algoritmusát az $\omega _{c}T_{s}\approx 0.2$ feltétel mellett.

• A Shannon féle mintavételi törvény szerint a mintavételi időnek ki kell elégítenie a $T<=\pi /W_{k}=1/f_{h}$ feltételt. Ekkor ugyanis az analóg jel rekonstruálható a matematikailag mintavételezett jelből: egy T erősítésű ideális aluláteresztő szűrővel. Az ökölszabályként alkalmazott $T*w_{c}=0.2$ értéket követjük mi is a feladatban.
• Az aluláteresztő szűrő akauzális volta miatt azonban egy nulladrendű tartószervvel (ZOH) kíséreljük meg közelíteni. Ezt a =c2dm= beépített függvény segítségével tehetjük meg.
  ( =[numcz,dencz]=c2dm(numcs,dencs,T,'zoh');= )
  Mind az előzőleg kiszámolt PID szabályzót mind a szabályzó számláló/nevező alakú rendszereket átkonvertálhatjuk diszkrét idejű rendszerré.
• A keletkezett rendszerek zérusait (zpz, z0z), pólusait (ppz, p0z) és a konstans szorzót (kpz, k0z) az átviteli függvényről áttérő =tf2zp= függvény használatával kapjuk meg.
• A diszkrét idejű Bode diagramm elkészítését a =dbode= segíti.
• A vágási frekvencia és a fázistöbblet értéke a =margin= függvény szolgáltatja.
• algoritmusa is lesz... :)

-- adamo - 2006.04.30.

Irodalomjegyzék

[1] Lantos B. Irányítási rendszerek elmélete és tervezése. Akadémiai Kiadó, 2001.
[2] I. N. Bronstejn and K. A. Szemengyajev. Matematikai zsebkönyv. Műszaki Könyvkiadó, 1987.
[3] Galaxy Szabtech házi offline help, jól. Impulzus, 2003
[4] Lantos B. Szabályozástechnika gyakorlati anyagok ([Gyak1-Gyak7].pdf). InfoSite, 2000
[5] Lantos B. SIMULATION OF CONTROL TRANSIENTS... InfoSite, 2003