2006. 03. 30. kis ZH (A csoport)

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

---

Egy rendszer kettő soros, független fokozatból áll. Az első és a második fokozat is melegtartalékolt, a $\lambda _{a}$ meghibásodási tényezőjű első fokozat három, a $\lambda _{b}$-s második fokozat pedig 2 egységgel. (Tartalékkal együtt!)

1. kérdéscsoport:

1. Írja fel a rendszer r(t) függvényét!
2. Adja meg a rendszer MTFF_e értékét, ha ismert, hogy $\$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}e^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}\$$
3. Adja meg a $\lim _{t\rightarrow 0}\lambda (t)$ és a $\lim _{t\rightarrow \infty }\lambda (t)$ értéket

---

Megoldás

Rajz:

Ezen a helyen volt linkelve a 2008_05_19_hham1.png nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

a) r(t) függvény értéke

• $r_{a}=e^{-\lambda _{a}t}$
• $r_{b}=e^{-\lambda _{b}t}$

Az r(t) értéke ezek alapján:

$r(t)=(1-(1-r_{a})^{3})(1-(1-r_{b})^{2})=$

$=(1-(1-3r_{a}+3r_{a}^{2}-r_{a}^{3}))(1-(1-2r_{b}+r_{b}^{2}))=$

$=(3r_{a}-3r_{a}^{2}+r_{a}^{3})(2r_{b}-r_{b}^{2})=$

$=6r_{a}r_{b}-6r_{a}^{2}r_{b}+2r_{a}^{3}r_{b}-3r_{a}r_{b}^{2}+3r_{a}^{2}r_{b}^{2}-r_{a}^{3}r_{b}^{2}=$

$=6e^{-(\lambda _{a}+\lambda _{b})t}-3e^{-(\lambda _{a}+2\lambda _{b})t}-6e^{-(2\lambda _{a}+\lambda _{b})t}+3e^{-(2\lambda _{a}+2\lambda _{b})t}+2e^{-(3\lambda _{a}+\lambda _{b})t}-e^{-(3\lambda _{a}+2\lambda _{b})t}$

b) Az MTFF_e értéke

$\$MTTF=\int \limits _{0}^{\infty }r(t)dt=\$$

$\$={\frac {6}{\lambda _{a}+\lambda _{b}}}+{\frac {-3}{\lambda _{a}+2\lambda _{b}}}+{\frac {-6}{2\lambda _{a}+\lambda _{b}}}+{\frac {3}{2\lambda _{a}+2\lambda _{b}}}+{\frac {2}{3\lambda _{a}+\lambda _{b}}}+{\frac {-1}{3\lambda _{a}+2\lambda _{b}}}\$$

c) A határértékek

$\$\lim \limits _{t\rightarrow 0}\lambda (t)=0\$$

$\$\lim \limits _{t\rightarrow \infty }\lambda (t)=\lambda _{a}+\lambda _{b}\$$

2. kérdéscsoport:

1. Adja meg a rendszer r(t) függvényét a vágatmeghatározáson alapuló módszerrel!
2. Mutassa meg, hogy az eredmény azonos a teljes valószínűség tétel alkalmazásán alapuló módszerrel előállítható eredménnyel!

---

Megoldás

Megfeleltetések párhuzamos esetben:

$\$q(t)=q_{a}^{2}=(1-r_{a})^{2}\$$

$\$r(t)=1-q_{a}^{2}=1-(1-r_{a})^{2}\$$

Megfeleltetések soros esetben:

$\$r(t)=r_{b}\cdot r_{b}=(1-q_{b})(1-q_{b})\$$

$\$q(t)=1-r_{b}\cdot r_{b}=1-(1-q_{b})^{2}\$$

a) Megoldás vágat módszerrel

$\$q(t)=q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3}+q_{4}\cdot q_{5}-q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3}\cdot q_{4}\cdot q_{5}\$$

$\$q(t)=q_{a}\cdot q_{a}\cdot q_{a}+q_{b}\cdot q_{b}-q_{a}^{3}\cdot q_{b}^{2}\$$

$\$r(t)=1-q(t)=1-(q_{a}^{3}+q_{b}^{2}-q_{a}^{3}\cdot q_{b}^{2})=\$$

$\$=1-((1-r_{a})^{3}+(1-r_{b})^{2}-(1-r_{a})^{3}\cdot (1-r_{b})^{2})=\$$

$\$\dots \$$

b) Teljes valószínűség módszerével

Azt feltételezzük, hogy a második komponens egyik egysége kiesik. Ezt felírva:

$\$P(X_{R}\in U|X_{4}\in U)=(1-q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3})\cdot r_{4}\$$

$\$P(X_{R}\in U|X_{4}\in D)=r_{5}(1-(1-r_{a})^{3}\cdot (1-r_{4})\$$

$\$r(t)=(1-(1-r_{a})^{3})r_{b}+(1-(1-r_{a})^{3})r_{b}(1-r_{b})\$$

3. kérdéscsoport: Tegyük fel, hogy valamennyi egységet egymástól függetlenül javítják, egységenként rendre $\mu _{a}$ és $\mu _{b}$ javítási intenzitással.

1. Adja meg a rendszer készenléti tényezőjét (A) általánosan!
2. Hogyan változna a jellemző, ha a függetlenség csak a fokozatokra és nem az egységekre állna fenn, mindkét fokozatot csak akkor javítanák, ha az teljesen meghibásodott, és akkor egyetlen $\mu _{a}$ vagy $\mu _{b}$ paraméterű javítással az adott fokozatot teljesen helyreállítanák?

---

Megoldás

a)

A komponensekre:

$\$A_{1}=1-(1-A_{a})^{3}\$$

$\$A_{2}=1-(1-A_{b})^{2}\$$

A soros rendszerre:

$\$A=A_{1}\cdot A_{2}\$$

Általános képletek:

$\$A={\frac {MUT}{MUT+MTD}}\$$

$\$MUT={\frac {1}{\lambda _{a}}}\$$

$\$MDT={\frac {1}{\mu }}\$$

Mivel a komponensek egységei egymástól független hibásodnak meg:

$\$A_{a}={\frac {\mu _{a}}{\mu _{a}+\lambda _{a}}}\$$

$\$A_{b}={\frac {\mu _{b}}{\mu _{b}+\lambda _{b}}}\$$

Ebből következik, hogy:

$\$A=\left[{\frac {\mu _{a}}{\mu _{a}+\lambda _{a}}}\right]\cdot \left[{\frac {\mu _{b}}{\mu _{b}+\lambda _{b}}}\right]\$$

b)

Általános képlet:

$\$MUT={\frac {1}{\lambda }}\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\$$

Komponensenként:

$\$MUT_{a}={\frac {1}{\lambda _{a}}}\sum \limits _{k=1}^{3}{\frac {1}{k}}={\frac {6}{11\lambda _{a}}}\$$

$\$MUT_{b}={\frac {1}{\lambda _{b}}}\sum \limits _{k=1}^{2}{\frac {1}{k}}={\frac {3}{2\lambda _{b}}}\$$

A továbbiakban az előző feladathoz hasonlóan történik a számítás.

---

---

---

2006. 03. 30. kis ZH (B csoport)

Egy rendszer kettő soros, független fokozatból áll. Az első fokozat redundanciamentes, $\lambda _{1}$ meghibásodási tényezővel, a második három egységes (Tartalékkal együtt!) melegtartalékolt, egységenként $\lambda _{2}$ meghibásodási tényezővel.

1. kérdéscsoport:

1. Írja fel a rendszer r(t) függvényét!
2. Adja meg a rendszer MTFF_e értékét, ha ismert, hogy $\$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}e^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}\$$
3. Adja meg a $\lim _{t\rightarrow 0}\lambda (t)$ és a $\lim _{t\rightarrow \infty }\lambda (t)$ értéket

---

Megoldás

Ezen a helyen volt linkelve a 2008_05_19_hham2.png nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

a) r(t) függvény

$\$r(t)=(1-(1-r_{1}))(1-(1-r_{2})^{3})=\$$

$\$=r_{1}(3r_{2}-3r_{2}^{2}+r_{2}^{3})=\$$

$\$=e^{-(\lambda _{1}+3\lambda _{2})t}-3e^{-(\lambda _{1}+2\lambda _{2})t}+3e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}\$$

b) MTFF

$\$MTTF=\int \limits _{0}^{\infty }r(t)dt=\$$

$\$={\frac {1}{\lambda _{1}+3\lambda _{2}}}+{\frac {-3}{\lambda _{1}+2\lambda _{2}}}+{\frac {3}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\$$

c) A határétékek

$\$\lim \limits _{t\rightarrow 0}\lambda (t)=\lambda _{1}\$$

$\$\lim \limits _{t\rightarrow \infty }\lambda (t)=\lambda _{1}+\lambda _{2}\$$

2. kérdéscsoport:

1. Adja meg a rendszer r(t) függvényét az útmeghatározáson alapuló módszerrel!
2. Mutassa meg, hogy az eredmény azonos az eseményfa elemzésen alapuló módszerrel előállítható eredménnyel!

---

Megoldás

a)

Lehetséges utak a hálózatban:

• s₁ = (1,2)
• s₂ = (1,3)
• s₃ = (1,4)

Az r(t) ezek alapján:

$\$r(t)=s_{1}+s_{2}+s_{3}-s_{1}s_{2}-s_{1}s_{3}-s_{2}s_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}=\$$

$\$r_{1}r_{2}^{3}-3r_{1}r_{2}^{2}+3r_{2}r_{1}\$$

3. kérdéscsoport: Tegyük fel, a rendszert $\mu$ javítási rátával csak akkor javítják, ha a rendszerhiba következett be. Ekkor valamennyi még működő egységet kikapcsolják és azokban újabb hiba nem következhet be.

1. Adja meg a rendszer készenléti tényezőjét (A) általánosan!
2. Adja meg a készenléti tényező akkor, ha $\lambda _{2}=4\cdot \lambda _{1}$ és $\mu =50\cdot \lambda _{1}$

---

Megoldás

a)

$\$A={\frac {MUT}{MUT+MDT}}={\frac {MTFF}{MTFF+{\frac {1}{\mu }}}}\$$

b)

Behelyettesítve...